文档内容
微专题 03 一元一次不等式（组）的实际应用
题型 1 分配问题
分配问题（“不空不满”型）：
将资源（如宿舍、车辆、物品）分配给不同对象时，出现“剩余但不够分”的情况（即“不空也不
满”），需通过不等式确定分配数量的范围。
题目中出现“不空也不满”“剩余不足”“不够分”等表述，需转化为“剩余量≥1且≤n－1”（n
为每对象分配量）。
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的
粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能
分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数．
【答案】8或9
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的
关键．
两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有 人包粽子，则表示出粽子总量为 个，第二次分配
时最后一个人的粽子数量为 个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于 个但少于个列出不等式组，求正整数解即可．
【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有 人．
由题意，得 ，
解得 ．
∵ 为正整数，
∴ 可取 或 ，
答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为 或 ．
2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、
乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y
元．
类别 甲种客车 乙种客车
载客量（人
45 30
辆）
租金（元 辆） 1000 800
(1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式．
(2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方
案．
【答案】(1) ( 且x为整数)
(2)租甲种客车2辆，乙种客车3辆
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意是解决问题的关键．
（1）根据题意得租乙种型号 辆客车，甲、乙两种型号的客车租金分别为1000元和800元，即可
列总费用解析式；
（2）根据去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，列不等式组，求出不等
式组解集，得到不等式组的整数解，再根据一次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：∵租用甲种客车x辆，
∴租用乙种客车 辆，
由题意得，总费用为
( 且x为整数)；（2）解：∵去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，
∴ ，
解得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴x的取值为2或3，
∵ 中 ，
∴y随x增大而增大，
∴当 时，总费用最低，
∴租甲种客车2辆，乙种客车 辆．
3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零
件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人
中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件．
(1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式；
(2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？
【答案】(1) （ ，且x为整数）
(2)至少应安排15名工人去制造乙种零件
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用，正确建立函数关系式是解题关
键．
（1）先求出有 名工人制造乙种零件，再根据利润计算公式即可得；
（2）根据 建立不等式，解不等式，从而求出 ，由此即可得．
【详解】（1）解：车间每天安排 名工人制造甲种零件，则有 名工人制造乙种零件，
则此车间每天所获利润 ，
∵ ，∴ ，
所以此车间每天所获利润 元与 名工人之间的函数表达式为 （ ，且x为整
数）．
（2）解：由题意得： ，即 ，
解得 ，
则 ，
答：至少应安排15名工人去制造乙种零件．
4．（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电
难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为 和
．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充
电桩共需要1万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有
几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过 ，在（2）的前提
下，若仅有1种方案可供选择，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元
(2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电
桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电
桩，37个地下充电桩；
(3)
【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个
地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可
列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资
金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之
可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案；
（3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围．
【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得：
，
解得： ；
答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元；
（2）解：设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，根据题意得：
，
解得： ，
又∵m为正整数，
∴m可以为20，21，22，23，
∴共有4种建造方案，
方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；
方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；
方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；
方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩；
（3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为 ；
选择方案2时新建充电桩的总占地面积为 ；
选择方案3时新建充电桩的总占地面积为 ；
选择方案4时新建充电桩的总占地面积为 ．
∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）
找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积．
5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，
B两种奖品的数量之比为 ．设购买A种奖品共 （ 为正整数）件．
(1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？
(2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的 和 ．
①此次须奖，共颁发了 两种奖品__________件．（请用含 的代数式表示）
②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班
有几位同学获得了B种奖品？
【答案】(1)A种奖品最多买了35件；
(2)① ；②36
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用．
（1）设购买A种奖品共 （x为正整数）件，则购买B种奖品共 （x为正整数）件，根据最初购买
的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大
整数值代入 中，即可求出结论；
（2）①设购买A种奖品共 （x为正整数）件，则购买B种奖品共 （x为正整数）件，利用颁发
A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发
A，B两种奖品的总数量；
②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过 件，可列出关于x的一元一次不等式
组，解之可得出x的取值范围，结合x， 均为正整数，可确定x的值，再将其代入 中，
即可求出结论．
【详解】（1）解：设购买A种奖品共 （x为正整数）件，则购买B种奖品共 （x为正整数）件，
根据题意得： ，
解得： ，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为7，∴ （件）．
答：A种奖品最多买了35件；
（2）解：①设购买A种奖品共 （x为正整数）件，则购买B种奖品共 （x为正整数）件，
∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品 （件）．
故答案为： ；
②根据题意得： ，
解得： ，
即 ，
又∵x， 均为正整数，
∴ ，
∴ ．
答：全班有36位同学获得了B种奖品．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、
乙两种图书作为奖品．已知购买一本甲种图书与一本乙种图书共花费80元，用120元购进甲种图书与
用200元购进乙种图书的数量相同．
(1)求甲、乙两种图书的单价分别为多少元/本；
(2)该班计划购进甲、乙两种图书共20本，其中乙种图书的数量不少于5本，同时此次购书的总资金不
超过800元，求该班共有哪几种购买方案．
【答案】(1)甲种30元/本，乙种50元/本
(2)该班共有6种购买方案．分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本；
方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本；
方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本；
方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本；
方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本；方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用．
（1）设甲种图书的单价为 元/本，则乙种图书的单价为 元/本，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设该班计划购进甲种图书 本，则计划购进乙种图书 本，根据题意列出不等式组，求出a
的取值范围，进而即可找出方案.
