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2.2 一元一次不等式
题型一 一元一次不等式的定义
1． 【答案】C
2． 【答案】A
3． 【答案】C
4． 【答案】A
5． 【答案】B
6． 【答案】
7． 【答案】2
8．
【答案】(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)是
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟知一元一次不等式的定义是解题的关键．
（1）根据一元一次不等式的定义进行判断即可；
（2）根据一元一次不等式的定义进行判断即可；
（3）根据一元一次不等式的定义进行判断即可；
（4）根据一元一次不等式的定义进行判断即可．
【详解】（1）解：因为该不等式中含有 ，
所以 不是一元一次不等式；
（2）解：因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，
所以 是一元一次不等式；
（3）解：因为该不等式中含有x，y两种未知数，
所以 不是一元一次不等式；
（4）解：因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，
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学科网（北京）股份有限公司所以 是一元一次不等式．
题型二 求一元一次不等式的解集
1． 【答案】A
2． 【答案】5（大于或等于5的实数均可）
3． 【答案】
4． 【答案】(1)
5．
【答案】（1） ，图见解析
（2） ，最小整数解为 ，图见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示即可；
（2）先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到解集后在数轴上表示，再找
出最小整数解即可．
【详解】解：（1） ，
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
数轴表示如下：
（2） ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司数轴表示如下：
则这个不等式的最小整数解为 ．
6．
【答案】见解析
【分析】此题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题
的关键．
先去分母，再移项，合并同类项，把 系数化为 ，求出解集，在数轴上表示即可．
【详解】解：去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
该不等式的解集在数轴上表示如图所示．
7．
【答案】(1) ，图形见解析
(2) ，图形见解析
(3) ，图形见解析
(4) ，图形见解析
【分析】考查知识点：一元一次不等式的解法、不等式的性质、数轴表示解集．解题关键：正确应用不等
式性质，规范完成去分母、移项等步骤．易错点：除以负数时不等号未变号，去分母时漏乘常数项，数轴
表示空心/实心圆点混淆．
（1）对不含分母/括号的不等式：通过移项合并同类项，再系数化为1（注意负数变向）．
（2）含括号的不等式：先去括号，再重复上述步骤．
（3）含分母的不等式：先去分母（乘最小公倍数），再去括号、移项、系数化为1．
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学科网（北京）股份有限公司（4）最后根据解集在数轴上标注（空心圆点对应“>”“<”，实心圆点对应“≥”“≤”）．
【详解】（1）
解集在数轴上表示如下：
（2）
解集在数轴上表示如下：
（3）
解集在数轴上表示如下：
（4）
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学科网（北京）股份有限公司解集在数轴上表示如下：
题型三 在数轴上表示不等式的解集
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】C
题型四 一元一次不等式的整数解
1． 【答案】B
2． 【答案】 （答案不唯一）
3． 【答案】1（答案不唯一）
4． 【答案】 （答案不唯一）
5． 【答案】
6． 【答案】21或22
7．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次不等式，正确解方程和不等式是解题的关键．先解方
程得到 关于 的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合 是非正整数，求出所有符合条件的 值并求
和．
【详解】解： ，
，
，
，
，
关于 的方程 的解为负数，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
所有符合条件的非正整数 为： ， ， ， ， ，
所有符合条件的非正整数 的和为： ．
题型一 一元一次不等式解的最值
1． 【答案】B
2． 【答案】D
3． 【答案】D
4． 【答案】2
5． 【答案】20
6． 【答案】
7．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项合并同类项，可得到 ，即可求解．
【详解】解： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
∴ ，
即 的最大值为 ．
8．
【答案】(1)5
(2)4
【分析】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键．
（1）根据题意列出算式计算即可；
（2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：按键1次后， ， 两区显示的结果的和 ；
（2）解：由题意，得 ，
解得 ，
为整数，
的最小值为4．
题型二 解带绝对值的不等式
1． 【答案】D
2． 【答案】 或 或 或0或1或2或3
3． 【答案】
4．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分 ， 和 三种情况，分别去绝对值，
再解一元一次不等式即可得到答案．
【详解】解：当 时，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当 时，
∵ ，
∴ ，即 ，故此种情况不成立；
当 时，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
