文档内容
专题 46 不等式选讲
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2021年全国甲（理科），第22题,10分 几何意义解绝对值不等式，求绝对值不等式中
2021年全国甲（文科），第22题,10分 参数的取值范围
2021年全国甲（理科），第22题,10分 画具体函数图形，求绝对值不等式中参数的取
2021年全国甲（文科），第22题,10分 值范围
2022年全国乙（理科），第22题,10分
三元基本不等式，利用基本不等式证明不等式
2022年全国乙（文科），第22题,10分
2022年全国甲（理科），第22题,10分
柯西不等式证明，利用基本不等式证明不等式
2022年全国甲（文科），第22题,10分
2023年全国乙（理科），第22题,10分
分类讨论绝对值不等式，求可行域的面积
2023年全国乙（文科），第22题,10分
2023年全国甲（理科），第22题,10分 三角形面积公式及其应用，分类讨论绝对值不
2023年全国甲（文科），第22题,10分 等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1．考查不等式的性质和不等式的解法。考查比较大小的方法，如作差法、作商法等；
2．考查不等式在实际问题中的应用，如最值问题、不等式恒成立问题等；
3．考查含参不等式的分类讨论和转化化归的思想方法；
【备考策略】1.掌握不等式的性质和不等式的解法。需要理解不等式的性质和不等式的解法，特别是对于
含参不等式的分类讨论和转化化归的思想方法需要重点掌握；
2.掌握比较大小的方法。比较大小是解决不等式问题的基础，需要掌握作差法、作商法等比
较大小的方法，并能够根据具体问题选择合适的方法进行比较；
3.需要熟悉常见不等式的解法和应用，如均值不等式、绝对值不等式、柯西不等式等，并能
够根据问题选择合适的不等式进行解决；
4.练习解题技巧。需要通过大量的练习和解题，提高解题技巧和思维能力。可以多做一些相
关的题目，熟悉各种题型和解题方法；
5.在解题时，需要注意细节和规范，如不等式的范围、不等式的等号成立条件等；
【命题预测】1.不等式的性质和不等式的解法是高考中常见的考点，可能会涉及对不等式基本性质的理解和应用，以及含参不等式的解法；
2.比较大小是解决不等式问题的基础，可能会涉及作差法、作商法等比较大小的方法，以及
利用这些方法解决实际问题；
3.可能会涉及均值不等式、绝对值不等式、柯西不等式等常见不等式的解法和应用，以及利
用这些不等式解决实际问题；
4.可能会涉及利用不等式解决实际问题，如最值问题、不等式恒成立问题等，以及利用转化
化归的思想方法解决实际问题；
5.可能会结合其他知识点进行综合考查，如与函数、数列、三角函数等知识点结合，考查学
生的综合能力和应用能力；
知识讲解
一、绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式 与 的解集：
不等式
( － a ， a )
(－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R
(2) 和 型不等式的解法：
① － c ax ＋ b c；
② ax ＋ b c 或 ax ＋ b － c；(3) 和 型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．
二、含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则 | a | － | b | |a±b| | a | ＋ | b |，当且仅当ab 0 时，等号成立．
(2)如果a，b，c是实数，那么 | a － c | | a － b | ＋ | b － c |，当且仅当 ( a － b )( b － c ) 0 时，等号成立．
三、基本不等式
基本不等式的常见结论：
（1） （ ），当且仅当 时，等号成立；
（2） （ ），当且仅当 时，等号成立；
（3） （ 同号， 时取等号）
（4） （ ），当且仅当 时，等号成立。
四、绝对值不等式
1、绝对值不等式的解法
解含有绝对值的不等式的常用方法有以下几种：公式法、平方法、零点分段法、数形结合法。
对于不同类型的题目，应当选择不同的方法。具体如下：
（1）最简单的绝对值不等式，例如 之类的，直接解即可。
或
（2） 和 型的不等式，直接解即可。
； 或
（3） 和 这种类型的绝对值不等式，可以利用两边平方的方法，去掉
绝对值，从而化成一元二次不等式，再利用一元二次不等式的解法解不等式。
xa xb c xa xb c
（4）一般形式的不等式，例如 ( c0 )和 ( c0 )型的不等式，
我们可以利用零点分段法、几何法、数形结合法解不等式。
2、含参绝对值不等式的解法
这类型的不等式应该首先将参数分类讨论，然后再按照常规的方法解不等式。
3、绝对值不等式中涉及的求参数取值范围的问题的常见接法
（1）参变分离法：对于较为简单的问题，可以采用分离参数法来解决；
（2）分类讨论法：对于不易参变分离的题，可采用分类讨论法；（3）数形结合法：近几年高考中，利用数形结合法求绝对值不等式中参数取值范围的问题频频出现，这
种方法只需画出图形，即可直观地达到解决问题的目的。
五、证明不等式的基本方法
证明不等式的基本方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，这些方法各自有其特点，高考一
般会把证明不等式的题与基本不等式相结合来考查，一般出现在考题的第（2）问中。
六、柯西不等式与排序不等式
柯西不等式是著名的法国数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789-1857)发现的,故命名为柯西不
等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式,除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外,柯西不等式
还常用于选择题、填空题中求最值问题,借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.其中向量形式和
三角形式在平时的学习过程中经常会接触到,很容易根据其几何意义去理解.我们要记住和使用其代数形式,
这也是本专题的重点,是后期解决某些题型问题的一种重要且便捷的方法和工具.
1．(柯西不等式的代数形式)二维:设 均为实数,则 ,当且仅当
时,等号成立.
三维:设 ,则 ,当且仅当b=0(i=1,2,3)
i
或存在一个实数 ,使得 时,等号成立.
推广到一般情形:设 ,
,当且仅当 或存在一
个实数 ,使得 时,等号成立.
2．(柯西不等式的向量形式)设 为平面上的两个向量,则 ,当且仅当 是零向量,或者存
在实数 ,使 时,等号成立.
3．(柯西不等式的三角形式)设 为任意实数,则 √x 1 2+ y 1 2 + √x 2 2+ y 2 2 ≥ √(x 1 -x 2 )2+ (y 1 - y 2 )2 ,当
且仅当 三点共线,且 在点 两旁时,等号成立.
七、三元基本不等式
（1） ， ，当且仅当 时，等号成立
（2） ， 当且仅当 时，等号成立
（3） ， 当且仅当 时，等号成立
考点一、基本不等式
1．已 均为正数，且 ，证明：
(1) ；(2) ．
【详解】（1）证明：由柯西不等式可得 ，
当且仅当 时取等号．
即 ，则原式成立；
（2）证明：
．
当且仅当 时取等号.
2．已知a，b，c是正实数，且 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【详解】（1）因为a，b，c是正实数，所以 ，所以 （当且仅当 时等
式成立），即 ；
（2）因为 ，
当且仅当 等号成立
所以 ，即 ．
3．已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 的解集非空，求 的取值范围.【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 时，原不等式转化为 ，无解.
