文档内容
专题 46 不等式选讲
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2021年全国甲（理科），第22题,10分 几何意义解绝对值不等式，求绝对值不等式中
2021年全国甲（文科），第22题,10分 参数的取值范围
2021年全国甲（理科），第22题,10分 画具体函数图形，求绝对值不等式中参数的取
2021年全国甲（文科），第22题,10分 值范围
2022年全国乙（理科），第22题,10分
三元基本不等式，利用基本不等式证明不等式
2022年全国乙（文科），第22题,10分
2022年全国甲（理科），第22题,10分
柯西不等式证明，利用基本不等式证明不等式
2022年全国甲（文科），第22题,10分
2023年全国乙（理科），第22题,10分
分类讨论绝对值不等式，求可行域的面积
2023年全国乙（文科），第22题,10分
2023年全国甲（理科），第22题,10分 三角形面积公式及其应用，分类讨论绝对值不
2023年全国甲（文科），第22题,10分 等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1．考查不等式的性质和不等式的解法。考查比较大小的方法，如作差法、作商法等；
2．考查不等式在实际问题中的应用，如最值问题、不等式恒成立问题等；
3．考查含参不等式的分类讨论和转化化归的思想方法；
【备考策略】1.掌握不等式的性质和不等式的解法。需要理解不等式的性质和不等式的解法，特别是对于
含参不等式的分类讨论和转化化归的思想方法需要重点掌握；
2.掌握比较大小的方法。比较大小是解决不等式问题的基础，需要掌握作差法、作商法等比
较大小的方法，并能够根据具体问题选择合适的方法进行比较；
3.需要熟悉常见不等式的解法和应用，如均值不等式、绝对值不等式、柯西不等式等，并能
够根据问题选择合适的不等式进行解决；
4.练习解题技巧。需要通过大量的练习和解题，提高解题技巧和思维能力。可以多做一些相
关的题目，熟悉各种题型和解题方法；
5.在解题时，需要注意细节和规范，如不等式的范围、不等式的等号成立条件等；
【命题预测】1.不等式的性质和不等式的解法是高考中常见的考点，可能会涉及对不等式基本性质的理解和应用，以及含参不等式的解法；
2.比较大小是解决不等式问题的基础，可能会涉及作差法、作商法等比较大小的方法，以及
利用这些方法解决实际问题；
3.可能会涉及均值不等式、绝对值不等式、柯西不等式等常见不等式的解法和应用，以及利
用这些不等式解决实际问题；
4.可能会涉及利用不等式解决实际问题，如最值问题、不等式恒成立问题等，以及利用转化
化归的思想方法解决实际问题；
5.可能会结合其他知识点进行综合考查，如与函数、数列、三角函数等知识点结合，考查学
生的综合能力和应用能力；
知识讲解
一、绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式 与 的解集：
不等式
(－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R
(2) 和 型不等式的解法：
① ；
② 或 ；(3) 和 型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．
二、含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则 |a±b| ，当且仅当 时，等号成立．
(2)如果a，b，c是实数，那么 ，当且仅当 时，等号成立．
三、基本不等式
基本不等式的常见结论：
（1） （ ），当且仅当 时，等号成立；
（2） （ ），当且仅当 时，等号成立；
（3） （ 同号， 时取等号）
（4） （ ），当且仅当 时，等号成立。
四、绝对值不等式
1、绝对值不等式的解法
解含有绝对值的不等式的常用方法有以下几种：公式法、平方法、零点分段法、数形结合法。
对于不同类型的题目，应当选择不同的方法。具体如下：
（1）最简单的绝对值不等式，例如 之类的，直接解即可。
或
（2） 和 型的不等式，直接解即可。
； 或
（3） 和 这种类型的绝对值不等式，可以利用两边平方的方法，去掉
绝对值，从而化成一元二次不等式，再利用一元二次不等式的解法解不等式。
xa xb c xa xb c
（4）一般形式的不等式，例如 ( c0 )和 ( c0 )型的不等式，
我们可以利用零点分段法、几何法、数形结合法解不等式。
2、含参绝对值不等式的解法
这类型的不等式应该首先将参数分类讨论，然后再按照常规的方法解不等式。
3、绝对值不等式中涉及的求参数取值范围的问题的常见接法
（1）参变分离法：对于较为简单的问题，可以采用分离参数法来解决；
（2）分类讨论法：对于不易参变分离的题，可采用分类讨论法；（3）数形结合法：近几年高考中，利用数形结合法求绝对值不等式中参数取值范围的问题频频出现，这
种方法只需画出图形，即可直观地达到解决问题的目的。
五、证明不等式的基本方法
证明不等式的基本方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，这些方法各自有其特点，高考一
