文档内容
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
2.4 一元一次不等式
基础篇
一、单选题
1．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出不等式的解集为 ，再根据其在数轴上的表示方法即可得．
【详解】解：不等式 的解集为 ，
在数轴上表示如下：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向
右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表
示．
2．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】根据解不等式的步骤，系数化 可得到 的取值范围．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵在数轴上小于向左画，有等于用实心点，
故选 ．
【点睛】本题考查了数轴上表示不等式的解集的方法，熟记在数轴上表示不等式的解集时有等于用实心点
是解题的关键．
3．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）下列按条件列不等式正确的是（ ）
A．若a是非负数，则 B．若x的值不大于3，则
C．若m与 的和小于或等于0，则 D．若x的值不小于1，则
【答案】A
【分析】根据题意列出对应的不等式即可．
【详解】解：A、若 是非负数，则 ，正确，符合题意；
B、若 的值不大于3，则 ，错误，不符合题意；
C、若 与 的和小于或等于0，则 ，错误，不符合题意；
D、若 的值不小于1，则 ，错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了列不等式，正确理解题意是解题的关键．
4．（2023秋·湖南永州·八年级统考期末）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用在数轴上表示不等式的解集时：点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．
【详解】解： 在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有D选项符合；
故选D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点
是实心或空心，以及方向的左右等．5．（2023秋·湖南郴州·八年级统考期末）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由式子 在实数范围内有意义，可得 ，再解不等式即可．
【详解】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ，
故选D．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解本题的关键．
6．（2023秋·湖南湘潭·八年级统考期末）一次知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，
每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对 道题，可列出的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可直接列出不等式．
【详解】解：由题意可列不等式为 ；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键．
二、填空题
7．（2023秋·浙江温州·八年级统考期末）“a的3倍与2的差小于9”用不等式表示为___________．
【答案】 ##
【分析】a的3倍与2的差表示为 ，从而可得答案．
【详解】解：“a的3倍与2的差小于9”用不等式表示为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是列不等式，理解题意，列出正确的不等式是解本题的关键．8．（2022春·安徽亳州·七年级统考阶段练习） 是非负数，则 的取值范围应为______．
【答案】
【分析】根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出 的范围．
【详解】解： 是非负数，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2021春·甘肃兰州·七年级校考期中）x的 与6的差不小于4，那么x的最小整数解是______．
【答案】15
【分析】根据题意列出一元一次不等式，然后求解即可．
【详解】由题意得， ，
移项得， ，
系数化为1得， ，
∴x的最小整数解是15．
故答案为：15．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤．
10．（2020秋·江苏淮安·八年级校考期中）若点 在第三象限内，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据平面直角坐标系中，第三象限内的点的横坐标小于0，列不等式并求解即可得．
【详解】解：点 在第三象限内
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查了点所在的象限、一元一次不等式的应用；熟练掌握平面直角坐标系中，点的坐标特点
是解题关键．三、解答题
11．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1) ，数轴见解析
(2) ，数轴见解析
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解不等式即可．
【详解】（1）解：
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化1得， ；
在数轴上表示如下：
（2）
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化1得， ；
在数轴上表示如下：【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
