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2.4 一元一次不等式组
题型一 一元一次不等式组的定义
1．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定
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学科网（北京）股份有限公司义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到
结果．
【详解】解：A、 ，是一元一次不等式组，故不符合题意；
B、 ，是一元一次不等式组，故不符合题意；
C、 ，是一元一次不等式组，故不符合题意；
D、 ，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意；
故选：D．
2．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个
未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可．
【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组：
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学科网（北京）股份有限公司① ② ③ ④ ⑤
其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1，
∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组；
而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组，
故选：B．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
【答案】③④⑤
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组
中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判
断即可．
【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
② 该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；
③ 该不等式组是一元一次不等式组；
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学科网（北京）股份有限公司④ 该不等式组是一元一次不等式组；
⑤ 该不等式组是一元一次不等式组；
⑥ 该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组；
则是一元一次不等式组的是③④⑤，
故选答案为：③④⑤．
题型二 求不等式组的解集
1．（甘肃省兰州市四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试卷）解不等式组：
，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解集为 ，数轴表示见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是
基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别
求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等
式组的解集．
【详解】解： ．
由①得： ，
由②得： ，
则不等式组的解集为 ，
将解集表示在数轴上如下：
．
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学科网（北京）股份有限公司2．（2026·陕西西安·一模）解不等式组： ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解，
再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解： ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
不等式组的解集为 ．
3．（25-26八年级上·福建漳州·月考）下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组 的过程，请
认真阅读并完成相应的任务．
解：由①去分母，得 第一步
去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项，得 第四步
系数化为1，得 第五步
(1)任务一：以上解题过程中，第一步的依据是______；第______步开始出现错误；
(2)任务二：请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】(1)不等式的基本性质2；三
(2)见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组解集．
（1）根据不等式的基本性质和移项需要变号可知第三步出错；
（2）按照解一元一次不等式的步骤求解，把解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：第一步的依据是：不等式的基本性质2；
第三步移项出错， 移项没有改变符号；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：不等式的基本性质2；三；
（2）解：由①去分母得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ；
由②移项，得 ，
解得 ；
不等式组的解集为： ；
如图：
．
4．（25-26九年级上·宁夏中卫·期末）解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解每个不等式是关键．分别求出每个不等式的解集，再
求出其公共部分即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ；
∴不等式组的解集为 ．
5．（24-25八年级上·山西太原·月考）解不等式(组)
(1)
(2)
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取
小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式 ，
移项得 ，
两边同乘 得
解不等式 ，
两边同乘 得 ，
即 ，
整理得 ，
移项得 ，
所以
不等式组的解集为
（2）解：解不等式 ，
展开得 ，
移项得 ，
所以
解不等式 ，
两边同乘 得 ，
即 ，
移项得 ，
所以
不等式组的解集为
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学科网（北京）股份有限公司6．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）解不等式组： ，并将不等式组的解集表示在如图
所示的数轴上．
【答案】 ，作图见详解
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式解集在数轴上的表示，先分别解不等式组里的两个不等
式，再取公共部分的解集，最后将所求解集表示在数轴上即可．
【详解】解：由不等式①，得 ，
由不等式②，得 ．
∴原不等式组的解集为： ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下，
7．（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式： ， 并把解集在数轴上表示出来 ．
（2）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1） ，数轴见解析；（2） ，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不
到确定不等式组的解集．
【详解】（1）解： ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
在数轴上表示为：
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学科网（北京）股份有限公司（2）解： ，
解 得：
解 得： ，
∴ ，
在数轴上表示为：
题型三 求一元一次不等式组的整数解
1．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组 的最小整数解是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】本题考查了求不等式组的整数解．
分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解．
【详解】解：解 得： ；
解 得： ；
∴不等式组的解集为 ，
∴最小整数解为 ．
故选：A．
2．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）不等式组 的整数解有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．分别解两个不等式，
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学科网（北京）股份有限公司得到不等式组的解集，再找出解集中的整数解，即可解答．
【详解】解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的整数解为 ，共 4 个．
故选：B．
3．（24-25七年级上·吉林白城·月考）不等式组 的整数解是 ．
【答案】6、7、8、9
【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求解两
个不等式，得到 x 的取值范围，再找出范围内的整数解．
【详解】解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴不等式组的解集为 ，
∴不等式组的整数解为 6、7、8、9．
故答案为：6、7、8、9．
4．（25-26九年级上·重庆·月考）求不等式组 的所有整数解．
【答案】 ， ，
【分析】本题考查一元一次不等式的解法以及一元一次不等式组的解集确定，掌握一元一次不等式的解法
是解题关键．
先分别求出两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，确定不等式组的解集，最后从解集
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学科网（北京）股份有限公司中筛选出所有整数即可．
【详解】解：解 ：
，
，
；
解 ：
，
，
，
；
则不等式组的解集为 ，
所以不等式组的所有整数解为 ， ， ．
5．（25-26八年级上·全国·期末）解不等式组 ，并求出它的所有非正整数解的和．
【答案】解为 ，所有非正整数解的和为
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，从而得出原不等式组的解为
，即可得出非正整数解为 、 、 、0，求和即可，熟练掌握解一元一次不等式组的运算
方法是解此题的关键．
【详解】解：解不等式 ，得 ．
解不等式 ，得 ．
原不等式组的解为 ．
∴
非正整数解为 、 、 、0．
∴
所有非正整数解的和为 ．
∴
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学科网（北京）股份有限公司6．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）求不等式组 的整数解．
（2）求满足不等式组 的最大整数和最小整数．
【答案】（1） ；（2）最大整数为1，最小整数为
【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤是解答的关键．
（1）先解出不等式组的解集，再求出其整数解即可解答．
（2）先解出不等式组的解集，再求出满足不等式组的最大整数和最小整数即可解答．
【详解】解：（1） ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴不等式组解集是 ，
∴该不等式组的整数解是 ；
（2） ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴不等式组解集是 ，
∴满足该不等式组的最大整数是1和最小整数是 ．
7．（25-26九年级上·重庆·月考）解不等式组： ，并求出它的所有整数解的和．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】解集： ，整数和：9
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，有理数的加法，熟练掌握该知识点是解题的关键．
分别解不等式 、 ，求出一元一次不等式组的解集，从而得到一元一次不等式组的整数解，相加即可．
【详解】解：
解不等式 ， ，
；
解不等式 ， ，
；
此不等式组的解集为 ，
整数解为： ，0，1，2，3，4，
整数解的和： ．
题型四 解特殊不等式组
1．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题二次根式有意义的条件、二次根式非负性、解不等式等知识，先由二次根式有意义的条件得
到 ，再由二次根式非负性得到 ，从而得到 的取值范围，熟记二次根式有意义的条件、二
次根式非负性是解决问题的关键．
【详解】解：由二次根式有意义的条件可知， ，即 ，
，且 ，
，解得 ，
的取值范围是 ，
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将 变形为 ．再将 代入不等
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学科网（北京）股份有限公司式 ， ，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得 的取值范围．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，且 ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
将 代入 ，得 ，即 ，
解得 ，
的取值范围为： ．
故答案为： ．
3．（20-21七年级下·江苏南京·期末）已知 的解集为 ，则 的解集为
．
【答案】
