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2.3 一元一次不等式与一次函数
题型一 由y的取值范围求x的取值范围
1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）已知一次函数的图象经过点 和点 ．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)根据图象直接写出 时， 的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的
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学科网（北京）股份有限公司思想进行求解．
（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）根据直线经过 ， ，画出函数图象即可；
（3）根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：设该一次函数的表达式为
将 ， 代入得，
解得
∴该一次函数的表达式为 ；
（2）解：如图所示，
（3）解：由图象可得，一次函数经过点
∴当 时， ．
2．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知一次函数当 时 ，当 时 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求这个一次函数的解析式；
(2)作出它的图象，并求出图象与两条坐标轴围成的三角形面积；
(3) 时，自变量 的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)见解析，
(3)
【分析】本题考查了一次函数的性质．
（1）设一次函数的解析式为 ，根据“当 时 ，当 时 ”计算即可；
（2）画出图象，求出当 时 ，进而计算即可；
（3）由函数图象可知，y随x的增大而增大，当 时， ，当 时， ，即可作答．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为 ，
∵当 时 ，当 时 ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
（2）解：如图：
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学科网（北京）股份有限公司当 时 ，
∴图象与两条坐标轴围成的三角形面积为 ；
（3）解：由函数图象可知，y随x的增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
即 时，自变量 的取值范围是 ．
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）在平面直角坐标系中，已知一次函数 ，完成下列问题：
(1)画出一次函数 的图象；
x … …
y … …
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学科网（北京）股份有限公司(2)当 时，x的范围是______；
(3)将直线 沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数与不等式，一次函数的平移，熟练掌握以
上知识点是解答此题的关键．
（1）分别求出直线与 轴、 轴的交点，画出函数图象即可；
（2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论；
（3）根据平移的规律求得即可．
【详解】（1）解：当 时， ；当 时， ，
x … 0 2 …
y … 4 0 …
画图如下图，即为所求：
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：根据图象，可知 时，直线 的图象在 轴上方，那么当 时，x的范围是 ；
故答案为： ；
（3）解：将直线 沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为 ．
故答案为： ．
题型二 由x的取值范围求y的取值范围
1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知一次函数 的图象经过点 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 随 的增大而减小
B．图象经过第一、二、四象限
C．图象可由直线 向上平移4个单位长度得到
D．当 时，
【答案】D
【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式的关系，掌握相关知
识是解决问题的关键．先通过代入已知点坐标求出一次函数的解析式，再根据解析式逐一分析每个选项．
【详解】解：∵ 的图象经过点 ，代入得：
解得：
∴一次函数的解析式为 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，并非减小，故选项A错误；
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学科网（北京）股份有限公司在一次函数 中， ， ，
函数图象经过第一、二、三象限，并非第一、二、四象限，故选项B错误；
直线 向上平移4个单位长度，得到的函数解析式应为 ，与求出的 不一致，故
选项C错误；
令 ，即 ，
解得：
∴当 时， ，故选项D正确。
故选：D．
2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知一次函数 的图像经过点 、 ．
(1)求k、b的值；
(2)画出这个函数的图像；
(3)原点O到直线 的距离为______．
