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第二章 不等式与不等式组
2.4 一元一次不等式组
【素养目标】
1. 理解一元一次不等式组及其解集的概念。(重点)
2. 掌握一元一次不等式组的解法。(重点)
3. 会利用数轴表示一元一次不等式组的解集，进一步渗透数形结合思想，发展
几何直观的能力。
4. 会运用一元一次不等式组解决简单的实际问题，培养学生的应用意识和实践
能力，感受数学与现实世界的紧密联系。(难点)
【情境导入】
某学校举办春季运动会，八(1) 班承担制作彩旗的任务，计划用4天的课余
时间制作彩旗。如果每天比原计划多制作5面，那么所制作彩旗总量将超过124
面；如果每天比原计划少制作6面，那么所制作彩旗总量将不足96面。设八(1)
班原计划每天制作x面彩旗，你能列出哪些不等式？
【合作探究】
探究点一、一元一次不等式组的概念
根据题意，可以得到不等式4(x+5) > 124 , 4(x−6)< 96 ，其中x所代表
的对象相同，因此x必须同时满足这两个不等式。把它们合在一起，就组成了一
元一次不等式组，
{4(x+5) > 124, ①
4(x−6) < 96. ②
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一
元一次不等式组。
判断：下列哪些是一元一次不等式组？
{ x > 2 {x > 5 {x2 > x+5 {(x−2)( x−3) > 0 {a > 0 {x+2 = 6
x <−1 y > 2 x < 2 x ⩽1 a ≠ 1 x−1 ≤ 7
第 1 页【想一想】
1. 在下面的习题中，如果要配制的饮料同时满足两个小题的条件，那么你能列
出一个不等式组吗？
用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素 C含量及购
买这两种原料的价格如下表所示：
原料 甲 乙
维生素C的含量/(单位/ kg 600 100
原料价格/(元/kg) 8 4
(1) 现配制这种饮料10 kg，要求至少含有4200 单位的维生素C ，试写出所需
甲种原料的质量 x (单位：kg ) 应满足的不等式；
(2) 如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，那么你能写出 x (单
位： kg ) 应满足的另一个不等式吗？
探究点二、一元一次不等式组的解法
【想一想】
{ 4(x+5) > 124,①
2.你能尝试找出符合导入的一元一次不等式组 的未知数
4(x−6) < 96. ②
的值吗？与同伴交流。
【归纳总结】
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次不
等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组。
{
2x−1 > −x ; ①
例1 解不等式组： 1
x < 3. ②
2
第 2 页【练一练】
1. 解下列不等式组：
{ 2x−4 < x+1 { 3x+2 > 2(x−1)
(1) (2)
2x−4 > −(x+1) 4x−3 ≤ 3x−2
2. 解不等式组： { 3x−2 < x+1 ①
x+5 > 4x+1 ②
{ 5x−2>3(x+1);①
例2 解不等式组：
1 3
x−1≥7− x. ②
2 2
【尝试思考】
1. 是否存在实数x ，使得 x+3 < 5 ，且 x−2 > 4 ?
2. 解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各不等式的解的公共部分时，
有几种不同情况？
【针对训练】
1. 填表：
第 3 页{ x > −3 { x>−5 { x−5<0 { x−5≥0
不等式组 x ≥ −5 x ≤ −3 x+3<0 x+3<0
不等式组的解集
探究点三、一元一次不等式组的应用
例3 已知不等式组 { 2x−a < 1 的解集为−1 < x < 1 , 则 (a+1)(b−1) 的
x−2b > 3
值为多少？
【阅读·思考】
一个人的头发大约有10万到20万根，每根头发每天大约生长 0.32 mm。
小红的头发现在大约有10 cm长，那么大约经过多长时间，她的头发才能生长
为 16cm到28cm ?
例4 学校给七年级男生安排宿舍，如果安排 4人一间，还有26人安排不下，如
果安排6人一间，则只有一间宿舍未住满，且该间宿舍也有人住，那么，学校
给七年级男生分配的宿舍可能有多少间？
第 4 页当堂反馈
1.下列是一元一次不等式组的是( )
A.