12．（2021春·江苏连云港·七年级东海实验中学校考阶段练习）有 、 两种型号呼吸机，若购买 台 型
呼吸机和 台 型呼吸机共需 万元．若购买 台 型呼吸机和 台 型呼吸机共需 万元．
(1)求 、 两种型号呼吸机每台分别多少万元？
(2)采购员想采购 、 两种型号呼吸机共 台，预计总费用低于 万元，请问 型号呼吸机最多购买几
台？
【答案】(1) 型呼吸机每台 万元， 型呼吸机每台 万元
(2) 型呼吸机最多可以购买 台
【分析】（1）根据题意设 型呼吸机每台 万元， 型呼吸机每台 万元，由此即可列出方程组求解；
（2）设 型呼吸机购买了 台，则 型呼吸机购买了 台，由此列不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设 型呼吸机每台 万元， 型呼吸机每台 万元，
，解方程组得， ，
∴ 型呼吸机每台 万元， 型呼吸机每台 万元．
（2）解：设 型呼吸机购买了 台，则 型呼吸机购买了 台，
∴ ，解不等式得， ，
∴ 型呼吸机最多可以购买 台．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，理解题目中数量关系，掌握解二元一次方程组，
一元一次不等式是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2023秋·重庆大渡口·七年级重庆市第九十五初级中学校校考期末） 表示一个三位正整数，其中 ，， 分别为百位、十位、个位上的数字，且 ，当 时，称 为递减数，如630，765，
642等均为递减数，如果一个递减数三个数字的和是6的倍数，这样的递减数有______个．
【答案】
【分析】设此三位数为 ，根据题意，列不等式，分别求解即可．
【详解】解：设此三位数为 ，
由题意可得： ，其中 ， ， ， 为正整数，
由 可得，
则 ，即
则 的取值为 ，
当 时， 的取值为 ，
当 时，可得 ，三位数为 ，符合题意；
当 时，可得 ，三位数为 ，符合题意；
当 时， 的取值为 ，
当 时，可得 ，三位数为 ，符合题意；
当 时，可得 ，三位数为 ，符合题意；
当 时，可得 ，三位数为 ，符合题意；
当 时，可得 ，三位数为 ，符合题意；
当 时， 的取值为 ，
当 时，可得 ，不符合题意；
当 时，可得 ，不符合题意；
当 时，可得 ，不符合题意；
当 时，可得 ，三位数为 ，符合题意；
当 时，可得 ，三位数为 ，符合题意；
当 时，可得 ，三位数为 ，符合题意；
当 时， ，则 ，三位数为 ，符合题意；
综上，这样的递减数有 个
故答案为：10【点睛】此题考查不等式的求解，解题的关键是理解题意，正确得到 ，并利用分类讨论的思想求解
问题．
2．（2022秋·山东德州·七年级校联考期中）关于 的方程 是一元一次方程，则该方程的
解是________．
【答案】 ##
【分析】根据一元一次方程定义：含有一个未知数；未知数最高次数为1；整式方程；最高次项系数不为
零，结合方程 列出方程求解即可得到答案．
【详解】解： 关于 的方程 是一元一次方程，
，解得 ，
关于 的一元一次方程是 ，即 ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次方程定义及解一元一次方程，熟记定义及解一元一次方程的方法是解决问题的
关键．
3．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）某次体育测试共有100名同学参与，在测试（满分20分．分
值为整数）中，有5名学生申请免考（得分16分）．要使得平均分达到19.5，至少需要________名学生满
分．
【答案】65
【分析】设至少需要 名学生满分，为使满分人数最少，则其他人测试成绩应为19分，根据题意，列不等
式 ，求解即可．
【详解】解：设至少需要 名学生满分，
为使满分人数最少，则其他人测试成绩应为19分，
根据题意，可得 ，
解得 ，
所以，至少需要65名学生满分．
故答案为：65．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出不等式是解题关键．4．（2022秋·辽宁大连·七年级校考期末）某种商品进价为200元，标价400元，由于该商品积压，商店准
备打折销售，但要保证利润率不低于40%，则最多可以打________折．
【答案】7
【分析】根据题意，可以设打 折时，利润率不低于40%，根据利润≥进价×40%列不等式解答．
【详解】解：设打 折，根据题意得
，
解得 ．
故最多可以打7折．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实
际问题的能力．解题时要明确利润=售价－进价．
5．（2022秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）嘉兴某玩具城计划购进A、 、 三种玩具，其进价和售价．如
下表：
玩具名称 进价（元/件） 售价（元/件）
A
现在 元购买 件玩具，若销售完这些玩具获得的最大利润是 元，则A玩具最多购进_______件．
【答案】
【分析】设A玩具购进x件，B玩具购进y件，则C玩具购进 件，根据 元购买 件玩具，
得出 ，再根据销售完这些玩具获得的最大利润是 元，列出不等式，再解不等式可得答案．
【详解】解：设A玩具购进x件，B玩具购进y件，则C玩具购进 件，
∴
∴
∴
∵销售完这些玩具获得的最大利润是3000元，∴
∴
∴
∴A玩具最多购进 件
故答案为：
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
二、解答题
6．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司
每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共 万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表所示：
甲 乙
成本 元/只 元/只
售价 元/只 元/只
(1)若该公司三月份的利润为 万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(2)养正学校到该公司购买乙型口罩，有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打 折；方案二：购买
