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微专题 02 构造等腰三角形的方法
题型 1 作平行线
作平行线：通过构造平行线转移角度或长度，形成全等三角形，适用于等腰三角形或线段和差问题。
1. 原理：平行线导致同位角、内错角相等，结合已知边角条件构造全等。
2. 步骤：
（1）过某点作已知边的平行线，交另一条边于新点。
（2）利用平行线性质转移角或边的关系。
（3）结合截长补短或等量代换证明全等。
3. 基本模型
如图，已知在 中， ，D为线段 上一点，延长 ，在延长线上取一点F，使得
，连接 ，交 于点E，求证 .过点D作 ，交 于点G，则
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
在 和 中，
∴ （AAS）
∴
1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在 中， ，点 、 分别在边 和 上，且
， ，连接 ，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，则 的长度为（ ）A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模
型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点 作 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，可证 ，可得
， ，再根据平行线的性质得 ，即得 ，最后根
据三角形中位线的性质解答即可求解，
【详解】解：如图，过点 作 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ 是 中位线，
∴ ，
故选：A．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图： 中， 与 交于点G， ， ，
则 ________．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定及性质，过
作 交 于 ，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得
，由三角形中位线定理得 ，由 可判定 ，由全等三角
形的性质得 ，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理，相似三角形的
判定及性质，能构建全等三角形是解题的关键．
【详解】解：过 作 交 于 ，
，
，
，
，，
， ，
∴ ，
，
，
在 和 中
，
（ ），
，
，
，
，
；
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在 中， 是 边上的高，点 与点 关于直线
对称，点 是线段 上的点， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ．①依题意补全图形：
②用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析．
(2)①图见解析，② ．
【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题关键
是利用对称和全等转化线段关系从而证明结论．
（1）连接 ，结合对称可得 ，进而证明 ，可得 ，
由四边形内角和等于 即可得出结论，
（2）①按要求作图即可，②延长 交 于 ，连接 ，过点 作 交 于点 ，证明
，得出 ， ，进而证明 ，可得
，进而证明 ，再证明 ，利用等角对等边证
明 ，从而证明 ，由此得出结论．
【详解】（1）证明：连接 ，
由对称可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
（2）①如图，②延长 交 于 ，连接 ，过点 作 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
4．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，在 中，点 在 上，且 ，过点 作 交 于点 ．若
，求证： 平分 ．思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知
条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路：
思路1：考虑倍长 ，如图②，延长 至点 ，使 ，连接 ；
思路2：考虑倍长 ，如图③，延长 至点 ，使 ，连接 ．
(1)请挑选其中一种解题思路，给出证明．
(2)如图，在 中， 是 边上的中线，分别以 为直角边向外作等腰直角三角形，已知
，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及四边形内角和，等腰三角形的
判定和性质，利用倍长法作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）思路1：延长 至点 ，使 ，连接 ，证明 ，得到 ，
，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出 ，即可证明；思路2：延长
至点 ，使 ，连接 ，证明 ，得到 ， ，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出 ，即可证明；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ，证明 ，得到 ，
，进而推出 ， ，再证明 ，得到
，即可求出 的长．
【详解】（1）解：思路1：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
平分 ；
思路2：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
平分 ；
（2）解：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，
是 边上的中线，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
5．（24-25九年级上·江苏扬州·月考）【感知】如图①，在 中，点E为 的中点，连接 并延
长 的延长线于点F，求证：点D是 的中点；
【应用】如图②，在四边形 中， ， ，E是 的中点，
的延长线相交于点F，求 的长．
【扩展】如图③，在 中，点D是 的中点， ， 相交于点F，求 的值．【答案】【感知】见解析；【应用】 ；【扩展】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，根据
中点作辅助线构造全等三角形是解题关键．
感知:证 即可；
应用:由题意得 ， 垂直平分 ，推出 ;同理可证： ，
得 ，即可求解；
扩展:过点 作 ，同理可证： ，推出 ；证 ，得
，即可求解；
【详解】感知:证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即：点D是 的中点；
应用:解：∵ ，
∴ ；
∵E是 的中点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ；
同理可证： ，
∴ ，
∴ ；扩展:解：过点 作 ，如图所示：
同理可证： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
题型 2 作垂直
作垂线：利用垂直关系构造直角三角形，通过角平分线性质证明全等
1. 原理：角平分线上的点到两边距离相等；垂直线段可形成全等的直角三角形。
2. 步骤：
（1）从角平分线上的点向两边作垂线，形成相等距离。
（2）结合已知边角条件，利用SAS证明两个直角三角形全等。
3. 基本模型
如图，已知 平分 ，为点 D 射线 上一点，过点 D 作 ，垂足为 E，
，求 .过点D分别作 ，垂足为G
平分 ， ，
∵
∴
∴ .
