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微专题 03 三角形内的动点问题
题型 1 特殊三角形存在性问题
存在性问题：判断或求解动点位置使特定条件成立
定义：动点运动过程中，是否存在某一位置，使得形成的图形（如等腰三角形、直角三角形、全等三角
形）满足题目给定的条件。
常见场景：
等腰三角形存在性：动点运动过程中，是否存在点P，使得△PBC为等腰三角形（如PA＝PB、PA＝
AB、PB＝AB）；
直角三角形存在性：动点运动过程中，是否存在点P，使得△PBC为直角三角形（如∠P＝90°、∠B＝
90°、∠C＝90°）；
全等三角形存在性：两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使得两个三角形全等（如对应边相等、
对应角相等）。
解题方法：
分类讨论：根据等腰三角形的“腰”或直角三角形的“直角顶点”进行分类（如等腰三角形的三种情
况：PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB）；
建立方程：利用勾股定理、全等三角形的性质建立方程，求解动点的位置（如时间t）；
验证合理性：检查解是否在动点的运动范围内（如t≥0且不超过边的长度除以速度）。
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ， ．(1)求点 的坐标和 的值．
(2)若 是第一象限内的直线 上的一个动点，当 的面积是 时， 轴上是否存在一
点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（25-26八年级上·山东济南·期中）平面直角坐标系中，直线 交x轴于点 ，交y轴于点
，a、b满足 ．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)在射线 上是否存在点D，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，
请说明理由；
(3)如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作 交直线 于点N，
是否存在点M，使 ，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，其中
点C，D分别为直线l： 与x轴、y轴的交点．(1)求A点的坐标和k的值；
(2)在直线l上存在一点P，使得 求点P的坐标．
(3)点M是直线l上的一个动点，那么在x轴上是否存在点N，使得 为等腰直角三角形？若存在，
请直接写出点M以及对应的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（25-26八年级上·广西柳州·期中）定义：我们将形如 的函数称为一次函数
的“伴随函数”，例如： 是一次函数 的“伴随函数”．
(1)如图1，若一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 两点，其中 ．求此一
次函数的“伴随函数”表达式；
(2)若（1）中“伴随函数”的图象交 轴于点 ，取线段 中点 ，过点 作直线 轴，在直线
上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标并说明理由；
(3)在线段 上取一点 ，使得 的值最小．将点 向右平移一个单位长度得到点 ，连接
，在直线 上是否存在点 ，使得 是以 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 的坐标
并说明理由．
5．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角 满足 ，那么
我们称这个三角形为“近直角三角形”．(1)在 中， ，则 ___________“近直角三角形”（填“是”或“不
是”）；
(2)如图①，若 是“近直角三角形”， ， ，则 ___________；
(3)如图②，在 中， ，在 的延长线上是否存在点 ，使得
是“近直角三角形”？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由．
6．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象为直线 ，函数
的图象为直线 ，直线 交 轴于点 ，交直线 于点 ．
(1)求点 的坐标和直线 的函数表达式；
(2)请判断 是否为直角三角形？并说明理由；
(3)直线 上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
题型 2 动点求值问题
求值问题：计算具体的数量（如时间、长度、角度）：
定义：动点运动过程中，求某一时刻的时间、线段的长度或角度的大小。
常见场景：
求时间：动点P从A出发沿AB运动，求某个三角形为等腰三角形时的时间t；
求长度：动点P从A出发沿AB运动，求某条线段的长度（用含t的代数式表示）；
求角度：动点P从A出发沿AB运动，求某个角的大小（用含t的代数式表示）。
解题方法：
用t表示线段长度：根据动点的速度和时间，用含t的代数式表示线段长度；利用几何性质：利用三角形的内角和、勾股定理、全等三角形的性质建立方程，求解t或长度；
代入计算：将t代入方程，计算出具体的长度或角度。
1．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线 ， 平分 ，过点 作 交
于点 ；动点 、 同时从 点出发，其中动点 以 的速度沿射线 方向运动，动点 以
的速度沿射线 上运动；已知 ，设动点 ， 的运动时间为 ．
(1)试求 的度数；
(2)若 ，试求动点 ， 的运动时间 的值；
(3)试问当动点 ， 在运动过程中，是否存在某个时间 ，使得 与 全等？若存在，请求
出时间 的值；若不存在，请说出理由．
2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【问题发现】如图 ，点 为等边 边 上一动点，以
为边作等边 ，连接 ，猜想 与 的数量关系为______， ______．
【类比探究】 和 均为等腰直角三角形， ，如图 ，若点 为线段
上一动点，试判断 、 、 存在什么数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】在（2）的基础上，若点 为线段 延长线上一动点，如图 ，当 ， ，
则 的值是______．
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，直线 ， 平分 ，过点 作 交