【分析】本题考查求不等式组的解集，利用换元法，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：∵ 的解集为 ，
∴则 的解集为 ，
∴ ；
故答案为： ．
4．（23-24八年级下·全国·期末）已知 （ 为常数）的解集为 ，则关于 的一元
一次不等式 的解集为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将
整理为 ，结合 可得 ， ，进而可得 ，然后将其代入
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学科网（北京）股份有限公司并求解，即可获得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）若等腰三角形的周长为 ，腰长为 ．
(1)求x的取值范围；
(2)若该三角形的一边长是 ，求该三角形的另两边长．
【答案】(1)
(2)另两边长为 和 或 和
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，解题的关键是利用分类讨论的思想方法．
（1）根据三角形的三边关系列不等式组，解答即可；
（2）本题没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论．
【详解】（1）解： 等腰三角形的周长为 ，腰长为 ，
等腰三角形的底边为 ，
根据三角形的三边关系可得， ，
解得 ，
x的取值范围为 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若腰长为 ，则底边长为 ，
三角形的另两边长为 和 ；
若底边长为 ，则腰长为 ，
三角形的另两边长为 和 ，
综上所述，另两边长为 和 或 和 ．
题型五 列一元一次不等式组
1．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里的积存的污水，
估计积存的污水超过1200吨而不足1500吨，设用 分钟将这些污水抽完，那么根据题意列出的不等式组
是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握“抽水量 抽水速度 抽水时间”以及
根据不等关系列不等式组是解题的关键．根据抽水机的抽水速度、抽水时间与污水量的关系，结合污水量
的范围列出不等式组．
【详解】解：由题意可得
故选：C．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，
则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键．
设有 间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为
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学科网（北京）股份有限公司人，当每间住6人时，前 间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到
．
【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为 人，
当每间住6人时，有一间不空也不满，
∴ ，
即不等式组为 ．
故选：A．
3．（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级
（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵
（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为 人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两
种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不
等式组即可．
【详解】解：设该班同学人数为 人，则植树的总棵数为 棵， 位同学植树棵数为 ，
最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为： ．
故选：B．
4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生乘船．若每条船坐4人，则2人无船坐；若每条船坐6人，
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学科网（北京）股份有限公司则空一条船，还有船不空也不满，设有 条船，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据船的数量表示出学生人数，再结合“每船坐 人时，空一条船且有船不空也不满”这一条
件列不等式组．本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等
式组是解题的关键．
【详解】解：设有 条船，由题意可得，
故选：C．
5．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本
书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九
（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键．
设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有 本书；由于“每人分6
本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可．
【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有 本书，
若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本，
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学科网（北京）股份有限公司则 ．
故选：C．
6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，
体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡
液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于 又不超过 ．设加入的水量为x毫升，请列
出符合题意的一元一次不等式组 ．
【答案】
【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为 ，再根据“调整后的咖啡浓度既不
低于 又不超过 ”列出不等式组即可．
【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为 克，
调整后咖啡浓度为 ，
根据题意得 ，
故答案为： ．
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质
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学科网（北京）股份有限公司量为 ．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示：
甲种原
乙种原料
料
维生素C的含量/（单位/千克） 600 100
原料价格/（元/千克） 8 4
现配制这种饮料 ，要求含有4200单位以上的维生素C．
(1)请列出x应满足的不等式；
(2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式．
【答案】(1)
(2) 且 且 ．
【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键．
（1）先求出所需乙种原料的质量为 ，再根据要求含有4200单位以上的维生素 列出不等式即
可得；
（2）先求出所需乙种原料的质量为 ，再根据含有4200单位以上的维生素 ，购买甲、乙两种
原料的总费用低于72元，列出不等式即可得．
【详解】（1）解：∵现配制这种饮料 ，所需甲种原料的质量为 ，
∴所需乙种原料的质量为 ，
∵要求含有4200单位以上的维生素 ，
∴ ．
（2）解：∵现配制这种饮料 ，所需甲种原料的质量为 ，
∴所需乙种原料的质量为 ，
∵要求含有4200单位以上的维生素 ，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 且 且 ．
题型一 由一元一次不等式组的解集求参数
1．（25-26八年级上·山东聊城·月考）已知关于 的不等式组 有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解含参数的一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式组是解决问题的关键．
先分别解两个不等式，得到 的取值范围，再根据不等式组有解的条件，即两个不等式的解集有交集，确
定 的取值范围．
【详解】解：解第一个不等式 ，得 ；
解第二个不等式 ，得 ；
不等式组有解，
存在 同时满足 和 ，
，
故选：C．
2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）若关于 的不等式组 有且仅有4个整数解，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解不等式组，易错点是 的取值边界．
首先解不等式组得到解集为 ，由于有且仅有4个整数解，且 ，因此整数解为 ，为
确保仅这些整数解，需满足 ，为不包括 ，需 ．
【详解】解： 解不等式 得 ，
解不等式 得 ，
∴不等式组的解集为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵有且仅有4个整数解，且 ，
∴整数解为 ，
为确保 被包括，需 ，
为确保 不被包括，需 ，
∴ 的取值范围是 ．
故选： ．
3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）已知关于x的不等式 有且只有1个负整数解，则a的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等
式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等
式的整数解．
根据关于x的一元一次不等式 的1个负整数解只能是 ，得出 ，求出a的取值范围
即可．
【详解】解：解 得 ，
∵关于x的不等式 只有1个负整数解，
∴关于x的一元一次不等式 的1个负整数解只能是： ，
∴ ，
∴解得： ．
故答案为： ．
4．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若不等式组 的解集是 ，则 的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据解集为 确定出a、b
的值，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：解不等式 得 ，
解不等式 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴不等式组的解集为 ，
∵解集是 ，
∴ 且 ，
解得 ， ，
∴ ，
故答案为：1．
5．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于x的不等式 有且只有4个负整数解，则a的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式，根据不等式解集求参数．
通过解不等式得到 ，根据有且只有4个负整数解（即 ），确定 的取值范围，进而求出
的范围．
【详解】解：解不等式 ，
得 ，
由于不等式有且只有4个负整数解，这些解为 ，
因此 必须满足 ，
两边同时乘以4（正数，不等号方向不变），得 ．
故答案为： ．
6．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知不等式组 有且仅有一个整数根 ，则a的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的
解集和已知得出结论是解题的关键．
先求出不等式组的解集为 ，再根据不等式组有且仅有一个整数解 ，从而确定a的取值范围．
23 / 85
学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ，
解不等式①可得： ，
解不等式②可得： ，
∴不等式组的解集是 ，在数轴上表示如下：
∵不等式组 有且仅有一个整数根 ，
∴2是不等式组 的整数解，1不是不等式组 的整数解，
∴a的取值介于1和2之间（且可以等于1），
∴a的取值范围是 ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·重庆·期中）若不等式组 的解集为 ，且关于y的分式方程
有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，分式方程的求解及正整数解的应用．首先解不等式组，根
据解集 确定a的取值范围为 ，然后解分式方程，得到 ，要求y为正整数且 ，
结合a的取值范围，得到满足条件的整数a为3 和5，求和即可．
【详解】解：解不等式组 ，
由 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司①当 时，第二不等式解为 ，解集为 ，需 ，解得 ，故 ，
②当 时，第二不等式为 ，恒成立，解集为 ，
③当 时，解集不能为 ，
因此a的取值范围为 ，
解分式方程 ，化简得 ，解得 ，
要求y为正整数，故 且为整数，即 ，结合 ，需 为正整数且 ，
代入a值验证：
， ，非整数；
， ，正整数；
， ，非整数；
， ，正整数；
， ，非整数；
， ，为增根，
∴满足条件的整数a为3和5，和为8．
故答案为：8．
8．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于 ， 的二元一次方程组 有解，且关于 的一
元一次不等式组 有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数 的值之和是 ．
【答案】19
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得 ，
根据方程组有解得 ，不等式组 解得 ，根据不等式组有且只有 个整数解得出
，从而确定 的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取
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学科网（北京）股份有限公司大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
