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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第二章 不等式与不等式组·基础通关
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的
次数为1，且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解．
【详解】解：A选项： ，只含一个未知数 ，未知数次数为1，是不等式且左右两边为整式，
符合一元一次不等式的定义．
B选项： 是等式，不是不等式，不符合定义．
C选项： 含有两个未知数，不符合“一元”的要求．
D选项： 中未知数的最高次数为2，不符合“次数为1”的要求．
故选：A．
2．已知 ，下列不等式中，成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的性质，需根据不等式的三条性质对每个选项进行判断，找出成立的不等式．
【详解】∵
∴根据不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变，
∴ ，故A选项不成立；
，故B选项不成立；
∵根据不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，
∴ ，故C选项不成立；
∵根据不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，
∴ ，故D选项成立．故选：D．
3．下列说法错误的是（ ）
A． 的解集是 B． 的整数解有无数个
C． 是 的一个解 D． 的整数解为
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式的解集与解的概念，需逐一分析各选项判断正误．
【详解】解：∵解不等式 ，两边同时除以 （不等号方向改变），
∴ ，故A说法正确．
∵小于 的整数有 ，有无数个.
∴B说法正确．
∵解不等式 ，两边同时除以 （不等号方向改变）.
∴ ，又∵ .
∴ 是该不等式的解，故C说法正确．
∵ 的整数解除 外，还有 无数个负整数.
∴D说法错误．
故选：D．
4．在平面直角坐标系中，若点 在第四象限，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点坐标的符号特征．根据第四象限点坐标的特征，横坐标大
于0，纵坐标小于0，列出不等式组求解．
【详解】解：∵点 在第四象限，
∴横坐标 ，纵坐标 ，
由 ，得 ；
由 ，得 ；∴x的取值范围是 ，
故选：C．
5．若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的基本性质、解一元一次不等式，根据把不等式两边同时除以 时，不等号
的方向改变，可知 ，解不等式求出 的取值范围即可．
【详解】解： 关于 的不等式 的解集为 ，
，
解得： ．
故选：B．
6．数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示 和 ，且点A在点B左
侧，则x的值可以是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得 ，解一元一次不等式
即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键．
【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示 和 ，且点A在点B左侧，
∴ ，
解得： ，
∴x的值可以是 ，
故选：A．
7．关于x的不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的范围．先分别解出不等式组中两
个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同小取小”，结合已知的解集来确定 的取值范围．
【详解】解：解不等式组
∵解不等式①，得
解不等式②，得
又∵不等式组的解集是
根据“同小取小”的原则，要使两个解集的公共部分为 ，则
故选：A．
8．已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理
得 ，再结合 ，得出 ，故 ，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ 得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
9．某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否 ”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握根据程序运行逻辑列出不等式组是解题的关
键．
根据程序运行两次后输出结果的条件，列出关于 的不等式组，求解不等式组后确定符合条件的整数 的
个数．
【详解】解：∵程序运行了两次后输出结果，
∴第一次运行结果 ，第二次运行结果 ，
即 ，
解 ，得 ，
解 ，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
则符合条件的整数 为 、 、 、 、 ，共 个，
故选：B．
10．如图，在平面直角坐标系中，若直线 与直线 相交于点 ，则下列结论错误的是
（ ）
A．方程 的解是
B．不等式 和不等式 的解集相同C．方程组 的解是
D．不等式组 的解集是
【答案】C
【分析】本题考查一次函数和方程，一次函数与不等式，利用数形结合的思想，进行求解，逐一进行判断
即可．
【详解】解：由图象可知，直线 与直线 的交点为 ；
∴方程 ，即方程 的解为 ；故选项A正确；
不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ，故不等式 和不等式
的解集相同；故选项B正确；
方程组 的解集为 ，故选项C错误；
把 代入 ，得 ，解得 ，
∴ ，
∴当 ，解得 ，
∴不等式组 的解集是 ；故选项D正确；
故选C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，
据此建立不等式求解，即可解题．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ，故答案为 ．
12．若 ，则 ．（填“＞”“＜”或“=”）
【答案】
