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第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
2.2 不等式的基本性质
基础篇
一、单选题
1．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）下列变形，符合等式性质的是（ ）
A．由 得 B．由 得
C．由 得 D．由 得
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、∵ ，∴ ，故本选项错误；
B、∵ ，∴ ，故本选项错误；
C、∵ ，∴ ，故本选项错误；
D、∵ ，∴ ，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查的是等式的性质，解题的关键是熟记等式的两个基本性质．
2．（2023秋·甘肃兰州·八年级校联考期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐一判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、若 ，则 ，当 时错误，是假命题；
B、若 ，则 ，当 时错误，是假命题；
C、若 ，则 ，当 时错误，是假命题；
D、若 ，则 ，正确，是真命题，故选：D．
【点睛】该题考查了命题与定理的知识，解答该题的关键是了解不等式的性质，判断一个命题是假命题时
可以举出一个反例，难度不大．
3．（2023秋·湖南株洲·八年级统考期末）若 ，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质对各项进行判断即可得出答案．
【详解】A、∵ ，∴ ，故A选项不符合题意；
B、∵ ，∴ ，故B选项不符合题意；
C、∵ ，∴ ，故C选项不符合题意；
D、∵ ，∴ ，∴ ，故D选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
4．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）下列按条件列不等式正确的是（ ）
A．若 是非负数，则 B．若 的值不大于 ，则
C．若 与 的和小于或等于 ，则 D．若 的值不小于 ，则
【答案】A
【分析】根据不等式的定义，不等号的表示意义即可求解．
【详解】解： 选项，非负数指的是正数和零，则 ，故原题正确，符号题意；
选项，不大于 ，指的是小于等于 ，则 ，故原题错误，不符合题意；
选项， 与 的和小于或等于 ，则 ，故原题错误，不符合题意；
选项，不小于 ，指的是大于或等于 ，则 ，故原题错误，不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，理解并掌握不等式的性质，掌握不等号的意义是解题的关键．
5．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知 ，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据解不等式的性质将不等式变形，从而选出正确的选项．
【详解】A、选项： ，故A错误；B、选项： ，故B错误；
C、选项：当 时， ，故C错误；
D、选项： ，则 ，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查不等式性质的应用，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
6．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．由 ，得 B．由 ，得
C．由 ，得 D．由 ，得
【答案】C
【分析】利用不等式的性质，逐一判断四个选项，即可得到结论．
【详解】解：A. 当 ， ， ，故选项错误，不符合题意；
B. 当 ， ， ，故选项错误，不符合题意；
C. 由 ，得 ，故选项正确，符合题意；
D. 由 ，得 ，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
二、填空题
7．（2022春·福建三明·八年级校考阶段练习）利用不等式的性质填空：若 ， ，则c______0．
（填“ ”、“ ”或“＝”）
【答案】＜
【分析】通过观察不等式变化前后不等号方向的变化，来判断即不等号不变为正数，改变为负数．
【详解】因为 ， ，
所以c＜0，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等号不变为正数，改变为负数是解题的关键．
8．（2022秋·浙江丽水·八年级青田县第二中学校考期中）用不等式表示： 的两倍与3的差小于5，则这
个不等式是________．
【答案】【分析】根据题意直接写出不等式即可．
【详解】解：依题意， 的两倍与3的差小于5，即
故答案为： ．
【点睛】本题考查不等式的认识，正确使用不等号是本题的解题关键．
9．（2022秋·浙江绍兴·八年级校考阶段练习）选择适当的不等号填空：若 ，且 ，则a______c．
【答案】>
【分析】根据不等式的传递性直接判断即可．
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查不等式的传递性质．掌握这一性质是关键．
10．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）估算 的值，在整数__________和__________之间．
【答案】 5 6
【分析】先估计 的近似值，然后即可判断 的近似值．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∴ ．
故本题的答案是：5，6
【点睛】本题考查无理数的估计，不等式的性质，解题的关键是先求出 ．
三、解答题
11．（2021春·八年级课时练习）将下列不等式化成“ ”或“ ”的形式：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【分析】根据不等式的性质，求解不等式即可．
【详解】解：（1）∴
（2）∵
∴
（3）∵
∴
（4）
∴
【点睛】此题考查了不等式的求解，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）说出下列不等式的变形依据．
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，则 ；
(3)若 ，则 ．
【答案】(1)根据不等式的性质 ，不等式的两边同时减去
(2)根据不等式的性质 ，不等式的两边同时除以
(3)不等式的性质 ，不等式的两边同除以
【分析】（1）根据不等式的性质 变形；
（2）根据不等式的性质 变形；
（3）不等式的性质 变形．
【详解】（1）解：根据不等式的性质 ，不等式的两边同时减去 ．
（2）解：根据不等式的性质 ，不等式的两边同时除以 ．
（3）解：不等式的性质 ，不等式的两边同除以 ．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的
式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的
两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
提升篇一、填空题
1．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期中）已知 为有理数，下列结论：①若 ，则 ；②若
，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤ ．其中正确的