【详解】（1）解：设甲种图书的单价为 元/本，则乙种图书的单价为 元/本．
根据题意，得 ，解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为50元/本．
（2）解：设该班计划购进甲种图书 本，则计划购进乙种图书 本．
根据题意，得
解得 ．
∵a为正整数，
∴a的值为10，11，12，13，14，15，
∴该班共有6种购买方案．
分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本；
方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本；
方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本；
方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本；
方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本；
方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本．
题型 2 方案选择问题方案选择问题（优惠/套餐决策）：
给出两种或多种方案，需通过比较费用或收益，选择最优方案。
题目中出现“更划算”“最优方案”“选择哪种”等表述，需找到“费用相等的临界点”，再判断
区间。
1．（25-26八年级上·甘肃·期末）某校为开展“阳光体育”活动，计划购买一批篮球和足球．已知购买2
个篮球和3个足球共需380元；购买4个篮球和1个足球共需440元．
(1)求每个篮球和每个足球的售价；
(2)若学校计划用不超过2600元的资金购买篮球和足球共30个，且篮球数量不少于足球数量的2倍，请
问有哪几种购买方案？
【答案】(1)每个篮球 元，每个足球 元
(2)三种方案：篮球20个、足球10个；篮球21个、足球9个；篮球22个、足球8个
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意，建立方程组或
不等式组是解题的关键．
（1）设每个篮球的售价为 元，每个足球的售价为 元，根据“已知购买2个篮球和3个足球共需380
元；购买4个篮球和1个足球共需440元”建立二元一次方程组求解；
（2）设购买足球 个，则篮球为 个，根据总价款和两种球的数量关系列出关于 的一元一次
不等式组，求解不等式组的整数解，即可得出符合条件的购买方案．
【详解】（1）解：设每个篮球的售价为 元，每个足球的售价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
答：每个篮球的售价为 元，每个足球的售价为 元
（2）解：设购买足球 个，则篮球 个，
由题意得， ，
解得， ，
∵ 为正整数，
∴ 取8或9或10，∴有三种购买方案：
即篮球20个、足球10个；篮球21个、足球9个；篮球22个、足球8个．
2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电
难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要
万元；新建 个地上充电桩和 个地下充电桩需要 万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过 万元的资金新建 个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数
量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案．
【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元
(2)共有3种建造方案，见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找
准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设该小区新建 个地上充电桩需要 万元， 个地下充电桩需要 万元，根据题意列出二元一次方
程组求解即可；
（2）设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需 万元，一个地下充电桩需 万元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：该小区新建一个地上充电桩需 万元，一个地下充电桩需 万元；
（2）解：设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，
根据题意得： ，
解得： ，
又 m为正整数，
m可以为18，19，20，
共有3种建造方案，方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；
方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩．
3．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业
务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆 型冷链车、4辆 型冷链车，共花费68万元；
第二批购进2辆 型冷链车、3辆 型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购
经理估计：每辆A型冷链车进价约 万元，每辆B型冷链车进价约 万元．
(1)求 、 两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确；
(2)该企业计划再次采购 、 两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不
超过180万元，其中 型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案．
【答案】(1)A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确
(2)5种
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意列出方程组和不等
式组是解题的关键．
（1）设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元，根据两次采购的车辆数和花费列出二元
一次方程组，即可解答；
（2）设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车 辆，根据采购总费用不超过180万元，其中
型冷链车至少采购3辆，列出不等式组，结合a为整数，即可解答．
【详解】（1）解：设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元，
依题意得 ，
解得 ，
∵ ， ，
∴采购经理的估计正确，
答：A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确．
（2）解：设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车 辆，依题意得 ，
解得 ，
∵a为整数，
∴ ，4，5，6，7，
答：该企业有5种可行的采购方案．
4．（25-26八年级上·重庆·期末）小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计
方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平
开窗的 倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将
比推拉窗面积多出15平方米．
(1)请分别求出平开窗和推拉窗的单价；