1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）如图，在 中， ， ，以 为边，在
外作等边 ，作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，若 ，则 的长为______．
【答案】
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，利
用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有30°的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键．
根据等边 可得 ，再根据 可以得出 ，过点 作 于点
，进而证明 ，得 ， ．设 ，可得 ，，由 可得 ．从而求出 ，进而可得 ， ．
， ，在 中，由 ，即可求解．
【详解】解： 等边 ，
， ．
．
，
．
．
过点 作 于点 ，
．
，
．
在 和 中，
．
， ．
设 ，
，
， ．
在 中， ，
∴ ，
，即 ．
解得： ，∴ ， ．
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·陕西西安·月考）如图，在 中， ， ， ，点 为 中
点，点 为 上的动点，将点 绕点 逆时针旋转 得到点 ，连接 ，当线段 的最小时，则
________．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形判定与性质的综合应用，
过 作 于 ，易证 ，可得 ，再根据当 时， ，即
点 与点 重合，即可得出线段 的最小值为3，求出此时 ，又勾股定理即可求出此时
．
【详解】解：如图所示，过 作 于 ，则 ，
由旋转可得， ， ，
，在 和 中，
，
，
，
点 的运动轨迹是平行 的直线，
当点 与点 重合， 的值最小， 的最小值为3，
此时 ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题涉及了旋转的性质、三角形全等的性质和判定、点的运动轨迹、依据垂线段最短、勾股
定理解三角形，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据垂线段最短进行求解．
3．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中， ， 为 轴正半轴上一点，连
接 ，作 交 轴正半轴于点 ，求 ．
【答案】
【分析】本题主要考查图形与坐标、四边形的内角和等于 、全等三角形的判定与性质等知识，正
确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
先过点 作 轴交于点 ， 轴交于点 ，求出 、
，再通过 ，求出 、 、 、 的值，然后通过 ，推出，最后证明 ，通过等量代换求解即可．
【详解】解：过点 作 轴交于点 ， 轴交于点 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∵四边形的内角和为 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
．4．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，已知梯形 ， ， ，点 、 分别是边
和 上的动点（点 不与点 重合，点 不与点 重合），且 ， ，联
结 ．
(1)若 ，则点 到 的距离是_______；
(2)判断 的形状并加以证明；
(3)若 ，设 ， ，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
【答案】(1)
(2) 为等腰直角三角形，证明见解析
(3) （ ）
【分析】本题考查了四边形与三角形综合，主要涉及了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定
和性质、勾股定理等知识点，
（1）过点 做 ，垂足为 ，由 ， ，可得 ，从而证明
是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出 ；
（2）根据等边对等角可得 ， ，结合四边形内角和等于 ，可得
， 由此求出 ，进而即可判定 是等腰直角三角形，
（3）过点 做 ，垂足为 ，交 于 ，过点 作 ，垂足为 ，容易证明平行四边形 是矩形， ，结合由（1）得 ，再由（2）得
是等腰直角三角形，求出 ， ，在 中，根据
，求出y关于x的函数解析式．
∴ ．
【详解】（1）解：过点 做 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 到 的距离是 ，
（2）解：结论： 是等腰直角三角形，
证明：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
即 是等腰直角三角形，
（3）解：过点 做 ，垂足为 ，交 于 ，过点 作 ，垂足为 ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
由（1）得 ，
∴ ，
由（2）得 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵在矩形 中， ， ，
∴ ，∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，函数定义域为 ．
题型 3 利用模型补全图形
补全图形法：当题目中存在公共边或对称点时，通过连接已知点构造公共边或对称轴，形成全等三角
形。或者利用几何模型通过添加辅助线帮助证明。
1. 原理：利用公共边或对称性，通过SSS、SAS等判定条件证明全等。
2. 步骤：
（1）观察图形中是否存在未连接的已知点（如对称点或线段端点）；
（2）连接这些点形成公共边或对称线段；
（3）利用已知条件（如边相等、角相等）证明全等。
3. 基本模型
如图，已知在四边形 中， ，求证： .
