2.2 立方根与平方根
14大知识点（基础）+能力提升题（7道）+拓展培优练（4道）
一、求一个数的算术平方根
1．（2025·江苏南京·二模）若❑√a=3，则a的值为（ ）
A．9 B．−9 C．±9 D．−3
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根的概念．解题关键在于理解算术平方根的定义及性质，利用算术平方根与被
开方数的平方关系来求解被开方数的值，要注意算术平方根是非负的，被开方数也是非负的．由❑√a=3，
根据算术平方根的定义求出a的值．
【详解】解：∵(❑√a) 2=a（a≥0），32=9，
∴a=9 ．
故选：A．
2．（2025·湖北荆州·三模）❑√9的化简结果是（ ）
A．3 B．±3 C．2 D．4
【答案】A
【分析】此题考查了算术平方根．求出❑√9的值即可得到答案．
【详解】解：❑√9=3，即❑√9的化简结果是3，
故选：A．
3．（24-25七年级下·广东广州·期中）❑√16的值是（ ）
A．8 B．±8 C．4 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根，熟记定义是解题的关键．根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：❑√16=4，
故选：C．
4．（24-25七年级下·广东潮州·期中）25的算术平方根是（ ）
A．±5 B．±25 C．−5 D．5
【答案】D【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：25的算术平方根是5，
故选：D．
16
5．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习） 的算术平方根为 ．
9
4 1
【答案】 /1
3 3
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，解题关键是理解算术平方根的意义．
直接根据算术平方根的意义求解．
16 √16 4
【详解】解： 的算术平方根为❑ = ，
9 9 3
4
故答案为： ．
3
二、利用算术平方根的非负性解题
1．（24-25七年级下·广西梧州·期中）若|x−2)+❑√y−8=0，则❑√xy的算术平方根是（ ）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，方程的思想，算术平方根的应用，关键是求出x、y的
值．
根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出算术平方根即可．
【详解】解：∵|x−2|+❑√y−8=0，
∴x−2=0，y−8=0，
∴x=2，y=8，
∴xy=2×8=16，
∴❑√xy=4，
∴ ❑√xy的算术平方根为2，
故选A．
2．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）若实数x、y满足❑√x−4+|y2−9)=0，则❑√x+ y的值为（ ）
A．❑√7 B．1 C．±1或±❑√7 D．1或❑√7
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根以及绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由非负数的性质可知，❑√x−4,|y2−9)均为非负数，它们的和为0时，必须各自为0,由此可解出x和y的值，再代入
❑√x+ y计算即可．
【详解】解：∵❑√x−4+|y2−9)=0，
∴❑√x−4=0,|y2−9)=0，
∴x=4,y2=9
∴y=3，或y=−3
则❑√x+ y=❑√4+3=❑√7或❑√x+ y=❑√4−3=1，
故选：D
3．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若|a+1)+❑√b−2=0，则a+b的相反数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．−1
【答案】D
【分析】本题考查非负性，求一个数的相反数，根据非负性求出a,b的值，进而求出a+b的值，根据只有
符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：∵|a+1)+❑√b−2=0，
∴a+1=0,b−2=0，
∴a=−1,b=2，
∴a+b=−1+2=1的相反数为：−1；
故选D．
4．（北京市大兴区2024~2025学年七年级下学期期中考试数学试卷）若实数a，b满足❑√a+3+(b−4) 2=0，
则b+a的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查算术平方根和平方的非负性质，熟练掌握非负性质是解题的关键．根据算术平方根和平
方的非负性质求出a，b的值，再代入进行计算即可．
【详解】解：∵ ❑√a+3+(b−4) 2=0，
∴ a+3=0，b−4=0，
解得：a=−3，b=4，
∴ b+a=4+(−3)=1．
故答案为：1．5．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知x，y为有理数，且❑√x−1+3(y−2) 2=0，则x−y的值为
．
【答案】−1
【分析】本题考查了算术平方根非负性，偶次幂非负性，首先根据非负数的性质可求出x、y的值，进而
可求出x−y的值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得：x−1=0，y−2=0，
∴x=1，y=2，
∴x−y=1−2=−1，
故答案为：−1．
6．（24-25七年级下·江西南昌·期中）若(2a+3) 2+❑√b−2=0，则❑√ab= ．