(2)设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．
如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？
【答案】(1)平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元；
(2)一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案
二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方
程和不等式组是解题的关键．
（1）设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为 元，根据将10000元用于采购平开
窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米建立方程求解
即可；
（2）设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为 平方米，根据用于推拉窗的资金不低于4000
元且总费用不超预算建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元；（2）解：设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为 平方米，
由题意得， ，
解得 ，
∵a为整数，
∴a的值可以为25或26，
当 时， ，
当 时， ，
答：一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案
二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米．
5．（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与
毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3
条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．某商店提供以下两
种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，
超过400元的部分打6折．
(1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价；
(2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多
少？
【答案】(1)毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元
(2)学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设毛巾的单价是 元，扫把簸箕套装的单价是 元，根据“买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需
18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元”，可列出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可
得出结论；
（2）设学校应购进 套扫把簸箕套装，则购进 条毛巾，分别按两种优惠方案购买，根据“总费用
不超过480元，且购进扫把簸箕套装不少于50套”，可列出关于 的一元一次不等式组，解之可得出
的值（即购进扫把簸箕套装的数量），再将其代入 中，即可求出购进毛巾的数量．
【详解】（1）解：设毛巾的单价是 元，扫把簸箕套装的单价是 元，根据题意得： ，
解得 ．
答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元．
（2）解：设学校应购进 套扫把簸箕套装，则购进 条毛巾，
按方案1购买时，
，解得 ，
∴ （条）．
按方案2购买时，
，
∵该不等式组无解，∴不能按方案2购买．
答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾．
6．（25-26七年级上·河南周口·月考）为了丰富学生的课余生活，某校计划购买一批篮球和足球．已知购
买2个篮球和1个足球共需320元；购买3个篮球和2个足球共需540元．
(1)求每个篮球和每个足球的售价；
(2)该校计划购买篮球和足球共50个，总费用不超过5500元，那么最少需要购买多少个篮球？
(3)在（2）的条件下，若购买足球的数量不少于篮球数量的 ，请直接写出最省钱的购买方案．
【答案】(1)每个篮球100元，每个足球120元
(2)最少需要购买25个篮球
(3)最省钱的方案是购买篮球33个，足球17个
【分析】本题考查“二元一次方程组的应用”“一元一次不等式的应用”，根据题意找到数量关系列
出方程与不等式是解题关键．
（1）根据题意中两次购买的数量和对应金额，设未知数分别列方程，再求解方程组即可；
（2）设购买其中一个的数量为未知数，用未知数表示购买另一个的数量，根据题意列不等式并求解即
可；
（3）在（2）的条件下，根据数量列不等式，该不等式的解集与（2）中解出的不等式的解集中重合的部分即为满足条件的情况，从中找出最省钱的方案即可．
【详解】（1）解：设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元，
由题意，得 ，
解得 ，
∴每个篮球的售价为100元，每个足球的售价为120元；
（2）解：设购买m个篮球，则购买 个足球，
由题意，得 ，
解得 ，
∴最少需要购买25个篮球；
（3）解：由题意，得 ，
解得 ，
∴ ，
∵购买一个足球需要120元，购买一个篮球需要100元，足球的售价比篮球高，
∴当购买足球数量最少，篮球数量最多时，最省钱，
又 为整数， ，
∴ ，即 的最大值为33，
，
∴当 时，即购买33个篮球，购买17个足球时，为最省钱的购买方案．
题型 3 销售利润问题
销售利润问题：
涉及商品的成本、售价、销量及利润（或利润率），要求利润不低于某一值或售价不超过某一范
围。利润＝（售价－进价）×销量；利润率＝利润÷进价×100%。
1．（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表：
进价（元/台） 售价（元/台）
电饭煲
电压力锅
(1)一季度，厨具店购进这两种电器共 台，用去了 元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利
多少元？
(2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过 元的资金采购电饭煲和电压力锅共 台，且电
饭煲的数量不少于电压力锅的 ，问厨具店有哪几种进货方案？
【答案】(1) 元
(2)方案一：购买电饭煲 台，电压力锅 台；方案二：购买电饭煲 台，电压力锅 台；方案三：
购买电饭煲 台，电压力锅 台
【分析】（ ）设购买电饭煲 台，购买电压力锅 台，根据题意列方程组求出 的值，再列式求出
利润即可；
（ ）设购买电饭煲 台，则购买电压力锅 台，列出不等式组求出 的取值范围，进而即可求
解；
本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意
是解题的关键．
【详解】（1）解：设购买电饭煲 台，购买电压力锅 台，
由题意得， ，
解得 ，
∴购买电饭煲 台，电压力锅 台，
∴厨具店在该买卖中盈利为 元；
（2）解：设购买电饭煲 台，则购买电压力锅 台，由题意得， ，
解得 ，
∵ 是整数，
∴ 或 或 ，
∴有以下三种进货方案：
方案一：购买电饭煲 台，电压力锅 台；
方案二：购买电饭煲 台，电压力锅 台；
方案三：购买电饭煲 台，电压力锅 台．