(4)当 时，y的取值范围是______．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，关键是正确得出函数解析式．
（1）将点的坐标代入，运用待定系数法求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）两点法即可确定函数的图象．
（3）利用A、B点坐标，然后根据面积公式求解即可；
（4）先求出当 时， ，再结合图象即可判断得解．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过点 、 ．
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意，结合（1）可得 ，可以作图如下：
（3）解：由题意，设直线 与x轴交于点C，
令 ，则 ，解得 ，
∴ ．
作 于点H，
又∵ ，
∴ ．
∴原点O到直线 的距离为 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ；
（4）解：由图象可知，∵当 时， ，
∴当 时，y的取值范围是 ．
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，直线 经过 ， 两点．在同一坐标系中
画出函数 的图象，根据图象回答下列问题：
(1)当 时，写出 与 的大小关系；
(2)直接写出不等式 的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．把解不等式的问题转
化为比较函数值的大小，从而可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围．
（1）过 ， ， 画直线得到函数 的图象，然后结合函数图象当 时直线 在直线 的下方，
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学科网（北京）股份有限公司从而得到 ；
（2）写出直线 在直线 的下方且 的函数值不小于 所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：如图，当 时，一次函数 的图象在正比例函数 的图象的下方，
∴当 时， ；
（2）解：如图，求 的解集即求一次函数 的图象在正比例函数 的图象的下
方，且 的函数值不小于 时所对应的自变量 的取值范围，
∴不等式 的解集为 ．
4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数 的图象经过点 ， ．
(1) 求 ， 的值；
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①
学科网（北京）股份有限公司②在上图的平面直角坐标系中画出该一次函数图象；
(2)当 时，直接写出 的取值范围： ；
(3)将一次函数的图象向上平移 个单位后恰好经过 ，则 的值为 ．
【答案】(1) ；②见解析；
①
(2) ；
(3)
【分析】本题考查了一次函数的性质．
（1）①将 ， 代入 计算即可；
②描点连线即可；
（2）分别求出当 和 时y的值，进而作答即可；
（3）求出平移后的函数解析式，再将 代入计算即可．
【详解】（1）①解：将 ， 代入 得：
，
解得： ；
②解：如图，标出点 ， ，进而连线即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：由（1）可知
当 时，
当 时， ，
∴当 时， ，
故答案为： ；
（3）解：将一次函数的图象向上平移 个单位得到 ，
∵经过 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
题型一 由直线与坐标轴的交点求不等式解集
1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
那么不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，核心是将不等式 的求解转化为一次函数
图像中 对应的 的取值范围，体现了数形结合的思想．
法1：结合函数图像，不等式 的解集就是直线 在 轴上方部分对应的横坐标的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司法2：将点 ，点 代入 ，可求得 ，将 代入不等式，然后解一元一次不等式即
可求解．
【详解】解：法1： 直线 与x轴交于点 ，
当 时，函数图像在 轴上方，此时 ，
不等式 的解集是 ．
法2：将点 ，点 代入 ，
得 ，解得 ，
将 ， 代入 ，得 ，
，
，
即 ．
故选： ．
2．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，若函数 的图象经过点 ，则关于x的不等式
的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在
x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
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学科网（北京）股份有限公司直接根据函数图象写出不等式的解集即可．
【详解】解：由图象可得：当 时函数 的函数值小于2，故不等式 的解集为 ．
故选：A．
3．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）一次函数 的图象如图所示，当 时，x的取值范围是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，利用
数形结合的思想解答．依据题意，由函数的图象，可以得到该函数 时x的值和该函数的增减性，从而
可以得到当 时，x的取值范围．