【分析】本题考查不等式的基本性质，熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变，是解题的关键．将原不等式两边同时乘正数 ，不等号方向不变，直接得到比较结果．
【详解】解：由 ，两边同时乘 ，得 ，
故答案为： ．
13．如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，且 ，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，平方差公式，勾股定理的知识点，掌握利用函数
图像确定不等式解集的方法是解题的关键．
先利用平方差公式将已知条件转化，结合勾股定理求出 的长度得到点 的坐标，再根据 判断直线
走向，确定不等式 的解集．
【详解】解： ，
，即 ，
∴点 的坐标为 ．
由图可知，不等式 的解集为 ．故答案为： ．
14．若 是关于 的一元一次不等式，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解．
此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
【详解】解：由题意，不等式是关于 的一元一次不等式，
则 且 ，
解 ，得 或 ，
即 或 ，
当 时， ，不符合系数不为0的条件，
当 时， ，符合条件，
故答案为：1．
15．关于x的不等式组 有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的整数解个数求参数，解题的关键是掌握解一元一次不等
式组的步骤以及解的情况．
先解不等式组，得到x的取值范围，再根据整数解的个数列出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ；
解不等式 ，得 ．
所以不等式组的解集为 ．
因为有且只有4个整数解，所以整数解为 ，
因此 ，
解得 ．
故答案为： ．
16．对于任意实数 ， ，定义一种运算： ．例如， ．请根据
上述的定义解决问题：若不等式 ，则不等式的正整数解是 ．
【答案】1和2【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，掌握将新定义运算转化为整式，再解一元一次
不等式，最后确定正整数解是解题的关键．
根据新运算定义，将不等式转化为一元一次不等式并求解，再确定正整数解．
【详解】解：由定义， ，
因此 ．
不等式为 ，
移项得 ，
解得 ．
所以不等式的正整数解为 和 ．
故答案为： 和 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．解不等式组： ，并把解集表示在数轴上．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，把它们的解集表示在数轴上，
从数轴上找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
把它们的解集表示在数轴上，如下图所示，
不等式组的解集为： ．
18．下面是小星同学解不等式 的过程：
解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步
去括号，得： ．．．．．．．．．．．第二
步
移项，得： ．．．．．．．．．．．．第
三步
合并同类项，得： ．．．．．．．．．．．第四
步
系数化为1，得： ．．．．．．．．．．．．第五步
①小星同学的解答过程从第_______步开始出错；
②请写出你认为正确的解答过程．
【答案】①一；②解答过程见详解
【分析】本题考查了解一元一次不等式，准确地进行计算是解题的关键．①由题可知，第一步错误；②按
照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次不等式即可．
【详解】①解：第一步，去分母错误，
故答案为：一；
②解：去分母，得：
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
19．下图所示的是一个计算程序．
(1)若输入的 为 ，则输出的值是____________．
(2)规定：程序运行到“判断结果是否大于18”为一次运算．若程序进行了三次运算才输出，求 的取值范
围．
【答案】(1)22
(2)
【分析】本题考查了代数式的表示和一元一次不等式组的求解，掌握将程序逻辑转化为数学不等式是解题
的关键．(1) 将 代入程序，按流程计算，直到得到的结果大于 ；
(2) 首先，根据程序流程，用代数式表示出第一次、第二次和第三次运算的结果；然后，根据程序进行了
三次运算才输出这一条件，列出关于 的不等式组，这个条件意味着第二次运算的结果必须不大于 ，而
第三次运算的结果必须大于 ，解这个不等式组即可得到 的取值范围．
【详解】（1）解：当输入 时：
第一次运算：
，程序继续；
第二次运算：
，程序输出结果；
故输出的值是 ．
（2）解：由题意可知，第一次运算结果为 ，
第二次运算结果为 ，
第三次运算结果为 ．
可列不等式组
解得 ．
20．已知关于x的不等式组
(1)若这个不等式组有解，求a的取值范围．
(2)若这个不等式组无解，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握不等式组有解和无解的判定条件，即大小小大中间找、
大大小小找不到是解题的关键．
（1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据有解则两个解集有公共部分，建立关于 的不等式，从而求出 的取值范围；
（2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据无解则两个解集无公共部分的原则，建立关于 的
不等式，从而求出 的取值范围．
【详解】（1）解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ．
∵这个不等式组有解，
∴ ，
解得 ，
∴ 的取值范围为 ．
（2）解：由（1）得：
∵这个不等式组无解，
∴ ，
解得 ，
∴ 的取值范围为 ．
21．已知关于x的不等式 ．
(1)当 时，
①解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来；
②该不等式的正整数解为____________．
(2)m取何值时，该不等式有解？求出其解集．
【答案】(1)① ，数轴见解析；②1