【详解】解：∵关于 ， 的二元一次方程组 有解，
∴联立得 ，
∴
∴ ，
解不等式组 得，
∵关于 的一元一次不等式组 有且仅有4个整数解，
∴整数解为 ， ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴整数 ， ， ， ，和为 ．
故答案为：19．
9．（17-18七年级下·全国·单元测试）若不等式组 的整数解共有三个，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出
不等式组的解集，再根据不等式组 的整数解共有三个，即可得到a的取值范围．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
由题意可知，不等式组有解集，
∴该不等式组的解集是 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵不等式组 的整数解共有三个，
∴这三个整数解是3，4，5，
∴ ，
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于 的不等式组 无解，且关于 的分式方程
有负整数解，则符合条件的所有整数 的和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及
分式方程的整数解确定 的取值范围．首先解不等式组，得到无解的条件是 ；然后解分式方程，得
到 ，要求有负整数解且 ，从而得到 的取值范围；最后结合两个条件，找出符合条件的整
数 并求和即可；
【详解】解：不等式组为 ，
解第一个不等式 ，两边乘 得 ，即 ，
解第二个不等式： ，即 ，
不等式组无解，需满足 ，解得 ；
分式方程为 ，分母 ，即 ，
整理得 ，则 ， ，
∵分式方程有负整数解，
∴ ，即 且 为8的负因数，
则 可以取 ，
又∵ ，排除 ，
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学科网（北京）股份有限公司结合不等式组无解条件 ，排除 ，
则符合条件的整数 为 和 ，
；
故答案为： ．
11．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次不等式组 ，至少有2个整数解，且关
于y的分式方程 有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？
【答案】4
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解分式方程，掌握不等式组和分式方程的解法是解题关
键．先通过解不等式组和分式方程确定a的取值范围，再求得符合条件的a的值，最后求得此题的结果．
【详解】解：由题意得 ，
解①得： ，
解②得： ，
∴该不等式组的解集为 ，
∵该不等式组至少有2个整数解，
∴ 4，
∴解得 ，
解分式方程 得， ，
∵分式方程有非负整数解，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
∴a的取值范围为 且 ，
∵ 为整数，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 为奇数，
∴a可取整数为1，3，
∴ 或 ，
∴所有满足条件的整数a的值之和是 ．
题型二 不等式组和方程组结合问题
1．（25-26八年级上·重庆·月考）设 表示不超过x的最大整数，如 ， ， ，若
x，y满足 ，那么 的值是（ ）
A．3 B．2或 C．3或 D．1或2
【答案】C
【分析】本题考查了新定义，方程组的定义，不等式组的解法，理解题意，通过不等式组分析确定 和
的可能值，是解题的关键．
设 ， ，则a、b为整数，由方程组得到 ， ，然后根据新定义可知
， ，从而得到 ， ，进而得到关于b的一元一次不等式组，
解得b的可能值，从而确定x和y的值，即可解答．
【详解】解：设 ， ，则a、b为整数，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵a、b为整数，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，则 ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
将 代入得 ，
即
解得 ，
∴ 或2，
当 时， ， ， ，
∴ ；
当 时， ， ， ，
∴ ，
∴ 的值为3或 ．
故选：C．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组 的解满足 ，则 的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方
程组中的两个方程相加可得 ，则 ，再根据 可得一个关于 的不等式
组，解不等式组即可得．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： ，
由① ②得： ，即 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
3．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组
(1)若以x，y为坐标的点 在第一象限，求m的取值范围．
(2)若该方程组的解满足 ，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，不等式组，掌握平面内点的坐标的特征，
各象限内点的坐标的符号特点是解题的关键．
（1）求出关于 ， 的二元一次方程组的解，再令 ， 确定 的取值范围即可；
（2）将（1）中求出的方程组的解代入不等式，即可求出 的取值范围．
【详解】（1）解：解方程组 ，得
∵点 在第一象限，
∴
解得 ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：由（1）可知方程组的解为 ，
代入 ，得 ，
解得 ．
4．（25-26八年级上·广东汕头·期中）若关于 ， 的二元一次方程组 的解都是正数．
(1)求 的取值范围；
(2)化简： ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及绝对值的化简，熟练掌握
方程组的解法和绝对值的性质是解题的关键．
（1）先通过解方程组求出 、 关于 的表达式，再根据解都是正数列出不等式组，求解不等式组得到
的取值范围．
（2）根据（1）中 的取值范围，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简式子．
【详解】（1）解： ，
得 ，
，
把 代入 得 ，
解得 ，
∵ 方程组的解都是正数，即 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司解 得， ，
解 得 ，
∴ 的取值范围是 ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
5．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的方程组 的解满足不等式
，求m的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式．
得到 ，求出 ，进而代入①求出 ，将 ， 代
入 求解即可．
【详解】解： 得： ，
解得： ，
将 代入①得： ，
根据题意得： ，
解得： ．
6．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组 的解满足 为非正数， 为负数．
(1)求 的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司(2)在（1）的条件下，若不等式 的解为 ．求整数 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相
关知识是解题的关键．
（1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可；
（2）根据不等式的性质可得 ，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到
答案．
【详解】（1）解：
得 ，解得 ，
把 代入①得 ，解得 ，
∴原方程组的解为 ；
∵方程组 的解满足 为非正数， 为负数，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵不等式 的解为 ，
∴不等式 的两边同时除以 时，不等号的方向发生了改变，
∴ ，
34 / 85
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
又∵m为整数，
∴ ．
7．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知关于 、 的方程组
(1)若 ，求这个方程组的解；
(2)若该方程组的解满足 、 均为正数，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，
是解题的关键．
（1）将m看作已知数，x、y看作未知数解方程组，得出 ，然后将 代入得出方程组的解即
可；
（2）根据方程组的解为 且该方程组的解满足 、 均为正数，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：由方程组 得： ，
把 代入 得： ；
（2）解：∵方程组 的解为 ，
又 、 均为正数，
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学科网（北京）股份有限公司，
解不等式组得： ．
题型三 不等式组的行程问题
1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于 ）练习长跑，从起点出发按逆时针
方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑 软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前 的记录如
图所示．小华一共跑了 且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（ ）
A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了 ，跑第二圈时
标记了 ，跑第三圈时标记了 和 ，据此可知小明跑了 圈时，他的运动里程数小于 ，设公
园的环形跑道周长为 ，小明总共跑了 圈，然后列不等式求出 的取值范围，再根据 ，代入求出
的取值即可．
【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了 ，跑第二圈时标记了 ，跑第三圈时标记了
和 ，
∴当小明跑了 圈时，他的运动里程数小于 ，
设公园的环形跑道周长为 ，小明总共跑了 圈，根据题意，得 ，
解得 ，
∴
∴ ，
又 ，
36 / 85
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴整数 ，
即他一共跑的圈数是17，
故选：D．
2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3
千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某
人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程 满足（ ）
A． B．7 C．7 D．7
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超
过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为
10÷2=5千米，根据不足1千米按1千
米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即
可．
【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千
米2元，
∴超过的千米数为10÷2=5千米，
∵不足1千米按1千米计，
∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，
∴ ，
解得： ，
故选：D．
3．（24-25八年级下·全国·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过
12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x
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学科网（北京）股份有限公司千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
故答案为： ．
4．（2022·河南洛阳·一模）已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出
发，设慢车行驶的时间为 ，两车之间的距离为 ，图中的折线表示 与 之间的函数关系．
(1)请解释图中点 的实际意义；
(2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离；
(3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过 时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的
时间．
【答案】(1)图中点 的实际意义是：当慢车行驶 时，快车追上慢车
(2)慢车每小时行驶 ，快车每小时行驶 ，泰州与上海的距离为
(3)两车均在行驶过程中能通话的时间为 小时
【分析】本题考查了一次函数图象的应用，追及问题的运用，不等式组的解法，根据图象信息，运用函数
图象解决实际问题，看懂图象是关键．
（1）根据点 得出两车距离为 可知，两车相遇；
（2）由图象可以知道慢车行驶 小时时，快车到达终点，与慢车相距 ，就可以根据题意列出方程
组从而可以求出慢车快车的速度及全程．
（3）当慢车在前时和快车在前时求出通话时间范围就可以求出通话时间．
【详解】（1）解：图中点 的实际意义是：当慢车行驶 时，快车追上慢车；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：设慢车每小时行驶 ，快车每小时行驶 ，由题意和图意得
，
解得： ，
则全程为： ．
答：慢车每小时行驶 ，快车每小时行驶 ，泰州与上海的距离为 ．
（3）解：设快车行驶 小时后，两车之间的距离不超过 ，由题意得，
，
解得： ．
小时．
答：两车均在行驶过程中能通话的时间为 小时．
