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2.2 一元一次不等式
题型一 一元一次不等式的定义
1．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·浙江温州·月考）下列各式中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·四川成都·月考）下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（17-18七年级下·全国·单元测试）已知 是关于x的一元一次不等式，则m的值为
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．4 B． C．3 D．
5．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）下列不等式中，一元一次不等式有（ ）个
（1） ，（2） ，（3） ，（4）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于 的不等式 是一元一次不等式，那么
．
7．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知 是关于 的一元一次不等式，则 的值为
．
8．（2025八年级上·全国·专题练习）指出下列不等式中的一元一次不等式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
题型二 求一元一次不等式的解集
1．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）关于x的不等式 的解集为 ，则b的值是（ ）
A． B． C．6 D．4
2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）请写出一个 的值 ，使 在实数范围内有意义．
3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）不等式 的解集为 ．
4．（25-26八年级上·浙江台州·期中）定义一种新运算 ，例如： ．
(1)计算： ；
(2)请根据上述定义解不等式 ．
5．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）（1）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
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学科网（北京）股份有限公司（2）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解．
6．（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
7．（2026七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ．
题型三 在数轴上表示不等式的解集
1．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·浙江丽水·二模）不等式 的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）．
A． B．
C． D．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表
示可能是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
5．（25-26九年级上·重庆·月考）在数轴上表示不等式 的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四 一元一次不等式的整数解
1．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）满足不等式 的最小整数解是（ ）
A． B．7 C． D．4
2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）写出不等式 的一个正整数解 ．
3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）写出一个满足不等式 的正整数解是 ．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若 是不等式唯一的正整数解，写出一个满足条件的不等式：
．
5．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于x的方程 的解是不等式 的负整
数解，则a的值为 ．
6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式 的
正整数解，该三角形的周长是 ．
7．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于 的方程 的解为负数，求所有符合条件的
非正整数 的和．
题型一 一元一次不等式解的最值
1．（21-22七年级下·江苏南通·月考）已知实数x，y，z满足 ， ，若 ，则
的最大值为（ ）
A．3 B．7 C．10 D．13
2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于 的不等式 的正整数解恰有两个，则实数 的最大值为
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学科网（北京）股份有限公司（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）若 是关于x的不等式 的一个解，则a可取的最大
整数值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题
得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小
聪至多答错了 道题；
5．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果关于x的不等式 的解的最大值是4，则m的值是 ．
6．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）满足不等式 的x的最小值是a，满足不等式 的x的最大值
是b，则 ．
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知 ．请确定 的最大值．
8．（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时 区就
会自动减去1，且均显示计算结果．已知A， 两区初始显示的数分别是 和7．
(1)按键1次后，求A， 两区显示的结果的和；
(2)若按键 次后，A区的结果大于 区的结果，求 的最小值．
题型二 解带绝对值的不等式
1．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）若 ，则x与3的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知 （ 是整数），则 的值是 ．
3．（24-25八年级上·安徽池州·期末）已知不等式 恒成立，则实数b的取值范围为