3
【答案】
2
【分析】本题考查了平方、算术平方根的非负性，掌握相关知识是解题关键．根据平方、算术平方根的非
3
负性求出a=− ，b=2，再根据算术平方根的定义即可求解．
2
【详解】解：∵ (2a+3) 2+❑√b−2=0，
∴ 2a+3=0，b−2=0，
3
解得：a=− ，b=2，
2
∴ ab= ( − 3) 2 = 9 ，
2 4
√9 3
∴ ❑√ab=❑ = ，
4 2
3
故答案为： ．
2
三、与算术平方根有关的规律探究
1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知❑√7=a,❑√70=b，则❑√700的值是（ ）
A．10a B．10b C．100a D．100b
【答案】A【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本
题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或
向左）移动1位．据此求解即可．
【详解】解：∵❑√7=a，
∴❑√700=10a．
故选A．
2．（24-25七年级下·四川南充·期中）已知：❑√2.024≈1.422，❑√20.24≈4.499，则❑√0.02024≈ ．
【答案】0.1422
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，结合❑√2.024≈1.422，则❑√0.02024=❑√2.024×0.01，进行
计算，即可作答．
【详解】解：∵❑√2.024≈1.422，被开方数小数点向右移动2位，则所得算术平方根小数点向右移动1位，
∴❑√0.02024=❑√2.024×0.01≈1.422×0.1=0.1422，
故答案为：0.1422
3．（24-25八年级下·全国·假期作业）（1）填表：
1000
a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 …
0
… 0.001 0.1 100 …
（2）利用上表中的规律，解决下列问题：已知❑√a=1900，❑√361=19，则a的值为 ；
（3）当a≥0时，比较❑√a和a的大小．
10
a … 0.000001 0.0001 0.01 1 10000 …
0
… 0.001 0.01 0.1 1 10 100 …
【答案】（1）填表见解析；（2）3610000；（3）当0<a<1时，❑√a>a；当a>1时，❑√a<a；当a=0或
a=1时，❑√a=a；
【分析】本题考查实数的大小比较，算术平方根的规律探究，弄清题中的规律是解题的关键．
（1）根据算术平方根的含义填表即可；
（2）根据表格得出规律，再利用得出的规律求出a的值即可；
（3）分类讨论a的范围，再比较大小即可．
【详解】解：（1）填表如下：
a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 …… 0.001 0.01 0.1 1 10 100 …
（2）观察表格可得规律：当被开方数a的小数点向左或向右移动2位，它的算术平方根的小数点相应地向
左或向右移动1位；
∵❑√a=1900，❑√361=19，
即从19到1900小数点向右移动2位，则a的小数点向右移动了4位
∴a=3610000；
（3）根据题意得：当0<a<1时，❑√a>a；
当a>1时，❑√a<a；
当a=0或a=1时，❑√a=a；
4．（24-25七年级下·山东日照·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题：
❑√0.0001=0.01,❑√0.01=0.1,❑√1=1,❑√100=10,❑√10000=100,⋯⋯，
(1)已知❑√2≈1.414,❑√20≈4.47，则❑√0.2=_______；
(2)已知❑√3.68≈1.918,❑√a≈191.8，则a=_______；
(3)归纳：已知数a的小数点的移动与它的算术平方根❑√a的小数点移动间有何规律？
【答案】(1)0.447
(2)36800
(3)规律是：数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根❑√a的小数点相应向右移一位
【分析】本题考查了算术平方根、规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根是解决本题的关键．
（1）根据规律即可得出答案；
（2）根据规律即可得出答案；
（3）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律．
【详解】解：（1）∵❑√20≈4.47，
∴❑√0.2=0.447；
（2）∵❑√3.68≈1.918，❑√a≈191.8，
∴a=36800；
（3）∵❑√0.0001=0.01,❑√0.01=0.1,❑√1=1,❑√100=10,❑√10000=100,⋯⋯，
∴规律是：数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根❑√a的小数点相应向右移一位．
四、平方根的概念
1．（24-25七年级下·广西贵港·期中）下列各数中，没有平方根的是（ ）A．0 B．−1 C．1 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，负数没有平方根，因此只需找出选项中的负数即
可，掌握平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：由平方根的定义，负数没有平方根，
选项B符合题意，
故选：B．
2．（24-25七年级下·河南商丘·期中）若m+6与m−2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．4 B．−4 C．2 D．−2