为__________．（填序号）
【答案】③④##④③
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】①若 ，当 时不等式不成立，不符合题意；
②若 ，当 时不等式不成立，不符合题意；
③若 ，则 ，符合题意；
④若 ，则 ，符合题意；
⑤ ，当 时不等式不成立，不符合题意；
故答案为：③④．
【点睛】此题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质．
2．（2022春·广东揭阳·八年级校考阶段练习）以下说法正确的是：_____．
①由ab＞bc，得a＞c；②由ab2＞cb2，得a＞c；③由b﹣a＜b﹣c，得a＞c；④由a＞b，得ac2＞bc2；⑤﹣
an和（﹣a）n互为相反数；⑥x＞3是不等式x+2＞1的解．
【答案】②③
【分析】①②③④根据不等式的基本性质判断即可；⑤根据相反数的定义判断即可；⑥根据解一元一次不
等式的步骤解答即可．
【详解】解∶①∵ab>bc，
∴当b<0时，ac，故原说法正确；
③'∵b-ac，故原说法正确；
④∵a＞b，
∴当c=0时， ，故原说法错误；⑤当n为奇数时， 和 相等，故原说法错误；
⑥解不等式x+2>1，得x>-1，故原说法错误；
∴说法正确的是②③．
故答案为∶②③．
【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的解集，相反数以及有理数的乘方，掌握不等式的性质是解答
本题的关键．
3．（2023春·七年级课时练习）若 ，那么 _____ （填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】>
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：∵a＜b，
∴-3a＞-3b，
∴-3a-2＞-3b-2．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查不等式的性质，不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式两
边加上同一个数，不等式的方向不变；即可得答案．
4．（2022春·广东东莞·八年级校考期中）设6﹣ 的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+ ）b的
值是 _____．
【答案】6
【分析】先判断 得到 再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴（2a+ ）b故答案为：6
【点睛】本题考查的是不等式的性质，无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟练的求解a，b的值是解本
题的关键．
5．（2022春·广东广州·七年级统考期末）无论m取什么数，点 一定在第__________象限．
【答案】二
【分析】根据非负数的性质先判断 再结合象限内点的坐标特点可得答案．
【详解】解：
点 一定在第二象限，
故答案为：二
【点睛】本题考查的是非负数的性质，不等式的性质，象限内点的坐标特点，掌握“第一象限（+，+）；
第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）”是解本题的关键．
二、解答题
6．（2023春·全国·七年级专题练习）按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式．
(1) ，两边同加上y．
(2) ，两边同乘 ．
(3) ，两边同除以 ．
(4) ，两边同加上 ，再同除以7．
【答案】(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
【分析】（1）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，
即可得到答案；
（2）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案；
（3）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案；
（4）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式
两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上 ，可得： ；
（2）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘 ，可得 ；
（3）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以 ，可得： ；
（4）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上 ，可得 ，再同时除以7，可得： ．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
7．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知x＞y．
(1)比较9－x与9－y的大小，并说明理由；
(2)若 ，求m的取值范围．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)m＜0
【分析】（1）由x＞y，两边都乘以 可得：－x＜－y，再两边都加上9可得结论；
（2）由 可得 ，再结合x＞y，可得m的取值范围．
【详解】（1）解：∵x＞y，
∴－x＜－y，
∴ ．（2）解：∵ ，
∴ ．
又∵x＞y，
∴m＜0．
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，熟记“（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不
等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘
（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．”是解本题的关键．
8．（2023秋·河北邯郸·七年级统考期末）一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行
驶的路程（记向东为正）记录如下（ ，单位： ）：
第二
第一次 第三次 第四次
次
x
(1)说出这辆出租车每次行驶的方向．
(2)求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．
(3)这辆出租车一共行驶了多少路程？
【答案】(1)第一次是向东，第二次是向西，第三次是向东，第四次是向西；
(2) 地向东 处
(3)
【分析】（1）根据 ，可得 ， ， ，即可；
（2）把路程相加，求出结果，再判断结果的符号即可判断出答案；
（3）求出每个数的绝对值，相加求出即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ， ，第一次是向东，
∴第二次是向西，第三次是向东，第四次是向西；（2）解：根据题意得：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
所以经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置是 地向东 处；
（3）解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴
答：这辆出租车一共行驶了 的路程．
【点睛】本题主要考查了整式的加减与正负数的实际应用，解题的关键是正确列出算式．