如图，连接 ，则在 与 中，
∴ （SSS）
∴
1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图所示， 与 均为直角三角形，且
， ， ，E是 的中点，则 的长为（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答的
关键．延长 交 的延长线于点 ，先证 和 全等，得出 ， ，于是
求出 的长，在 中利用勾股定理求出 的长，在 中利用勾股定理求出 的长，
即可求出 的长．
【详解】解：延长 交 的延长线于点 ，
，
∴ ，
，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，，
， ，
，
，则 ，
，
，
，
， ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
故选：C．
2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图， 是等边 的高，点E、F分别为线段 ， 上
的动点，且 ，若 ，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，
构造全等三角形，把两条线段和转化为折线段，从而根据两点间线段最短解决问题．
过 作 ，取 ，连接 、 ，证明 ，得 ，根据两点之
间线段最短，可得 ，由此确定点E的位置，即当B、E、H三点共线时，
最小，最小值为 ．
【详解】解：过A作 ，取 ，连接 、 ，∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ 是高，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ．则 ， ．
∴ ，
∴ ，
当 、 、 三点共线时， 最小，最小值为 ，故最小值为 ．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）【问题背景】如图1， 和 都是等边三角形，求证：
；
【尝试运用】如图2，在 中， ， ，边 绕点C逆时针旋转 到 ，E
为边 上不与点C重合的点，且 ，M为 的中点，连接 ， ．求 的度数；
【拓展创新】如图3，在 和 中， ， ， ，连
接 ， ，点F，G分别为 ， 的中点，若 ，请直接写出线段 的长（用含a和
b的式子表示）．【答案】问题背景：见解析；尝试应用： ；拓展创新：
【分析】问题背景∶由 判定 ，由全等三角形的性质即可得证；
尝试应用：延长 至 ，使得 ，连接 ， ，由 判定 ，由全等三
角形的性质得 ， ，再由 判定 ，由全等三角形的性
质得 ，由等腰三角形的性质即可求解；
拓展创新：连接 并延长 至 ，使 ，连接 、 ，过 作 交于 ，由直角三
角形的特征及勾股定理得 ，由三角形中位线定
理得 ，由 可判定 ，由全等三角形的性质得 ， ，
同理可判定 ，由全等三角形的性质得 ，即可求解．
【详解】问题背景∶
∵ 和 都是等边三角形，
，
，
，
，
，
在 和 中，
（ ），
；
尝试应用：延长 至点 ，使得 ，连接 ， ，
， ，
，
边 绕点C逆时针旋转 到 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的中点，
，
在 和 中，
（ ），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，（ ），
，
；
拓展创新：如图，连接 并延长 至 ，使 ，连接 、 ，过 作 交于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
点F，G分别为 ， 的中点，
，
，
在 和 中
，
（ ），
，
，
，
，
，
，
，
，，
在 和 中，
，
（ ），
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形
中位线定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；能根据题意添加适当的辅助线构建全
等三角形，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
4．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）（1）阅读理解：如图①，在四边形 中， ，点E是
的中点，若 是 的平分线，试判断 之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长 交 的延长线于点F，易证 ，得到 ，
从而把 转化在一个三角形中即可判断： 之间的等量关系为 _；
（2）如图②，在 中， ， ， 是 的中线， ， ，且
，求 的长；
【答案】（1） ；（2）4
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中线的定义，等腰三角形的性
质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
（1）先判断出 ，得出 ，得出 ，进而得出 ，
，即可得出结论；（2）证明 ，则 ， ，可求 ，根据线段垂直平分线的性
质可得 的长；
【详解】解：（1）延长 交 的延长线于点F，
∵ ，
∴ ， ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）如图2，延长 ， 交于点F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴
5．（25-26九年级上·重庆·期中）在 中， ， ，点E是平面内一点，连接 ，
将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，
(1)如图1，若点E为 的中点， ，求点A到 的距离；
(2)如图2，若点E在 的内部，延长 交 于点F，当F为 中点时，求证：
；
(3)如图3，在第（1）问的条件下，点M是直线 上一点，连接 ，将 沿 翻折得到
，点P是直线 上一点，连接 ，将 绕点P顺时针旋转 得到 ，连接 ， ，
，当 的值最小时，直接写出 的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等，解题关键
