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第二章 不等式与不等式组
2.3 一元一次不等式与一次函数
第 1 课时 一元一次不等式与一次函数的关系
【素养目标】
1. 学会使用图象法解一元一次不等式。(重点)
2. 理解并掌握一元一次不等式与一次函数之间的关系， 在类比观察中领悟数
形结合思想，发展创新能力。
3. 能够运用一元一次不等式与一次函数解决实际问题。(难点)
【复习导入】
1. 解不等式 2x−5 > 0 。
2. 一次函数y = ax+b的图象是_______。它与x轴的交点坐标是_______ ，
与y轴的交点坐标是_______; 要作一次函数的图象， 只需________点即可。
3. 一次函数 y = 2x−5 它与x轴的交点坐标是_________，与 y轴的交点坐标
是 _______。
【合作探究】
探究点一、一元一次不等式与一次函数
作出一次函数 y = 2x−5 的图象。
x ... 0 2.5 ...
y = 2x−5 ... ...
观察图象回答下列问题：
(1) x取何值时，2x−5 = 0 ?
(2) x取哪些值时，2x−5 > 0 ?
(3) x取哪些值时，2x−5 < 0 ?
(4) x取哪些值时，2x−5 > 1 ?
第 1 页【想一想】
如果y = −2x−5 ，那么当x取何值时，y < 0 ？当x取何值时，y < 1 ?
思路一：运用函数图象解不等式
思路二：将函数问题转化为不等式问题
【归纳总结】
例1 根据下列一次函数的图象，直接写出下列不等式的解集。
(1) 3x+6 > 0 (即 y > 0 ) (3) −x+3 ≥ 0x ≤ 3 (即 y ≥ 0 )
__________________ __________________
(2) 3x+6 ≤ 0 (即 y ≤ 0 ) (4) −x+3 < 0(即 y ＜ 0 )
第 2 页__________________ __________________
【练一练】
5
1. 利用y = − x+5的图象，直接写出：
2
5
(1) 方程 y = − x+5 的解 ___________ (即 y = 0 )
2
5
(2) 方程 y = − x+5 的解 ___________ (即 y ＞ 0 )
2
5
(4) 方程 y = − x+5 的解 ___________ (即 y ＜ 0 )
2
5
(2) 方程 y = − x+5 的解 ___________ (即 y > 5 )
2
例2 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑
3 m，哥哥每秒跑4 m。列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答问题：
(1) 何时弟弟跑在哥哥前面？
(2) 何时哥哥跑在弟弟前面？
(3) 谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？ 你是怎样求解的？ 与同伴交流。
思路一：图象法
(1) __________ s 时，弟弟跑在哥哥前面。
(2) __________ s 时，哥哥跑在弟弟前面。
(3) ________先跑过20 m . _______先跑过100m 。
思路二：代数法
(1) 何时弟弟跑在哥哥前面？
(2) 何时哥哥跑在弟弟前面？
第 3 页(3) 谁先跑过20 m ? 谁先跑过100 m ?
【练一练】
2. 直线 l : y = kx+b与直线 l : y = x+a在同一平面直角坐标系中的图
1 1 2 2
象如图所示，则关于kx+b > x+a的不等式的解集为 ( )
A. x > 3 B. x < 3 C. x = 3 D. 无法确
定
3. 直线 l : y = x+1与直线 l : y = mx+n 相交于点P (a,2) ，则关于x
1 2
的不等式 x+1 ≥ mx+n 的解集为 _______ .
第 4 页当堂反馈
1. 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象如图所示，
则关于x的不等式kx＋b＞0的解集为( )
A. x>0 B. x<0
C. x<2 D. x>2
2.已知一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所
示：
x -2 -1 0 1 2 3
y 3 2 1 0 -1 -2
则不等式kx＋b＜0的解集是 ________ .
3. 已知 y ＝－x＋3， y ＝3x－4，当 x 取何值时 y ＞y ?
1 2 1 2
你是怎样做的? 与同伴交流.
4.如图，直线y＝kx＋b经过点A(5，0)，B(1，4).
(1)求直线AB的表达式；
(2)若直线y＝2x－4与直线AB相交于点C(3，2)，直接写出关于x的不等式
2x－4≤kx＋b的解集。
5. 甲、乙两辆摩托车从相距 20 km 的 A、B 两地相向而行，图中 l1、l2 分
别表示两辆摩托车离开 A 地的距离 s (km) 与行驶时间 t (h) 之间函数关系.
(1) 哪辆摩托车的速度较快？
(2) 经过多长时间，甲车行驶到A、B 两地中点？
第 5 页参考答案
复习导入
5 b
1. x > 2. 一条直线 ( − ,0) (0 , b) 两
2 a
3. ( 3 )
,0 (0,−5)
2
探究点一、一元一次不等式与一次函数
探究新知
(1) 当x = 2.5,2x−5 = 0 (2) 当x > 2.5,2x−5 > 0
(3) 当x < 2.5,2x−5 < 0 (4) 当x > 3,2x−5 > 1
【想一想】
思路一：运用函数图象解不等式。
由图象可得 当 x > −2.5 时， y < 0 。当 x > −3 时， y < 1 。
思路二：将函数问题转化为不等式问题。
即解不等式 −2x−5 < 0 ，则 x > −2.5 。−2x−5 < 1 ，则 x > −3 。
∴ 当 x > −2.5 时， y < 0 。∴ 当 x >−3 时， y < 1。
例1 (1) x＞-2 (2) x≤3 (3) x≤-2 (4) x＞3
【练一练】
1. (1) x=2 (2) x<2 (3) x>2 (4) x<0
例2 哥哥： y = 4x 弟弟： y =3x+9
1 2
思路一：图象法 (1) 0 < x < 9 s (2) x > 9， 哥哥跑在弟弟前面。
(3) 弟弟 哥哥
思路二：代数法
解： (1) 4x < 3x+9 , 解得 x < 9 。则 0 < x < 9 。
(2) 4x > 3x+9 ，解得 x > 9 。
第 6 页11 11
(3) 4x = 20 , 解得 x=5; 3x+9=20,x = ∵5 > , ∴ 弟弟先跑过 20m
3 3
。
91 91
4x = 100 ，解得 x = 25;3x+9=100,x = ∵25< , ∴哥哥先跑过
3 3
100m 。
【练一练】 2. B. 3. x ≥ 1 .
当堂反馈
1. C
2. x＞1
3.解：根据题意，得 －x＋3 ＞ 3x－4，
7
解得x＜
4
7
因此，当 x＜ 时，y ＞y .
1 2
4
4.解：(1)
根据题意得{5k＋b = 0， 解得{k ＝－1，
k＋b = 4， b = 5，
则直线AB的表达式是y＝－x＋5.
(2)根据图象可得不等式2x－4≤kx＋b的解集是x≤3.
5.解：(1)由图象可知
s=20 km，t =0.6h，t =0.5h.
甲 乙
20 20
v = h，v = h.
甲 乙
0.6 0.5
即v ＜v
甲 乙.
故摩托车乙速度快.
(2)当 s ＝10 km 时，
即经过 0.3 h 时，甲车行驶到 A、B 两地的中点.
第 7 页