2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）学校需要添置教师办公桌椅 、 两型共 套，已知 套 型桌椅
和 套 型桌椅共需 元， 套 型桌椅和 套 型桌椅共需 元．
(1)求 ， 两型桌椅的单价；
(2)若需要 型桌椅不少于 套， 型桌椅不少于 套，平均每套桌椅需要运费 元．求出总费用最
少的购置方案．
【答案】(1) 型桌椅的单价为 元， 型桌椅的单价为 元
(2)总费用最少的购置方案是购买 型桌椅 套， 型桌椅 套
【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，列
出方程组或不等式是解本题的关键．
（1）根据“2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，3套A型桌椅和2套B型桌椅共需3400元”，
建立方程组即可得出结论；
（2）根据题意建立函数关系式，由A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，确定出x的范围；
根据一次函数的性质，即可得出结论．
【详解】（1）设 型桌椅的单价为 元， 型桌椅的单价为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
答： 型桌椅的单价为 元， 型桌椅的单价为 元；（2）设购买 型桌椅 套，则购买 型桌椅 套，
根据题意得： ，
解得： ，
设总费用为 元，
根据题意得： ，
，
随 的增大而减小，
当 时，总费用最少，
此时， ，
答：总费用最少的购置方案是购买 型桌椅 套， 型桌椅 套．
3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）有 、 两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，
地可运出粮食80吨， 地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费
如下：从 基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从 基地运往甲、乙两中心的运
费分别为每吨200元和300元，设 地运送到甲中心粮食为 吨．
(1)设运送粮食的总费用为 元，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障 基地的运输效率，规定 地运往甲中心的粮
食吨数至少比 地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的 值．（ 为整数）
(3)按照题（2）的调运方案，当 取何值时，总运费 最低？最低总运费是多少元？
【答案】(1) ，其中
(2)48，49，50
(3)当 时，W最低，最低总运费为50600元
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键，掌握一次函数的
性质是解题的关键；
（1）根据题意求出总费用即可求出 关于 的函数关系式，再根据粮食的质量是非负数列关于x的不
等式组，即可求出自变量x的范围．
（2）根据题意列不等式组，再求出整数解即可．
（3）根据一次函数的性质可知， 时，W取得最小值，求出W的最小值即可．
【详解】（1）解：已知A地运送到甲中心粮食为x吨，A地可运出粮食80吨，则A地运往乙中心的粮食为 吨．
甲地需要粮食90吨，A地运往甲中心x吨，所以B地运往甲中心的粮食为 吨．
乙地需要粮食50吨，A地运往乙中心 吨， 所以B地运往乙中心的粮食为
吨．
根据题意，得： ，
根据题意，得： ，
解得 ．
W关于x的函数关系式为 ；
（2）解：根据题意，得 ，
解得 ．
x为整数，
x的值为48，49，50．
符合条件的x值为48，49，50；
（3）解：由（1）可知 ，
，
W随x的增大而增大．
，
当 时，W取得最小值．
此时 (元) ，
当 时，总运费W最低，最低总运费是50600元．
4．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商
品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每
件100元，乙商品售价为每件130元．
(1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？
(2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于6480元，问商店有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要
使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值．
【答案】(1)甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元
(2)有三种购买方案
(3)
【分析】（1）设乙商品单价为 元，根据题意得到等量关系列出分式方程，求解即可，
（2）设乙商品 件，根据题意得到不等量关系，列出不等式组，求解即可，
（3）根据题目所有进货方案获利都相同，即所得的值与 无关，从而判断 的系数为0，则可以得出
的取值．
本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系和不等量关系是解此题的
关键．
【详解】（1）解：乙商品的单价为 元，则甲商品的单价为 元，
根据题意得，
解得 ，
经检验 是方程的解，
则
答：甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元．
（2）解：购买乙商品 件，则甲商品 件，
根据题意得，
解得 ，
为正整数，
或 或 ，
则方案一购买乙商品48件，则甲商品102件，
方案二购买乙商品49件，则甲商品101件，
方案三购买乙商品50件，则甲商品100件．故商品共有三种购买方案．
（3）解：设商品总获利为 元，
所有进货方案获利都相同，
的取值与 无关，
则 的系数为0，
．
即答案为： ．
5．（25-26八年级上·安徽·月考）某商场购进足球和篮球共60个，篮球的数量不少于足球的2倍，付款总
额不过4500元，已知篮球和足球的进价分别为80元／个、50元／个，售价分别为120元／个、100元
／个．现购进x（x为整数）个篮球．
(1)求付款总额y和x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是多少？
(3)若足球的进价涨了m（ ）元／个，售价不变，将这60个球全部售出能获得的最大利润是550
元，求m的值．
【答案】(1)付款总额y和x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为
(2)该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是2600元
(3)
【分析】本题考查了解不等式组的应用，一次函数的最大利润，销售问题，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．
（1）先理解题意，再设购进x（x为整数）个篮球，则 个足球，根据篮球和足球的进价分别为
80元／个、50元／个，整理得 ，又因为篮球的数量不少于足球的2倍，付款总额不过
4500元，进行列出不等式组，再解得 ，即可作答．
（2）设商场将足球和篮球全部售出获得利润为w元，结合篮球和足球的进价分别为80元／个、50元／个，售价分别为120元／个、100元／个．现购进x（x为整数）个篮球，以及 进行列
式，再结合一次函数的性质进行分析，即可作答．
（3）与 （2）同理得 ，再进行分类讨论，且结合一次函数的性质进行分析，
即可作答．
【详解】（1）解：设购进x（x为整数）个篮球，则 个足球，
根据题意得： ，
篮球的数量不少于足球的2倍，付款总额不过4500元，
，
解得 ，
付款总额y和x之间的函数关系式为 ，
自变量x的取值范围为 ；