于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以 的速度沿射线 运动，动点 以 的速度在直线 上运动．已知 ，设动点D，E的运动时间为 ．
(1) 的度数为________；
(2)当点D沿射线 运动时，若 ，求t的值；
(3)当动点D在直线 上运动时，是否存在某个时间t，使得 与 全等？若存在，请求出时
间t的值；若不存在，请说出理由．
4．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）综合与探究：在 中， ，点 从点 出发
以 的速度沿线段 向点 运动．
(1)如图1，设点 的运动时间为 ，当 ______ 时， 是直角三角形；
(2)如图2，若另一动点 从点 出发，沿线段 向点 运动，如果动点 ， 都以 的速度同时
出发，设运动时间为 ，求当 为何值时， 是直角三角形；
(3)如图3，若另一动点 从点 出发，沿射线 方向运动，连接 交 点 ，且动点 ， 都以
的速度同时出发．
①设运动时间为 ，那么当 为______ 时， 是等腰三角形？
②如图4，连接 在点 ， 的运动过程中，请证明 和 的面积始终相等．
5．（24-25八年级上·河北唐山·月考）如图，射线 ， 平分 ，过点 作 交
于点 ；动点 、 同时从 点出发，其中动点 以 的速度沿射线 方向运动，动点 以的速度在射线 上运动；已知 ，设动点 ， 的运动时间为 ．
(1) 的度数为________；
(2)若 ，试求动点 、 的运动时间 的值；
(3)试问当动点 、 在运动过程中，存在某个时间 ，使得 ，直接写出 的值．
6．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图， 为等腰三角形， ，
动点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；动点 同时从点 出发，沿 方向匀速运
动，速度为 ．连接 、 ，设运动时间为 ，请解答下列问题：
(1)当 时，求t的值；
(2)设 的面积为 ，求 与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理
由．
题型 3 定值问题
定值问题：证明或计算恒定不变的数量：
定义：动点运动过程中，某一数量（如角度、线段长度的比值）始终保持不变，证明其定值或计算其
值。
常见场景：角度定值：动点P在BC上运动，证明两角和为定值（利用三角形内角和）；
线段比值定值：动点P在BC上运动，证明两条线段比值为定值（利用整式的乘除进行化简）。
解题方法：
寻找不变量：在动点运动过程中，某些量是不变的（如等边三角形的内角60°、等腰三角形的腰长）；
利用几何定理：利用三角形内角和、全等三角形的性质证明定值；
特殊值验证：取动点运动过程中的特殊位置（如中点、端点），计算定值，再推广到一般情况。
1．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）如图1， 为等边三角形，动点D在边 上，动点E在
边 上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，
连接 交于点P，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间的数量关系是
______________________．
（2）如图2，若把（1）中的“动点D在边 上，动点E在边 上”改为“动点D在射线 上运
动，动点E在射线 上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图3，若把（1）中的“动点D在边 上”改为“动点D在射线 上运动”，连接 ，交
于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中， 与 之间存在怎样的数量关系？请
写出简要的证明过程．
2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线 与
交于点 ，与 轴交于点 ，且 ．(1)求直线 的解析式；
(2)线段 上是否存在点P，使得 将 的面积分为 两部分．若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由；
(3)射线 上是否存在点M，使得 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说
明理由．
3．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线 与
交于点 ，与y轴交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)点 为直线 的动点，若 ，请求出点 的坐标；
(3)直线 上是否存在一个点 ，使得 ？若存在，请直接写出点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在 中， ， 于点M，D是线段 上的动点，F是线段 上的动点（点D不与点M重合），运动过程中D始终为
中点．
(1)求证： ；
(2)将线段 绕点D逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，试判断 与 的位置关系，并
说明理由；
(3)将“D是线段 上的动点，F是线段 上的动点（点D不与点M重合）”条件变为“D是线段
上的动点，F是射线 上的动点（点D不与点M重合）”，其余条件不变．在（2）的条件下，
若直线 与 互相垂直，垂足为H．当 时，求 的值．
5．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）在等边 中，线段 为 边上的中线．动点D在直线
上时，以 为一边在 的下方作等边 ，连接 ．
(1)若点D在线段 上时（如图①），则 ____ （填“>”“<”或“=”）， _____度；
(2)设直线 与直线 的交点为O．
①当动点D在线段 的延长线上时（如图②），试判断 与 的数量关系，并说明理由；
②当动点D在线段 的延长线上时（如图②），求 的度数；
③当动点D在直线 上时，试判断 是否为定值？若是，请直接写出 的度数．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）已知 为等边三角形 的角平分线，动点E在直线 上（不与
点A重合），连接 ，以 为一边在 的下方作等边三角形 ，连接 ．(1)如图①，若点E在线段 上，且 ，则 _；
(2)如图②，若点E在 的反向延长线上，且直线 相交于点M．
①求 的度数；
②若 的边长为8，P，Q为直线 上的两个动点，且 ，连接 ，判断 的面
积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
