文档内容
微专题 03 一元一次不等式（组）的实际应用
题型 1 分配问题
分配问题（“不空不满”型）：
将资源（如宿舍、车辆、物品）分配给不同对象时，出现“剩余但不够分”的情况（即“不空也不
满”），需通过不等式确定分配数量的范围。
题目中出现“不空也不满”“剩余不足”“不够分”等表述，需转化为“剩余量≥1且≤n－1”（n
为每对象分配量）。
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的
粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能
分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数．
2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校计划租用5辆客车，送八年级师生去英雄纪念馆参观．现有甲、
乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y
元．
类别 甲种客车 乙种客车
载客量（人
45 30
辆）
租金（元 辆） 1000 800(1)求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式．
(2)若去参观英雄纪念馆的师生共180人，要求租车总费用不超过4600元，请写出总费用最低的租车方
案．
3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零
件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人
中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件．
(1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式；
(2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？
4．（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电
难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为 和
．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充
电桩共需要1万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有
几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过 ，在（2）的前提
下，若仅有1种方案可供选择，直接写出 的取值范围．
5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，
B两种奖品的数量之比为 ．设购买A种奖品共 （ 为正整数）件．
(1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？
(2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的 和 ．
①此次须奖，共颁发了 两种奖品__________件．（请用含 的代数式表示）
②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班
有几位同学获得了B种奖品？
6．（2025八年级上·全国·专题练习）为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、
乙两种图书作为奖品．已知购买一本甲种图书与一本乙种图书共花费80元，用120元购进甲种图书与
用200元购进乙种图书的数量相同．(1)求甲、乙两种图书的单价分别为多少元/本；
(2)该班计划购进甲、乙两种图书共20本，其中乙种图书的数量不少于5本，同时此次购书的总资金不
超过800元，求该班共有哪几种购买方案．
题型 2 方案选择问题
方案选择问题（优惠/套餐决策）：
给出两种或多种方案，需通过比较费用或收益，选择最优方案。
题目中出现“更划算”“最优方案”“选择哪种”等表述，需找到“费用相等的临界点”，再判断
区间。
1．（25-26八年级上·甘肃·期末）某校为开展“阳光体育”活动，计划购买一批篮球和足球．已知购买2
个篮球和3个足球共需380元；购买4个篮球和1个足球共需440元．
(1)求每个篮球和每个足球的售价；
(2)若学校计划用不超过2600元的资金购买篮球和足球共30个，且篮球数量不少于足球数量的2倍，请
问有哪几种购买方案？
2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电
难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要
万元；新建 个地上充电桩和 个地下充电桩需要 万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过 万元的资金新建 个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数
量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案．
3．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业
务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆 型冷链车、4辆 型冷链车，共花费68万元；
第二批购进2辆 型冷链车、3辆 型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购
经理估计：每辆A型冷链车进价约 万元，每辆B型冷链车进价约 万元．
(1)求 、 两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确；
(2)该企业计划再次采购 、 两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不
超过180万元，其中 型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案．
4．（25-26八年级上·重庆·期末）小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计
方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的 倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将
比推拉窗面积多出15平方米．
(1)请分别求出平开窗和推拉窗的单价；
(2)设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．
如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？
5．（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与
毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3
条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．某商店提供以下两
种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，
超过400元的部分打6折．
(1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价；
(2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多
少？
6．（25-26七年级上·河南周口·月考）为了丰富学生的课余生活，某校计划购买一批篮球和足球．已知购
买2个篮球和1个足球共需320元；购买3个篮球和2个足球共需540元．
(1)求每个篮球和每个足球的售价；
(2)该校计划购买篮球和足球共50个，总费用不超过5500元，那么最少需要购买多少个篮球？
(3)在（2）的条件下，若购买足球的数量不少于篮球数量的 ，请直接写出最省钱的购买方案．
题型 3 销售利润问题
销售利润问题：
涉及商品的成本、售价、销量及利润（或利润率），要求利润不低于某一值或售价不超过某一范
围。
利润＝（售价－进价）×销量；利润率＝利润÷进价×100%。
1．（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表：
进价（元/台） 售价（元/台）
电饭煲
电压力锅
(1)一季度，厨具店购进这两种电器共 台，用去了 元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？