5．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图 ，A，B两地间的公路长 ，其中有一段长 的施工
道路 ，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车
晚出发 在非施工道路 其限速情况如图 所示 ，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以
的速度行驶；在施工道路，两车均以 的速度行驶．
(1)若
①甲车出发 时，甲车行至______处，乙车行至______处； 填“M”“N”或“ 的中点”
②甲车行至 的中点时，乙车行驶的时间为______h
39 / 85
学科网（北京）股份有限公司(2)已知两车在P处相遇．
①若P与N重合，求V的值；
②若P在非施工道路上 不与M，N重合 ，直接写出V的取值范围．
【答案】(1)①M，N；②
(2)① ，② 或
【分析】 ①根据题意，分别得到 ， ， ，，根据甲乙两车的速度，
即可得到两车行驶的距离，即可得到结果；
②根据甲车在 段和 段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发 ，得到乙
车所用时间；
①两车在P处相遇 与N重合 ，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度；
②分类讨论相遇点在 上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为 ，得到等式，表示出
速度，同时结合限速的要求，得到结果．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，
正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：① 依题意， ， ， ，
，
甲车从A地出发，始终以 的速度行驶，
甲车2小时共行驶了 ，
甲车出发2小时，行至M处，
乙车从B地出发，比甲车晚出发 小时，以 的速度行驶，
乙车共行驶了 ，
乙车行至N处，
故答案为：M，N；
②甲车行至 的中点时，所用时间为： ，
40 / 85
学科网（北京）股份有限公司此时乙车行驶所用时间： ，
故答案为： ；
（2）①两车在P处相遇，P与N重合，
甲车所用时间为 ，
此时乙车所用时间为 ，
乙车的速度为 ；
②P在非施工道路上 不与M，N重合 ，
若P在 上，设甲的行驶时间为t，则 ，
此时甲行驶路程为 ，乙行驶的路程为 ，
，
，
，
解得 ，
限速为 ，
，
若P在 上，设甲的行驶时间为t， ，
则 ，
此时甲行驶路程为 ，乙行驶的路程为 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
解得 ，
限速为 ，
，
综上所述 或 ．
6．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按
原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线 所示；小李骑摩托车匀速从乙地到
甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段 所示．
(1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时．
(2)小张出发几小时与小李相遇？
(3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案）
【答案】(1)
(2) 小时
(3)时间范围是
【分析】本题考查一次函数的应用、一次函数的图象、一次函数的行程问、一元一次不等式组的应用题等
知识点，掌握时间、速度和路程之间的关系及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）根据图象以及速度与路程、时间得关系计算即可；
（2）分别写出线段 和 对应的函数关系式，当二人相遇时离乙地的距离相等，据此列关于x的方程
42 / 85
学科网（北京）股份有限公司并求解即可；
（3）设小李a小时的时候出发，写出小张距乙地的距离y与时间x的关系式，求出它的图象与 交点的
横坐标，令二者交点的横坐标位于点D和E的横坐标之间，从而求出a的取值范围即可．
【详解】（1）解：小李到达甲地后，小张再经过 （小时）到达乙地，
小张骑自行车的速度是 （千米/时）．
故答案为：1，15．
（2）解：设线段 的解析式为 ，则
，解得： ，
所以线段 的解析式为 ，
设线段 的解析式为 ，则 ，解得： ，
所以线段 的解析式为 ，
当小张与小李相遇时，得 ，解得 ．
答：小张出发 小时与小李相遇．
（3）解：设小李a小时的时候出发，则小张距乙地的距离y与时间x的关系式为 ，
当 时，解得 ，
若小李想在小张修休息期间与他相遇，则 ，解得： ，
所以小李出发的时间范围是 ．
题型四 不等式组的工程问题
1．（24-25七年级下·全国·期末）为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学
校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两
所中学和一所小学共需资金215万元．
(1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？
(2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？
(3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年
市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、
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学科网（北京）股份有限公司小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？
【答案】(1)改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元
(2)要改造的小学有12所
(3)四种改造方案∶方案一∶改造2所中学，8所小学；方案二∶改造3所中学，7所小学；方案三∶改造4
所中学，6所小学；方案四∶改造5所中学，5所小学
【分析】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据改造一所中学和一所小学
共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元，列出方程组进行求解即可；
（2）设要改造的小学有m所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可；
（3）设改造中学a所，则改造小学 所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投
入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可．
【详解】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据题意，得 ，
解得 ，
答∶改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元．
（2）设要改造的小学有m所，根据题意，得 ，
解得 ．
∵m为正整数，且在 范围内，使 为整数的 值只有 ，
∴ ．
答∶要改造的小学有12所．
（3）设改造中学a所，则改造小学 所，根据题意，
得 ，解得 ．
∵a取整数，
∴a的值为2，3，4，5．
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学科网（北京）股份有限公司∴ 对应的值分别为8，7，6，5，
∴有以下四种改造方案∶
方案一∶改造2所中学，8所小学；
方案二∶改造3所中学，7所小学；
方案三∶改造4所中学，6所小学；
方案四∶改造5所中学，5所小学．
【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组
和不等式组是解题的关键．
2．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保
护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防
污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲
队单独做需要8个月可以完成．
(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？
(2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在
一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做 个月（ 为整数），乙队做4个月分工
合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？
【答案】(1)乙队需要16个月完成
(2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用
为126万元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的
关键．
（1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知 ，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需
要15个月．
（2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程
方案，再求出费用即可．
【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得： ，
解得 ，
经检验 是原方程的根
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学科网（北京）股份有限公司答：乙队需要16个月完成；
（2）根据题意得： ，
解得
方案一：甲队作6个月，乙队作4个月， 万元；
方案二：甲队作7个月，乙队作4个月， 万元；
所以方案一最省钱，费用为126万元．
3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气
改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单
独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好
如期完成．
(1)求这项工程的规定工期是多少天？
(2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不
超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总
工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数）
【答案】(1)120天
(2)当 ，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当 ，
具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当 ，具体施工方案甲、
乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用；
（1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完
成，再建立分式方程求解即可；
（2）由（1）求解甲队工作效率 ，乙队工作效率 ，设缩短后总工期t天，可
得 ，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天，
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学科网（北京）股份有限公司根据题意得： ，
解得： ，经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
答：这项工程的规定工期是120天；
（2）解：由（1）得甲队工作效率 ，乙队工作效率 ，
设缩短后总工期t天，
根据题意得： ，
解得： ，
∵ ， 均为正整数且由实际可知 ，
∴ ，
得
故当 ，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；
当 ，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；
当 ，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天．
4．（2023·广西河池·一模）某社区计划对面积为1800 的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队
来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400 的绿化时，甲队比乙队少用4天．
(1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积；
(2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y
与x的函数解析式和自变量x的取值范围；
(3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两
队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．
【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 、50
(2)
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学科网（北京）股份有限公司(3)安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 ，根据在独立完成面积为 区域的绿化时，甲
队比乙队少用4天，列方程求解；
（2）根据题意得到 ，整理得： ，再根据甲、乙两队施工的总天数不超过26
天求出自变量取值范围即可解答．
（3）由（2）可得 ，设施工总费用为 元，得出 与x的关系式，根据一次函数的性质，即可
解答．
【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 ，