（2）解：设商场将足球和篮球全部售出获得利润为w元，
根据题意得： ，
， ，
当 时，w有最大值，最大值为 ，
该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是2600元；
（3）解：根据题意得：
，
当 ，即 时， 随着 的增大而增大，
∵ ，
当 时，w最大，
即 ，
解得 ；当 ，即 时， 随着 的增大而减小，
当 时，w最大，
即 ，
解得 （不成立，故舍去），
．
6．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区
计划采购 、 两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个 型垃圾箱与
3个 型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个 型垃圾箱的支出，比购买1个 型垃圾箱少20元．
(1)求每个 型垃圾箱和每个 型垃圾箱分别多少元？
(2)该小区计划用不多于1500元的资金购买 、 两种型号的垃圾箱共20个，且 型号垃圾箱个数不
多于 型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买 、 两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小
值．
【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元
(2)有三种购买方案：
方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，
购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490
元，总支出最小值为1350元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和
不等式组是解题的关键：
（1）设每个 型垃圾箱 元，每个 型垃圾箱 元，根据购买4个 型垃圾箱与3个 型垃圾箱，总
费用为560元；同时，购买2个 型垃圾箱的支出，比购买1个 型垃圾箱少20元，列出方程组进行
求解即可；
（2）设购买 个 型垃圾箱，则购买 个 型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解
即可．
【详解】（1）解：设每个 型垃圾箱 元，每个 型垃圾箱 元，
由题意得：解得： ；
答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元．
（2）设购买 个 型垃圾箱，则购买 个 型垃圾箱
由题意得：
解得：
又 为整数，
可取5，6，7，
有三种购买方案：
方案1：购买15个 型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出 （元）；
方案2：购买14个 型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出 （元）；
方案3：购买13个 型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出 （元）；
，
总支出最小值为1350元．
题型 4 行程问题
行程问题：
涉及速度、时间、路程的关系，要求速度或时间满足“至少”“不超过”等条件。
路程＝速度×时间（需注意单位统一，如分钟转小时）。
1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于 ）练习长跑，从起点出发按逆时
针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑 软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前 的记
录如图所示．小华一共跑了 且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（ ）A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了 ，跑第二圈
时标记了 ，跑第三圈时标记了 和 ，据此可知小明跑了 圈时，他的运动里程数小于 ，
设公园的环形跑道周长为 ，小明总共跑了 圈，然后列不等式求出 的取值范围，再根据 ，
代入求出 的取值即可．
【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了 ，跑第二圈时标记了 ，跑第三圈时标记了
和 ，
∴当小明跑了 圈时，他的运动里程数小于 ，
设公园的环形跑道周长为 ，小明总共跑了 圈，根据题意，得 ，
解得 ，
∴
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴整数 ，
即他一共跑的圈数是17，
故选：D．
2．（24-25八年级下·全国·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过
12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·陕西榆林·月考）数学实验小组发现无人机下降时，其离地面的高度 （米）是下降
时间 （秒）的一次函数．当降落时间为1秒时，无人机离地面的高度为1050米，当降落时间为3秒时，
无人机离地面的高度为750米．
(1)写出 与 之间的关系式及自变量 的取值范围；
(2)当降落时间为6秒时，无人机离地面的高度是多少米？
【答案】(1) ， ．
(2)300米
【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求关系式是解题关键．
（1）设关系式为 ，利用待定系数法代入已知数据求解即可；
（2）把 代入关系式即可求解，
【详解】（1）解：设无人机下降时，其离地面的高度 （米）是下降时间 （秒）的关系式为 ，
依题意得：
，解得： ，
∴无人机下降时离地面的高度 （米）是下降时间 （秒）的关系式 ，
∵ ，解得 ，
答：人机下降时离地面的高度 （米）是下降时间 （秒）的关系式 ，自变量 的取值
范围为 ．
（2）当 时， 米．
答：当降落时间为6秒时，无人机离地面的高度是300米．
4．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于 ）按
逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑 ，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前 的记录数据如图所示．
(1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______ （填“ ”“ ”或“ ”）；
(2)若 ，利用不等式的基本性质比较 与 的大小；
(3)如果李子宸同学跑到 时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的
关键．
（1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了 ，跑第二圈时标记了 ，跑第三圈时标记了 和
，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于 ；
（2）利用不等式的基本性质求解即可；
（3）设公园的环形跑道周长为 ，小明总共跑了 圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据
，代入求出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了 ，跑第二圈时标记了 ，跑第三圈时
标记了 和 ，
∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数 ；
（2）解：∵