【详解】解：根据函数图象可知：当 时， ，
故选：B．
4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线 （k，b为常数，且 ）经过 和
两点，则关于x的不等式组 的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在 的左侧所对应的
自变量的值即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵直线 经过 和 两点，
∴当 时， ，
∴关于x的不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·上海·期中）如果直线 过第二、三、四象限， 与x轴的交点为 ，
那么关于x的不等式 的解集 是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握根据函数图
象解不等式的方法．由直线过第二、三、四象限可知 ，然后画出草图，根据一次函数和一元一次不等
式的关系，结合函数图象求不等式的解集．
【详解】解：∵直线 过第二、三、四象限，
∴ ，
又直线与x轴的交点为 ，
∴草图如下：
不等式 表示一次函数图象在x轴下方的部分，
根据图象，当 ，函数图象在x轴下方，
故不等式的解集是 ．
故答案是： ．
6．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线 经过 和 两点，则不等式
的解集为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解
题的关键．可以从函数图象的角度去分析，就是确定 的解集就是确定直线 在直线
上方且在直线 下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
【详解】解：∵直线 经过 和 两点，
∴不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）（1）已知一次函数 的图象经过 两点，则当
x 时， ．
（2）如图是一次函数 的图象，则关于x的不等式 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，
（1）利用待定系数法把点 代入 ，可得关于k、b的方程组，再解出方程组可得k、
b的值，进而得到函数解析式，再解不等式即可；
（2）根据当 时，图象在x轴上方，此时 ，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵一次函数 的图象经过两点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得： ，
这个一次函数的表达式为 ．
解不等式 ，
解得 ．
故答案为： ；
（2）解：由题意可得：一次函数 中，当 时，图象在x轴上方， ，
则关于x的不等式 的解是 ，
故答案为： ．
题型二 根据两条直线的交点求不等式解集
1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）已知一次函数 与 的图象如图所示，当 时，
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，理解题意是解决本题的关键．
根据图象可得，两直线交点的横坐标为1，即可得到当 时， 的取值范围．
【详解】解：由图象可得，两直线交点的横坐标为1，
∴当 时， 的取值范围为 ，
故选D．
2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）在平面直角坐标系 中，一次函数 和
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学科网（北京）股份有限公司，无论x取何值，始终有 ，m的取值范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由于无论
x取何值始终有 ，且 和 均为一次函数，故两直线必须平行，得到 ，再根据 恒成
立求m的取值范围即可．
【详解】解：∵ ， ，
且无论x取何值始终有 ，
∴两直线平行，即 ，
∴ ，
∵ 恒成立，
∴ ，解得 ，
又∵ ，
∴ 且 ；
故选：D．
3．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系 中，函数 过点 ，
函数 的图象过 ，两函数图象交点 的横坐标为1，则满足 的 的取值范围
为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，理解题意，结合函数 过点
，函数 的图象过 ，两函数图象交点 的横坐标为1，运用数形结合思想得出
满足 的 的取值范围为 ，即可作答．
【详解】解：∵函数 过点 ，函数 的图象过 ，两函数图象交
点 的横坐标为1，
∴满足 的 的取值范围为 ，
故答案为： ．
4．（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，函数 为常数， 与 均为常数且都
不为 的图象相交于点 ，则关于 的不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】由图可得过原点的直线 是函数 的图象，不等式 表示直线 在
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学科网（北京）股份有限公司上方时 的取值范围，通过交点 可得当 时满足条件；本题主要考查了一次函数和一元一次
不等式的图象和性质，熟练运用数形结合的思想，掌握两个图象的交点是两个函数值大小关系的分界点是
解题的关键．
【详解】解：由图得直线 是函数 的图象，
解不等式 即求直线 在 上方时 的取值范围，
又∵两直线相交于点 ，
∴当 时满足条件，