根据题意．得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是 ，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 、 ；
（2）根据题意，得： ，
整理得： ，
∵甲、乙两队施工的总天数不超过26天，
∴ ，即
解得
∴y与x的函数解析式为： ．
（3）设施工总费用为w万元，根据题意得：
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴w随x减小而减小，
∵
∴当 时，w有最小值，最小值为 ，
此时 ．
答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
题型五 不等式组的经济问题
1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）有 、 两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，
地可运出粮食80吨， 地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如
下：从 基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从 基地运往甲、乙两中心的运费分
别为每吨200元和300元，设 地运送到甲中心粮食为 吨．
(1)设运送粮食的总费用为 元，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障 基地的运输效率，规定 地运往甲中心的粮食吨
数至少比 地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的 值．（ 为整数）
(3)按照题（2）的调运方案，当 取何值时，总运费 最低？最低总运费是多少元？
【答案】(1) ，其中
(2)48，49，50
(3)当 时，W最低，最低总运费为50600元
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键，掌握一次函数的性质
是解题的关键；
（1）根据题意求出总费用即可求出 关于 的函数关系式，再根据粮食的质量是非负数列关于x的不等式
组，即可求出自变量x的范围．
（2）根据题意列不等式组，再求出整数解即可．
（3）根据一次函数的性质可知， 时，W取得最小值，求出W的最小值即可．
【详解】（1）解：已知A地运送到甲中心粮食为x吨，A地可运出粮食80吨，则A地运往乙中心的粮食
为 吨．
甲地需要粮食90吨，A地运往甲中心x吨，所以B地运往甲中心的粮食为 吨．
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学科网（北京）股份有限公司乙地需要粮食50吨，A地运往乙中心 吨， 所以B地运往乙中心的粮食为 吨．
根据题意，得： ，
根据题意，得： ，
解得 ．
W关于x的函数关系式为 ；
（2）解：根据题意，得 ，
解得 ．
x为整数，
x的值为48，49，50．
符合条件的x值为48，49，50；
（3）解：由（1）可知 ，
，
W随x的增大而增大．
，
当 时，W取得最小值．
此时 (元) ，
当 时，总运费W最低，最低总运费是50600元．
2．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·月考）某商店计划购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商
品的单价少20元，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．甲商品售价为每件
100元，乙商品售价为每件130元．
(1)甲、乙两种商品的单价各是多少元？
(2)商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，且全部售出后获利不少于
6480元，问商店有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品变动m元，乙商品售价不变，若要使
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学科网（北京）股份有限公司所有进货方案获利都相同，请直接写出m的值．
【答案】(1)甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元
(2)有三种购买方案
(3)
【分析】（1）设乙商品单价为 元，根据题意得到等量关系列出分式方程，求解即可，
（2）设乙商品 件，根据题意得到不等量关系，列出不等式组，求解即可，
（3）根据题目所有进货方案获利都相同，即所得的值与 无关，从而判断 的系数为0，则可以得出 的
取值．
本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系和不等量关系是解此题的关键．
【详解】（1）解：乙商品的单价为 元，则甲商品的单价为 元，
根据题意得，
解得 ，
经检验 是方程的解，
则
答：甲商品的单价是60元，乙商品的单价是80元．
（2）解：购买乙商品 件，则甲商品 件，
根据题意得，
解得 ，
为正整数，
或 或 ，
则方案一购买乙商品48件，则甲商品102件，
方案二购买乙商品49件，则甲商品101件，
方案三购买乙商品50件，则甲商品100件．
故商品共有三种购买方案．
（3）解：设商品总获利为 元，
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学科网（北京）股份有限公司所有进货方案获利都相同，
的取值与 无关，
则 的系数为0，
．
即答案为： ．
3．（25-26八年级上·安徽·月考）某商场购进足球和篮球共60个，篮球的数量不少于足球的2倍，付款总
额不过4500元，已知篮球和足球的进价分别为80元／个、50元／个，售价分别为120元／个、100元／
个．现购进x（x为整数）个篮球．
(1)求付款总额y和x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是多少？
(3)若足球的进价涨了m（ ）元／个，售价不变，将这60个球全部售出能获得的最大利润是550元，
求m的值．
【答案】(1)付款总额y和x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为
(2)该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是2600元
(3)
【分析】本题考查了解不等式组的应用，一次函数的最大利润，销售问题，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）先理解题意，再设购进x（x为整数）个篮球，则 个足球，根据篮球和足球的进价分别为80
元／个、50元／个，整理得 ，又因为篮球的数量不少于足球的2倍，付款总额不过4500元，
进行列出不等式组，再解得 ，即可作答．
（2）设商场将足球和篮球全部售出获得利润为w元，结合篮球和足球的进价分别为80元／个、50元／个，
售价分别为120元／个、100元／个．现购进x（x为整数）个篮球，以及 进行列式，再结合
一次函数的性质进行分析，即可作答．
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学科网（北京）股份有限公司（3）与 （2）同理得 ，再进行分类讨论，且结合一次函数的性质进行分析，即
可作答．
【详解】（1）解：设购进x（x为整数）个篮球，则 个足球，
根据题意得： ，
篮球的数量不少于足球的2倍，付款总额不过4500元，
，
解得 ，
付款总额y和x之间的函数关系式为 ，
自变量x的取值范围为 ；
（2）解：设商场将足球和篮球全部售出获得利润为w元，
根据题意得： ，
， ，
当 时，w有最大值，最大值为 ，
该商场将足球和篮球全部售出，能获得的最大利润是2600元；
（3）解：根据题意得：
，
当 ，即 时， 随着 的增大而增大，
∵ ，
当 时，w最大，
即 ，
解得 ；
当 ，即 时， 随着 的增大而减小，
当 时，w最大，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
解得 （不成立，故舍去），
．
4．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一
批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共 件．其中，
甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过 元．已知甲、
乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为 元、 元和 元，那么该商场购进的乙种智能家电至少
为多少件？
【答案】 件
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设购进乙种智能家电 x
件，则甲种智能家电为 件，丙种智能家电为 件，根据件数关系和总金额限制建立不等式解出
解集后，取 的最小整数解即可．
【详解】解：设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为 件，丙种智能家电为 件，由题
意得：
；
∵
∴ ，
∴ ，
∵ 取最小整数解，
故 ．
答：该商场购进的乙种智能家电至少为 件．
5．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）某商场销售甲、乙两种服装，其进价与售价的情况如下表：
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学科网（北京）股份有限公司进价/（元/件） 售价/（元/件）
甲种服
160 210
装
乙种服
120 150
装
现计划购进这两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，
商场获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润．
(3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件的进
价减少 元，售价不变，且 ．若最大利润为4000元，求b的值．
【答案】(1)
(2)最大利润为4500元
(3)b的值为4
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系
式是求解本题的关键．
（1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式．
（2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
（3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于b的方程求值即可．
【详解】（1）解： ，
即y与x之间的函数关系式为 ．
（2）解：由题意，得
解得 ．
∵在 中， ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时，y有最大值，最大值为 （元），
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学科网（北京）股份有限公司∴最大利润为4500元．
（3）解：
．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，此时y随x的增大而增大，
∴当 时， ．
∵最大利润为4000元，
∴ ，
解得 ，符合题意，
∴b的值为4．
6．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）某商场购进甲、乙两种商品进行销售，设用 元购进甲种商品工件，
与 之间的函数关系如图所示，乙种商品按 元 件的价格购进．
(1)求当 时， 与 之间的函数关系式；
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种商品共 件，且甲种商品不少于 件，甲、乙两种商品的总进货
款不少于 元，求 的取值范围；
(3)若甲、乙两种商品的销售价格分别为 元 件和 元 件，经销商将（ ）中购进的甲、乙两种商品全
部销售完，获得的利润最多为 元，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题
的关键．
（ ）设 与 之间的函数关系式为 ，然后利用待定系数法即可求解；
（ ）根据题意，得 ，然后结合 ，则得 的取值范围为 ；
（ ）设获得的利润为 元，则 ，当 的最大值为 时，得 ，
然后根据一次函数性质即可求解．
【详解】（1）解：当 时，设 与 之间的函数关系式为 ，
将 ， 代入，
得 ，
解得 ，
∴当 时， 与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：根据题意，得 ，
解得 ，
又∵ ，
∴ 的取值范围为 ；
（3）解：设获得的利润为 元，则 ，
当 的最大值为 时，得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 随 的减小而增大，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 值最大， ，
解得 ，
∴ 的值为 ．
题型六 不等式组的分配问题
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的
粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分
到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数．
【答案】8或9
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有 人包粽子，则表示出粽子总量为 个，第二次分配时最
后一个人的粽子数量为 个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于 个但少于 个列出
不等式组，求正整数解即可．
【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有 人．
由题意，得 ，
解得 ．
∵ 为正整数，
∴ 可取 或 ，
答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为 或 ．
2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一个车间有20名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零
件5个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这20名工人中，