【答案】D
【分析】本题主要考查了平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得m+6+m−2=0，
解方程即可得到答案．
【详解】解：∵m+6与m−2是同一个正数的两个平方根，
∴m+6+m−2=0，
∴m=−2，
故选：D．
五、求一个数的平方根
1．（24-25七年级下·云南临沧·期中）±❑√0.16的值是（ ）
A．0.04 B．±0.04 C．0.4 D．±0.4
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根的运算，根据0.42=0.16，直接作答即可．
【详解】解：±❑√0.16=±0.4，
故选：D．
2．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）(−3) 2的平方根是
【答案】±3
【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义“一个数x的平方等于a，这个数x叫a的平方
根”即可求解．
【详解】解：(−3) 2=9，9的平方根为：±❑√9=±3，
故答案为：±3．六、利用平方根解方程
1．（24-25七年级下·四川广元·期中）若(x+3) 2=1，则x= ．
【答案】−2或−4
【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据平方根的性质解方程即
可得．
【详解】解：∵(x+3) 2=1，
∴x+3=1或x+3=−1，
∴x=−2或x=−4，
故答案为：−2或−4．
2．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）解方程：
(1)m2−3=0
(2)81x2−49=0
【答案】(1)m=±❑√3
7
(2)x=±
9
【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键：
（1）移项后，利用平方根解方程即可；
（2）移项，系数化1，利用平方根解方程即可．
【详解】（1）解：m2−3=0，
∴m2=3，
∴m=±❑√3．
（2）81x2−49=0，
∴81x2=49，
49
∴x2=
，
81
7
∴x=± ．
9
3．（24-25七年级下·西藏林芝·期中）求x的值：4(x−1) 2−25=0．7 3
【答案】x= 或x=−
2 2
【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
根据平方根的意义，移项，开平方，再进行计算即可解答．
【详解】解：4(x−1) 2−25=0，
∴4(x−1) 2=25，
25
∴(x−1) 2= ，
4
5
∴x−1=± ，
2
7 3
解得：x= 或x=− ．
2 2
4．（24-25七年级下·北京·阶段练习）求下列各式中x的值．
(1)2x2−8=0；
(2)(x−1) 2=36．
【答案】(1)x=2或x=−2
(2)x=7或x=−5
【分析】本题主要考查了根据平方根求方程的解，
对于（1），先整理得x2=4，再开方得出答案；
对于（2），直接开方得x−1=±6，计算得出答案．
【详解】（1）解：整理，得x2=4，
开方，得x=2或x=−2；
（2）解：开方，得x−1=±6，
即x−1=6或x−1=−6，
解得x=7或x=−5．
七、利用平方根的性质求解
1．（江西省宜春市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）若一个正数x的两个平方根是2−3a
和1+2a，则x的值为（ ）
A．3 B．7 C．−7 D．49【答案】D
【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数这一性质来求解 。
根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于a的方程，求解a后再计算x的值。
【详解】解：因为一个正数x的两个平方根分别是2−3a和1+2a，
所以2−3a+1+2a=0，
解得：a=3，
则1+2a=1+6=7，
所以x=72=49；
2．（24-25七年级下·山东济宁·期中）若一个正数a的两个平方根分别是2x+1和x−4，则这个正数a是
（ ）
A．9 B．−9 C．3 D．−3
【答案】A
【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解．
【详解】∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴2x+1+(x−4)=0
解得：x=1
将x=1代入2x+1，得：2×1+1=3
因此，这个正数为32=9．
故选A．
3．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）正数m的两个平方根分别是3−x和3x+5，那么这个正数m的
值为 ．
【答案】49
【分析】本题主要考查了平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．
根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此列出关于x的一元一次方程求解即可求出x的值，然
后再求出m的值即可．
【详解】解：∵正数m的两个平方根分别是3−x和3x+5，
∴3−x+3x+5=0，解得：x=−4．
∴3−x=3−(−4)=7，
∴这个正数m的值为72=49．
故答案为：49．
4．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）若一个正数的两个平方根分别是2a+3与1−a，则这个正数是．
【答案】25