是构造旋转全等模型转化线段的数量关系；
（1）根据勾股定理可得 ， ，再由旋转的性质得 ，再由勾股定理可得 ，设点A到 的距离为h，根据 ，即可求解；
（2）连接 ，并延长 至点G，使 ，连接 ，过点F作 于点F，交 延
长线于点H，证明 ，可得 ，再由 是等腰直角三角形，可得 ，
，证明 ，可得 ，即可求证；
（3）在 上取点 、 ，使 为等边三角形，构造旋转全等模型，可得 ，
， ，即点 在过点 与 成 夹角直线 运动，而 在以 为圆
心，以 为半径的半圆 上运动， 由此得出当 、 、 三点共线时，而且 时，
最小，根据含 直角三角形性质和勾股定理解三角形求出 ，
， 边的高 ，由此即可求出 的面积．
【详解】（1）解：∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∵将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
设点A到 的距离为h，
∵ ，
∴ ，解得： ，
即点A到 的距离为 ；
（2）证明：如图2，连接 ，并延长 至点G，使 ，连接 ，过点F作 于
点F，交 延长线于点H，
∵ ， ，点F为 的中点，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：如图3，在 上取点 、 ，使 为等边三角形，作 ，垂足为 ，连接 ，
，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当P在M右侧时，如图3，
由 绕点P顺时针旋转 得到 ，可知： ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在过点 与 成 夹角直线 运动，（当P在M左侧时，同理可证）
由折叠可知： ， 在以 为圆心，以 为半径的半圆 上运动，
∵ ，当 、 、 三点共线时等号成立，
又∵当 时， 最小， 最小，
∴当 、 、 三点共线时，而且 时， 最小，如图4，
此时 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
过点D作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等，解题关键
是构造旋转全等模型转化线段的数量关系．问题（2），通过构造等腰直角三角形得旋转全等模型；问题（3）通过构造等边三角形构造旋转全等模型得点 在过点 与 成 夹角直线 运动．
题型 4 倍长中线法
倍长中线法：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，则对
应角对应边都对应相等。这一方法常用于构造全等三角形。倍长中线法多用于构造全等三角形，从而证
明边与边之间的关系（通常用“SAS”证明）
【基本模型】如图，在 中， ，求中线 的取值范围。
延长 至点 ，使得 ，连接
∵ 为中线
∴
在 和 中
∴ （SAS）
∴
∵
∴
∴即
故中线 的取值范围为
1．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图， 与 均为直角三角形，且 ，
， ，点 是 的中点，则 的长为________．
【答案】 /
【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平
行）等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
通过延长线构造全等三角形 ，得出 的长度，结合勾股定理先求出 的长度，再求出
的长度，即可得出答案．
【详解】解：延长 交 的延长线于点 ，如下图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵点 为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在 中， ， ，点D为三角形内部一
点且 ，点E为 中点，连接 ， ，作 ，且 ，当
_____________时， 为直角三角形．
【答案】 或
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是通过构造全等三角形
转化角和边的关系．
分两种情况讨论 为直角三角形时的角度，利用全等三角形的性质和角度关系计算 的度数．
【详解】解：①当 时，如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，
,
,
在 和 中，
，,
，
点E为 中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中：
,
，
，
,
；
②当 时，如图，延长 到点 ，使 ，连接 、 ，同①理可得 ，
;
综上， 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
3．（25-26八年级上·北京海淀·月考）如图， 是 的中线， 是 的中线，且 ，求
证： ．
【答案】证明见详解
【分析】本题考查了三角形中线性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判
定与性质；解题的关键是通过中线倍长法构造全等三角形，利用等腰三角形和平行线的性质推导角与
边的关系，从而证明线段倍分关系．先构造倍长中线，再证得 ；得到对应角相等，
对应边相等，推导出 ，证得 ，转化线段关系，即可得到 ．
【详解】延长 至点 ，使得 ，连接
∵ 是 中线， 是 中线
∴ ，
∵在 和 中
∴
∴
又∵
∴ ， ，
∵ ，
∴ （同位角相等，两直线平行）
∴ （同旁内角互补）
∵ ，
∴ （等边对等角）
∴
∵ 点 共线（ 是 的中线），
∴ （平角定义）
∴
∵在 和 中
∴
∴
又∵
∴
4．（25-26八年级上·福建福州·月考）初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题：问题1：在 中， ， 是 中点，证明： ．
老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中
线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）请利用以上思路完成该证明．