车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件．
(1)写出此车间每天所获利润y元与x名工人之间的函数表达式；
(2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？
【答案】(1) （ ，且x为整数）
(2)至少应安排15名工人去制造乙种零件
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用，正确建立函数关系式是解题关键．
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学科网（北京）股份有限公司（1）先求出有 名工人制造乙种零件，再根据利润计算公式即可得；
（2）根据 建立不等式，解不等式，从而求出 ，由此即可得．
【详解】（1）解：车间每天安排 名工人制造甲种零件，则有 名工人制造乙种零件，
则此车间每天所获利润 ，
∵ ，
∴ ，
所以此车间每天所获利润 元与 名工人之间的函数表达式为 （ ，且x为整
数）．
（2）解：由题意得： ，即 ，
解得 ，
则 ，
答：至少应安排15名工人去制造乙种零件．
3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电
难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为 和 ．
已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要
1万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种
建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过 ，在（2）的前提下，
若仅有1种方案可供选择，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元
(2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，
39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37
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学科网（北京）股份有限公司个地下充电桩；
(3)
【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地
上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关
于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金
新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出
m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案；
（3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选
择”，即可确定a的取值范围．
【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得：
，
解得： ；
答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元；
（2）解：设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，根据题意得：
，
解得： ，
又∵m为正整数，
∴m可以为20，21，22，23，
∴共有4种建造方案，
方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；
方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；
方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；
方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩；
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为 ；
选择方案2时新建充电桩的总占地面积为 ；
选择方案3时新建充电桩的总占地面积为 ；
选择方案4时新建充电桩的总占地面积为 ．
∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；
（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积．
4．（2025八年级上·全国·专题练习）为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、
乙两种图书作为奖品．已知购买一本甲种图书与一本乙种图书共花费80元，用120元购进甲种图书与用
200元购进乙种图书的数量相同．
(1)求甲、乙两种图书的单价分别为多少元/本；
(2)该班计划购进甲、乙两种图书共20本，其中乙种图书的数量不少于5本，同时此次购书的总资金不超
过800元，求该班共有哪几种购买方案．
【答案】(1)甲种30元/本，乙种50元/本
(2)该班共有6种购买方案．分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本；
方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本；
方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本；
方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本；
方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本；
方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用．
（1）设甲种图书的单价为 元/本，则乙种图书的单价为 元/本，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设该班计划购进甲种图书 本，则计划购进乙种图书 本，根据题意列出不等式组，求出a的
取值范围，进而即可找出方案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：设甲种图书的单价为 元/本，则乙种图书的单价为 元/本．
根据题意，得 ，解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为50元/本．
（2）解：设该班计划购进甲种图书 本，则计划购进乙种图书 本．
根据题意，得
解得 ．
∵a为正整数，
∴a的值为10，11，12，13，14，15，
∴该班共有6种购买方案．
分别为方案一：购买甲种图书10本，乙种图书10本；
方案二：购买甲种图书11本，乙种图书9本；
方案三：购买甲种图书12本，乙种图书8本；
方案四：购买甲种图书13本，乙种图书7本；
方案五：购买甲种图书14本，乙种图书6本；
方案六：购买甲种图书15本，乙种图书5本．
5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面
每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数．
【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、 件或6人、 件．
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关
系式．
设小朋友的人数为 人，玩具数为 ，则 ， ，且 ， 的是正整数，将
代入 求出 、 的值，当求出 的值后，求 的值即可．
【详解】解：设小朋友的人数为 人，玩具数为 ，由题意可得：
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学科网（北京）股份有限公司，
，即： ，
解得 ，由于 的是正整数，所以 的取值为5人或6人，
当 时， 件；
当 时， 件；
所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、 件或6人、 件．
6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知
识解决实际问题．
东区有肥料 ，西区有肥料 ．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的
费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/ 和32元/ ．已知南区需要
肥料 ，北区需要肥料 ．
(1)设从东区往南区运 吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，
从西区往北区运__________吨肥料；（用含 的式子表示，并化简结果）
(2) 的取值范围是______________；
(3)设调运的总运费为 元，求 关于 的函数解析式以及调运总费用最少的方案．
【答案】(1) ； ； ；
(2)
(3) ，从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，
此时总运费最少，最少的运输费用是 元．
【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，根据已知得出 城和 城运往各地的肥
料吨数是解题的关键．
（1）根据题意列表，列代数式即可得出结果；
（2）由运量不能为负数，建立不等式组，即可求解；
（3）根据题意得总费用 与 之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解；
【详解】（1）解：设从东区往南区运 吨肥料，分析列表如下（单位：吨）：
东区 西区 合计
南区
北区
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学科网（北京）股份有限公司合计
∴从东区往北区运 吨肥料，从西区往南区运 吨肥料，从西区往北区运
吨肥料；
故答案为： ； ； ；
（2）解：根据题意得：
，
解得： ；
故答案为： ；
（3）解：由题意可得：
整理得：
∵ ， 随 的增大而增大， ，
∴当 时， ，
∴从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，
最少的运输费用是 元．
7．（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物
质 为200克；每千克乙原料含营养物质 为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质 不低于
240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围．
【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于 千克，且小于等于 千克
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙
原料 千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质 不低于240克、不高于245克建立不等式组求解
即可．
【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料 千克，
64 / 85
学科网（北京）股份有限公司由题意得， ，
解得 ，
答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于 千克，且小于等于 千克．
题型七 不等式组的方案选择问题
1．（25-26八年级上·浙江台州·月考）随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景
不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 220
3 2 310
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
(1)求A，B两种型号智能机器人的单价．
(2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过620万元，并且每天分拣快递
不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？
【答案】(1)A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为50万元．
(2)共有2种方案：A型5台、B型5台；A型6台、B型4台．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和不等
式组是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为 万元，B型智能机器人的单价为 万元，根据信息一中给出的两种购买
情况列方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购进A型 台，则B型为 台，根据总价不超过620万元和每天分拣快递不少于200万件列
出不等式组，解不等式组得到 的取值范围，再根据 为整数确定购买方案．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为 万元，B型智能机器人的单价为 万元，
由题意得： ，
65 / 85
学科网（北京）股份有限公司解方程组得： ，
答：A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为50万元．
（2）解：设购进A型 台，则B型为 台，
由题意得： ，
解不等式组： ，
∴ ，又 为整数，
∴ 或6，
当 时， ，即A型5台，B型5台；
当 时， ，即A型6台，B型4台．
答：共有两种购买方案：方案一：A型5台，B型5台；方案二：A型6台，B型4台．
2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电
难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要 万
元；新建 个地上充电桩和 个地下充电桩需要 万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过 万元的资金新建 个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的