【分析】本题考查了平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，已知平方根求这个数；根据题意得
2a+3+1−a=0，求得a，从而得到正数的两个平方根，即可求得这个正数．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是2a+3与1−a，
∴2a+3+1−a=0，
∴a=−4，
即这个正数的平方根为±5；
而(±5) 2=25，即这个正数为25；
故答案为：25．
5．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）一个正实数的平方根是2a−1和−3a+5，则a的值是多少？这个正
实数是多少？
【答案】a=4，这个正实数是49
【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握正数有两个平方根，且互为相反数．
根据正数的两个平方根互为相反数，可求得a的值，即可解题．
【详解】解：∵一个正实数的平方根是2a−1和−3a+5，
∴2a−1−3a+5=0，
解得：a=4，
∴2a−1=7，
∴这个正实数是72=49．
6．（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a−9．
(1)求a的值；
(2)求关于x的方程ax2−36=0的解．
【答案】(1)a=1
(2)x =6，x =−6
1 2
【分析】本题考查平方根的意义及利用平方根解方程，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数．
（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a值即可；
（2）将a代入ax2−36=0，利用平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根分别是a+6与2a−9，
∴a+6+2a−9=0，
解得a=1；（2）解：把a=1代入ax2−36=0，得x2−36=0，
∴x2=36，
∴x=±6．
∴方程的解是x =6，x =−6；
1 2
八、平方根的应用
1．（24-25八年级下·河南焦作·期中）一切运动的物体都具有动能E （单位：焦耳），其大小由物体的质
k
1
量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为E = mv2 ．在2025年3月23日举行
k 2
的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60
千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号）
【答案】3❑√5
【分析】本题考查平方根的应用，根据公式列得方程，据此求解即可．
1
【详解】解：由题意可得1350= ×60v2 ，
2
解得v=3❑√5或v=−3❑√5（舍去），
∴该运动员此时的跑步速度为3❑√5米/秒，
故答案为：3❑√5．
2．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米❑ 2的长方形苗圃ABCD(AB<BC)，
一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为5:2．
(1)求BC的长；
(2)求出苗圃所用篱笆总长．
【答案】(1)BC=5❑√5米
(2)9❑√5米或12❑√5米
【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意，理清各量间的关系是解题的关键；（1）设长方形苗圃ABCD的长BC=5x米，宽AB=2x米，已知面积为50平方米，根据长方形面积公式
S=AB×BC，可得5x×2x=50，解方程即可；
（2）分两种情况：当BC平行于墙时，当AB平行于墙时，分别求出篱笆的总长即可．
【详解】（1）解：设长方形苗圃ABCD的长BC=5x米，宽AB=2x米，根据题意得：
5x×2x=50，
即10x2=50，
x2=5，
解得：x=❑√5（因为长度不能为负，舍去−❑√5）．
所以BC=5x=5❑√5米．
（2）解：因为AB<BC，一边靠墙，分两种情况：
当BC平行于墙时，篱笆总长为：
AB+AB+BC=2×2x+5x=4x+5x=9x，
把x=❑√5代入得篱笆的总长为9❑√5米；
当AB平行于墙时，篱笆总长为：
BC+BC+AB=2×5x+2x=10x+2x=12x，
把x=❑√5代入得篱笆的总长为12❑√5米；
综上：篱笆的总长为9❑√5米或12❑√5米．
3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为400cm2的正
方形区域修改为面积为300cm2的长方形区域，且长、宽之比为5:3．
(1)求原来正方形区域的边长；
(2)求修改后长方形的周长；
(3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断．
【答案】(1)20cm
(2)32❑√5cm
(3)够用
【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，实数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求
解长方形边长是解题的关键．
（1）根据正方形的面积公式即可得出答案；
（2）设长方形的长为5x，宽为3x，由其面积为300cm2，所以5x⋅3x=300，利用开平方求解即可；
（3）比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可．
