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2.3 一元一次不等式与一次函数
题型一 由y的取值范围求x的取值范围
1．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的
思想进行求解．
（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）根据直线经过 ， ，画出函数图象即可；
（3）根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：设该一次函数的表达式为
将 ， 代入得，
解得
∴该一次函数的表达式为 ；
（2）解：如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：由图象可得，一次函数经过点
∴当 时， ．
2．
【答案】(1)
(2)见解析，
(3)
【分析】本题考查了一次函数的性质．
（1）设一次函数的解析式为 ，根据“当 时 ，当 时 ”计算即可；
（2）画出图象，求出当 时 ，进而计算即可；
（3）由函数图象可知，y随x的增大而增大，当 时， ，当 时， ，即可作答．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为 ，
∵当 时 ，当 时 ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
（2）解：如图：
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学科网（北京）股份有限公司当 时 ，
∴图象与两条坐标轴围成的三角形面积为 ；
（3）解：由函数图象可知，y随x的增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
即 时，自变量 的取值范围是 ．
故答案为： ．
3．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数与不等式，一次函数的平移，熟练掌握以
上知识点是解答此题的关键．
（1）分别求出直线与 轴、 轴的交点，画出函数图象即可；
（2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论；
（3）根据平移的规律求得即可．
【详解】（1）解：当 时， ；当 时， ，
x … 0 2 …
y … 4 0 …
画图如下图，即为所求：
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：根据图象，可知 时，直线 的图象在 轴上方，那么当 时，x的范围是 ；
故答案为： ；
（3）解：将直线 沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为 ．
故答案为： ．
题型二 由x的取值范围求y的取值范围
1． 【答案】D
2．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关键是正确得出函数解析式．
（1）将点的坐标代入，运用待定系数法求解；
（2）两点法即可确定函数的图象．
（3）利用A、B点坐标，然后根据面积公式求解即可；
（4）先求出当 时， ，再结合图象即可判断得解．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过点 、 ．
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意，结合（1）可得 ，可以作图如下：
（3）解：由题意，设直线 与x轴交于点C，
令 ，则 ，解得 ，
∴ ．
作 于点H，
又∵ ，
∴ ．
∴原点O到直线 的距离为 ．
故答案为： ；
（4）解：由图象可知，∵当 时， ，
∴当 时，y的取值范围是 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
3．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．把解不等式的问题转
化为比较函数值的大小，从而可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围．
（1）过 ， ， 画直线得到函数 的图象，然后结合函数图象当 时直线 在直线 的下方，
从而得到 ；
（2）写出直线 在直线 的下方且 的函数值不小于 所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：如图，当 时，一次函数 的图象在正比例函数 的图象的下方，
∴当 时， ；
（2）解：如图，求 的解集即求一次函数 的图象在正比例函数 的图象的下
方，且 的函数值不小于 时所对应的自变量 的取值范围，
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学科网（北京）股份有限公司∴不等式 的解集为 ．
4．
【答案】(1) ；②见解析；
①
(2) ；
(3)
【分析】本题考查了一次函数的性质．
（1）①将 ， 代入 计算即可；
②描点连线即可；
（2）分别求出当 和 时y的值，进而作答即可；
（3）求出平移后的函数解析式，再将 代入计算即可．
【详解】（1）①解：将 ， 代入 得：
，
解得： ；
②解：如图，标出点 ， ，进而连线即可；
（2）解：由（1）可知
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学科网（北京）股份有限公司当 时，
当 时， ，
∴当 时， ，
故答案为： ；
（3）解：将一次函数的图象向上平移 个单位得到 ，
∵经过 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
题型一 由直线与坐标轴的交点求不等式解集
1． 【答案】A
2． 【答案】A