．
4．（24-25七年级下·广东江门·月考）解不等式：
5．（23-24七年级下·江西赣州·期末）先阅读绝对值不等式 和 的解法，再解答问题．①因为
，从数轴上（如图1）可以看出只有小于 的数和大于6的数的绝对值大于6．所以 的解集为
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学科网（北京）股份有限公司或 ．②因为 ，从数轴上（如图2）可以看出只有大于 且小于6的数的绝对值小于6，
所以 的解集为 ．
(1) 的解集为______；
(2)解不等式 ；
(3)解不等式 ．
6．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式 和 的解集过程．
对于含绝对值的不等式 ，从图1的数轴上看：大于 而小于3的数的绝对值小于3，所以 的解
集为 ；对于含绝对值的不等式 ，从图2的数轴上看：小于 或大于3的数的绝对值大于
3，所以 的解集为 或 ．
(1)求含绝对值的不等式 的解集；
(2)已知含绝对值的不等式 的解集为 ，求a，b的值．
题型三 列一元一次不等式
1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）“ 与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·四川成都·月考）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．a不是负数，可表示成
B．x与2的和是非负数，可表示成
C．m与4的差不多于3，可表示成
D．x不大于3，可表示成
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为
避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等
式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25八年级下·福建宁德·月考）白毫银针是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等功效，
某商家以300元/罐的价格购进一批罐装白毫银针，并在进价的基础上提价 进行售卖，设售出的数量为
，要使总销售额多于12万元，可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）杭州市丁荷中学、丁信中学组织七年级学生到屋顶农场参加实践活
动，某班的任务是平整土地 ，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操
作不熟练，只平整了 ．若设他们在剩余时间内每小时平整土地 ，则根据题意可列不等式为
（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）根据数量关系“ 的一半与1的差不大于 ”，可列不等式
．
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明家距新华书店 ．他于星期日上午 从家里出发，骑车前
往书店购书，先以 的速度行驶了 后，又以 的速度继续行驶，结果在 之前赶到了书
店．请列出相应的不等式．
题型四 用一元一次不等式解决实际问题
1．（25-26九年级上·重庆·月考）中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯，
有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，已知进货4盒甲种月饼，3盒乙种月饼，花费145
元，进货3盒甲种月饼，4盒乙种月饼，花费135元．
(1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少?
(2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙
种月饼按计划按时卖完，甲种月饼卖了 后，发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但
直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不
少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒?
2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲、乙两型自行车进
货价格分别为每台500元和800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利600元，销售1
台甲型自行车和3台乙型自行车，可获利550元．
(1)该公司销售一台甲型、十台乙型自行车的利润各是多少元？
(2)该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，则购进甲、乙各多少台时
才能使得利润最大？最大利润为多少元？
(3)为测试自行车的性能，小明和小华两人同时从相距45千米的 地前往 地，小明骑电动车，小华骑自
行车，小明到达 地停留半个小时后返回 地，如图是他们离 地的距离 （千米）与时间 （小时）之
间的函数图象，请直接写出多长时间他们相距15千米？
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学购进甲、乙两类图书若干套．已知1套甲类图书比1套乙类
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学科网（北京）股份有限公司图书的进价高30元，买3套甲类图书和2套乙类图书一共需要540元．
(1)甲、乙两类图书每套的进价分别是多少元？
(2)根据实际需要，学校决定购买甲、乙两类图书共100套，其中甲类图书的数量不少于乙类图书的 ，且
甲类图书购买的数量不超过45套．共有几种购买方案？
(3)若购买甲类图书 套，学校购买这批图书的总费用为 元，在（2）的条件下，哪种方案的 最小？求出
的最小值．
4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只 元，茶杯每只 元，商店有两
种优惠方法：
（1）买一只茶壶送一只茶杯；
（2）按总价的 付款．
现有一顾客需购买 只茶壶， 只（不少于 只）茶杯，要使方法（2）比方法（1）更省钱，则至少需要
购买多少只茶杯？
5．（25-26七年级上·山东日照·月考）某商品的进价是 元，售价是 元，由于销售情况不好，商店
决定降价出售，但又要保证利润率不低于 ，那么商店最多可打几折出售此商品？
6．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题：
截至2025年6月27日，渝厦高铁（渝黔段）开通后，重庆市高铁总里程为1435公里，未来五年重庆市将
持续打造“米”字型高铁网．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度
是乙工程队的1.5倍：若甲、乙两个工程队合作挖掘360米隧道，用了6天完成．
(1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米隧道？
(2)该段隧道总长720米，计划甲队先施工m天，剩余工程由乙队完成．甲队每天挖掘费用8万元，乙队每
天4万元，若总费用不高于160万元，且甲队施工天数不少于16天，则有哪几种施工方案？（甲、乙工程