【详解】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为❑√400=20(cm)，（2）解：由（1）得这根铁丝长为20×4=80(cm)，
由修改后的长方形的长、宽之比为5:3，
设长方形的长为5x，宽为3x，
由其面积为300cm2，
所以5x⋅3x=300，
即x2=20，
解得x=2❑√5(cm)（负值舍），
∴长方形的周长为2×(5x+3x)=16x=32❑√5(cm)，
（3）解：∵4<2❑√5=❑√20<5，
∴64<32❑√5<80，
∴铁丝够用．
4．（24-25七年级下·山东济宁·期中）现有一张面积为210 cm2的长方形纸片，它的长与宽的比为3:2．
(1)求长方形纸片的长和宽；
(2)要在这张长方形纸片上裁剪一个面积为144 cm2正方形纸片，试判断能否裁剪出来，并说明理由．
【答案】(1)长方形纸片的长和宽分别为3❑√42cm，2❑√42cm
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根，是解题的关键：
（1）设长为3xcm，宽为2xcm，根据面积公式进行求解即可；
（2）求出正方形的边长与长方形的宽进行比较即可．
【详解】（1）解：设长为3xcm，宽为2xcm，由题意，得：
3x⋅2x=210，
解得：x=❑√35，
∴3x=3❑√35，2x=2❑√35
∴长方形纸片的长和宽分别为3❑√35cm，2❑√35cm；
（2）解：不能，理由如下：
由题意，正方形的边长为：❑√144=12cm，
∵12>2❑√35，
∴不能裁剪出来．
5．（24-25七年级下·山西朔州·期中）学科实践：某中学计划修建一个面积为64m2的花坛，花坛四周用篱
笆围起来，数学小组成员洋洋和强强设计如下两种方案：洋洋：建设一个正方形花坛．强强：建设一个长
方形花坛，长是宽的4倍．请通过计算比较哪种方案建设花坛所需要的篱笆（周长）更短．【答案】洋洋的设计方案建设花坛所需要的篱笆更短
【分析】此题考查了算术平方根的实际应用，首先求出正方形的花坛边长为❑√64=8，然后求出周长，然
后设强强设计的长方形花坛的宽为xm，则长为4xm，根据题意得到4x⋅x=64求出x=4，进而求解即可．
【详解】解：洋洋设计的正方形的花坛边长为❑√64=8，
周长为8×4=32m．
设强强设计的长方形花坛的宽为xm，则长为4xm，
由题意可得4x⋅x=64，
解得x=4．（负值已舍去）
∴4x=16，
∴长方形花坛的周长为2×(4+16)=40m．
∵32<40，
∴洋洋的设计方案建设花坛所需要的篱笆更短．
九、立方根的概念
1．（重庆市江津区2024-2025学年下期期末检测七年级数学试卷A卷）下列说法中正确的有（ ）
A．4的平方根是±2 B．(−3) 2的算术平方根是−3
C．负数没有立方根 D．带根号的数都是无理数
【答案】A
【分析】本题考查平方根，立方根和无理数，根据平方根、算术平方根、立方根及无理数的定义逐一判断
各选项的正误即可．
【详解】A、 4的平方根是±2，正确；
B、(−3) 2的算术平方根是3，错误；
C、负数也有立方根，负数的立方根仍为负数，如−8的立方根是−2，错误，
D、带根号的数都是无理数，错误，例如❑√4=2为有理数，故带根号的数不一定是无理数．
故选：A．
2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）一个数的平方根与这个数的立方根相等，这个数是（ ）
A．1 B．−1 C．0 D．1或0【答案】C
【分析】本题考查了平方根，立方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平方根与立方根的定义，
可知0的平方根等于0的立方根，解答即可．
【详解】解：根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根，
故选：C．
3．（24-25七年级下·广西防城港·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．1的立方根是1 B．−8的立方根是−2
C．−1的立方根是−1 D．125的立方根是±5
【答案】D
【分析】本题考查立方根的概念及求一个数的立方根，需根据各选项逐一判断正误．
【详解】解：A. 1的立方根是1，故正确；
B. −8的立方根是−2；故正确；
C. −1的立方根是−1；故正确；
D. 125的立方根是5；故错误；
故选：D．
十、计算立方根
1．（安徽省亳州市2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷）−64的立方根是（ ）
A．±4 B．4 C．−4 D．❑√4
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可，注意负数的立方根仍为负数．
【详解】解：√3−64=−4，
故选：C
2．（24-25七年级下·四川泸州·期中）√3 x=2，则x的值为（ ）
A．4 B．8 C．−4 D．±8
【答案】B
【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵√3 x=2，
∴x=8，
故选：B．
3．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）√364的相反数是 ．【答案】−4
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，立方根定义，先求出√364=4，然后根据相反数定义求出结果
即可．
【详解】解：∵√364=4，
∴√364的相反数是−4．
故答案为：−4．
4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）−√3−27= ．
【答案】3