3． 【答案】B
4． 【答案】
5． 【答案】
6． 【答案】
7． 【答案】
题型二 根据两条直线的交点求不等式解集
1． 【答案】D
2． 【答案】D
3． 【答案】
4． 【答案】
5． 【答案】
6． 【答案】
题型三 与不等式有关的新定义题
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学科网（北京）股份有限公司1． 【答案】2
2．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）根据新定义即可求解；
（ ）由题意得 ， 然后解不等式即可；
（ ）由 ，得 ，再通过一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得， ，当 时， ，
故答案为： ， ；
（2）解：由题意得： ，
解得 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
由图象得，当 时， ，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
题型四 一元一次不等式与一次函数的综合运用
1．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两个直线的交点横坐标，结合图象中直线 在 上方的区域，直接得出不等式的解集；
（2）先将点 代入 求出其坐标，再代入 求出 得到 的解析式，找到相关点的坐标后，将 的面
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学科网（北京）股份有限公司积拆分为两个三角形的面积和进行计算．
【详解】（1）解：直线 与 交于点 ，且不等式表示 的函数值大于 的函数值．
则关于 的不等式 的解集为 ．
（2）解：把 代入 ，得 ，
．
把 代入 ，得 ，解得 ，
直线 的函数解析式为 ．
如图，设直线 与 轴交于点 ．
对于 ，令 ，则 ，
．
对于 ，令 ，则 ，
；
令 ，则 ，解得 ，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算，掌握利用函
数图象解不等式，及通过拆分图形求复杂三角形面积是解题的关键．
2．
【答案】(1)直线 函数表达式为 ；直线 函数表达式为 ；
(2)
(3)
(4)点 坐标为 或
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，
分类讨论是解题的关键．
（1）由点 和点 坐标可求出直线 函数表达式，再求出点 坐标，根据点 和点 坐标可求出直线 函
数表达式；
（2）分别求出点 和点 坐标，进而根据面积公式求解即可；
（3）根据图象即可解答；
（4）分类讨论，点 在点 上方和下方，然后表示出 的面积，再根据面积公式求解即可．
【详解】（1）解：将点 代入 得， ，
解得： ，
∴直线 函数表达式为 ；
由题可知 ，
，
将 代入 得， ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
∴直线 函数表达式为 ；
（2）解：令 ，得 ，
∴ ，
令 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴当 时， ，
∴关于x的不等式 的解集是 ．
（4）解：当点 在点 上方时，如图，
此时 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司解得： （负值已舍去），
此时 ，
；
当点 在点 下方时，如图，
此时 ，
，
解得： （正值舍去），
此时 ，
；
综上，满足题意的点 坐标为 或 ．
3．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)存在， 或 ．
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键．
（1）将 代入 求出E的坐标，再代入 求m的值即可；
（2）直接根据函数图象作答即可；
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学科网（北京）股份有限公司（3）求出 、 坐标，根据三角形高相等，面积比等于底的比作答即可．
【详解】（1）解：将 代入 得 ，即 ，
将 代入 得 ，
解得： ；
故答案为： ， ；
（2）解：由函数图象可知，当 时， ；
故答案为： ；
（3）解：当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
设 ，
当直线 把 分成面积之比为 的两部分时， 或 ，
当 时， ，解得： ， ；
当 时， ，解得： ， ．
4．
【答案】(1)图象见解析， ．
(2) 且 ．
【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式的应用、一次函数图象上点的坐标
特征；
（1）先画出一次函数图象，再根据函数图象写出不等式解集即可；
（2）先求出一次函数的解析式，然后根据当函数 经过点 或 时，两直线与 轴所围成
的三角形的面积为 ，结合图形，即可求解．
【详解】（1）解：（1）一次函数的图象如下：
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学科网（北京）股份有限公司由图象可知，当 时， ，
故答案为： ．
（2）解：设一次函数解析式为 ，
一次函数的图象经过点 ，
，
解得
一次函数解析式为 ；
∴一次函数与x轴的交点坐标为 ，
函数 为常数， 的图象和 轴的交点坐标为 ，
该函数与 轴交点坐标为 ，
∵两直线与 轴所围成的三角形的面积为 ，
∴当函数 为常数， 的图象与 轴交点坐标距离 有4个单位，
当函数 经过点 或 时，两直线与 轴所围成的三角形的面积为
即 或
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学科网（北京）股份有限公司解得： 或 ，