般会把证明不等式的题与基本不等式相结合来考查，一般出现在考题的第（2）问中。
六、柯西不等式与排序不等式
柯西不等式是著名的法国数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789-1857)发现的,故命名为柯西不
等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式,除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外,柯西不等式
还常用于选择题、填空题中求最值问题,借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.其中向量形式和
三角形式在平时的学习过程中经常会接触到,很容易根据其几何意义去理解.我们要记住和使用其代数形式,
这也是本专题的重点,是后期解决某些题型问题的一种重要且便捷的方法和工具.
1．(柯西不等式的代数形式)二维:设 均为实数,则 ,当且仅当
时,等号成立.
三维:设 ,则 ,当且仅当b=0(i=1,2,3)
i
或存在一个实数 ,使得 时,等号成立.
推广到一般情形:设 ,
,当且仅当 或存在一
个实数 ,使得 时,等号成立.
2．(柯西不等式的向量形式)设 为平面上的两个向量,则 ,当且仅当 是零向量,或者存
在实数 ,使 时,等号成立.
3．(柯西不等式的三角形式)设 为任意实数,则 √x 1 2+ y 1 2 + √x 2 2+ y 2 2 ≥ √(x 1 -x 2 )2+ (y 1 - y 2 )2 ,当
且仅当 三点共线,且 在点 两旁时,等号成立.
七、三元基本不等式
（1） ， ，当且仅当 时，等号成立
（2） ， 当且仅当 时，等号成立
（3） ， 当且仅当 时，等号成立
考点一、基本不等式
1．已 均为正数，且 ，证明：(1) ；
(2) ．
2．已知a，b，c是正实数，且 ．求证：
(1) ；
(2) ．
3．已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 的解集非空，求 的取值范围.
4．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)求 的最小值．1．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)记 的最小值为M，若实数a，b满足 ，证明： ．
2．已知 ．
(1)若 ，解不等式 ；
(2)当 时， 的最小值为3，若正数m，n满足 ，证明： ．
3．已知正数a，b，c满足 ，证明： ．
4．设 ， ，…， 为互不相等的正整数，证明： ．
考点二、绝对值不等式
绝对值不等式的性质定理的应用
1．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是________．变式训练1
2．已知实数a，b，c满足|a－c|＜|b|，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
绝对值不等式的证明
3．设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：|＋|＜2.
变式训练2
4．已知|x|＜，|y|＜，求证：|2x－3y |＜a.
含绝对值不等式的解法
5．解下列不等式：
（1）|x2－x＋2|＞x2－3x－4.
（2）|x－5|＋|x＋3|≥10
变式训练3
6．解不等式
（1）|x2－|＞2x.
（2）|2x－1|＜|x|＋1.利用绝对值不等式求最值
7．(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．
变式训练4
8．(1)若关于x的不等式|2014－x|＋|2015－x|≤d有解，求d的取值范围．
(2)不等式|x＋|≥|a－2|＋siny对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围．
绝对值不等式的综合应用
9．设函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<－1；
(2)设函数g(x)＝|x＋a|－4，且g(x)≤f(x)在x∈[－2,2]上恒成立，求实数a的取值范围．
变式训练5
10．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
1．解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
4．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．
5．已知关于x的不等式|2x－m| 1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x的不等式|x－1|＋|x－3| m的解
集．
6．已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.