问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些
财物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛
上有三棵树， ， ， 海盗头对一个水手说：“从 到 拉一根绳子，然后从 出发，沿着垂直于绳
子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手
说：”从 到 拉一根绳子，然后从 出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的
长度．这一点叫做2号地点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便
下令说：“伙计们，我们把财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了．
（2）设1号地点为点 ，2号地点为点 ，埋藏财宝的地点为点 ，连接 、 、 ，判断
的形状，并证明．
（3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树 被台风刮走
了，没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树 、 还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助
他找到藏宝的地点，并简要说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） 为等腰直角三角形，见解析；（3）作图步骤：连接 ，作
且 ，取 中点，即为藏宝地点 ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的三线合一性质，利用中点模型构造全等
三角形是解题关键．
（1）过点C作 ，交 延长线于点D，容易证明 ，由此得出 ，，进而可证明 ，即可得出 ，由此证明 ；
（2）过点 作 ，交 延长线于点 ，连接 ，同理可以证明 ，进而
可得 ， ，再利用五边形 内角和为 ，结合 ， ，
可得 ，而 ，由此证
明 ，进而可得 ，得出 ， ，由
可得 是等腰直角三角形，再由 是中点得出
，即可得出 为等腰直角三角形．
（3）构造同（2）的 是等腰直角三角形，取 的中点即可．
【详解】（1）如图，过点C作 ，交 延长线于点D，
∴ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ．，
（2） 为等腰直角三角形，
理由如下：
过点 作 ，交 延长线于点 ，连接∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵五边形 内角和为 ，即： ，
， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形．
（3）如图：连接 ，过点B作 ，且 ，取 中点 ，即为藏宝地点 ，由作法可知： 是等腰直角三角形，
由（2）可知：藏宝地点 是 的中点 ．
5．（25-26八年级上·河南安阳·期中）（1）如图①，在 中， 是 的中点，过点 作直线 ，
使 ，交 的延长线于点 ，求证： ．请结合图①写出完整的证明过程．
（2）如图②， ， ， ，连接 、 ， 是 的中点，延长
交 于点 ， ， ，则 的面积为________．
【答案】（1）见解析；（2）8
【分析】（1）证明 ，即可解答；
（2）过点A作 ，交 的延长线于点G，证明 ，可得 ，从而得到
， ， ，再结合 ，可得到 ，可证
明 ，可得 ， ，从而得到 ，进而得到 ，然后
三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（2）如图，过点A作 ，交 的延长线于点G，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：8．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，利用倍长中线模型构造全等三角形转化线段关系是解题关键．
6．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转
得到 ，把 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．当 时，我们
称 是 的“旋补三角形”，边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做
“旋补中心”．在图2，图3中， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”．
(1)如图2，当 为等边三角形时， 与 的数量关系为____________；
(2)如图3，当 ， 时，则 长为____________；
(3)在图1中，当 为任意三角形时，猜想 与 的数量关系，并给予证明．
【答案】(1)
(2)
(3) ，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，直角
三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和中线倍长的辅助线作法是解题的关键．
（1）利用等边三角形的性质，得到 ，证得 是顶角为 的等腰三
角形，由等腰三角形三线合一得到 ，即可求解．
（2）证 ，得到 ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
即可求解．
（3）结论 ，延长 到点M，使得 ，连接 ， ，先证四边形 是平
行四边形，得到 ， ，再由 ，得到
，即 ，可证 ，即可求解．【详解】（1）解： 为等边三角形，
，
， ，
，
，
又 是 的中线，
，
，
．
（2）解： ， ，
，
又 ，
，
，
是 斜边上的中线，
．
（3）解：结论， ，
证明：如图，延长 到点M，使得 ，连接 ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，又 ，
，
，
．
题型 5 截长补短法
【子变式1】截长法：在较长的线段上截取一段，使其等于已知的较短线段，再证明剩余部分等于另一
条线段。
【基本模型】如图，在 中， 平分 。求证： .