综上所述， 或 ．
5．
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
(3) 或
【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是
解题的关键．
（1）根据题意求解集即可；
（2）根据题意解不等式即可；
（3）根据题意解不等式即可．
【详解】（1）解：由题意知， 的解集为 ，
故答案为： ；
（2）解：由题意得不等式 可化为 ，
解得 ；
（3）解：不等式 可化为 或 ，
解得 或 ．
6．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝
对值的几何意义及解一元一次不等式的能力．
（1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案；
（2）依据题意，由 知 ，据此得出 ，再结合 可得出关于 、
的方程组，解之即可求出 、 的值，从而得出答案．
【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式 ，
从如图的数轴上看：小于 或大于2的数的绝对值大于2，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的解集为 或 ．
根据绝对值的定义得： 或 ；
（2）解：由题意，
，
，
，
解集为 ，
，
．
题型三 列一元一次不等式
1． 【答案】C
2． 【答案】C
3． 【答案】A
4． 【答案】C
5． 【答案】C
6． 【答案】
7．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据实际情况，抓住关键词语，弄清不等关系是
解题的关键；
由题意可知， 到 之间为半个小时，即 ，所以根据时间小于半小时来写出不等式即可．
【详解】解：因为小明在 之前赶到了书店，
所以小明到书店的时间为小于半个小时，即小于 ，
由题意得 ．
题型四 用一元一次不等式解决实际问题
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学科网（北京）股份有限公司1．
【答案】(1)甲种月饼的进货单价为25元/盒，乙种月饼的进货单价为15元/盒
(2)甲种月饼至少购进68盒
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立方
程组或不等式求解．
（1）设甲种月饼的进货单价为a元/盒，乙种月饼的进货单价为b元/盒，根据题意列出二元一次方程组求
解即可；
（2）设甲种月饼需要购进 盒，则乙种月饼购进 盒，列一元一次不等式求出 ，根据
为整数，求出m的最小值即可．
【详解】（1）解：设甲种月饼的进货单价为a元/盒，乙种月饼的进货单价为b元/盒，
根据题意： ，
解得 ，
答：甲种月饼的进货单价为25元/盒，乙种月饼的进货单价为15元/盒；
（2）解：设甲种月饼需要购进 盒，则乙种月饼购进 盒，
由题意可得：
，
解得： ，
为整数，
；
答：甲种月饼至少购进68盒．
2．
【答案】(1)甲型自行车单台利润100元，十台乙型自行车利润150元
(2)购进甲、乙各10台时利润最大，最大利润2500元
(3)他们相距15千米的时间为 小时或 小时或 小时．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握相关知识点是
解题的关键．
（1）设销售一台甲型自行车利润为x元，一台乙型自行车利润为y元，依题意，列出二元一次方程组，求
解即可；
（2）设购进甲型自行车m台，则乙型自行车为 台，依题意，列出 ，解
得 ，继而求出总利润 ，推导出当 时，W最大，求解即可；
（3）分类讨论：①小明前往B地 ，②小明停留B地 ，③小明返回A地 ，
逐个分析求解即可．
【详解】（1）解：设销售一台甲型自行车利润为x元，一台乙型自行车利润为y元，依题意，得
解得 ，
∴
答：甲型自行车单台利润100元，十台乙型自行车利润150元．
（2）解：设购进甲型自行车m台，则乙型自行车为 台，依题意，得
，
解得 ，
总利润 ，
∵ ，
∴W随m的增大而减小，
则当 时，W最大， （元），
此时 ．
答：购进甲、乙各10台时利润最大，最大利润2500元．
（3）解：小明骑电动车：1小时行驶45千米，速度为 ；到达B地停留 小时，即 时，距
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学科网（北京）股份有限公司离A地45千米； 小时后开始返回，3小时回到A地，返回速度 ．
小华：3小时行驶45千米，速度 ，其距离函数为 ．
前往B地 ： ，
停留B地 ： ，
返回A地 ： ，
①小明前往B地
，
解得 ；
②小明停留B地
，
解得 （超出该区间，舍去）．
③小明返回A地
，
即 ：
或 ，
解得 或 ．
答：他们相距15千米的时间为 小时或 小时或 小时．
3．
【答案】(1)甲、乙两类图书每套的进价分别是120元、90元．
(2)共有6种购买方案
(3)购买甲类图书 套，乙类图书 套时， 最小，最小值为 元．
【分析】（1）设甲类图书 元每套，由“ 套甲类图书比 套乙类图书的进价高 元”可知乙类图书为
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学科网（北京）股份有限公司元每套，再根据“买 套甲类图书和 套乙类图书一共需要 元”列出方程，即可解答
（2）设甲类图书购买了 套，则乙类图书购买了 套，根据甲类图书购买的数量不少于乙类图书数
量的 ，且甲类图书购买的数量不超过 套，列出不等式，求出 的取值范围，由 为正整数，即可解答；
（3）由（2）表示出总费用 ，利用一次函数的性质，即可确定 的取值，即可确定最
小值．
【详解】（1）解：设甲类图书每套进价为 元，则乙类图书每套进价为 元．
依题意，得 ，
解得 ，
则 （元）．
故甲、乙两类图书每套的进价分别是120元、90元．
（2）解：设甲类图书购买了 套，则乙类图书购买了 套．
由题意，得 ，
解得 ，
∵
，
可取40，41，42，43，44，45，
共有6种购买方案．
（3）解：由（2）可知 ，
化简，得 ．
，
随 的增大而增大，
当 时， 取最小值，最小值为 ．
即购买甲类图书 套，乙类图书 套时， 最小，最小值为 元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是
根据已知条件，列出一元一次方程和一元一次不等式，应用一次函数的性质解决问题．
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学科网（北京）股份有限公司4．
【答案】至少需要购买35只茶杯