【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：−√3−27=−(−3)=3，
故答案为：3．
十一、立方根的应用
1．（河南省濮阳市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）如图是一个正方体的魔方，它由27
个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是216cm3，则一个小正方体的棱长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．6cm
【答案】B
【分析】本题主要考查立方根的应用，先求出一个小立方体的体积，再求出棱长即可．
【详解】解：一个小正方体的体积为：216÷27=8cm3，
所以，小立方体的棱长为√38=2cm，
故选：B．
2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为144cm3，而康师
傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为
cm．
【答案】6
【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式列等式，求体积的立方根即可．【详解】解：设康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为xcm，
由题意得：x3=144×1.5，
解得：x=6，
∴康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为6cm．
故答案为：6．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了58mm．
如果玻璃杯内部的底面半径为95mm，那么正方体的棱长是多少毫米？（π取3.14，结果取整数．）
【答案】正方体的棱长约为118mm
【分析】本题考查立方根的实际应用、圆柱体、正方体的体积的计算方法，掌握体积计算公式是正确解答
的前提．根据题意可得底面半径95mm，高为58mm 的圆柱体的体积等于正方体的体积，可利用方程求出棱
长．
【详解】解：设正方体的棱长为xmm，
由题意得，π×952×58=x3，即x3=1643633，
∵1183=1643032<1643633<118.43=1659797.504，
∴x≈118；
答：正方体的棱长约为118mm．
十二、立方根有关的规律探究
1．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知√30.214≈0.5981，√32.14≈1.289，√321.4≈2.776，则
√321400≈（ ）
A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.98
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质√3 a⋅b=√3 a⋅√3 b
成为解题的关键．
将21400分解为21.4×1000，再利用立方根的性质√3 a⋅b=√3 a⋅√3 b求解即可．
【详解】解：∵21400=21.4×1000，
∴√321400=√321.4×1000=√321.4×√31000=2.776×10=27.76．
故选A．
2．（24-25七年级下·青海海东·期中）观察
❑√613.7≈24.77,❑√6.137≈2.477,√36.137≈1.8308,√36137≈18.308．推测：若
√3 x≈0.18308,❑√y≈0.2477，则10x−y= ．【答案】0
【分析】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．根据根号内的小
数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位；立
方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致．
【详解】解：∵√36.137≈1.8308,√36137≈18.308，√3 x≈0.18308，
∴x=0.006137，
∵❑√6.137≈2.477,❑√613.7≈24.77，❑√y≈0.2477，
∴y=0.06137，
∴10x−y=10×0.006137−0.06137=0
故答案为：0．
十三、平方根与立方根的估值
1．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）估算❑√7的值是（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
【答案】B
【分析】本题考查的是算术平方根和无理数取值范围的估算，掌握平方根的定义是解题的关键．本题由
4<7<9即可选出答案．
【详解】因为22=4，32=9，4<7<9，
所以❑√4<❑√7<❑√9，即2<❑√7<3．
因此，❑√7的值在2和3之间，对应选项B．
故答案为：B．
2．（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
【答案】B
【分析】本题主要考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，由正方形的面积等于边长的平方，故根
据已知的面积开方即可求出正方形的边长为❑√8，然后由4<8<9可得❑√8的取值范围．
【详解】解：设正方形边长为a，
由正方形的面积为8得：a2=8，
又∵a>0，
∴a=❑√8，
∵4<8<9，∴2<❑√8<3，
∴2<a<3，
即正方形的边长在2与3之间，故B正确．
故选：B．