故不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
5．（14-15八年级上·江苏无锡·期末）一次函数 与 的图象如图所示，若
，根据图象可得x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系， 表示在x轴的上方，且
的图象在 的图象的上边部分自变量的取值范围，根据图象即可直接求解．
【详解】解：根据图象可得， ，则x的取值范围是： ．
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，函数 ， 的图象交于点 ，则关于x的
不等式 的解集为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查了根据两直线的交点求不等式的解集，一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图
象与性质，利用数形结合的思想方法是解题的关键．
先根据点P的坐标求得m的值，进而求得 的解集，然后根据函数图象得到直线 在直线
上方时的x的取值范围，即可解答．
【详解】解：∵点 在函数 的图象上，
把 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ，
则 ，
解得 ，
∴ 的解集为 ，
由图象可知，当 时，直线 的图象在直线 的图象的上方，
∴ 的解集为 ，
综上， 的解集为 ．
故答案为： ．
题型三 与不等式有关的新定义题
1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）对于三个数a、b、c， 表示a、b、c这三个数中最小的数，
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学科网（北京）股份有限公司如： ，若 ，则y的最大值是 ．
【答案】2
【分析】此题考查了一次函数的交点问题，一次函数的图象和性质，设 ， ， ，
首先分别联立求出三个函数的交点，然后结合图象求解即可．
【详解】解：如图所示，
设 ， ， ，
当 时， ，
解得 ，此时
∴ ，
当 时， ，
解得 ，此时
∴ ，
当 时， ，
解得 ，此时
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴由图象可得，当 时， ，且 ；
当 时， ，且 ，
y的最大值为2．
∴故答案为：2．
2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）定义运算 ：当 时 ， ； 当 时 ，
．如： ， ， ．根据该定义运算完成下列问题：
(1) __________，当 时， __________；
(2)若 ，求 的取值范围；
(3)如图，已知直线 与 相交于点 ，若 ，结合图象，直
接写出 的取值范围是__________．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）根据新定义即可求解；
（ ）由题意得 ， 然后解不等式即可；
（ ）由 ，得 ，再通过一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得， ，当 时， ，
故答案为： ， ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：由题意得： ，
解得 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
由图象得，当 时， ，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
题型四 一元一次不等式与一次函数的综合运用
1．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与 轴交于点 ，与
直线 ： 交于点 ，直线 分别与 轴、 轴交于点 ， ，连接 ．
(1)根据图象直接写出关于 的不等式 的解集．
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两个直线的交点横坐标，结合图象中直线 在 上方的区域，直接得出不等式的解集；
（2）先将点 代入 求出其坐标，再代入 求出 得到 的解析式，找到相关点的坐标后，将 的面
积拆分为两个三角形的面积和进行计算．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：直线 与 交于点 ，且不等式表示 的函数值大于 的函数值．
则关于 的不等式 的解集为 ．
（2）解：把 代入 ，得 ，
．
把 代入 ，得 ，解得 ，
直线 的函数解析式为 ．
如图，设直线 与 轴交于点 ．
对于 ，令 ，则 ，
．
对于 ，令 ，则 ，
；
令 ，则 ，解得 ，
，
．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算，掌握利用函
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学科网（北京）股份有限公司数图象解不等式，及通过拆分图形求复杂三角形面积是解题的关键．
2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴
交于点 ， B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且
，直线 与直线 交于点 ．
(1)求直线 与 的函数表达式．
(2)求 的面积．
(3)根据图像写出关于x的不等式 的解集．
(4)在直线 上是否存在一点 P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)直线 函数表达式为 ；直线 函数表达式为 ；
(2)
(3)