队挖掘天数均为正整数）
7．（25-26七年级上·重庆·期末）某商店5月1日举行促销活动，当天到该店购买商品有两种优惠方案：
方案 ：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任意商品，一律打八折．
方案①：若不购买会员卡，则购买商店内任意商品，一律打九五折．
已知②小芳5月1日前不是该商店的会员．
(1)若小芳不购买会员卡，购买一件商品时付了380元，她购买这件商品优惠了多少元？
(2)请你帮小芳算一算，当购买商品超过多少元时，采用方案 更合算？
题型五 用一元一次不等式解决几何问题 ①
1．（24-25七年级下·河北·月考）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示
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学科网（北京）股份有限公司和 ，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ）
A． B． C． D．0
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形的边长是整数，周长是10，则这样的等腰三角形的个数
是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（25-26九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为 ，
设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少 （用含x的代数式表示）．
4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，嘉琪设计了个一动画，已知数轴上点 ， ， 表示的数分
别为 ， ， ， 是 的中点，机器人 （看成点）从点 出发，以 个单位长度 秒的速度沿数
轴正方向运动，当机器人 到达点 时，机器人 （看成点）同时从点 出发，以 个单位长度 秒的
速度沿数轴正方向运动．设机器人 的运动时间为 秒．
(1) 的长为______个单位长度，x的值为______；
(2)当 时，求点M表示的数；
(3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时
长；
5．（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图1，边长为 的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，
这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)这个纸盒的底面积是______ ，高是______ ；（用含有a，x的代数式表示）
(2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算： ______， ______；（表中
的其余空格不用填）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
纸盒
容积 m n
(3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，
则该长方形盖子的两边长分别是______ ，______ ；（用含有a，y的代数式表示）
(4)某工厂计划用 张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个
纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁
法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一
种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作
该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？
6．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，在 中， ， ， ． 为 的
中点，动点 从 点出发，先以 的速度沿 运动，到达点 后再以 的速度沿 向终点
运动．设点 的运动时间为 ， 的面积为 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)当 ______时，点 运动到点 ；
(2)当点 在 边上运动时， 的长度为多少厘米．（用含 的代数式表示）；
(3)在点 的运动过程中，请用含 的代数式表示 ；
(4)当 时，请直接写出 的取值范围．
题型一 一元一次不等式综合
1．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）我们把 （ 为实数）叫做取整函数，也称之为高斯
（Gaussian）函数， 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ，以下说法
正确的是（ ）
A．对于任意的实数 ，都有
B．对于任意的实数 ， ，若 ，则
C．满足不等式 的所有实数 的范围为 或
D．
2．（25-26八年级上·北京西城·月考）在平面直角坐标系 中，过点 作直线 轴，图形 关
于直线 的对称图形为 ，图形 上任一点到 轴， 轴的距离的最大值是 ，称 是图形 关于直线
的 倍镜像“接收距离”．
已知点 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)①线段 关于直线 的1倍镜像“接收距离”是________；
②线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”是3， 的取值范围是________；
(2)点 ， 关于直线 的 倍镜像“接收距离”的最小值是________；
(3)点 ， ，线段 关于直线 的 倍镜像“接收距离”小于线段 关于直线 的 倍
镜像“接收距离”，求 的取值范围（直接写出结果即可）．
3．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式
可以配成完全平方式 ，因为 具有非负性，所以 ，这样的非负性
有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用 ， 代替x，y可得：
∴
∴ ，
当且仅当 时，等号成立．
因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值．
例：当 时， ，当且仅当 ，即 时， 有最小值为2．
阅读材料二：对于一个关于x的方程 ，我们也可以通过配方的方式把它变形为
，从而解出该方程的解为 ．
例：若 ，则变形为 ，
∴该方程的解为 ，
化简后得： ．
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学科网（北京）股份有限公司请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题：
(1)若 ，当 _______时，式子 的最大值为_______．
(2)若 ，求出 的最小值及对应的x的值．
(3)已知关于 的代数式 ，求M的最小值及此时a和x的值．
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