在线段 上截取 ，连接 .
∵ 平分
∴
在 和 中，
∴ （SAS）∴
∵
∴ （等量代换）
∴ （等腰三角形的性质：等角对等腰）
∴
∵
∴
【子变式2】补短法：延长较短线段，使其长度等于另一条线段，或将两条短线段拼接为一条长线段。
【基本模型】如图，在正方形 中， ，求证： .
反向延长线段 ，在其延长线上截取 ，连接 。
∵四边形 为正方形
∴
在 和 中，
∴ （SAS）
∴
∵
∴∴ （等量代换）
∴
在 和 中，
∴ （SAS）
∴
∵
∴ .
1．（25-26八年级上·上海普陀·月考）在 中， ， 平分 交 边于点 ，
，则 ____________°．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及角度计算．已
知 ，说明 是等腰三角形，底角相等；由 ，可能通过截取线段（在 上
取一点 ，使 ，连接 ）构造全等三角形来转化等量关系，得到等腰 ，进而结合三角
形内角和定理求解．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
在 上取一点 ，使 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：45．
2．（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究：
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．
那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数
学兴趣小组的同学们对此展开探究：
例如，如图1（1），在 中， ，怎样证明 呢？
把 沿 的平分线 翻折，因为 ，所以点 落在AB上的点 处（如图1（2））．由
， ，可得 ．
【类比探究】
（1）如图2，在 中， ，类比上述的方法，请证明 ．
【方法运用】
（2）如图3，在 中， ，若 ，写出 ， ， 之间的数量关系并说明理
由．【答案】（1）见解析，（2） ，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角
形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键．
（1）把 翻折，使点 落在点 上，折痕分别交 、 于点D、E，由翻折可得：
，
（2）在 上取 ，使 ，连接 ，可得 ，进而可得
，由此证明 ， ，进而得出结论．
【详解】（1）证明：把 翻折，使点 落在点 上，折痕分别交 、 于点 、
由翻折的性质可知， ，
，
，即
［方法运用］
（2）解： ，理由如下：
如图（3），在 上取 ，使 ，连接 ，
， ， ，
，
， ，
，，
，
，即
3．（25-26九年级上·河南周口·期中）在 中， ， ， 平分 ，在射线
上取一点 ，连接 ，线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，过点 作 ，垂足为
点 ，作 ，垂足为点 ．
(1)如图1，当 ___________°．时，点 恰好落在 上，此时 ___________ ；（填
“>”“<”或“=”）
(2)如图2，若点 在 内部，点 不在 上时，（1）问中 、 、 的数量关系的成立吗？
说明理由；
(3)如图3，当点 在 外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的
结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段 、 、 的数量关系．
【答案】(1)
(2)成立，证明见解析
(3)不成立， ，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的判定依据是解题的关键．
（1）作 ，通过证 和 全等，得到 ，同时利用等腰三角形三线合一得到
，即可求解．
（2）作 ，连接 交 于点P，通过证 和 全等，得到 ，
通过证 和 全等，得到 ，即可求解．
（3）作 ，连接 交 于点P，通过证 和 全等，得到 ，
通过证 和 全等，得到 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，，
同理 ，
要使点 恰好落在 上，则 ，
平分 ，
，
，
如图，作 ，
又 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
（2）关系成立，
如图作 ，连接 交 于点P，，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
，
．
故（1）问中 、 、 的数量关系成立．
（3）不成立，关系为 ，如图，作 ，连接 交 于点P，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
，
．4．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如图，在等边 中，点 在 上，连接 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的长；