(4)点 坐标为 或
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，
分类讨论是解题的关键．
（1）由点 和点 坐标可求出直线 函数表达式，再求出点 坐标，根据点 和点 坐标可求出直线 函
数表达式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）分别求出点 和点 坐标，进而根据面积公式求解即可；
（3）根据图象即可解答；
（4）分类讨论，点 在点 上方和下方，然后表示出 的面积，再根据面积公式求解即可．
【详解】（1）解：将点 代入 得， ，
解得： ，
∴直线 函数表达式为 ；
由题可知 ，
，
将 代入 得， ，
解得： ，
∴直线 函数表达式为 ；
（2）解：令 ，得 ，
∴ ，
令 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：∵ ，
∴当 时， ，
∴关于x的不等式 的解集是 ．
（4）解：当点 在点 上方时，如图，
此时 ，
，
解得： （负值已舍去），
此时 ，
；
当点 在点 下方时，如图，
此时 ，
，
解得： （正值舍去），
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学科网（北京）股份有限公司此时 ，
；
综上，满足题意的点 坐标为 或 ．
3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y轴分别交于
点A，点B．
直线 与 交于点E．若点E坐标为 ．
(1)直接写出E的坐标和m的值：______；
(2)当 时，x的取值范围是：______；
(3)在x轴上是否存在点P，使直线 把 分成面积之比为 的两部分？若存在，请求出P点的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)存在， 或 ．
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键．
（1）将 代入 求出E的坐标，再代入 求m的值即可；
（2）直接根据函数图象作答即可；
（3）求出 、 坐标，根据三角形高相等，面积比等于底的比作答即可．
【详解】（1）解：将 代入 得 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司将 代入 得 ，
解得： ；
故答案为： ， ；
（2）解：由函数图象可知，当 时， ；
故答案为： ；
（3）解：当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
设 ，
当直线 把 分成面积之比为 的两部分时， 或 ，
当 时， ，解得： ， ；
当 时， ，解得： ， ．
4．（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点 ．
(1)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当 ______时， ；
(2)若该一次函数的图象、函数 ( 为常数， )的图象和 轴所围成的三角形的面积大于 ，直
接写出 的取值范围．
【答案】(1)图象见解析， ．
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学科网（北京）股份有限公司(2) 且 ．
【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式的应用、一次函数图象上点的坐标
特征；
（1）先画出一次函数图象，再根据函数图象写出不等式解集即可；
（2）先求出一次函数的解析式，然后根据当函数 经过点 或 时，两直线与 轴所围成
的三角形的面积为 ，结合图形，即可求解．
【详解】（1）解：（1）一次函数的图象如下：
由图象可知，当 时， ，
故答案为： ．
（2）解：设一次函数解析式为 ，
一次函数的图象经过点 ，
，
解得
一次函数解析式为 ；
∴一次函数与x轴的交点坐标为 ，
函数 为常数， 的图象和 轴的交点坐标为 ，
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学科网（北京）股份有限公司该函数与 轴交点坐标为 ，
∵两直线与 轴所围成的三角形的面积为 ，
∴当函数 为常数， 的图象与 轴交点坐标距离 有4个单位，
当函数 经过点 或 时，两直线与 轴所围成的三角形的面积为
即 或
解得： 或 ，
该一次函数的图象、函数 为常数， 的图象和 轴所围成的三角形的面积大于 ，
∴ 且 ．
5．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线 与直线 交于点 ，与
轴交于点 ．
(1) ；不等式 的解集为 ，
(2)若点 在线段 上，点 在直线 上，则 的最小值 ．
(3)直线 上是否存在一点P，使得 的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标．
【答案】(1)1，
(2)
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学科网（北京）股份有限公司(3)存在，点 的坐标为 或
【分析】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特
征，正确计算是解题关键．
（1）将 代入 即可得出 的值，再求出一次函数 与 轴交点为 ，最后数形结
合求解即可；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征得到 ，根据题意以及一次函数的性
质当 时， 的值最小，代入求得即可．
（3）先求得 ．设点 在直线 上，其坐标为 ，再由三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：直线 与直线 交于点 ，