2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案．
【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元
(2)共有3种建造方案，见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设该小区新建 个地上充电桩需要 万元， 个地下充电桩需要 万元，根据题意列出二元一次方程组
求解即可；
（2）设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需 万元，一个地下充电桩需 万元，
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学科网（北京）股份有限公司根据题意得： ，
解得： ，
答：该小区新建一个地上充电桩需 万元，一个地下充电桩需 万元；
（2）解：设新建m个地上充电桩，则新建 个地下充电桩，
根据题意得： ，
解得： ，
又 m为正整数，
m可以为18，19，20，
共有3种建造方案，
方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；
方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩．
3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价
比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
(1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
(2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品
的售价分别是12元 个和15元 个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超
过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【答案】(1)每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元
(2)该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：①购进甲种商品67个，乙种商品24个；②购进甲种商品70个，
乙种商品25个．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设每个乙种商品的进价是 元，则每个甲种商品的进价是 元，根据用80元购进甲商品的数量与
用100元购进乙商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设购进乙种商品 个，则购进甲种商品 个，根据乙的数量不超过25个，销售两种商品的总利
润超过380元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【详解】（1）解：设每个乙种商品的进价是 元，则每个甲种商品的进价是 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品的进价是10元．
（2）解：设购进乙种商品 个，则购进甲种商品 个，
根据题意得： ，
解得： ，
为正整数，
或25，
该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：
①购进甲种商品67个，乙种商品24个；
②购进甲种商品70个，乙种商品25个．
4．（25-26八年级上·重庆·期末）小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计
方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗
的 倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗
面积多出15平方米．
(1)请分别求出平开窗和推拉窗的单价；
(2)设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如
果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？
【答案】(1)平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元；
(2)一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，
平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程和
不等式组是解题的关键．
（1）设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为 元，根据将10000元用于采购平开窗，
余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米建立方程求解即可；
（2）设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为 平方米，根据用于推拉窗的资金不低于4000元且
总费用不超预算建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设平开窗每平方米单价为x元，则推拉窗每平方米单价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元；
（2）解：设平开窗面积为a平方米，则推拉窗面积为 平方米，
由题意得， ，
解得 ，
∵a为整数，
∴a的值可以为25或26，
当 时， ，
当 时， ，
答：一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，
平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米．
5．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）中秋节前，某超市第一次购进A，B两种月饼礼盒共100个，上市一
周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价：
进价（元/个） 售价（元/个）
A礼盒 150 220
69 / 85
学科网（北京）股份有限公司B礼盒 100 140
(1)根据上表，求该超市第一次购进A，B礼盒各多少个；
(2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进A，B两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由
于A礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进A礼盒m个，A礼盒的售价比第一次的售价提高20元，B礼
盒的售价也比第一次的售价提高 、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比
第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进
货方案？
【答案】(1)第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个
(2)该超市有8种进货方案
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设该超市第一次购进x个A礼盒，则购进 个B礼盒，根据该超市第一次购进的A，B两种礼
盒全部售出后共获利4600元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即该超市第一次购进A
礼盒的数量），再将其代入 中，即可求出该超市第一次购进B礼盒的数量；
（2）根据“第二次的总利润至少比第一次的总利润多2060元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100
元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该超
市共有8种进货方案．
【详解】（1）解：设A种礼盒x个，则B种礼盒 个，由题意得：
解得 ，
则
答：第一次购进A礼盒20个，B礼盒80个；
（2）解：由题意得
解得 ，
∴该超市有8种进货方案．
70 / 85
学科网（北京）股份有限公司6．（25-26八年级上·甘肃·期末）某校为开展“阳光体育”活动，计划购买一批篮球和足球．已知购买2
个篮球和3个足球共需380元；购买4个篮球和1个足球共需440元．
(1)求每个篮球和每个足球的售价；
(2)若学校计划用不超过2600元的资金购买篮球和足球共30个，且篮球数量不少于足球数量的2倍，请问
有哪几种购买方案？
【答案】(1)每个篮球 元，每个足球 元
(2)三种方案：篮球20个、足球10个；篮球21个、足球9个；篮球22个、足球8个
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意，建立方程组或不等
式组是解题的关键．
（1）设每个篮球的售价为 元，每个足球的售价为 元，根据“已知购买2个篮球和3个足球共需380元；
购买4个篮球和1个足球共需440元”建立二元一次方程组求解；
（2）设购买足球 个，则篮球为 个，根据总价款和两种球的数量关系列出关于 的一元一次不等式组，
求解不等式组的整数解，即可得出符合条件的购买方案．
【详解】（1）解：设每个篮球的售价为 元，每个足球的售价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
答：每个篮球的售价为 元，每个足球的售价为 元
（2）解：设购买足球 个，则篮球 个，
由题意得， ，
解得， ，
∵ 为正整数，
∴ 取8或9或10，
∴有三种购买方案：
即篮球20个、足球10个；篮球21个、足球9个；篮球22个、足球8个．
71 / 85
学科网（北京）股份有限公司7．（2025八年级上·重庆·专题练习）为了更好地开展阳光体育活动，某校计划购买一批排球．已知购买4
个甲品牌排球的费用与购买3个乙品牌排球的费用相同，学校首次购买甲品牌排球20个、乙品牌排球30
个共花费3600元．
(1)求甲、乙两品牌排球的单价；
(2)因排球运动受到学生们的欢迎，根据需要，学校决定再次购买甲、乙两品牌排球共50个，正逢商场举
行促销活动，甲品牌排球每个优惠4元，乙品牌排球每个打8折．如果要求购买甲乙两品牌50个排球的总
费用不超过2960元，且购买乙品牌排球的数量不少于甲品牌排球数量的 ，则有哪几种购买方案？最少需
要多少费用？
【答案】(1)甲品牌排球的单价是60元，乙品牌排球的单价是80元
(2)有4种购买方式：方案一：购买30个甲品牌排球，则购买20个乙品牌排球；方案二：购买31个甲品牌
排球，则购买19个乙品牌排球；方案三：购买32个甲品牌排球，则购买18个乙品牌排球；方案四：购买
33个甲品牌排球，则购买17个乙品牌排球；最少费用为2936元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设甲品牌排球的单价是 元，乙品牌排球的单价是 元，根据题意可得出关于 ， 的二元一次方程
组，解之即可得出结论；
（2）设购买 个甲品牌排球，则购买 个乙品牌排球，根据题意可得出关于 的一元一次不等式组，
解之即可得出 的取值范围，结合 为正整数，可得出共有4种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，
比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲品牌排球的单价是 元，乙品牌排球的单价是 元，
依题意得： ，解得 ．
答：甲品牌排球的单价是60元，乙品牌排球的单价是80元．
（2）设购买 个甲品牌排球，则购买 个乙品牌排球，
依题意得： ，解得 ．
为正整数，
72 / 85
学科网（北京）股份有限公司，31，32，33．
∴共有4种购买方式：
方案一：购买30个甲品牌排球，则购买20个乙品牌排球；
方案二：购买31个甲品牌排球，则购买19个乙品牌排球；
方案三：购买32个甲品牌排球，则购买18个乙品牌排球；
方案四：购买33个甲品牌排球，则购买17个乙品牌排球．
方案一费用： （元）；
方案二费用： （元）；
方案三费用： （元）；
方案四费用： （元）；
∵ ，
∴最少费用为2936元．
题型八 不等式组的阶梯收费问题
1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下：
不超过 ，2元 人次；超过 到 （含）， 元/人次；
超过 到 （含），4元/人次；
超过 到 （含），5元/人次；
超过 到 （含），6元/人次；
超过 到 （含），7元/人次；
超过 到 （含），8元/人次；
超过 部分，票价每增加 元可再乘坐 ．
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了 元，设他乘坐地铁的里程为 ，用不等式表示 的范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解
题的关键．根据“超过 部分，票价每增加 元可再乘坐 ”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费
了 元，即按里程计算超过 元且不超过 元，可列出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的取
值范围．
73 / 85
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
2．（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过6 3元；超过6 到12
（含）4元；超过12 到22 （含）5元；超过22 到32 （含）6元；超过32 部分，每增加1
元可再乘坐20 ．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为 ，用不等式表示
x的范围 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32 部分，每增加1元可再乘坐20 ，从而
得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可．
【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐： ；
8元可以最多乘坐： ；
9元可以最多乘坐： ；
∴ ；
故答案为： ．