当 时，原不等式转化为 ，解得 .
当 时，原不等式转化为 ，解得 .
综上所述，原不等式的解集为 ；
（2）由已知可得 ，
由不等式 的解集非空，可得 ，
则 ，
解得 ，故 的取值范围为 .
4．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）当 时， ，分 、 、 三种情况讨论求解即可；
（2）直接用绝对值的三角不等式可得答案.
【详解】（1）当 时， ，
所以当 时， ，由 可得 ， ，所以此时 ，
当 时， ，由 可得 ， ，所以此时 ，
当 时， ，由 可得 ， ，所以此时无解，
综上：
所以不等式 的解集为 ，
（2） ，
当 时等号成立，所以 的最小值为 .1．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)记 的最小值为M，若实数a，b满足 ，证明： ．
【详解】（1） ，
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， 显然成立，所以 ；
当 时， ，解得 ，所以 .
综上，不等式 的解集为 .
（2）证明：当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值为 ，则有 ，
于是
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
2．已知 ．
(1)若 ，解不等式 ；
(2)当 时， 的最小值为3，若正数m，n满足 ，证明： ．
【详解】（1）当 时，不等式为 ，
当 时， 可以化为 ，解得 ；
当 时， 可以化为 ，得 ，不等式不成立；
当 时， 可以化为 ，解得 ；综上,可得不等式 的解集为 .
（2）当 时，
当 时等号成立，由 可得 （舍）或 ，故 ,
由柯西不等式可得
，即得
当且仅当 时，即 时取等号．
3．已知正数a，b，c满足 ，证明： ．
【详解】证明：由柯西不等式有
,
又因为 ，
在此不等式两边同乘以2，再加上 ，得
．
所以 ，
即有 ，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
4．设 ， ，…， 为互不相等的正整数，证明： ．
【详解】证明：将 ， ，…， 从小到大排序，设为 ，其中 ， ，… 为1，2…，n的
一个排列，
因为 ， ，…， 互不相等，所以有 ．
因此对两组数 ， ，…， 和 ， ，… ，由排序不等式有
．考点二、绝对值不等式
绝对值不等式的性质定理的应用
1．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是________．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 .
变式训练1
2．已知实数a，b，c满足|a－c|＜|b|，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
【详解】∵ ，∴ ，∴ .
绝对值不等式的证明
3．设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：|＋|＜2.
【详解】依题意 ，又 ，∴ ，从而 .
因此 .故原不等式成立．
变式训练2
4．已知|x|＜，|y|＜，求证：|2x－3y |＜a.
【详解】∵ ，∴ ，∴ .故原不等式成立．
含绝对值不等式的解法
5．解下列不等式：
（1）|x2－x＋2|＞x2－3x－4.
（2）|x－5|＋|x＋3|≥10
【详解】（1）∵ ，∴ .
原不等式等价于 ，解之得 .
∴原不等式的解集为 ．（2）当 时，原不等式可化为 ，即， 此 时 不 等 式 的 解 集 为 ． 当 时 ， 原 不 等 式 可 化 为
，此时无解．
当 时，原不等式可化为 ，解得 ，此时不等式的解集为 ．
综上可知，原不等式的解集为
变式训练3
6．解不等式
（1）|x2－|＞2x.
（2）|2x－1|＜|x|＋1.
【详解】（1）①若 ，即 .∵ 对任意的 恒成立，∴ 恒成
立，
∴ 是原不等式的解．②若 ，即 .
∵ 是原不等式的解．
③若 ，即 . .
由 得 ；
由 ，得 .
∴ 是原不等式的解．
综上，原不等式的解集是 ．
（2）①当 时，原不等式可化为 解之得 ，与 矛盾，此时无解；
②当 时，原不等式可化为 ，解之得 ，
又∵ ，从而有 ；
③当 时，原不等式化为 ，∴ .因此 .
综合①②③知，原不等式的解集是 ．利用绝对值不等式求最值
7．(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．
【详解】(1) ， ， ，
的最小值为3.(2)
，即 的最大值为5.
变式训练4
8．(1)若关于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解，求d的取值范围．
(2)不等式|x＋|≥|a－2|＋siny对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围．
【详解】(1)∵ ，
∴关于 的不等式 有解时， .
(2)∵ ，∴ ，其最小值为2.
又∵ 的最大值为1，故不等式 恒成立时，有 ，解得 ．
绝对值不等式的综合应用
9．设函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<－1；
(2)设函数g(x)＝|x＋a|－4，且g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，求实数a的取值范围．
【详解】(1)∵函数
故由不等式 可得 或 解得 .
(2)函数 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
在同一个坐标系中画出函数 和 的图像，
如图所示．故当 时，若 时，则函数 在函数 的图像的下方，
在 上恒成立，求得 ，
故所求的实数 的取值范围为 ．
变式训练5
10．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
【详解】(1)当 时，
当 时，由 得 ，解得 ；
当 时， 无解；当 时，由 得 ，解得 .
所以 的解集为 ．
(2) .
当 时， .
由条件得 ，即 .
故满足条件的 的取值范围为 ．
1．解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．
【详解】①当 时，原不等式可化为 ，∴ ，不等式恒成立，∴ .
②当 时，原不等式可化为 ，∴ ，∴ ，
③当 时，原不等式可化为 ，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为 ．2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围．
【详解】∵ ，
要使 有解，可使 ，∴ ，∴ .
3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
【详解】设 当 时，y＝－3x－1>5；
当 时， ；
当 时， ，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.
因为不等式 对任意实数x恒成立，所以 .
解不等式 ，得 ，故a的取值范围为[－1，].
4．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
即 的最大值为6，所以 .
5．已知关于x的不等式|2x－m| 1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x的不等式|x－1|＋|x－3| m的解
集．
【详解】由不等式 ，可得 ，
∵不等式的整数解为2，∴ ，解得 .再由不等式仅有一个整数解2，∴ 本题即解不等式 ，
当x<1时，不等式等价于1－x＋3－x 4，解得x 0，不等式解集为{x|x 0}．
当1 x 3时，不等式等价于x－1＋3－x 4，解得 ，不等式解集为 .
当x>3时，不等式等价于x－1＋x－3 4，解得x 4，不等式解集为{x|x 4}．
综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．
6．已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.
(1)求不等式f(x) 3的解集；
(2)若f(x) |a－4|有解，求a的取值范围．
【详解】(1) ，当x 2时，有x＋3－(x－2) 3，解得x 2；
当 时，－x－3＋(x－2) 3，解得 ；当－30.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
【详解】(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x －1时，不等式化为x－4>0，无解；当－10，解得0，解得1 x<2.所以f(x)>1的解集为 .
(2)由题设可得， 所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别
为
，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为 ．
8．已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为，求a的值．
【详解】(1)当 时，
当 时，由 得 ，解得 ；
当 时， 无解；
当 时，由 得 ，解得 .