(1)求不等式f(x) 3的解集；
(2)若f(x) |a－4|有解，求a的取值范围．
7．已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．8．已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为，求a的值．
9．已知a和b是任意非零实数．
(1)求的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．
10．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)－1，且当 时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．考点三、绝对值不等式恒成立求参
1．已知函数 , ．
（Ⅰ）当 时,求不等式 的解集；
（Ⅱ）设 ,且当 时，都有 ,求 的取值范围．
2．已知函数 .（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）设函数 .当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
1．已知函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若对于任意非零实数 以及任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
2．已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
考点四、绝对值三角不等式应用
1．已知函数 ．
(1)若 ，求 的解集；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围．
2．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.1．已知函数 ．
(1)若 ，求 的解集；
(2)若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．
2．已知 ．
(1)当 时，求 的解集；
(2)若 的解集包含 ，求a的取值范围．
考点五、绝对值不等式给解集求参数
1．已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数a的范围.
2．已知函数 .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.1． ．
(1) 时，解不等式 ；
(2)若区间 是不等式 的解集的子集，求 的取值范围．
2．已知函数 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ，使得不等式 成立，求实数a的取值范围.
考点六、绝对值不等式与均值不等式
1．已知函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若函数 的最大值为2，求 的最小值.
2．已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；（2）当 时，函数 的最小值为 ， （ ），求 的最小值.
1．关于 的不等式 的解集为 ，其中 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)若正数 ， 满足 ，求 的最小值．
2．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)设函数 的最小值为M，若正数a，b，c满足 ，证明 ．
考点七、柯西不等式型证明1．设 、 、 为正实数，且 .
(1)证明： ；
(2)证明： ．
2．已知正数a，b，c，d满足 ，证明：
(1) ；
(2) .
1．已知 ，且 .
（1）求 的最大值；
（2）若 ，证明： ．
2．已知 ， ， ， ， ， 都是实数，且 ， .
(1)证明： ；
(2)若 ，证明： .考点八、柯西不等式求最值与参数
1．对 ， 的最小值为 .
（1）若三个正数 、 、 满足 ，证明： ；
（2）若三个实数 、 、 满足 ，且 恒成立，求 的取值范围.
2．（1）已知x，y为正实数．证明： ．
（2）对任意的正实数x，y，均有 成立，求k的取值范围．
1．柯西不等式是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.具体表述如下：对任意实数
和 ，（ ， ），都
.
（1）证明 时柯西不等式成立，并指出等号成立的条件；（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
考点九、三元不等式证明
1．已知a，b，c都是正数，且 1. 证明：
(1) ；
(2) ．
2．已知正数 满足 ．
(1)求证：
(2)若正数 满足 ，求证：
1．已知 ，求证：(1) ；
(2) .
2．设 、 、 为正数，且 .证明：
(1) ；
(2) .
考点十、利用三元不等式求最值
1．已知 的最小值为 .
(1)求 的值；
(2)正实数 ， ， 满足 ，求 的最大值.
2．已知函数 的定义域为 ；
（1）求实数 的取值范围；（2）设实数 为 的最大值，若实数 满足关系式 ，求 的最小
值.
1．已知a，b，c为正数．
（1）证明 ；
（2）求 的最小值．
2．已知 都是正数，且 ，用 表示 的最大值，
.
（1）证明 ；
（2）求M的最小值.
考点十一、分析法证明不等式
1．已知a，b，c为正数，且满足 ．
(1)证明： ；
(2)证明：
2．已知 ， ， .(1)求 的范围；
(2)证明： .
1．已知正数 ， ， 满足 ．
(1)求 的最大值；
(2)证明： ．
2．设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.
(1)求集合A；
(2)若a，b，c∈A，求证： .
考点十二、综合法证明不等式
1．已知 ，函数 的最小值为3．
(1)求 的值；
(2)求证： ．2．已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)证明： .