∴
∴ ；
（3）解：设公园的环形跑道周长为 ，小明总共跑了 圈，由题意得： ，
解得： ，
∴ ，
∴
又∵李子宸同学跑到 时恰好回到起点，
，
∴ ，
∴ ，
∵x是正整数，
∴ ，即此时小明总共跑的圈数为7．
5．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按
原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线 所示；小李骑摩托车匀速从乙地
到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段 所示．
(1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时．
(2)小张出发几小时与小李相遇？
(3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案）
【答案】(1)
(2) 小时
(3)时间范围是【分析】本题考查一次函数的应用、一次函数的图象、一次函数的行程问、一元一次不等式组的应用
题等知识点，掌握时间、速度和路程之间的关系及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）根据图象以及速度与路程、时间得关系计算即可；
（2）分别写出线段 和 对应的函数关系式，当二人相遇时离乙地的距离相等，据此列关于x的方
程并求解即可；
（3）设小李a小时的时候出发，写出小张距乙地的距离y与时间x的关系式，求出它的图象与 交
点的横坐标，令二者交点的横坐标位于点D和E的横坐标之间，从而求出a的取值范围即可．
【详解】（1）解：小李到达甲地后，小张再经过 （小时）到达乙地，
小张骑自行车的速度是 （千米/时）．
故答案为：1，15．
（2）解：设线段 的解析式为 ，则
，解得： ，
所以线段 的解析式为 ，
设线段 的解析式为 ，则 ，解得： ，
所以线段 的解析式为 ，
当小张与小李相遇时，得 ，解得 ．
答：小张出发 小时与小李相遇．
（3）解：设小李a小时的时候出发，则小张距乙地的距离y与时间x的关系式为 ，
当 时，解得 ，
若小李想在小张修休息期间与他相遇，则 ，解得： ，
所以小李出发的时间范围是 ．
6．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图 ，A，B两地间的公路长 ，其中有一段长 的施工
道路 ，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路 其限速情况如图 所示 ，甲车始终以 的速度行驶，乙车
始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以 的速度行驶．
(1)若
①甲车出发 时，甲车行至______处，乙车行至______处； 填“M”“N”或“ 的中点”
②甲车行至 的中点时，乙车行驶的时间为______h
(2)已知两车在P处相遇．
①若P与N重合，求V的值；
②若P在非施工道路上 不与M，N重合 ，直接写出V的取值范围．
【答案】(1)①M，N；②
(2)① ，② 或
【分析】 ①根据题意，分别得到 ， ， ，，根据甲乙两车的速度，
即可得到两车行驶的距离，即可得到结果；
②根据甲车在 段和 段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发 ，得到
乙车所用时间；
①两车在P处相遇 与N重合 ，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度；
②分类讨论相遇点在 上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为 ，得到等式，表示
出速度，同时结合限速的要求，得到结果．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应
用，正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：① 依题意， ， ， ，
，甲车从A地出发，始终以 的速度行驶，
甲车2小时共行驶了 ，
甲车出发2小时，行至M处，
乙车从B地出发，比甲车晚出发 小时，以 的速度行驶，
乙车共行驶了 ，
乙车行至N处，
故答案为：M，N；
②甲车行至 的中点时，所用时间为： ，
此时乙车行驶所用时间： ，
故答案为： ；
（2）①两车在P处相遇，P与N重合，
甲车所用时间为 ，
此时乙车所用时间为 ，
乙车的速度为 ；
②P在非施工道路上 不与M，N重合 ，
若P在 上，设甲的行驶时间为t，则 ，
此时甲行驶路程为 ，乙行驶的路程为 ，
，
，
，解得 ，
限速为 ，
，
若P在 上，设甲的行驶时间为t， ，
则 ，
此时甲行驶路程为 ，乙行驶的路程为 ，
，
，
，
解得 ，
限速为 ，
，
综上所述 或 ．
题型 5 工程问题
工程问题：
涉及工程任务的分配与进度，通常给出总工作量、工作效率及时间限制，要求在“提前完成”“超
额完成”等条件下，求每天至少完成的工作量或所需的最少时间。
工作量＝工作效率×工作时间；总工作量＝已完成工作量＋未完成工作量。
1．（24-25六年级上·上海·月考）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行
大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要 天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多 ．
(1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？
(2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由
甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的 ，求乙工程队工作的
总天数．
【答案】(1) 天
(2) 天
【分析】（ ）由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需 天，设甲乙两队合作完成
这项工程需要 天，由题意列出一元一次不等式解答即可求解；
（ ）设乙工程队工作的总天数为 天，由题意列出方程即可求解；
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，乙工程队单独完成这项工程所需 天，
设甲乙两队合作完成这项工程需要 天，
由题意得， ，
解得 ，
答：甲乙两队合作完成这项工程最少需要 天；
（2）解：设乙工程队工作的总天数为 天，
由题意得， ，
解得 ，
答：乙工程队工作的总天数为 天．
2．（24-25七年级下·广东潮州·月考）根据以下素材，探索完成任务
某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品
素材1
的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路；
计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15
素材2
天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程；
若甲工程队每天的施工费用为0.6万元，甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有
素材3
任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元；
设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米．则甲工程队单独施工10天完成的工程量是
任务1