所以 的解集为 .(2)记 ，
则 由 ，解得 .
又已知 的解集为 ，所以 于是 .
9．已知a和b是任意非零实数．
(1)求的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．
【详解】(1) ，∴ 的最小值为4.
(2)若不等式 恒成立，即 恒成立，
故 .由(1)可知， 的最小值为4，∴ 的取值范围即
为不等式 的解集．解不等式得 ，故实数 的取值范围为 ．
10．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)－1，且当 时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
【详解】(1)当a＝－2时，不等式f(x)－1，
则－<，∴ 当 时， ，即
在 上恒成立．∴ ，即 ，∴ 的取值范围为 .
考点三、绝对值不等式恒成立求参
1．已知函数 , ．
（Ⅰ）当 时,求不等式 的解集；
（Ⅱ）设 ,且当 时，都有 ,求 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（I）当 时， ，
可化为： 或 或 解得：
故不等式
所求解集为： .（II）当 时，由 有：
不等式 可变形为： 故 对 恒成立，即 ，解得
而 ，故 . 的取值范围是：
.
2．已知函数 .（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）设函数 .当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）当 时， .由 ，解得 .
所以，不等式 的解集为 .
（Ⅱ）
（当且仅当 时取等号） （当且仅当 时取等号） .
综上，当 时， 有最小值 .故由题意得 ，解得 ，或 .
所以，实数 的取值范围为 .
1．已知函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若对于任意非零实数 以及任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） .（2） .
解析】（1）当 时，
【所以 的解集为 .
（2）由 ，知 ，即 ，
而 ， 所以 ，即 ，故实数 的取值范围为 .
2.
2．已知函数 .（1）求不等式 的解集；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）当 时， ，
∴ ，故 ；
当 时， ，∴ ，故 ；
当 时， ，∴ ，故 ；
综上可知： 的解集为 .
（2）由（1）知： ，
【解法一】如图所示：
作出函数 的图象，由图象知，当 时， ，解得： ，
∴实数 的取值范围为 .
【解法二】当 时， 恒成立，∴ ，当 时， 恒成立，
∴ ，当 时， 恒成立，∴ ，综上，实数 的取值范围为 .
考点四、绝对值三角不等式应用
1．已知函数 ．
(1)若 ，求 的解集；(2)若 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）分 ， 和 三种情况求解即可，
（2）问题转化为 ，令 ，然后利用绝对值三角不等式求出 的最
小值，使 ，从而可求出实数a的取值范围.
（1）
由题知 ，即 ．当 时， ．
当 时， ，解得 ， ；
当 时， ，恒成立， ；
当 时， ，解得 ， ， 的解集为 ．
（2）由 ，即 ．
令 ，
，当且仅当 时等号成立，
， ，∴ ，
解得 或 ， 实数a的取值范围为 ．
2．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）分 ， ， 不同范围讨论，分别求解即可得到结果；
（2）根据题意转化为求 ，即可得到 ，求解不等式即可得到结果.
【详解】（1）由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ；
当 时，由 ，得 ；
当 时，由 ，得 ，
综上所述，不等式 的解集为
（2）不等式 ，即为 ，
而 ，所以 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是
1．已知函数 ．
(1)若 ，求 的解集；(2)若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）将函数 去绝对值，转为分段函数，即可求解.
（2）不等式 ，即转化为 ，利用绝对值三角不等式化简，求得函数 的最小值即可
求解.
（1）当 时， ，
当 时，由 ，解得 ，当 时，由 ，解得 .
故 的解集为 .
（2）当 时， 恒成立，
故 ，又 ，即 ，故 ，所以 的取值范围为 .
2．已知 ．
(1)当 时，求 的解集；
(2)若 的解集包含 ，求a的取值范围．
【答案】(1) ．(2) ．
【分析】（1）通过讨论 的范围解不等式.
（2）结合 的解集包含 来化简不等式，进而解出不等式，再利用解集包含 求出a的取值
范围.
【详解】（1）当 时， 当 时，不等式为 ，解得 ，故
；
当 时，不等式为 ，解得 ，无解；
当 时，不等式为 ，解得 ，故 ，
综上所述，不等式的解集为 ．故答案为： .
（2）
的解集包含 ，即 在 上成立，
即 的解集包含 ， 即 ，解得 ，
由已知可得 解得 ，
所以 的取值范围为 ．考点五、绝对值不等式给解集求参数
1．已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数a的范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值号，即可解得；（2）利用分离参数法得到 对
恒成立，即可求解.
【详解】（1）由已知 .
当 时， ，此时无解；
当 时， ，此时取 ；
当 时， ，此时取 .
综上可得不等式 的解集为 .
（2）由题意可得 对 恒成立，
即 对 恒成立，
所以当 时， ，故 .
2．已知函数 .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）分段讨论x的取值范围，脱掉绝对值符号，解不等式组，求得答案;
（2）将 化为 ，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，即可求
得答案.
（1）当 时，不等式 ，即 ，
所以 或 ,即得 或 ,解得 或 ,
所以不等式 的解集是 .
（2）因为 对任意的 恒成立，即 对任意的 恒成立，
即 ，即 ，故只要 且 对任意的 恒成立即可.
因为 ， ，当且仅当 时，即 时等号成立，所以 .
令 ，则 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
1． ．
(1) 时，解不等式 ；
(2)若区间 是不等式 的解集的子集，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）分类讨论去掉绝对值符号后解不等式；
（2）注意到 上可以脱去一个绝对值符号，此后分离参数转化为恒成立问题来做.
（1）当 时， 当 时，不等式 ，解得： 当
时，不等式 ，解得： 当 时，不等式 ，解得：
综上：不等式的解集为： .
（2）由题意得，不等式 在区间 上成立等价于： ，也等价于
在区间 上恒成立当 时， ，解得： 当 时，
，解得： 当 时， ，解得： 综上： 的取值范围为
2．已知函数 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ，使得不等式 成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）分 ， 和 三种情况讨论，去绝对值符号，再解不等式即可；
（2）令 ， ，使得不等式 成立，只需要 即可，分
和 两种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】（1）解：若 ， ，当 时， 恒成立，
当 时， 无解，
当 时， ，解得 ，
综上所述不等式 的解集为 ；
（2）解： ，使得不等式 成立，即 ，使得不等式 成立，
令 ，则只要 即可，当 时， ，则 ，所以 ，解得 ，
当 时， ，则 ，
所以 ，解得 ，综上所述实数a的取值范围为 .
考点六、绝对值不等式与均值不等式
1．已知函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若函数 的最大值为2，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2）最小值为 .
【分析】（1） 时不等式即 ，两边平方并化简得到 ，再解一元二次
不等式即可；
（2）先利用绝对值三角不等式求得 的最大值，即得 ，再利用“1”的妙用拼凑
，利用基本不等式求解 最小值即可.