1．已知实数 ， ， 满足 ， ．
(1)证明： ．
(2)用 表示 ， ， 的最小值，证明： ．
2．设函数 ．
（1）求函数 的最小值；
（2）若函数 的最小值为m，且正实数a，b，c满足 ，证明： ．
【基础过关】
1．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)求 的最小值．2．设 均不为零，且 ．
(1)证明： ；
(2)求 的最小值．
3．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)函数 最小值为 ，求 的最小值．
4．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．5．已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若不等式 的解集非空，求 的取值范围.
6．（2023年四川省模拟数学理科试题）已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为 ，正数 满足 ，求证： .
7．（2023年新疆维吾尔自治区适应性检测理科数学试题）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)设 的最小值为 ，若正实数 满足 ，证明： ．8．（2024届四川省适应性考试（零诊）文科数学试题）已知函数 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
9．（2024届陕西省、青海省联考理科数学试题）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若存在 ，使得 成立，求m的取值范围．
10．（2023年河南省部分名校仿真模拟理科数学试题）已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.11．（2023年四川省考前冲刺模拟（二）理科数学试题）已知 .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 时， 恒成立，求实数a的取值范围.
12．（2023年河南省模拟文科数学试题）已知函数 ， ，且 的解集为 ．
(1)求 的值；
(2)设 、 、 为正数，且 ，求 的最大值．
13．（2023年四川省诊断性检测文科数学试题）已知a，b，c为正实数，且满足 .
(1)求 的最小值；
(2)求证： .14．（2023年河南省调研模拟文科数学试题）已知 ， ， 均为正数，若 ，求证：
(1) ；
(2) .
15．（2023年陕西省三模理科数学试题）已知函数 .
(1)当 时，解关于x的不等式 ；
(2)已知 ，若对任意 ，都存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
16．（2023年陕西省模拟演练理科数学试题）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．17．设函数 ，
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)对任意实数 ，证明 在 上恒成立.
【能力提升】
1．已知函数 .
(1)求不等式 的解集；
(2)当 时，求证： .2．已知函数 ．
(1)若 的最小值为1，求a的值；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
3．已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)记 的最小值为M，若实数a，b满足 ，证明： ．
4．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ， ，求a的取值范围．5．（2023年四川省仿真数学（文）试题）已知a，b，c为实数且 ．
(1)若a，b，c均为正数，当 时，求 的值；
(2)求 的最小值．
6．（2023年江西省质量检测理科数学试题）设 ， ， 均为正数，且 .证明：
(1) ；
(2) .
7．（2023年甘肃省一模理科数学试题）已知函数 .
(1)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值；
(2)当 时，若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.8．（2023年陕西省校模考数学（文）试题）已知函数 的最小值为6.
(1)求 的最大值；
(2)证明： .
9．（2023年陕西省模拟演练理科数学试题）已知不等式 恒成立，正数m的最小值为M．
(1)求M；
(2)若正数a，b，c满足 ，证明： ．
10．已知函数 .
(1)求证： ；
(2)若 ，证明： .11．（2023年四川省全真模拟考试（二）理科数学试题）设函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若函数 的最小值为 ，且正实数 满足 ，求 的
最小值．
12．（2023年江西省一模数学（理）试题）已知 ，函数 的最大值为4，
(1)求实数m的值；
(2)设正数x，y，z满足 ，求 的最大值.
13．（2023年河南省三模文科数学试题）已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2) ，当 时， 恒成立，求k的取值范围.
14．（2023年四川省全真模拟考试（一）文科数学试题）已知函数 ， ．
(1)当 时，求不等式 的解集；(2) ， 恒成立，求实数 的取值范围．
15．（2023年江西省考前最后一卷（全国乙卷）数学（理）试题）已知函数 .
(1)画出 的图象；
(2)若函数 的最小值为m，x，y， 满足 ，求证： .
【真题感知】
1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设 ，函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若曲线 与 轴所围成的图形的面积为2，求 ．
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 .(1)求不等式 的解集；
(2)在直角坐标系 中，求不等式组 所确定的平面区域的面积.
3．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ；
4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a，b，c均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2)若 ，则 ．5．已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 ，求实数 的取值范围.
6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数 ．
（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集;
（2）若 ，求a的取值范围．