解得 ，
一次函数 解析式为 ，
令 得 ，解得 ，
一次函数 与 轴交点为 ，
不等式 的解集为 ，
故答案为：1， ；
（2）解：由（1）知：点 在线段 上，点 在直线 上，
， ，
，
，
的最小值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
（3）解：存在，
直线 ，令 得 ，
．
设点 在直线 上，其坐标为 ，
其面积等于6，则有： ，
即 或 ．
解得 或 ，
所以 坐标为 或 ．
题型一 不等式与函数的综合问题
1．（21-22八年级下·江苏南通·期末）在练习“一次函数”复习题时，我们发现了一种新的函数：“绝对
值函数”： ，请类比探究函数 ．
(1)当 时， ______，当 时， ______ 用含 的代数式表示 ；
(2)过 轴上的动点 ，其中 ，作平行于 轴的直线，分别与函数 的图像相交于 、
两点 点 在点 的左侧 ，若 ，求 的值；
(3)若一次函数 图像与函数 的图像相交于 、 两点， ，直接写出 的取值
范围．
【答案】(1)
(2)1或
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学科网（北京）股份有限公司(3)
【分析】（1）根据绝对值的意义即可得到结论；
（2）表示出 、 的坐标，由 ，得到 ，即可 或 ；
（3）联立两个函数解析式，求得 、 的坐标，利用两点间距离公式表示出 ，由 ，得到
，两边平方得到 ，
进而求得 ，由一次函数 图像与函数 的图像相交于 、 两点，把点
代入求得 的值，利用图像可得答案．
【详解】（1）当 时， ，
，
；
当 时， ，
；
故答案为： ； ；
（2） 过 轴上的动点 ，其中 ，作平行于 轴的直线，
， ，
，
，
解得 或 ；
（3）画出函数 的图像如图，
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学科网（北京）股份有限公司一次函数 图像与函数 的图像相交于 、 两
点，
， ，
解得 ， ，
设 ， ，
，
， ，
，
，
，
把点 代入 得， ，
一次函数 图像与函数 的图像相交于 、 两点，
，
．
【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了绝对值的意义，一次函数图像上点的坐标特征，两点间
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学科网（北京）股份有限公司的距离，表示出 、 、 、 的坐标是解题的关键．
2．（20-21八年级下·辽宁大连·期末）已知函数 ，其中m为常数，该函数的图象记
为G．
（1）当 时，若点 在图象G上，求n的值；
（2）当 时，若函数最大值与最小值的差为 ，求m的值；
（3）已知点 ， ， ，当图象G与 有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）-5；（2） ；（3） ，
【分析】（1）将 代入解析式求解即可；
（2）根据一次函数的图像的性质，分类讨论①当 时，②当 时，③当 时，
根据一次函数的定义分别求得最大和最小值，再求其差为 ，从而求得m的值；
（3）设 , ，分类讨论①当 经过点 时，求得 的最小值， ②
当 经过点 时，③当 与线段 有交点时，④当 经过点 的时，⑤如图，当 经过点 时，分别判
断图象G与 的交点个数，得出符合题意的m的取值范围．
【详解】解：（1）当 时，函数
∵点 在图像G上
∴当 时， ．
（2）①当 时，即 时，对于函数 ，随着x的增大y也增大．
∴当 时，函数有最小值 ．
当 时，函数有最大值 ．
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∴当 时，不存在m值使最大值与最小值的差为 ．
②当 时，即 时，对于函数 ，随着x的增大，y反而减小．
∴当 时，函数有最小值 ．
当 时，函数有最大值 ．
∴ ，故当 时，不存在m值使最大值与最小值的差为 ．
③当 时，即 时，图象G从左到右先上升，再下降，即随着x的增大y值先增大，
再减小，当 时有最大值 ．
当 时， ，当 时， ．
ⅰ当 时， ．
ⅱ当 时， ．
∴ 时，当 时，函数最大值与最小值的差为 ．
综上述： ．
（3）设 ,
①如图，当 经过点 时，
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学科网（北京）股份有限公司图象G与 有一个公共点，
将 代入 ，得：
解得
②当 经过点 时，将点 代入
解得
当 时，当图象G与 有两个公共点
如图，当 时， 即， 也经过点
此时，当图象G与 有两个公共点
③当 与线段 有交点时，
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学科网（北京）股份有限公司将点 代入 ，得
此时 与 交于点
当 继续增大时，图象G与 有四个公共点，
分别与线段 各有一个交点， 与线段 各有一个交点；
④如图，当 经过点 的时，将 代入
解得：
此时 分别与 各有一个交点，此时图象G与 有三个公共点
当 继续增大时，图象G与 有两个公共点
⑤如图，当 经过点 时，图象G与 有一个公共点，此时可以求得 的最大值
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学科网（北京）股份有限公司将 代入 ，得：
解得：
综上所述，当图象G与 有两个公共点时， 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数图像与性质等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键．
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