该一次函数的图象、函数 为常数， 的图象和 轴所围成的三角形的面积大于 ，
∴ 且 ．
5．
【答案】(1)1，
(2)
(3)存在，点 的坐标为 或
【分析】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特
征，正确计算是解题关键．
（1）将 代入 即可得出 的值，再求出一次函数 与 轴交点为 ，最后数形结
合求解即可；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征得到 ，根据题意以及一次函数的性
质当 时， 的值最小，代入求得即可．
（3）先求得 ．设点 在直线 上，其坐标为 ，再由三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：直线 与直线 交于点 ，
解得 ，
一次函数 解析式为 ，
令 得 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司一次函数 与 轴交点为 ，
不等式 的解集为 ，
故答案为：1， ；
（2）解：由（1）知：点 在线段 上，点 在直线 上，
， ，
，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
（3）解：存在，
直线 ，令 得 ，
．
设点 在直线 上，其坐标为 ，
其面积等于6，则有： ，
即 或 ．
解得 或 ，
所以 坐标为 或 ．
题型一 不等式与函数的综合问题
1．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)1或
(3)
【分析】（1）根据绝对值的意义即可得到结论；
（2）表示出 、 的坐标，由 ，得到 ，即可 或 ；
（3）联立两个函数解析式，求得 、 的坐标，利用两点间距离公式表示出 ，由 ，得到
，两边平方得到 ，
进而求得 ，由一次函数 图像与函数 的图像相交于 、 两点，把点
代入求得 的值，利用图像可得答案．
【详解】（1）当 时， ，
，
；
当 时， ，
；
故答案为： ； ；
（2） 过 轴上的动点 ，其中 ，作平行于 轴的直线，
， ，
，
，
解得 或 ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）画出函数 的图像如图，
一次函数 图像与函数 的图像相交于 、 两
点，
， ，
解得 ， ，
设 ， ，
，
， ，
，
，
，
把点 代入 得， ，
一次函数 图像与函数 的图像相交于 、 两点，
，
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学科网（北京）股份有限公司．
【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了绝对值的意义，一次函数图像上点的坐标特征，两点间
的距离，表示出 、 、 、 的坐标是解题的关键．
2．
【答案】（1）-5；（2） ；（3） ，
【分析】（1）将 代入解析式求解即可；
（2）根据一次函数的图像的性质，分类讨论①当 时，②当 时，③当 时，
根据一次函数的定义分别求得最大和最小值，再求其差为 ，从而求得m的值；
（3）设 , ，分类讨论①当 经过点 时，求得 的最小值， ②
当 经过点 时，③当 与线段 有交点时，④当 经过点 的时，⑤如图，当 经过点 时，分别判
断图象G与 的交点个数，得出符合题意的m的取值范围．
【详解】解：（1）当 时，函数
∵点 在图像G上
∴当 时， ．
（2）①当 时，即 时，对于函数 ，随着x的增大y也增大．
∴当 时，函数有最小值 ．
当 时，函数有最大值 ．
∴ ．
∴当 时，不存在m值使最大值与最小值的差为 ．
②当 时，即 时，对于函数 ，随着x的增大，y反而减小．
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学科网（北京）股份有限公司∴当 时，函数有最小值 ．
当 时，函数有最大值 ．
∴ ，故当 时，不存在m值使最大值与最小值的差为 ．
③当 时，即 时，图象G从左到右先上升，再下降，即随着x的增大y值先增大，
再减小，当 时有最大值 ．
当 时， ，当 时， ．
ⅰ当 时， ．
ⅱ当 时， ．
∴ 时，当 时，函数最大值与最小值的差为 ．
综上述： ．
（3）设 ,
①如图，当 经过点 时，
图象G与 有一个公共点，
将 代入 ，得：
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学科网（北京）股份有限公司解得
②当 经过点 时，将点 代入
解得
当 时，当图象G与 有两个公共点
如图，当 时， 即， 也经过点
此时，当图象G与 有两个公共点
③当 与线段 有交点时，
将点 代入 ，得
此时 与 交于点
当 继续增大时，图象G与 有四个公共点，
分别与线段 各有一个交点， 与线段 各有一个交点；
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学科网（北京）股份有限公司④如图，当 经过点 的时，将 代入
解得：
此时 分别与 各有一个交点，此时图象G与 有三个公共点
当 继续增大时，图象G与 有两个公共点
⑤如图，当 经过点 时，图象G与 有一个公共点，此时可以求得 的最大值
将 代入 ，得：
解得：
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学科网（北京）股份有限公司综上所述，当图象G与 有两个公共点时， 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数图像与性质等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键．
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