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专题12 数列新定义问题（典型题型归类训练）
1．（2024·甘肃定西·一模）在 个数码 构成的一个排列 中，
若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如 ，则 与
构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为 ，
例如， ，
(1)计算 ；
(2)设数列 满足 ，求 的通项公式；
(3)设排列 满足
，求 ，
2．（2024高三下·全国·专题练习）若数列 中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，
则称 为“等比源数列”．
(1)已知数列 为4，3，1，2，数列 为1，2，6，24，分别判断 , 是否为“等
比源数列”，并说明理由；
(2)已知数列 的通项公式为 ，判断 是否为“等比源数列”，并说明理由；
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二下·吉林四平·阶段练习）在数列 中，若存在常数 ，使得
（ ）恒成立，则称数列 为“ 数列”．
(1)判断数列1，2，3，7，43是否为“ 数列”；
(2)若 ，试判断数列 是否为“ 数列”，请说明理由；
(3)若数列 为“ 数列”，且 ，数列 为等比数列，满足
求数列 的通项公式和 的值．
4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列 ，称 为 的差数列（或一
阶差数列），称数列 的差数列为 的二阶差数列，若 .
(1)设 的二阶差数列为 ，求 的通项公式.
(2)在（1）的条件下，设 ，求 的前n项和为
学科网（北京）股份有限公司5．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对 恒成立，则称数
列 为“上凸数列”．
(1)若 ，判断 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明
理由．
(2)若 为“上凸数列”，则当 时， ．
（ⅰ）若数列 为 的前 项和，证明： ；
（ⅱ）对于任意正整数序列 （ 为常数且 ），若
恒成立，求 的最小值．
学科网（北京）股份有限公司6．（2024·江西南昌·一模）对于各项均不为零的数列 ，我们定义：数列 为数列
的“ 比分数列”.已知数列 满足 ，且 的“ 比分数列”与
的“2-比分数列”是同一个数列.
(1)若 是公比为2的等比数列，求数列 的前 项和 ；
(2)若 是公差为2的等差数列，求 .
7．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则
称这个数列为“ 型数列”．
(1)若数列 满足 ，判断 是否为“ 型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列 为“ 型数列”， ，数列 满足 ， ， 是
等比数列，公比为正整数，且不是“ 型数列”，求数列 的通项公式．
学科网（北京）股份有限公司8．（2015高二·全国·竞赛）设数列 满足：① ；②所有项 ；③
.设集合 ，将集合 中的元素的最大值
记为 .换句话说， 是数列 中满足不等式 的所有项的项数的最大值.我们称数
列 为数列 的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.
(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；
(2)设 ，求数列 的伴随数列 的前 之和；
(3)若数列 的前 项和 （其中 常数），求数列 的伴随数列 的前 项
和 .
9．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）若有穷数列 ， 是正整数），满足
， 即 是正整数，且 ，就称该数列为“对称数
列”．例如，数列1，3，5，5，3，1就是“对称数列”.
(1)已知数列 是项数为7的对称数列，且 ， ， ， 成等差数列， ， ，
试写出 的每一项；
(2)对于确定的正整数 ，写出所有项数不超过 的“对称数列”，使得
学科网（北京）股份有限公司依次是该数列中连续的项；当 时，求其中一个“对称数列”前19项的
和
10．（23-24高二下·江西·阶段练习）将数列 按照一定的规则，依顺序进行分组，得到
一个以组为单位的序列称为 的一个分群数列， 称为这个分群数列的原数列．如
， ， …， 是 的一个分群
数列，其中第k个括号称为第k群．已知 的通项公式为 ．
(1)若 的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k群的中间一项为 ，求数
列 的通项公式；
(2)若 的一个分群数列满足第k群含有k项， 为该分群数列的第k群所有项构成的数
集，设 ，求集合M中所有元素的和．
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