【详解】解：（1）当 时， 即 ，
两边平方得
即 ，解得 故不等式的解集为 ；
（2）函数
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立 ，
即 时， 最大值为 ，
又因为函数 的最大值为2， ，即 ，
，
当且仅当 即 ， 取等号， 的最小值为 .
2．已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当 时，函数 的最小值为 ， （ ），求 的最小值.
【答案】(1) (2)【详解】试题分析：（1）当 时，不等式 等价于 ，两边平方即可求得解集；
（2）对 分类讨论，去掉绝对值符号得函数 的解析式，可得函数 的最小值为 ，再结合基本不
等式即可求出 的最小值.
试题解析：（1）当 时，不等式为
两边平方得 ，解得 或
∴ 的解集为
（2）当 时， ，可得 ，
∴ .∴ ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
1．关于 的不等式 的解集为 ，其中 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)若正数 ， 满足 ，求 的最小值．
【答案】(1) ， ；(2)4.
【分析】(1)把不等式化成一元二次不等式，再借助一元二次方程列式计算作答.
(2)利用(1)的结论结合“1”的妙用计算作答.
(1)依题意，不等式 化为： ，而 ，则 是方程 的
二根，且 ，
因此， 且 ，解 得 或 ，
当 时， ，符合题意，当 时， 不符合题意，
所以 ， .
(2)由(1)知， ， ，而 ，
则有 ，当且仅当 时取“=”，
由 解得： ，所以当 时， 取最小值4.
2．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；(2)设函数 的最小值为M，若正数a，b，c满足 ，证明 ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据 的取值分类讨论，分段求解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式求得 ，再根据基本不等式即可证明.
【详解】（1）当 时， 即 ，解得 ，不等式解集为 ；
当 时， 即 ，不等式解集为空集；
当 时， 即 ，解得 ，不等式解集为 ；
综上所述， 的解集为 .
（2） ，当且仅当 ，即 时取得等号，故 ；
则 ，又 ，
则 ，
又 ，当且仅当 时取得等号；
，当且仅当 时取得等号；
，当且仅当 时取得等号；
故 ，
当且仅当 ，且 ，即 时取得等号.
故 ， 时取得等号.
考点七、柯西不等式型证明
1．设 、 、 为正实数，且 .
(1)证明： ；
(2)证明： ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得出 ，结合基本不等式可证得 ；（2）利用柯西不等式可得出 ，即可证
得结论成立.
【详解】（1）证明：因为 、 、 为正实数，
由基本不等式可得 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，故 .
（2）证明：由柯西不等式可得 ，
所以， ，
当且仅当 时，即当 ， ， 时，等号成立，
故 .
2．已知正数a，b，c，d满足 ，证明：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式证明；（2）由柯西不等式证明.
（1）因为 ， ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
又正数a，b，c，d满足 ，所以 .
（2）因为正数a，b，c，d满足 ，
所以由柯西不等式，可得
，
当且仅当 ， 时，等号成立，
故 .
1．已知 ，且 .（1）求 的最大值；
（2）若 ，证明： ．
【答案】（1） .（2）证明见解析
【分析】（1）对 作平方,可得 ,进而利用均值不等式求
解即可；
（2）利用柯西不等式可得 ,由 , 可得 ,
,则 ,进而求解即可.
【详解】（1）解:
,
当且仅当 ,即 时等号成立,
所以 的最大值为 .
（2）证明:因为 , ,
所以 , ,
,当且仅当 时等号成立,
则有 ,即 ,故 .
2．已知 ， ， ， ， ， 都是实数，且 ， .
(1)证明： ；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由绝对值的性质有 ，再每个式子用基本不等式放大可得；
（2）由已知 ，利用柯西不等式可得结论．
（1）证明：因为 ，又 ， ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
即 .
（2）证明：因为 ， ，
所以
，当且仅当 时取等号.
所以 .考点八、柯西不等式求最值与参数
1．对 ， 的最小值为 .
（1）若三个正数 、 、 满足 ，证明： ；
（2）若三个实数 、 、 满足 ，且 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得 ，再由基本不等式和累加法，即可得证；
（2）运用柯西不等式，化简变形，由不等式恒成立思想，并结合绝对值不等式的解法可得所求范围．
【详解】（1）由 ， ，
当且仅当 时取得等号，可得 ，
又 ， ，同理可得 ， ，
三式相加可得， ，
当且仅当 时，取得等号，
则 ；
（2） 恒成立，等价为 ，
由 ，
当且仅当 可取得等号．
则 ，即 ，解得 或 ，
即 的取值范围是 ．
2．（1）已知x，y为正实数．证明： ．
（2）对任意的正实数x，y，均有 成立，求k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）由 ，应用基本不等式求范围，即可证结论；
（2）应用柯西不等式有 ，结合 恒成立，即可求范围.
【详解】（1）由x，y为正实数，，
当且仅当 ，即 等号成立，
所以 得证.
（2）由柯西不等式有 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，又x，y为正实数，
所以 ，而 恒成立，所以 .
1．柯西不等式是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.具体表述如下：对任意实数
和 ，（ ， ），都
.
（1）证明 时柯西不等式成立，并指出等号成立的条件；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，当且仅当 时等号成立（2）
【分析】（1）构造函数，利用判别式证明即可；
（2）利用柯西不等式求出 ，即可求实数 的取值范围．
【详解】（1）构造函数
．
注意到 ，所以△ ，
即 ．
（其中等号成立当且仅当 ，即 ．
（2）解：由（1）可得 ，
，
对任意 ，不等式 恒成立， ．
2．已知 ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）若 成立，求 的取值范围．
【答案】(1) 最小值为 ．(2)
【分析】（1）利用柯西不等式即可求解；
（2）利用柯西不等式即可求解.
【详解】（1）由柯西不等式，
得：即： ，
，当且仅当 时等号成立，
故： 的最小值为 ．
（2）由柯西不等式，
得： ．
即： ，
当且仅当 时取等号，只需 ，
解得： ．
故： 的取值范围为：
考点九、三元不等式证明
1．已知a，b，c都是正数，且 1. 证明：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用三元均值不等式推理作答.
（2）利用均值不等式，结合不等式的性质推理作答.
【详解】（1）因为a，b，c都是正数，则有 ，当且仅当 时取等号，
所以 .
（2）因为 c都是正数，于是 ，当且仅当 时取等号，
因此 ，当且仅当 时取等号，
同理 ，当且仅当 时取等号，
，当且仅当 时取等号，
则 ，当且仅当 时取等号，
所以 .2．已知正数 满足 ．
(1)求证：
(2)若正数 满足 ，求证：
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）首先根据题意得到 ， ， ，再利用不等式的性质即可证明.
（2）首先根据三个正数均值不等式得到 ，再根据
证明即可.