(2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过 元的资金采购电饭煲和电压力锅共 台，且电
饭煲的数量不少于电压力锅的 ，问厨具店有哪几种进货方案？
2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）学校需要添置教师办公桌椅 、 两型共 套，已知 套 型桌椅
和 套 型桌椅共需 元， 套 型桌椅和 套 型桌椅共需 元．
(1)求 ， 两型桌椅的单价；
(2)若需要 型桌椅不少于 套， 型桌椅不少于 套，平均每套桌椅需要运费 元．求出总费用最
少的购置方案．
3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）有 、 两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，
地可运出粮食80吨， 地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费
如下：从 基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从 基地运往甲、乙两中心的运
费分别为每吨200元和300元，设 地运送到甲中心粮食为 吨．
(1)设运送粮食的总费用为 元，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障 基地的运输效率，规定 地运往甲中心的粮
食吨数至少比 地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的 值．（ 为整数）
(3)按照题（2）的调运方案，当 取何值时，总运费 最低？最低总运费是多少元？
4．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商
品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每
件100元，乙商品售价为每件130元．
(1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？
(2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少
于6480元，问商店有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要
使所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值．
5．（25-26八年级上·安徽·月考）某商场购进足球和篮球共60个，篮球的数量不少于足球的2倍，付款总
额不过4500元，已知篮球和足球的进价分别为80元／个、50元／个，售价分别为120元／个、100元
／个．现购进x（x为整数）个篮球．
(1)求付款总额y和x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是多少？(3)若足球的进价涨了m（ ）元／个，售价不变，将这60个球全部售出能获得的最大利润是550
元，求m的值．
6．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区
计划采购 、 两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个 型垃圾箱与
3个 型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个 型垃圾箱的支出，比购买1个 型垃圾箱少20元．
(1)求每个 型垃圾箱和每个 型垃圾箱分别多少元？
(2)该小区计划用不多于1500元的资金购买 、 两种型号的垃圾箱共20个，且 型号垃圾箱个数不
多于 型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买 、 两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小
值．
题型 4 行程问题
行程问题：
涉及速度、时间、路程的关系，要求速度或时间满足“至少”“不超过”等条件。
路程＝速度×时间（需注意单位统一，如分钟转小时）。
1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于 ）练习长跑，从起点出发按逆时
针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑 软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前 的记
录如图所示．小华一共跑了 且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（ ）
A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈
2．（24-25八年级下·全国·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过
12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________．
3．（24-25八年级上·陕西榆林·月考）数学实验小组发现无人机下降时，其离地面的高度 （米）是下降
时间 （秒）的一次函数．当降落时间为1秒时，无人机离地面的高度为1050米，当降落时间为3秒时，
无人机离地面的高度为750米．
(1)写出 与 之间的关系式及自变量 的取值范围；
(2)当降落时间为6秒时，无人机离地面的高度是多少米？4．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于 ）按
逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑 ，软件会在运动轨迹上标注
出相应的里程数．前 的记录数据如图所示．
(1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______ （填“ ”“ ”或“ ”）；
(2)若 ，利用不等式的基本性质比较 与 的大小；
(3)如果李子宸同学跑到 时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数．
5．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按
原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线 所示；小李骑摩托车匀速从乙地
到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段 所示．
(1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时．
(2)小张出发几小时与小李相遇？
(3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案）
6．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图 ，A，B两地间的公路长 ，其中有一段长 的施工
道路 ，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲
车晚出发 在非施工道路 其限速情况如图 所示 ，甲车始终以 的速度行驶，乙车
始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以 的速度行驶．(1)若
①甲车出发 时，甲车行至______处，乙车行至______处； 填“M”“N”或“ 的中点”
②甲车行至 的中点时，乙车行驶的时间为______h
(2)已知两车在P处相遇．
①若P与N重合，求V的值；
②若P在非施工道路上 不与M，N重合 ，直接写出V的取值范围．
题型 5 工程问题
工程问题：
涉及工程任务的分配与进度，通常给出总工作量、工作效率及时间限制，要求在“提前完成”“超
额完成”等条件下，求每天至少完成的工作量或所需的最少时间。
工作量＝工作效率×工作时间；总工作量＝已完成工作量＋未完成工作量。
1．（24-25六年级上·上海·月考）某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行
大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要 天，乙工程
队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多 ．
(1)若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？
(2)学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由
甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的 ，求乙工程队工作的
总天数．
2．（24-25七年级下·广东潮州·月考）根据以下素材，探索完成任务
某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品
素材1
的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路；计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15
素材2
天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程；
若甲工程队每天的施工费用为0.6万元，甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有
素材3 任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超
过12万元；
设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米．则甲工程队单独施工10天完成的工程量是
任务1
______米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是______米；（用含有字母的代数式表示）
任务2 求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？
任务3 求乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？
3．（23-24七年级下·广西河池·期末）综合与实践
某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；
准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10
天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完
成该工程，设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米．
【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是_米；乙工程队单独施工15天完成的工程量
是_米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是_米；（用含有字母的代数式表示）
【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？
【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天
后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费
用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？
4．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两个工程队参与修建一小段长 的高速公路，甲、乙两队
一起修建12天可以完工．若甲队单独修建5天后乙队加入，两队再一起修建4天，刚好能够完成该工
程的一半．
(1)甲、乙两队每天各能修建多少米？
(2)若乙队参与修建该工程的时间不超过10天，则甲队至少需要修建多少天才能完成该工程？
5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某小区业主张先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队
完成此项完程．已知甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，张先生要求装修公司再派一
工程队与甲队共同工作，乙单独完成此项工程需30天．
(1)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天天可完成此项工程？
(2)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，张先生要求装修工程施工费用不能超过34000
元，甲工程队至多参加工作多少天？
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知A，B两个工程队合作修建某条60千米长的乡村路需要6个月完成，若A工程队先做4个月，剩下的部分由B工程队做9个月可以完成．已知A工程队每月施工费用
为15万元，B工程队每月施工费用为8万元．
(1)A，B两个工程队每月分别可修建该条乡村路多少千米?
(2)若该乡村路需要在12个月内完工，如果A工程队先做m个月，剩下的部分由B工程队来完成．为了
保证该工程在要求工期内完成，A工程队至少做多少个月?
(3)在（2）的条件下，若该工程总费用不超过144万元，则该工程有哪几种施工方案?
题型 6 阶梯收费问题
阶梯收费问题（分段计费）：
费用随数量增加而分段递增，要求根据总费用或数量范围，求某一区间的最大值或最小值。
题目中出现“阶梯电价”“分段收费”“不超过a部分…超过a部分…”等表述，需分段建立不等
式，并注意各区间的临界值。
1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3
千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．
某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程 满足（ ）
A． B．7 C．7 D．7
2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过6 3元；超过6 到12
（含）4元；超过12 到22 （含）5元；超过22 到32 （含）6元；超过32 部分，每增
加1元可再乘坐20 ．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为 ，用不
等式表示x的范围________．
3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下：
不超过 ，2元 人次；超过 到 （含）， 元/人次；
超过 到 （含），4元/人次；
超过 到 （含），5元/人次；
超过 到 （含），6元/人次；
超过 到 （含），7元/人次；
超过 到 （含），8元/人次；
超过 部分，票价每增加 元可再乘坐 ．
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了 元，设他乘坐地铁的里程为 ，用不等式表示 的范围为______．
4．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费
标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收 元/分钟，不足一分钟按一分钟计
算．某同学的爸爸洗车花费了 元，请你写出洗车的时间 的范围（单位：分钟）________．
5．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方
式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8
立方米，则应交水费： （元）．
价目表
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/立方米
超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米
超出10立方米的部分 8元/立方米
(1)若小明家2月份用水 立方米，则应交水费________元；
(2)若小明家3月用水量为 立方米，当 时，小明家应交水费______元，当 时，小明家应
交水费_______元；（请用含 的代数式表示）
(3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家
3，4月份各用水多少立方米？
6．（25-26六年级上·上海·月考）已知 ，符号 表示大于或等于 的最小正整数，如：
(1)填空： _____； ____；若 ，则 的取值范围是____．(2)某市的出租车收费标准规定如下： 以内（包括 ）收费 元，超过 后，每行驶 ，加
收 元（不足 的按 计算），用 表示所行的公里数， 表示行 公里应付车费，则乘车费可按
如下的公式计算：
当 （单位：千米）时， （元）；
当 （单位：千米）时， _____（元）（用符号 来取整）
(3)某乘客乘车后付费 元，求该乘客所行的路程 的取值范围．