{x-y>0, B.{x2-x >0,
C.
{y+2>0, D.{2x+3>0,
y+z>0 x+1<0 x+y<0 x>0
2.不等式组{x＋5＞0，
的解集是( )
2x ≤ 6
A.x>-5 B. x<3 C.-53 D.a≤3
4.若点P(a＋5，4－a)是第四象限的点，则a的取值范围是_________.
5.不等式组
{3x＋6 ≥ 0，
的所有整数解的和为__________.
2－x＞0
6.解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来。
(1){x+1 ≥ 0,
x+3 ≥2x ;
书写通关
{x＋1≥0①，
解：
x＋3≥2x ② ，
解不等式①，得 ___________ ，解不等式 ② ，得 ___________ .
∴不等式组的解集是 ___________ .
解集在数轴上表示为：
(2){5x+4<2x-2,
2(x-1)>3(x+1)．
第 5 页参考答案
情境导入
解：由题意得 4(x+5) > 124 ,① 且 4(x−6) < 96 . ②
探究点一、一元一次不等式组的概念
判断： √ × × × √ ×
【想一想】1. { 600x+100(10− x) ≥ 4200,
8x+4(10− x) ≤ 72.
探究点二、一元一次不等式组的解法
2. 解： 解不等式①，得 x > 26 。解不等式②，得 x < 30 。
1
例1 解：解不等式①，得 x > . 解不等式 ②，得 x<6 .
2
在同一数轴上表示不等式 ①② 的解集，如图所示。
1
因此，原不等式组的解集为 < x < 6 .
3
【练一练】1. 解：(1) 1< x <5 。 (2)−4 < x < 1 .
3 4
2. 解：解不等式 ① ，得 x < . 解不等式 ② , 得 x < .
2 3
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图：
第 6 页4
所以，原不等式组的解集为 x < .
3
5
例2 解：解不等式 ①，得 x > . 解不等式②，得 x ≥ 4 .
2
在同一条数轴上表示不等式 ①② 的解集，如图所示。
所以，原不等式组的解集为 x ≥ 4 .
【尝试思考】
1. 不存在 x < 2且x > 6
没有公共部分 总结： 并不是每一个不等式组都有解
2.
【针对训练】
1. 填表：
{ x > −3 { x > −5 { x−5 < 0 { x−5 ≥ 0
不等式组 x ≥ −5 x ≤ −3 x+3 < 0 x+3 < 0
不等式组的解集 x > −3 −5< x ≤−3 x < −3 无解
探究点3：一元一次不等式组的应用
a+1
{ x < ,
例3 解：由不等式组得 2 因为不等式组的解集为 −1 < x < 1
x > 3+2b.
,
第 7 页a+1
所以 { 2 = 1, 解得 { a = 1, 所以 (a+1)(b−1) = 2×(−3) = −6 .
b = −2.
3+2b = −1.
【阅读·思考】
小红现在的头发长度为 10 cm，每根头发每天大约生长 0.32 mm，设经过
x 天小红的头发长度为 16 cm 到 28 cm，那么经过x天她的头发长度为
(100+0.32x) mm 。于是，可得160 ≤ 100+0.32x ≤ 280 。
解这个不等式组，得187.5 < x < 562.5。
因此，大约需要188天到562天，小红的头发才能生长为16 cm到28 cm。
例4 解：设学校给七年级男生分配的宿舍有x间，则七年级男生共有(4x+26)人，
{4x+26 > 6(x−1);
根据题意找到关系式得 解得 13 < x < 16 。
4x+26 < 6x.
∵ x 为整数，∴ x 取值为 14 或 15。
答：学校给七年级男生分配的宿舍可能有14 或 15 间。
当堂反馈
1. D. 2. C. 3.A 4. a>4 . 5.-2 .
6.(1) 书写通关 x ≥－1 解不等式② ≤3 ， －1≤ x ≤ 3 .
(2)解：不等式组的解集为x＜－5，解集在数轴上表示如图。
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