【分析】本题考查一元一次不等式的应用．根据题意列不等式，求最小整数解即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ 的最小值为35，
∴至少需要购买35只茶杯．
5．
【答案】
商店最多打 折出售此商品
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的
量的等量关系．设商店最多可打 折出售此商品，根据利润率不低于 列出不等式，求解即可．
【详解】解：设商店最多可打 折出售此商品，
根据题意得，
解得 ．
答：商店最多可打 折出售此商品．
6．
【答案】(1)甲工程队每天挖掘 米，乙工程队每天挖掘 米
(2)施工方案有两种：①甲队施工 天，乙队施工 天；②甲队施工 天，乙队施工3天
【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道 米，根据题意，得
解得：
∴
答：甲工程队每天可挖掘隧道36米，乙工程队每天可挖掘隧道24米．
（2）解：设乙队施工天数为 天，
隧道总长720米，甲队施工 天，挖掘 米，剩余隧道长度 米，
∴乙队施工天数 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 、 为正整数，
∴ 为偶数， ，
∴ ，
依题意得： ，即
解得： ，
又∵ ，
∴ 可取 ，
当 时，乙队施工天数为 ，
当 时，乙队施工天数为 ，
答：施工方案有两种：方案①甲队施工16天，乙队施工6天；方案②甲队施工18天，乙队施工3天．
7．
【答案】(1)她购买这件商品优惠了20元
(2)当购买商品超过1120元时，采用方案 更合算
【分析】本题主要考查一元一次不等式的①应用，关键是根据两种方案的优惠政策，计算所需钱数．
（1）依据题意，用花的钱数除以 （九五折），求原价，再乘 ，进而可以得解；
（2）依据题意，设当购买商品超过x元时，采用方案①更合算，再利用两种方案的优惠政策列出不等式求
解即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，根据方案②，购买商店内任意商品，一律打九五折，
∴
（元）
答：她购买这件商品优惠了20元．
（2）解：设当购买商品超过x元时，采用方案①更合算，
∴ ．
∴ ．
答：当购买商品超过1120元时，采用方案①更合算．
题型五 用一元一次不等式解决几何问题
1． 【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司2． 【答案】C
3．
【答案】平行于墙的一边长为 ，且 ．
【分析】本题主要考查了用代数式表示，
用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案．
【详解】解：平行于墙的一边长为 ，且 ，
解得 ，
所以平行于墙的一边长为 ，且 ．
4．
【答案】(1)8，6
(2)点 表示的数是
(3)机器人 变成彩色的总时长为8秒
【分析】本题考查了数轴、线段的中点、一元一次不等式的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
（1）根据数轴的性质可得 ，再根据线段中点的定义可得 ，然后根据数轴
的性质可得 ，由此即可得；
（2）先判断出点 只能在点 的右侧，再根据线段和差可得 ，然后根据数轴的性质求解即可得；
（3）先确定 ，求出点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，再分三种情况：① ，
② 和③ ，根据 建立不等式求解即可得．
【详解】（1）解：∵数轴上点 表示的数分别为 ， ，
∴ ．
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵点 表示的数为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
（2）解：∵ ， ，且点 在点 的右侧，
∴点 只能在点 的右侧，位置如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵点 表示的数为 ，且点 在点 的右侧，
∴点 表示的数是 ．
（3）解：∵点 表示的数分别为 ，
∴ ，
由题意得：点 从点 运动到点 所需时间为 秒，
∴当 时，点 在 上，点 在点 处，此时 ，即 ，
∴当机器人 之间的距离小于等于2个单位长度时， ，
∴当机器人 的运动时间为 秒时，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，
令 ，解得 ．
①当 时，点 在点 的左侧，未追上点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴此时 ；
②当 时，点 与点 重合， ，符合题意；
③当 时，点 在点 的右侧，超过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴此时 ；
综上，当机器人 之间的距离小于等于2个单位长度时， ，
∵当机器人 之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人 变成彩色，
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学科网（北京）股份有限公司∴机器人 变成彩色的总时长为 （秒），
答：机器人 变成彩色的总时长为8秒．
5．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4)见解析
【分析】（1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可；
（2）利用纸盒的容积的公式求出a的值，然后把 ， 代入进行计算即可；
（3）①结合图形进行计算即可解答；②结合图形可知A与C相对，B与D相对，然后进行即可解答．
（4）根据侧面数 第一种方法 第二种方法 第三种方法，底面数 第二种方法 第三种方
法，表示出底面和侧面的个数，然后根据底面和侧面的数量关系求解即可．
【详解】（1）解：这个纸盒的底面积是 ，高是 ，
故答案为： ， ；
（2）由题意得：
当 时，纸盒的容积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ， ；
（3）若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是 ， ，
故答案为： ， ；
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学科网（北京）股份有限公司（4）由题意得：可以裁出的侧面： 个．