【详解】（1）因为 为正数，所以
（当且仅当 时，取等号）．
同理可得 （当且仅当 时取等号），
（当且仅当 时取等号）． 因为正数 满足 ，
所以 （当且仅当 时取等号）
（2）因为正数 满足 ．
所以
因为正数 满足 ，
所以
=
（当且仅当 时取等号）．
1．已知 ，求证：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）利用三元基本不等式即可得证.
（2）利用基本不等式推得 ， ， ，再相加即可得证．
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 ，故 .
（2）因为 ，因为 ，当且仅当 ，即 取得等号，
同理可得 ，当且仅当 取得等号，
同理可得 ，当且仅当 取得等号，
上面三式相加可得 ，即 ，
当且仅当 ， ， 且 ，即 时，等号成立，
因为 ，所以 ，
所以 .
2．设 、 、 为正数，且 .证明：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由不等式的基本性质可得出 ，利用反比例函数在 上的单调性可证得结论成
立；
（2）利用基本不等式可得出 ， ， ，利用不等式的基本性质可证
得结论成立.
【详解】（1）证明：因为 、 、 为正数，由 可得 ，
所以， ，
因为函数 在 上为增函数，故 .
（2）证明：由基本不等式可得 ， ，
，
由不等式的基本性质可得
，
当且仅当 时，等号成立，故 .
考点十、利用三元不等式求最值1．已知 的最小值为 .
(1)求 的值；
(2)正实数 ， ， 满足 ，求 的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）将绝对值函数写成分段函数性质，结合各分段上的函数单调性及定义域求最小值，即可确
定m值.
（2）由（1）有 ，又 ，结合三元基本不等式可得
，即可求目标式最值，注意等号成立条件.
(1)
由题设， ，则 ，即 .
(2)由（1）知： ，
所以 ，
而 ，则 ，
∴ ，当且仅当 时取等号，所以 .
2．已知函数 的定义域为 ；
（1）求实数 的取值范围；
（2）设实数 为 的最大值，若实数 满足关系式 ，求 的最小
值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由题意可得 恒成立，令 ，去绝对值得出分段函数解析式，
求出 即可求解.
（2）由题意可得 ，等式化为
，再利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意可知 恒成立，令 ，
去绝对值可得： ，
由解析式可知 在 上单调递减；在 上单调递减；在 上单调递增，所以 ，
所以实数 的取值范围为 ；
（2）由（1）可知 ，所以 ，
，
当且仅当 ，即 等号成立，
所以 的最小值为 .
1．已知a，b，c为正数．
（1）证明 ；
（2）求 的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）利用基本不等式可证得命题成立；
（2）三次使用不等式且等号同时成立，可求得最小值．
【详解】（1）证明 a，b，c均为正数，
以上三式相加，得
即 ．（当且仅当 时等号成立）
（2）因为 ， ， ，
，
当且仅当 ，即时等号成立．
所以原式的最小值为 ．2．已知 都是正数，且 ，用 表示 的最大值，
.
（1）证明 ；
（2）求M的最小值.
【答案】(1)见解析；（2） .
【分析】 1 由已知 ，利用“1的代换”结合基本不等式证明 ；
2 由题意， ， ， ，把三个式子平方作和，再由均值不等式求最值．
【详解】 1 证明： ，
，
当且仅当 时等号成立，故 ；
2 解：由题意， ， ， ，
，
当且仅当 时上式等号成立．
，即M的最小值为 ．
考点十一、分析法证明不等式
1．已知a，b，c为正数，且满足 ．
(1)证明： ；
(2)证明：
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
【分析】（1）运用分析法，结合基本不等式进行证明即可；
（2）运用分析法，结合柯西不等式进行证明即可.
【详解】（1）∵a，b，c为正数，要证 ，∵
只需证 ，即证 ，即证
，
∵a，b，c为正数，∴ ，∴ ，
∴ ∴ ，∴ 当且仅当 时取等；
（2）要证 ，只需证 ，即证 ，
根据柯西不等式可 ，
当且仅当 取等号．从而 .
2．已知 ， ， .
(1)求 的范围；
(2)证明： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用基本不等式可求得 的取值范围；
（2）由已知可得出 ，令 ，将所证不等式等价转化为 ，通分、因式分解
后判断符号，即可证得结论成立.
（1）
解：因为 ， ，则 ，由基本不等式可得 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故 .
（2）
证明：因为 ，所以， ，
要证 ，即证 ，
即证 ，
令 ，即证 ，
因为
，故原不等式得证.
1．已知正数 ， ， 满足 ．
(1)求 的最大值；
(2)证明： ．
【答案】(1)1(2)证明见解析
【分析】（1）由三个正数的基本不等式进行求解；（2）凑项后利用基本不等式进行证明.
【详解】（1）由 ，当且仅当 时，取得等号．又 ，所以 ．
故当且仅当 时， 取得最大值1．
（2）证明：要证 ，需证 ．
因为
，
即 ，当且仅当 时取得等号．故 ．
2．设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.
(1)求集合A；
(2)若a，b，c∈A，求证： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【分析】(1)令 ，去绝对值符号化函数 为分段函数，解不等式 即可作答.
(2)根据给定条件利用分析法即可证得不等式成立.
(1)由已知，令 ，
则原不等式等价于 ，即 ，
当 时， ，不等式无解，
当 时， ，解得 ，则 ，
当 时， ，不等式无解，
综上得： .
(2)要证 >1，只需证 ，只需证 ，只需证 ，
只需证 ，由a，b，c∈A，得 ， ，
于是得 恒成立，而上述推理过程可逆，所以 .
考点十二、综合法证明不等式
1．已知 ，函数 的最小值为3．
(1)求 的值；
(2)求证： ．
【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】（1）利用绝对值不等式即可求出 ；
（2）利用乘“1”法求出 ，则 ，则 ，移项即可.
【详解】（1）因为 ,
当且仅当 时,等号成立,
又 ,所以 .
（2）由（1）知 ,又 ,
所以 ,
当且仅当 ，联立 ，即 时等号成立,
所以 ,则
即
2．已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得出 ，然后分 、 、 三种情况解不等式
，即可得出实数 的取值范围；
（2）由 可得出 ，分别证明出 ，
，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为 ，则 ，
由 可得 .
①当 时，则有 ，解得 ，此时 ；
②当 时，则有 ，解得 ，此时 ；
③当 时，则有 ，解得 ，此时 .
综上所述，当 时，实数 的取值范围是 .
（2）证明：要证 ，即证 .
当 时， ；
当 时， ；当 时， .
综上所述， ， ，
因为 ，其中 为锐角，且 ，
所以， ，
所以， 恒成立，
故 .
1．已知实数 ， ， 满足 ， ．
(1)证明： ．
(2)用 表示 ， ， 的最小值，证明： ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）利用综合法去证明 ；
（2）利用均值定理构造不等式去证明
(1)由 ，可知 ， ， 都不为 ，因为 ，所以
，因为 ，所以 ，即 ．
(2)不妨设 ，则 ，因为 ， ，所以 ， ，所以 ，
，
因为 ，所以 ，所以 ， ，即 ．
2．设函数 ．
（1）求函数 的最小值；
（2）若函数 的最小值为m，且正实数a，b，c满足 ，证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）去绝对值写出分段函数 ，作出函数图象即可求解.