元会员卡后，乙型口罩一律打 折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．
【答案】(1)生产甲型口罩 万只，乙型口罩 万只；
(2)当购买数量少于 只时，选择方案一购买更实惠；当购买数量等于 只时，选择两种方案所需费用
相同；当购买数量多于 只时，选择方案二购买更实惠．
【分析】（1）设生产甲型口罩 万只，乙型口罩 万只，根据“甲、乙两种型号的防疫口罩共 万只；
每只口罩的成本、售价已给出且该公司三月份的利润为 万元”，即可列出关于 ， 的二元一次方程组，
解此方程可得出结论；
（2）设购买乙型口罩 只，则选择方案一所需费用为 （元），选择方案二所需费用为
（元），要选择合适的购买方案，有三种情况，根据每种情况列出不等式，
求解不等式即可得到结论．
【详解】（1）解：设生产甲型口罩 万只，乙型口罩 万只，依题意得：，解得： ．
因此，生产甲型口罩 万只，乙型口罩 万只．
（2）设购买乙型口罩 只，则选择方案一所需费用为： （元），选择方案二所需费用为：
（元）．
当 时，解得： ；
当 时，解得： ；
当 时，解得： ．
因此，当购买数量少于 只时，选择方案一购买更实惠；当购买数量等于 只时，选择两种方案所需
费用相同；当购买数量多于 只时，选择方案二购买更实惠．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，
掌握方程的解法，正确找到题中的数量关系，列出方程与不等式，是解这道题的关键．
7．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）非常时期，出门切记戴口罩．当下口罩市场出现热销，某超市老
板用 元购进甲、乙两种型号的口罩在超市俏售，销售完后共获利 元．进价和售价如下表：
型号
甲型口罩 乙型口罩
价格
进价（元/袋）
售价（元/袋）
(1)该超市胸购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？
(2)该超市第二次又以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共 袋，此次用于购进口罩的资金不少于
元，但不超过 元．若两种型号的口罩都按原来的售价全部售完．设此次购进甲种口罩 袋，超市获利
元，试求 关于 的函数关系式，并求出 的取值范围和超市的最大利润．
【答案】(1)甲型号口罩有 袋，乙型号口罩有 袋
(2) ，且自变量的取值范围为 ，当 时，有最大利润，最大利润为 元
【分析】（1）根据表格中的数据，设甲型号口罩有 袋，乙型号口罩有 袋，用 元购进，获利 元，
由此列方程组即可求解；
（2）以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共 袋，甲种口罩 袋，则乙型口罩为 袋，用于购进口罩的资金不少于 元，但不超过 元，由此可列不等求解．
【详解】（1）解：根据题意，设甲型号口罩有 袋，乙型号口罩有 袋，用 元购进，获利 元，
∴ ，解方程组得， ，
∴甲型号口罩有 袋，乙型号口罩有 袋．
（2）解：以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共 袋，甲种口罩 袋，
∴乙型口罩为 袋，
∵用于购进口罩的资金不少于 元，但不超过 元，
∴ ，解不等式得， ，
∵获利 元，
∴ ，整理得， ，
∵一次函数 中， ，
∴函数值 随自变量 的增大而增大，且自变量的取值范围为 ，
∴当 时，利润最大，最大值为 （元），
∴ 关于 的函数关系式为 ，且自变量的取值范围为 ，当 时，有最大利
润，最大利润为 元．
【点睛】本题主要考查一次函数，一元一次不等式，二元一次方程组的综合，理解题目中的数量关系列方
程，掌握二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，一次函数的性质是解题的关键．
8．（2023秋·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考期末）2022年北京承办了第24届冬季奥林匹克运
动会，某商店为了抓住冬奥会的商机，决定购买 ， 两种冬奥会纪念品，若购进 种纪念品20件， 种
纪念品10件，需要2000元．若购进 种纪念品10件， 种纪念品8件，需要1150元．
(1)求购进 ， 两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店购进这两种纪念品共1000件，总费用不超过60000元，销售每件 种纪念品可获利润30元，
每件 种纪念品可获利润20元．设购进 种纪念品 件，请求出总利润最高时的进货方案．
【答案】(1)购进A种纪念品每件需要75元，B种纪念品每件需要50元
(2)当购进A种纪念品400件，B种纪念品600件时，获得的利润最大，最大利润是24000元
【分析】（1）根据题意列出方程组解答即可得出；
（2）设购进A种纪念品a件，根据题意列出关于a的一元一次不等式组，解不等式组得出a的取值范围，
即可得出结论，找出总利润关于购买A种纪念品a件的函数关系式，由函数的性质确定总利润取最值时a的值，从而得出结论．
【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念币每件价格为n元，
根据题意可知： ，
解得： ．
答：购进A种纪念品每件需要75元，B种纪念品每件需要50元．
（2）解：设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品 件，
根据题意可得： ，
解得： ．
销售总利润 ．
∵
∴w随a的增大而增大
∴当 时，获得利润最大，最大利润 （元）．
答：当购进A种纪念品400件，B种纪念品600件时，获得的利润最大，最大利润是24000元．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组以及一次函数的性质，解题的关键：（1）
列出关于两种纪念品单价的二元一次方程组；（2）列出关于购买A种纪念品件数x的一元一次不等式组，
根据一次函数的性质确定最值．本题属于中档题，难度不大，但考到的知识点稍多，解决该类题型时，明
确解题的方法是关键，通过审题确定解题思路才能更快捷的解决该类问题．