可以裁出的底面： 个．
∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
∴可以裁出的侧面有 （个），
可以裁出的底面有 （个），
∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱，
∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱 个．
【点睛】本题考查了列代数式，几何问题(一元一次方程的应用)，用一元一次不等式解决几何问题，整式
加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
6．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 的取值范围为 或 或
【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键．
（1）根据时间等于路程除以速度求解即可；
（2）求出 ，分点 在 上运动和点 在 上运动两种情况，分别列式即可；
（3）分点 在 上，点 在 上，点 在 上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可；
（4）分 ， ， 三种情况讨论，分别根据 列不等式，求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，以 的速度沿 运动，
∴点 运动到点 的时间为 ，
故答案为： ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∴点 运动到点 的时间为 ，
点 运动到点 的时间为 ，
∴当点 在 上运动时， ，
当点 在 上运动时， ，
综上， ；
（3）解：当点 在 上时，即 ，
根据题意，得 ；
当点 在 上时，即 ，
根据题意，得 ，
当点 在 上时，即 ，
根据题意，得 ，
∴ ；
（4）解：当 时，
根据题意，得 ，
解得 ；
当 时，
根据题意，得 ，
解得 ；
当 时，
根据题意，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ；
综上， 的取值范围为 或 或 ．
题型一 一元一次不等式综合
1． 【答案】BCD
2．
【答案】(1)① ；②
(2)
(3)
【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数
形结合．
（1）①求出 、 关于直线 的 倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断；
②表示出 、 关于直线 的 倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，进一步得出结果；
（2）可推出 、 关于直线 的 倍镜像 、 的距离之差也是 ，从而得出 关于直线 的 倍镜
像“接收距离”的最小值；
（3）表示出 、 、 、 于直线 的 倍镜像的对应点坐标， 关于直线 的 倍镜像的线段是 ，
根据当点 ， ，线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”等于线段 关于直线 的
倍镜像“接收距离”时，得出 ，从而求得临界 的值，进而得出结果．
【详解】（1）解：①设线段 关于直线 的 倍镜像的线段为 ，
∵ 倍镜像即 ，
∴直线 即为直线 ，
点 ， 关于直线 的对称点为 ， ，
到 轴最大距离为 ，到 轴最大距离为 ，
故线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”为 ；
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学科网（北京）股份有限公司②点 ， 关于直线 的对称点为 ， ，
∵线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”是3，
∴ ，得 ，
解得 ，
故答案为：① ；② ．
（2）解：如下图：
∵ ， ， ，
∵ 、 距离 轴的距离之差是 ，
∴ 、 关于直线 的 倍镜像 、 的距离之差也是 ，
∴ ， 关于直线 的m倍镜像“接收距离”的最小值是4，
故答案为： ．
（3）解：如图：
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学科网（北京）股份有限公司点 ， 关于直线 的对称点为 ， ，
点 ， 关于直线 的对称点为 ， ，
当点 ， ，线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”等于线段 关于直线 的 倍
镜像“接收距离”时，
，
解得 ，
当点 ， ，线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”小于线段 关于直线 的 倍
镜像“接收距离”时，
∴ ．
3．
【答案】(1)3，
(2) ，
(3) ， ，
【分析】本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值．
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学科网（北京）股份有限公司（1）先将式子变形为 ，由于 ，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和 ，有
，计算 的值，进而得到 的最小值，再根据 求出最大值，同时确定等
号成立时x的值；
（2）先将式子变形为 ，由于 ，根据完全平方式的非负性，对于正实数 和
，有 ，计算 的值，进而得到 的最小
值，再根据 求出最小值，同时确定等号成立时x的值；
（3）先对M进行变形，将分子 凑成含有 的形式，由于 ，根据完全平方式
的非负性，对于正实数 ，有 ，计算
的值，进而得到 的最小值，再根据 求出最小值，当
且仅当 ， ，且 ，此时确定等号成立时x的值．
【详解】（1）解：由题意知， ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：3， ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）解： ，
当且仅当 ，即 ，解得 ，
∵ ，
∴ 时， 的最小值为 ．
（3）解：
,
当 时， ．
当且仅当 ， ，且 ，
∴ ， ．
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学科网（北京）股份有限公司