______米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是______米；（用含有字母的代数式表示）
任务2 求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？
任务3 求乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？
【答案】任务1： ， ；任务2：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；任务3：0.4
万元
【分析】本题主要考查列代数式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．
任务一：根据题意可得答案；
任务二：根据若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两
个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，列出方程组，解方程组求解即可；
任务三：设乙工程队每天的施工费用为a万元，根据甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过
12万元列不等式，解不等式可求解．
【详解】解：任务一：甲工程队单独施工10天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15天完成的
工程量是 米；
任务二：由题意得： ，
解得： ，
答：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；
任务三：设乙工程队每天的施工费用为a万元，
由题意得： ，
解得 ，
答：乙工程队每天的施工费用最多为0.4万元．
3．（23-24七年级下·广西河池·期末）综合与实践
某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；
准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10
天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米．
【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是_米；乙工程队单独施工15天完成的工程量
是_米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是_米；（用含有字母的代数式表示）
【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？
【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天
后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费
用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？
【答案】（1） ， ， ；（2）甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；（3）
0.4万元
【分析】本题主要考查列代数式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．
（1）根据题意可得答案；
（2）根据若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个
工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，列出方程组，解方程组求解即可；
（3）设乙工程队每天的施工费用为a万元，根据甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万
元列不等式，解不等式可求解．
【详解】解：（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15天完成的工
程量是 米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是 米，
故答案为： ； ； ；
（2）由题意得： ，
解得： ，
答：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；
（3）设乙工程队每天的施工费用为a万元，
由题意得： ，
解得 ，
答：乙工程队每天的施工费用最多为0.4万元．4．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两个工程队参与修建一小段长 的高速公路，甲、乙两队
一起修建12天可以完工．若甲队单独修建5天后乙队加入，两队再一起修建4天，刚好能够完成该工
程的一半．
(1)甲、乙两队每天各能修建多少米？
(2)若乙队参与修建该工程的时间不超过10天，则甲队至少需要修建多少天才能完成该工程？
【答案】(1) ，
(2)15天
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．
（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程即可；
（2）设甲队需要修建m天才能完成该工程，根据乙队参与修建该工程时间不超过10天列出不等式，
可求解．
【详解】（1）解：设甲队每天修建 ，乙队每天修建 ．
依题意，得 ，
解得 ，
故甲队每天能修建 ，乙队每天能修建 ；
（2）解：设甲队需要修建 天才能完成该工程．
依题意，得 ，
解得 ．
故甲队至少需要修建15天才能完成该工程．
5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某小区业主张先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队
完成此项完程．已知甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，张先生要求装修公司再派一
工程队与甲队共同工作，乙单独完成此项工程需30天．
(1)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天天可完成此项工程？
(2)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，张先生要求装修工程施工费用不能超过34000
元，甲工程队至多参加工作多少天？
【答案】(1)15天；
(2)20天．【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）设再合作 天可完成此项工程，因为甲工程队单独完成此项工程需50天，乙单独完成此项工程需
30天，列式 ，再解方程，即可作答．
（2）先设甲工程队参加工作 天，再表示乙参加的天数为 ，因为甲、乙工程队每天的施工费
分别为800元和1000元，张先生要求装修工程施工费用不能超过34000元，所以
，最后解不等式，即可作答．
【详解】（1）解：设再合作 天可完成此项工程
解得：
答：再合作15天可完成此项工程；
（2）解：设甲工程队参加工作 天，
则乙参加的天数为
解得：
答：甲工程队至多参加工作20天
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知A，B两个工程队合作修建某条60千米长的乡村路需要6个月
完成，若A工程队先做4个月，剩下的部分由B工程队做9个月可以完成．已知A工程队每月施工费用
为15万元，B工程队每月施工费用为8万元．
(1)A，B两个工程队每月分别可修建该条乡村路多少千米?
(2)若该乡村路需要在12个月内完工，如果A工程队先做m个月，剩下的部分由B工程队来完成．为了
保证该工程在要求工期内完成，A工程队至少做多少个月?
(3)在（2）的条件下，若该工程总费用不超过144万元，则该工程有哪几种施工方案?