(2)如图2，点 在 上， ，连接 交 于点 ，点 在 的延长线上，且 ，连
接 ，证明： ；
(3)如图3，若点 是 的中点，点 在线段 上，点 在线段 上，满足 ，连接 ，点
是 的中点，连接 ， ，直接写出线段 的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理、二次函数的应用等知
识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形、直角三角形．
（1）过点D作 ，垂足为H，把 分成两个直角三角形， 含 的直角三角形，
等腰直角三角形，由此可得： ， ， ，进而求解；
（2）在 上取点K，使 得 是等边三角形， ，设 ，
再证明 ，从而可得 ， ，由此即可证明结论；
（3）取 的中点N，连接 ，得中位线，构造直角三角形（ ）由勾股定理表示出 长
与 关系，根据二次函数最值求解即可．
【详解】（1）解：过点D作 ，垂足为H，如图1，∵在等边 中， ，
∴ ，
，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故 ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）在 上取点K，使 如图2，
∵在等边 中，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）取 的中点N，连接 ，如图3，
∵ ，
∴ ， ，
∵在等边 中， ，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ，设 ，则 ， ，
∴ ， ，
，
在 中， ，其中 ，
∴ ，
∴当 时， 最小，此时： ，
∴
5．（25-26八年级上·上海·月考）已知在 中， ，射线 、 在 内部，分别交线
段 于点 、 ．
(1)如图1，若 ， ，作 于点 ，分别交 、 于点 、 ．
①求证： ；
②若 ，连接 ，求 的度数；
(2)如图2，点 为 上一点， 交 于点 ，连接 ．若 ，求 的
值．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角
形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）①由 ， 得到 为等边三角形，根据等边三角形的性质得到
， ，求得 ，推出 证得 ，
根据全等三角形的性质即可得到结论；
②证明 即可解决问题；
（2）如图2，在 上取 ，连接 ，推出 ，根据全等三角形的性质得到
， ，证得 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到 ，即
可得到结论．
【详解】（1）解：① ， ，
为等边三角形，
则 ， ，
， ，
，
， ，
，
在 与 中，
，
，
；
②如图1，取 的中点 连接 ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
；
（2）解：如图2，在 上取 ，连接 ，，
，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
．
6．（24-25八年级下·河北唐山·月考）【问题情境】如图①，在正方形 中， ， ，
分别与 ， 交于点E，F．【探索发现】
(1)如图①，为探究线段 ， ， 之间的数量关系，小杨延长 至点G，使得 ，连接
．先证明 ，再证明 ，即可得到 ， ， 之间的数量关系为：
______；
【操作探究】
(2)如图②，当点E，F分别在 ， 的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段 ， ，
之间的数量关系；
【问题解决】
(3)如图③，在 中， ， ，点D，E在 边上，且 ，若
， ，则 的长为______．
【答案】(1)
(2)
(3)12
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线
构造全等三角形是解题的关键．
（1）利用正方形的性质证明 ，得到 ， ，再证明 ，
推出 ，再利用线段的和差即可得出结论；
（2）在 上截取 ，连接 ，利用正方形的性质证明 ，得到 ，
，再证明 ，推出 ，再利用线段的和差即可得出结论；
（3）过点 作 且 ，连接 ，通过证明 ，得到 ，
，再证明 ，得到 ，再利用勾股定理求出 长，再利用线段
的和差即可求出 的长．
【详解】（1）解： 正方形 ，
， ，
又 ，，
， ，
，
，
，即 ，
，
又 ，
，
，
．
故答案为： ．
（2）解：如图，在 上截取 ，连接 ，
正方形 ，
， ，
又 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，，
，
．
（3）解：如图，过点 作 且 ，连接 ，
， ，
，
，
，
，
，
又 ， ，
，
， ，
，
，
，即 ，
，
又 ，
，
，
，
，
．
故答案为：12．