(2)当 时，该不等式有解．当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为
．
【分析】（1）①代入 ，按解一元一次不等式的基本步骤求解，并在数轴上表示解集；②根据解集确定正整数解．
（2）先整理不等式，再根据含参数的系数正负分情况讨论，确定不等式有解的条件及解集．
【详解】（1）解：①当 时，原不等式为 ，
去分母得 ，
移项、合并同类项得 ，两边都除以－2，
得 ．
原不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
② ．
【提示】由①可知，该不等式的解集为 ，
∴该不等式的正整数解为 ．
（2）解： ，
去分母得 ，
移项、合并同类项得 ，
∴当 ，即 时，该不等式有解．
当 ，即 时，原不等式的解集为 ；
当 ，即 时，原不等式的解集为 ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法与含参数不等式的分类讨论，掌握解不等式的基本步骤，以及
根据系数正负分类讨论解集是解题的关键．
22．某加工厂加工一批定长板材，已知若采用方案一：用4台A型设备和8台B型设备，每天可加工136
件；若采用方案二：用7台A型设备和6台B型设备，每天可加工142件．
(1)求1台A型设备和1台B型设备每天分别可以独立加工多少件？
(2)该工厂计划采购A，B两种设备共15台，要求A型设备数量不低于B型设备的 ，且每天加工的数量不
少于168件，共有几种采购方案？哪种方案最省钱？（已知A型设备单价1万元，B型设备单价0.8万元）
【答案】(1)1台A型每天加工 件，1台B型每天加工 件
(2)共有两种方案，方案 1：A型5台，B型10台； 方案 2：A型6台，B型9台；方案1最省钱
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数
关系式．（1）设1台A型每天加工x件，1台B型每天加工y件，根据题意列二元一次方程组解答即可；
（2）设采购A型m台，则B型 台，根据题意列一元一次不等式组解答即可；
【详解】（1）解：设1台A型每天加工x件，1台B型每天加工y件，
根据题意得方程组： ，
解得
答：1台A型每天加工 件，1台B型每天加工 件．
（2）解：设采购A型m台，则B型 台，
得不等式组： ，
解得 ， ，
∴
∵m为整数，则 或 ，
共 2 种方案，方案 1：A型5台，B型10台，费用 万元； 方案 2：A型6台，B型9台，
费用 万元；
故方案 1最省钱．
23．定义一种新运算“ ”：当 时， ；当 时， ．例如：
， ．
(1)若 ，则 的取值范围是________．
(2)已知 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 的取值范围是
【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用．（1）由等式右边运算形式确定 ，解不等式；
（2）分 和 两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
解得 ，
故答案为： ；
（2）解：当 ，即 时， ，
解得 ，即 ，
故 ；
当 ，即 时， ，
解得 ， ，无解；
综上， ，
答： 的取值范围是 ．
24．济南地铁6号线大明湖站建设中发现大明湖西南遗址，将济南建城史提前约1500年．某校学生开展该
考古的成果主题宣传活动，需定制宣传海报和宣传手册共50件，已知宣传海报每件12元，宣传手册每件
8元．
(1)若恰好用480元定制这两种物料，则宣传海报和宣传手册各定制多少件？
(2)若定制宣传海报的数量不少于宣传手册数量的1.5倍，则定制宣传手册多少件时总花费最少？最少花费
是多少元？
【答案】(1)购买宣传海报20件，宣传手册30件
(2)购买宣传手册20件可使得花费最少，最少的总费用为520元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的
关键．
（1）设购买宣传海报x件，宣传手册y件，根据题意列方程组求解即可；（2）设这种情况下购买宣传海报m件，则购买宣传手册 件，购买宣传物料所用总费用为W，根据
题意求出m的取值范围，再得到 ，利用一次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买宣传海报x件，宣传手册y件，
依题意可得： ，
解得： ，
答：购买宣传海报20件，宣传手册30件；
（2）解：设这种情况下购买宣传海报m件，则购买宣传手册 件，购买宣传物料所用总费用为W，
依题意可得： ，解得： ，
，
，
W随着m的增大而增大，
当 时，W最小，此时 元，
宣传手册需要购买： 件，
答：购买宣传手册20件可使得花费最少，最少的总费用为520元．
25．如图，已知函数 的图象与 轴交于点 ，一次函数 的图象经过点 ，与 轴以
及 的图象分别交于点 ．
(1)求一次函数 的表达式；(2)根据图象直接写出不等式 的解集，
(3)若直线 与直线 关于直线 对称，求直线 的表达式．
【答案】(1) ．
(2) ．
(3) ．
【分析】本题主要考查了一次函数的表达式求解、不等式的解集与函数图象的关系、点关于直线的对称以
及直线表达式的求解，熟练掌握一次函数的性质、对称点的求法以及利用待定系数法求函数表达式是解题
的关键．
（1）先将点 代入 求出 的值，再将点 和点 代入 ，解方程组求出 、 ，
从而得到一次函数表达式．
（2）根据函数图象，不等式 的解集是直线 在直线 上方（含交点）时对应的
的取值范围．
（3）先求出点 的坐标，再利用几何性质求出点 关于直线 （即 ）的对称点 ，最后利用点
和 求出直线 的表达式．
【详解】（1）解：∵点 在 上，
∴ ，
∴ ．
∵ 过 和 ，
∴ ，解得 ，
∴一次函数表达式为 ．
（2）解：函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，
由图象可知，当 时，直线 在直线 上方（含交点），
∴不等式 的解集为 ．（3）解：设点 关于直线 的对称点为点 ，直线 交 轴于点 ，
∵ 与 轴交于 ，
∴ ．
当 时， ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 关于直线 的对称点为点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，两点在 轴上，且 ，
∴点 关于直线 的对称点 满足： ，
∴ ．
∵直线 过 和 ，
设直线 的表达式为 ，
∴ ，
解得 ，∴直线 的表达式为 ．