（2）由（1）知 ，利用基本不等式即可证明.
【详解】解：（1）
作出 的图象，如图：∴当 时， 取最小值 ；
（2）由（1）知 ，且a，b，c为正实数，∴ ，即
，
当且仅当 时等号成立．
【基础过关】
1．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）当 时， ，分 、 、 三种情况讨论求解即可；
（2）直接用绝对值的三角不等式可得答案.
【详解】（1）当 时， ，
所以当 时， ，由 可得 ， ，所以此时 ，
当 时， ，由 可得 ， ，所以此时 ，
当 时， ，由 可得 ， ，所以此时无解，
综上：
所以不等式 的解集为 ，
（2） ，
当 时等号成立，
所以 的最小值为 .2．设 均不为零，且 ．
(1)证明： ；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2)3.
【分析】（1）根据给定条件，利用三数和的完全平方公式变形，再结合放缩法证明作答.
（2）利用柯西不等式求解最小值作答.
【详解】（1）依题意， ，且 均不为零，
则 ，
所以 .
（2）因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，因此 ，
所以 的最小值为3.
3．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)函数 最小值为 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；(2)12；
【分析】（1）对x的值分类讨论开绝对值可得 ，作出函数 的图形，结合图形
即可求解；
（2）由图可知 ，进而 ，根据柯西不等式计算即可求解.
【详解】（1）
时， ，
当 时， ，
当 时， ， ，由图可知：当 时， 或 ，
所以 的解集为 ；
（2）由图可知 ，∴ ，
由柯西不等式得
，
∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ 的最小值为12.
4．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）原不等式即为 ，分 、 、 三种情况解原不等式，综合可
得出原不等式的解集；
（2）当 时，原不等式可变形得出 或 ，利用参变量分离法可求
得实数 的取值范围.
【详解】（1）解：因为 ， ，即 ，
当 时， ，无解；
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， ，化简得 ，所以 ．
所以不等式 的解集为 ．
（2）解：因为 ， ，可得 ，
当 时， ，可化为 ，
所以 ，或 ，
即存在 ，使得 或 ．
若存在 ，使 成立，因为 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ；
若存在 ，使 成立，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 ．
综上，实数 的取值范围为 ．
5．已知函数 .(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 的解集非空，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）把 代入，分段讨论解不等式可得到结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得 ，再由 转化为 ，解出即可．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 时，原不等式转化为 ，无解.
当 时，原不等式转化为 ，解得 .
当 时，原不等式转化为 ，解得 .
综上所述，原不等式的解集为 ；
（2）由已知可得 ，
由不等式 的解集非空，可得 ，
则 ，解得 ，故 的取值范围为 .
6．（2023年四川省模拟数学理科试题）已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为 ，正数 满足 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，分类讨论，即可求解；
（2）由（1）求得函数 的最小值为2，得到 ，结合由柯西不等式，证得
，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 ，
当 时，可得 ，
令 ，即 ，解得 ；
当 时，可得 ，令 ，即 ，解得 ，此时无解；
当 时，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，
综上所述，不等式 的解集为 .
（2）解：由（1）可知， ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，所以函数 的最小值为2，所以 ，
所以 .
由柯西不等式，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，所以 .
7．（2023年新疆维吾尔自治区适应性检测理科数学试题）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)设 的最小值为 ，若正实数 满足 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）对 进行分类讨论，再结合函数单调性求解即可；
（2）由（1）可知 ，可得 ，再利用基本不等式证明即可.
【详解】（1）由题意可知 ，令 ，解得 或1，
又 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故可知 的解集为 ．
（2）由（1）可知， 的最小值 ，
则 ，所以 ，即 ．
因为 ， ，所以令 ， ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ， ，即 ， 时等号成立．
8．（2024届四川省适应性考试（零诊）文科数学试题）已知函数 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）由题意 ，去绝对值分类讨论即可.
（2）由题意 转换为 恒成立即可.
【详解】（1）当 时，
即 或 或 ，
解得 ，原不等式的解集为 .
（2） 的解集包含 ，即 恒成立，
即 ，
所以 ，所以 .
9．（2024届陕西省、青海省联考理科数学试题）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；(2)若存在 ，使得 成立，求m的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）利用分类讨论的方法化简不等式 ，由此求得不等式的解集.
（2）将 表示为分段函数的形式，求得 的最大值，由此列不等式来求得 的取值范围.
【详解】（1）
化简得 ．
当 时， ，
解得 ，所以 ；
当 时， ，
解得 ，此时无解；
当 时， ，
解得 ，所以 ．
综上所述，原不等式的解集为 ．
（2）因为 ，所以 ．
由题意知 ， ，
解得 ，
所以m的取值范围是 ．
10．（2023年河南省部分名校仿真模拟理科数学试题）已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）分别在 、 和 的情况下，去掉绝对值符号后解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式可求得 ，结合恒成立的不等式可得 ，解不等式即可求得
结果.
【详解】（1）当 时， ，当 时， ，解得： ；
当 时， ，不等式无解；
当 时， ，解得： ；
不等式 的解集为 .
（2） （当且仅当 时取
等号），
，即 或 ，解得： 或 ，
即实数 的取值范围为 .
11．（2023年四川省考前冲刺模拟（二）理科数学试题）已知 .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 时， 恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（2）分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得答案；
（2）去掉绝对值符号，化简不等式 ，结合一次函数单调性，解不等式即得答案.
【详解】（1）当 时，不等式 即 ，
当 时， ，解得 ，即 ；
当 时， ，解得 ，即 ；
当 时， ，解得 ，即 ；
故不等式 的解集为 .
（2） 时， 即 恒成立，即 恒成立，
由于 在 上单调递增，故 ，即得 ，满足 ，故12．（2023年河南省模拟文科数学试题）已知函数 ， ，且 的解集为 ．
(1)求 的值；
(2)设 、 、 为正数，且 ，求 的最大值．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）根据公式法解绝对值不等式，结合已知解集求参数值；
（2）由（1）得 ，应用柯西不等式求目标式的最大值，注意取值条件.
【详解】（1）由题设 的解集为 ，显然 ，
所以 ，即 ，可得 .
（2）由（1）知： ，
，
当且仅当 时等号成立，故 最大值为 .
13．（2023年四川省诊断性检测文科数学试题）已知a，b，c为正实数，且满足 .
(1)求 的最小值；
(2)求证： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析；
【分析】（1）由已知条件可得 ，代入 中后利用基本不等式可求出其最小值，
（2）利用柯西不等式证明即可
【详解】（1）因为 ，
所以
.
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.所以 的最小值为 .
（2）根据柯西不等式有 ，
所以 .