【答案】(1)A，B两工程队每月分别可修建该条乡村路6千米，4千米
(2)A工程队至少做6个月(3)该工程一共有3种方案：①A工程队先做6个月，B工程队再做个6月；②A工程队先做7个月，B
工程队再做个4.5月；③A工程队先做8个月，B工程队再做3个月．
【分析】（1）设A，B两工程队每月分别可修建该条乡村路x千米，y千米，然后根据“A，B两个工
程队合作修建某条60千米长的乡村路需要6个月完成，若A工程队先做4个月，剩下的部分由B工程
队做9个月可以完成”列出方程组求解即可；
（2）根据该乡村路需要在12个月内竣工，即A，B两个施工队的工作时间不超过12个月，据此列出
不等式求解即可；
（3）根据费用不超过144万元结合（2）求出m的范围即可得到答案．
【详解】（1）解：设A，B两工程队每月分别可修建该条乡村路x千米，y千米，
由题意得， ，
解得 ，
答：A，B两工程队每月分别可修建该条乡村路6千米，4千米．
（2）解：由题意得 ，
解得 ，
∴m的最小值为6，
∴A工程队至少做6个月，
答：A工程队至少做6个月．
（3）解：由题意得 ，
解得 ，
∴ ，
∴ 或7或8，
则 或4.5或3，
∴该工程一共有3种方案：①A工程队先做6个月，B工程队再做个6月；②A工程队先做7个月，B
工程队再做个4.5月；③A工程队先做8个月，B工程队再做3个月．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列
出对应的方程组和不等式是解题的关键．题型 6 阶梯收费问题
阶梯收费问题（分段计费）：
费用随数量增加而分段递增，要求根据总费用或数量范围，求某一区间的最大值或最小值。
题目中出现“阶梯电价”“分段收费”“不超过a部分…超过a部分…”等表述，需分段建立不等
式，并注意各区间的临界值。
1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3
千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．
某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程 满足（ ）
A． B．7 C．7 D．7
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为
超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为 千米，根据不足1千米按
1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等
式组即可．
【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每
千米2元，
∴超过的千米数为 千米，
∵不足1千米按1千米计，
∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，
∴ ，
解得： ，
故选：D．
2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过6 3元；超过6 到12
（含）4元；超过12 到22 （含）5元；超过22 到32 （含）6元；超过32 部分，每增
加1元可再乘坐20 ．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为 ，用不
等式表示x的范围________．【答案】
【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32 部分，每增加1元可再乘坐20 ，从
而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可．
【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐： ；
8元可以最多乘坐： ；
9元可以最多乘坐： ；
∴ ；
故答案为： ．
3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下：
不超过 ，2元 人次；超过 到 （含）， 元/人次；
超过 到 （含），4元/人次；
超过 到 （含），5元/人次；
超过 到 （含），6元/人次；
超过 到 （含），7元/人次；
超过 到 （含），8元/人次；
超过 部分，票价每增加 元可再乘坐 ．
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了 元，设他乘坐地铁的里程为 ，用不等式表示 的范围为
______．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组
是解题的关键．根据“超过 部分，票价每增加 元可再乘坐 ”，结合一位乘客单次乘坐地铁
购票花费了 元，即按里程计算超过 元且不超过 元，可列出关于 的一元一次不等式组，解之即
可得出 的取值范围．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
4．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费
标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收 元/分钟，不足一分钟按一分钟计
算．某同学的爸爸洗车花费了 元，请你写出洗车的时间 的范围（单位：分钟）________．【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，
洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】解：由题意得： （分钟），
∵不足一分钟按一分钟计算，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
5．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方
式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8
立方米，则应交水费： （元）．
价目表
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/立方米
超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米
超出10立方米的部分 8元/立方米
(1)若小明家2月份用水 立方米，则应交水费________元；
(2)若小明家3月用水量为 立方米，当 时，小明家应交水费______元，当 时，小明家应
交水费_______元；（请用含 的代数式表示）
(3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家
3，4月份各用水多少立方米？
【答案】(1) ；
(2) ， ；(3)3月份用水 立方米，4月份用水 立方米．
【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌
握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键．
（1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和．
（2）当 时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当
时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按
8元/立方米计算，据此列代数式．
（3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解．
【详解】（1）解：应交水费： （元），
故答案为： ；
（2）解：当 时，
水费为 （元）
当 时，
水费为 （元）
故答案为： ， ；
（3）解：设3月份用水 立方米，则4月份用水 立方米，由题意得，
，即 ．
当 ，即 时，
水费为 ．
令 ，
解得 （舍去）．
若 ，即 ，
水费为 ．
令 ，
解得 ．
∴3月份用水 立方米，4月份用水 立方米．6．（25-26六年级上·上海·月考）已知 ，符号 表示大于或等于 的最小正整数，如：
(1)填空： _____； ____；若 ，则 的取值范围是____．
(2)某市的出租车收费标准规定如下： 以内（包括 ）收费 元，超过 后，每行驶 ，加
收 元（不足 的按 计算），用 表示所行的公里数， 表示行 公里应付车费，则乘车费可按
如下的公式计算：
当 （单位：千米）时， （元）；
当 （单位：千米）时， _____（元）（用符号 来取整）
(3)某乘客乘车后付费 元，求该乘客所行的路程 的取值范围．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解 的意义是解题的关键．
（1）根据符号 表示大于或等于 的最小正整数求解即可；
（2） 以内（包括 ）收费 元，超过 后，每行驶 ，加收 元（不足 的按 计
算），结合 的意义列式即可；
（3）把 代入 求解 的范围即可解答．
【详解】（1）解： 表示大于或等于 的最小正整数，
， ，
，，
故答案为： ， ， ；
（2）解：由题意得，当 （单位：千米）时， ，
故答案为： ；
（3）解：由题意得， ，
得 ，
故 ，
即 ，
故该乘客所行的路程 的取值范围： ．