3．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费
标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收 元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．
某同学的爸爸洗车花费了 元，请你写出洗车的时间 的范围（单位：分钟） ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗
车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得．
74 / 85
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意得： （分钟），
∵不足一分钟按一分钟计算，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
题型九 不等式组的其他应用
1．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）三角形的三边分别是 ， ， ，则 的取值范围
．
【答案】
【分析】本题考查三角形三边关系及不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：任意两边
之和大于第三边．据此列出不等式组并求解．
【详解】解：∵三角形的三边分别是 ， ， ，
∴ ，
解得： ，
即 的取值范围是 ．
故答案为： ．
2．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为
以下两种：
①一次性购买 型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6
元销售．
②一次性购买 型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4
元销售．
若购买30本 型相册和10本 型相册，共需支付2240元；若购买20本 型相册和40本 型相册，共需
支付3100元．
(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
(2)若该社团计划购买 型和 型相册共15本，要求 型相册数量大于或等于 型相册数量的2倍，且总费
用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元
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学科网（北京）股份有限公司(2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本 型相册，5本 型相册；方案2：购买11本 型相册，4
本 型相册；方案3：购买12本 型相册，3本 型相册，方案1所需费用最少，为850元
【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设这家商场 型相册每本的零售价是 元， 型相册每本的零售价是 元，根据“购买30本 型相
册和10本 型相册，共需支付2240元；购买20本 型相册和40本 型相册，共需支付3100元”，可列
出关于 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买 本 型相册，则购买 本 型相册，根据“购买 型相册数量大于或等于 型相册数
量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于 的一元一次不等式组，解之可得出 的取值范围，结
合 为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设这家商场 型相册每本的零售价是 元，B型相册每本的零售价是 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：这家商场 型相册每本的零售价是60元， 型相册每本的零售价是50元；
（2）解：设购买 本 型相册，则购买 本 型相册，
根据题意得： ，
解得： ，
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，
∴该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本 型相册，5本 型相册；
方案2：购买11本 型相册，4本 型相册；
方案3：购买12本 型相册，3本 型相册．
选择购买方案1所需费用为 （元）；
选择购买方案2所需费用为 （元）；
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学科网（北京）股份有限公司选择购买方案3所需费用为 （元），
，
∴方案1所需费用最少．
答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本 型相册，5本 型相册；方案2：购买11本 型相册，
4本 型相册；方案3：购买12本 型相册，3本 型相册，方案1所需费用最少，为850元．
3．（2026八年级下·全国·专题练习）已知甲、乙两果园预计今年水蜜桃的产量分别为 和 ，打算
成熟后运到 ， 两个仓库存放． 仓库可储存 ， 仓库可储存 ．甲、乙两果园运往两仓库的运
费价格如下表：
甲 乙
140元/
仓库 150元/
仓库 200元/ 180元/
设从甲果园运往 仓库的水蜜桃为 ，甲、乙两果园运往两仓库的水蜜桃的运输费用分别为 （单位：
元）和 （单位：元）．
(1)求 ， 关于 的函数解析式．
(2)甲果园预计今年拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园预计今年拿出不超过50000元的费用作为
运费．在这种情况下，甲果园运往 仓库的水蜜桃为多少吨时，能使两果园的运费之和最小？最小是多少？
【答案】(1) ；
(2)甲果园运往 仓库的水蜜桃为 时，能使两果园的运费之和最小，最小是83000元
【分析】（1）由运费=数量×单价就可以得出 、 与 之间的函数关系式；
（2）根据甲果园今年预计拿出不超过 元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过 元的费
用作为运费，求出 的范围，设两地运费之和为 元，表示出 与 的关系式，由一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：由从甲果园运往 仓库的水蜜桃为 可得，
从甲果园运往 仓库的水蜜桃为 ，
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学科网（北京）股份有限公司从乙果园运往 仓库的水蜜桃为 ，
从乙果园运往 仓库的水蜜桃为 ．
根据题意，得 ，
．
（2）解：由题意，得 解得 ．
设两果园的运费之和为 元．
由题意，得 ．
， 随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，最小值为83000，
甲果园运往 仓库的水蜜桃为 时，能使两果园的运费之和最小，最小是83000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）2023年4月23日是世界第28个读书日，为培养学生的阅读兴趣，
某校准备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用y（元）与购进本数x（本）之间的函数关系如图所
示，乙种图书每本25元．
(1)当 时，求y与x之间的函数关系式；
(2)①若只购买80本甲种图书，则需费用______元；
②学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用多
少元？
【答案】(1)
(2)① ；②当购进甲种图书 本，乙种图书 本图书时，总费用最少，最少费用为 元．
【分析】本题考查一次函数的实际应用．
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据函数图象利用待定系数法求解当 时对应的函数解析式．
（2）设总费用为 元，求出 关于 的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可．
【详解】（1）解： 当 时，设 与 之间的函数关系式是 ，
，解得 ，
即当 时， 与 之间的函数关系式是 ，
与 之间的函数关系式是： ．
（2）解：①当 时，设 与 之间的函数关系式是 ，
，
解得， ，
即当 时， 与 之间的函数关系式是 ，
当 时， 元
故答案为： ；
②设总费用为 元，设购买x本甲种图书，则购买 本乙种图书，
两种图书均不少于 本，
则 ，
，
，
， 随 的增大而减小，
当 时， 最少为 ，
应购买甲种图书300本，乙种图书100本，才能使总费用最少，最少是8500元．
题型一 一元一次不等式组的综合应用
1．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组
同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，则丙组有 名同学．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】9或7
【分析】本题主要考查了方程组的应用、不等式的应用等知识点，将实际问题转化为数学问题是解题的关
键.
设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人，由题意得 ，再根据极值可得
或13，再分 或13两种情况，分别确定b、c的关系，然后运用列举法确定c的值
即可解答．
【详解】解：设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人．
则由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 或13，
当 时，则 ，即 ；
∴ ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，此时 ，不符合题意（因题干提及甲、乙、
丙三组，默认各组人数为正整数）；当 时， ，此时 ，不符合题意；
当 时，则 ，即 ，此方程
无符合题意的解．
综上，丙组的学生数为9或7名同学．
故答案为：9或7．
2．（25-26九年级上·重庆万州·期中）如果一个四位自然数 的各数位上的数字均不为0，满足
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学科网（北京）股份有限公司，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，∵ ，
∴2129是“天天向上数”：如3465，∵ ，∴3465不是“天天向上数”．若一个“天天
向上数”为 ，则此时 ；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数 与后三位
数字组成的三位数 的和能被13整除，则满足条件“天天向上数”的最大值为 ．
【答案】 5 8183
【分析】本题考查了新定义、整式的加减的应用，不等式组的应用等知识，理解新定义是关键．
（1）根据“天天向上数”即可求解；
（2）由 为“天天向上数”，得 ，由题意得
，由题意得 为整数，设 ，则 ；
依次考虑a取9，8等数时，b、c、d的取值，最后可确定最大的满足条件的“天天向上数”．
【详解】解：由题意得： ，
即 ，
解得： ；
∵ 为“天天向上数”，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
∵一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数 与后三位数字组成的三位数 的和能被13整除，
∴
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学科网（北京）股份有限公司，
由题意得 为整数，设 ，则 ；
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或6，
当 时不合题意，当 时， ，
此时 ，
即 ,
当 最大取9时，d最小为57，不合题意；
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或5或6，
当 时， ，
当 或6时不合题意，
此时 ，
即 ，
当 时， ，c取其它整数不合题意；
此时的“天天向上数”为8183；
当a取其它值，此时的“天天向上数”必小于8183；
故满足条件的“天天向上数”最大为8183；
故答案为：5，8183．
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学科网（北京）股份有限公司3．（2024·天津·模拟预测）已知关于 x的不等式组 有解， 求 a的取值范围．
【答案】a的取值范围为全体实数．
【分析】先分析不等式①的解集，需要考虑a的不同取值（如 、 、 ）对解集的影响，再分
析不等式②的解集，同样需考虑a的不同取值对解集的影响，最后确定两个解集有解时的公共部分，即找
到a的取值范围．
【详解】解：∵ 有解，
∴将①因式分解得： ，
将②因式分解得： ，
∴此时 有三种情况：
①当 时， ，解得： ，
②当 时，不等式 的根为 和 ，
由于 ，则有 ，因此解集为 ，
③当 时，不等式 的根为 和 ，
由于 ，则有 ：
（i）若 ，即 ，解集为 或 ，
（ii）若 ，即 ，此时 ，解得： ，
∴解集为 或 ，
（iii）若 ，即 ，解集为 或 ．
同理，此时 有三种情况：
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学科网（北京）股份有限公司①当 时，此时 ，即 ，解得： ，
∴解集为 或 ，
②当 时，不等式 的根为 和 ，
由于 ，解集为： 或 ，
③当 时，不等式 的根为 和 ，
由于 ，解集为： 或 ，
结合两个不等式，当 时，不等式①的解集为： ，不等式②的解集为： 或 ，公共解集为
或 ；
当 时，不等式①解集为： ，不等式②的解集为： 或 ，
若 ，不等式组解集为： ，
若 ，不等式组解集为： 或 ，
若 ，不等式组解集为： ，
∴对于 ，不等式组有解集，
当 时，不等式①的解集分三种情况：
若 ，解集为 或 ，
若 ，解集为 或 ，
若 ，解集为 或 ，
而不等式②的解集分两种情况：
若 ，解集为 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司若 ，解集为 或 ，
此时 时，不等式组有解集，
综上所述，a的取值范围为全体实数．
【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式组的取值范围，此题需进行分类讨论，难度较大．
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