当且仅当 ，即 ， ， 时等号成立
14．（2023年河南省调研模拟文科数学试题）已知 ， ， 均为正数，若 ，求证：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用柯西不等式证明即可；
（2）利用基本不等式证明即可.
【详解】（1）
.
（当且仅当 等号成立）.
；
（2）
（当且仅当 时取等号）.
15．（2023年陕西省三模理科数学试题）已知函数 .
(1)当 时，解关于x的不等式 ；
(2)已知 ，若对任意 ，都存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）分 、 和 讨论即可；
（2）等价转化为 ，再分别求出值域，则得到不等式解出即可.
【详解】（1）当 时， ， 则 ，
当 时，由 ，得 ；
当 时， 恒成立；
当 时，由 ，得 .
综上， 的解集为 .
（2）∵对任意 R，都存在 R，使得 ，
∴ .
又 ，
当 时等号成立，
，∴ ，解得 或 ，
∴实数 的取值范围是 .
16．（2023年陕西省模拟演练理科数学试题）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）利用分类讨论法去掉绝对值，即可求出不等式的解集；
（2） 恒成立等价于 恒成立，求出 的最小值，然后解不等式即
可.
【详解】（1）因为所以 等价于 或 或 ，
解得 或 或 ，
所以 或 ，
所以不等式 的解集为 ．
（2）由（1）可知当 时， 有最小值，且为 ，
所以 恒成立等价于 恒成立，
所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ．
17．设函数 ，
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)对任意实数 ，证明 在 上恒成立.
【答案】(1) ；(2)证明见解析；
【分析】（1）分类讨论即可去绝对值求解，
（2）由三角绝对值不等式即可求解.
【详解】（1）当 时， 即
的解集是下列三个不等式组的解集的并集：
① ② ③
解①得：
解②得：
解③知，适合该不等式组的实数 不存在
不等式 的解集为
（2）由绝对值的三角形不等式，得：
又 对任意实数 ，不等式 在 上恒成立．
【能力提升】1．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)当 时，求证： .
【答案】(1) 或 ；(2)证明见解析；
【分析】（1）分 ， 三种情况解不等式即可求出答案；
（2）（方法一）当 时，要证 即证 ，由均值不等式即可证
明；（方法二）当 时，要证 即证 ，由二次函数的性质即可
证明.
【详解】（1）解：∵
∴ 等价于下列不等式组
① ；或② ；或③ .
①的解为 ；②无解；③的解为 .
∴不等式 的解集为 或 .
（2）证明：（方法一）当 时， .
∴要证 即证 ，即证 .
∵ .
∴ .
当且仅当 即 时取等号.
∴当 时， .
（方法二）当 时， .
∴要证 即证 ，即证 .
∵ 恒成立.且 时取等号.
∴当 时， .
2．已知函数 ．
(1)若 的最小值为1，求a的值；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1) 或 ；(2) ；【分析】（1）根据 结合取等条件即可得解；
（2）把 恒成立，转化为 恒成立，分情况讨论去绝对值符号，
从而可得出答案.
【详解】（1）因为 ，当且仅当 时取等号，
，当且仅当 时取等号，
所以 ，解得 或 ，
故a的值为 或 ；
（2）令 ，由题意知 恒成立，
当 且 时, ,要使得 恒成立,
则 可得
当 时,
因为 恒成立, 则 ,由图像可知
所以 ,所以
综上可知，实数a的取值范围为 ．
3．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)记 的最小值为M，若实数a，b满足 ，证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；
【分析】（1）将 写为分段函数，分类讨论求不等式解集即可；
（2）先求出分段函数 的最小值M，再利用基本不等式的调和型求得原式的最小值即可得证.
【详解】（1） ，
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， 显然成立，所以 ；
当 时， ，解得 ，所以 .
综上，不等式 的解集为 .（2）证明：当 时， ，
当 时， ，
故 的最小值为 ，则有 ，
于是
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
4．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ， ，求a的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】（1）根据绝对值的性质，分类讨论进行求解即可；
（2）根据绝对值的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可,
【详解】（1）因为 ，所以 ．
当 时，原不等式转化为 ，不等式无解．
当 时，原不等式转化为 ，解得 ．
当 时，原不等式转化为 ，解得 ．
综上所述，不等式 的解集为 ；
（2）因为 ，所以 恒成立等价于 ．
当 时，则 ，解得 ．
当 时，则 ，解得 ．
综上所述，a的取值范围为 ．
5．（2023年四川省仿真数学（文）试题）已知a，b，c为实数且 ．
(1)若a，b，c均为正数，当 时，求 的值；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）由基本不等式可推得 ，结合已知以及不等式等号成立的条件，即可列出关系式，进而得处答案；
（2）根据已知转化为求解 的最小值，进而根据柯西不等式，
即可得出答案.
【详解】（1）由基本不等式得： ， ， ．
以上三个式子相加得 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，此时 ， ， ，
所以 ．
（2）
，
，
当且仅当 ，即 ， ， 时，等号成立．
6．（2023年江西省质量检测理科数学试题）设 ， ， 均为正数，且 .证明：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
【分析】（1）由 ，且 为正数，得 ，再结合基本不等式即可证明；
（2）由（1）问结果， ，再结合柯西不等式即可证明.
【详解】（1）由 ，且 为正数，得 ，
由基本不等式， ，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 .（2）因为 ，
所以 ，
由柯西不等式可得：
，
当且仅当 时，等号成立，所以
7．（2023年甘肃省一模理科数学试题）已知函数 .
(1)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值；
(2)当 时，若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）分类讨论 和 ，解不等式即可得出答案；
（2）由 可得 ，设 ，即
，求解 即可得出答案.
【详解】（1）显然 .
当 时， 可化为 ，解得 ，
与 的解集为 不符.
当 时， 可化为 ，解得 ，
因为 的解集为 ，所以 ，解得 .
（2）当 时， ，
等价于 ，
设 ，则
因为存在 ，使得不等式 成立，所以 .
因为 ，所以 ，
解得 ，即实数 的取值范围是 .
8．（2023年陕西省校模考（一）数学（文）试题）已知函数 的最小值为6.
(1)求 的最大值；
(2)证明： .
【答案】(1) ；(2)证明详见解析；
【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得 ，然后利用基本不等式求得 的最大值.
（2）转化 ，然后利用二次函数的知识求得正确答案.
【详解】（1）依题意， ，
，
当且仅当 时等号成立.
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
（2）由（1）得 ，由 解得 .
则 ，
函数 的开口向上，对称轴为 ，
所以 ， ，
所以 ，即 .
9．（2023年陕西省模拟演练理科数学试题）已知不等式 恒成立，正数m的最小值为M．
(1)求M；
(2)若正数a，b，c满足 ，证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出m的范围，进而求得正数m的最小值；
（2）根据基本不等式调和型解法，已知两数和，求得两数倒数和的最小值，即可得证.
【详解】（1）因为 ，当且仅当 时，等号成立．
由题得 ，解得 或 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 ．
10．已知函数 .
(1)求证： ；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
【分析】（1）利用绝对值三角不等式与二次函数的性质计算可得；
（2）利用基本不等式证明即可.
【详解】（1）因为
，
当且仅当 时取等号，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
（2）因为 ， ，且 ，
又因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，又因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，当且仅当 时取等号.
11．（2023年四川省全真模拟考试（二）理科数学试题）设函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若函数 的最小值为 ，且正实数 满足 ，求 的
最小值．
【答案】(1) ；(2)4；
【分析】（1）分类讨论去绝对值解不等式可得结果；
（2）根据绝对值三角不等式求出 ，再根据柯西不等式可求出结果.
【详解】（1）当 时，不等式 ．
①当 时， ，解得 ，则 ；
②当 时， ，则 ；
③当 时， ，解得 ，则 ．
综上所述，原不等式的解集为 ．
（2）因为 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ， ，又 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ，又 ，则 ， 时等号成立，所以
的最小值为4．12．（2023年江西省一模数学（理）试题）已知 ，函数 的最大值为4，
(1)求实数m的值；
(2)设正数x，y，z满足 ，求 的最大值.
【答案】(1) ；(2) ；
【分析】（1）由三角绝对值不等式可得 ，由 求解即可；
（2）由题意可得 ，即 ，从而有
，再利用配方法求解即可.
【详解】（1） ，
∵ ，
∴ ，当 时取等号，
∴ ，又 的最大值为4，
∴ ，即 ；
（2）由（1）知 ，即 ，
，
由 ，
知 ，
即 ，
∴ 的最大值为 ，此时 ，
∴ 的最大值为 .
13．（2023年河南省三模文科数学试题）已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2) ，当 时， 恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1) ；(2) ；【分析】（1）解绝对值不等式得 ，利用正弦函数解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式把问题转化为 恒成立，然后分类讨论解不等式即可.
【详解】（1）当 时， ，
，即 ，所以 ，
所以 ，所以不等式的解集为 .
（2） ，即 ，
当 时， ，
所以有 ，
①当 时， ，所以 无解；
②当 时， ，解得 ；
综上可得 .
14．（2023年四川省全真模拟考试（一）文科数学试题）已知函数 ， ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2) ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当 时，由 可得 ，分 、 、 三种情况
解原不等式，综合即可得解；
（2）令 ，由题意可知， ，在同一平面直角坐标系中画出 与
的图象，求出当点 、 在函数 的图象上时 的值，数形结合可得出实数 的
取值范围.
【详解】（1）解：当 时，则 ，
由 可得 ，
当 时，则有 ，解得 ，此时 ；
当 时，则有 ，解得 ，此时 ；当 时，则有 ，解得 ，此时 .
综上所述，当 时，不等式 的解集为 .
（2）解：由 ，
令 。
由题意可知， ．且 ， ，
如下图，在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象．
①当点 在 的图象上时，
将点 代入 ，可得 ，
解得 或 （舍去）；
②当点 在 的图象上时，
将点 代入 ，可得 ，解得 ，
由数形结合可得， 或 ，故实数 的取值范围是 ．
15．（2023年江西省考前最后一卷（全国乙卷）数学（理）试题）已知函数 .
(1)画出 的图象；
(2)若函数 的最小值为m，x，y， 满足 ，求证： .
【答案】(1)图象见解析；(2)证明见解析；
【分析】（1）将 表示为分段函数的形式，进而画出 的图象.
（2）先求得 ，根据基本不等式证得不等式成立.
【详解】（1）依题意， ，
由此画出 的图象如下图所示：
（2）由（1）可知，当 时， 的取得最小值为 ，
所以 ，
故 ，
由于 ， ，，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 .
【真题感知】
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设 ，函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若曲线 与 轴所围成的图形的面积为2，求 ．
【答案】(1) ；(2)2；
【分析】（1）分 和 讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.
【详解】（1）若 ,则 ,即 ,解得 ,即 ,
若 ,则 ,解得 ,即 ,
综上,不等式的解集为 .
（2） .
画出 的草图,则 与 轴围成 ,
的高为 ,所以 ,
所以 ,解得 .2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 .
(1)求不等式 的解集；
(2)在直角坐标系 中，求不等式组 所确定的平面区域的面积.
【答案】(1) ；(2)8.
【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.
（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.
【详解】（1）依题意， ，
不等式 化为： 或 或 ，
解 ，得无解；解 ，得 ，解 ，得 ，因此
，
所以原不等式的解集为：
（2）作出不等式组 表示的平面区域，如图中阴影 ，由 ，解得 ，由 , 解得 ，又 ，
所以 的面积 .
3．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ；
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
【详解】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a，b，c均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2)若 ，则 ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；
【分析】（1）方法一：根据 ，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得 ，即可得到 ，再根据权方和不等式即可得证.
【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有 ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，所以 .
[方法二]：基本不等式
由 ， ， ，
，当且仅当 时，取等号，所以 .
（2）证明：因为 ， ， ， ，由（1）得 ，
即 ，所以 ，
由权方和不等式知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 .
【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；
方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．
5．已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；
（2）先判断 的取值范围，再代入分段函数解析式，得到 的具体不等式写法，解不等式即
可.
【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
（2）因为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数 ．（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将 向左平移可满足同角，求得 过 时 的
值可求.
【详解】（1）可得 ，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .
【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集;
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1） .（2） .
【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简 ，由此求得 的取值范围.
【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法
当 时， ， 表示数轴上的点到 和 的距离之和，
则 表示数轴上的点到 和 的距离之和不小于 ，
当 或 时所对应的数轴上的点到 所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到 所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是 或 ，
所以 的解集为 .
[方法二]【最优解】：零点分段求解法
当 时， ．当 时， ，解得 ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得 ．
综上， 的解集为 ．
（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值
依题意 ，即 恒成立，
，
当且仅当 时取等号，
,
故 ，所以 或 ，
解得 .
所以 的取值范围是 .
[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值
由 是数轴上数 表示的点到数 表示的点的距离，得 ，故 ，
下同解法一.
[方法三]：分类讨论+分段函数法
当 时，
则 ，此时 ，无解．
当 时，
则 ，此时，由 得， ．
综上， 的取值范围为 ．
[方法四]：函数图象法解不等式
由方法一求得 后，构造两个函数 和 ，
即 和 ，
如图，两个函数的图像有且仅有一个交点 ，
由图易知 ，则 ．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．
方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，
方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；
（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得 ，利用不等式恒成立的意义得到关于 的不等
式，然后利用绝对值的意义转化求解；
方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得 的最小值，最有简洁快速，为最优解法
方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求 最小值，要注意函数 中的各绝对值的
零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；
方法四与方法一的不同在于得到函数 的最小值后，构造关于 的函数，利用数形结合思想求解关于
的不等式.