3．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知❑√102.1≈10.1，则❑√1.021的近似值为（ ）
A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01
【答案】D
【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开平方的数的小数点每向左移动两位，那么被开平方的结
果的小数点向左移动一位，据此可得答案．
【详解】解：∵❑√102.1≈10.1，
∴❑√1.021≈1.01，
故选：D．
4．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）估计❑√5+1的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的估算、不等式的基本性质，根据❑√4<❑√5<❑√9可知2<❑√5<3，根据不等式
的基本性质一可得3<❑√5+1<4
【详解】解：∵❑√4<❑√5<❑√9，
∴2<❑√5<3，
∴2+1<❑√5+1<3+1，
∴3<❑√5+1<4．
故选：A．
十四、平方根与立方根的综合应用
1．（24-25七年级下·新疆和田·期中）若4的平方根是x，−27的立方根是y，则2x−y的值为 ．
【答案】7或−1
【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键．根据4的平方根是±2，−27的立方根
是−3，得到x=±2,y=−3，解得即可．
【详解】解：4的平方根是x，−27的立方根是y，且4的平方根是±2，−27的立方根是−3，
则x=±2,y=−3，
故2x−y=2×2−(−3)=7或2x−y=2×(−2)−(−3)=−1，故答案为：7或−1．
2．（24-25七年级下·天津·期中）若一个正数的两个平方根分别是2a+5和2a−1，b−10的立方根是3．
(1)求a，b的值；
(2)求a+b的算术平方根．
【答案】(1)a=−1，b=37
(2)6
【分析】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根，熟知立方根，算术平方根，平方根的定义是解题
的关键．
（1）根据一个正数的两个平方根的和为0得到2a+5+2a−1=0即可求出a；根据立方根的定义得到
b−10=33，即可求出b；
（2）根据（1）所求结合算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知：2a+5+2a−1=0，
解得a=−1．
由题意可知：b−10=33=27，
解得：b=37．
（2）解：∵a=−1，b=37，
∴a+b=−1+37=36，
∴其算术平方根为6．
3．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数3a+10的算术平方根是2，a+b的立方根是2．
(1)求a，b的值；
(2)求5a+2b的平方根．
【答案】(1)a=−2；b=10；
(2)5a+2b的平方根是±❑√10．
【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键．
（1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可；
（2）把a,b的值代入，根据平方根的计算求解即可．
【详解】（1）解：∵3a+10的算术平方根是2，
∴3a+10=4，
解得a=−2；
∵a+b的立方根是2，
∴a+b=8，即−2+b=8，解得b=10．
（2）解：由（1）知，a=−2，b=10，
∴5a+2b=−10+20=10；
而10的平方根是±❑√10，
∴5a+2b的平方根是±❑√10．
4．（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：2m+2的平方根是±4，3m+n+1的算术平方根是5，求
3m+2n的立方根．
【答案】3
【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据开方与平方是互
逆运算，求出2m+2的值，与3m+n+1的值，然后两式联立求出m、n的值，再代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵ 2m+2的平方根是±4，
∴ 2m+2=(±4) 2=16，
∵ 3m+n+1的算术平方根是5，
∴ 3m+n+1=25，
解得：m=7，n=3，
∴ 3m+2n=3×7+2×3=27，
∴ 3m+2n的立方根为√327=3．
1．（24-25七年级下·重庆忠县·期末）已知n,a ,a ,⋯,a ,a 均为自然数，整式
n n−1 1 0
P =a xn+a xn−1+⋯+a x+a ，且满足a >a >⋯>a >a ，设G =a +a +⋯+a +a ，例如：
n n n−1 1 0 n n−1 1 0 n n n−1 1 0
当n=2时，P =a x2+a x+a ,G =a +a +a ．根据题意，对于下列说法：①当n=0时，若❑√P2≤5，则
2 2 1 0 2 2 1 0 n
a 有6个不同取值；②当n=1,a =5，则使得整式P 的值为4的平方根的负数x值有7个；③若
0 1 n
a ,a ,⋯,a ,a 是一列从1开始的连续奇数，则G =625；④所有使得G =5成立的整式P 之和为
0 1 n−1 n 25 n n
7x2+15x+8．其中正确说法的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了整式的加减、平方根以及新定义等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的加减、平方根以及新定义逐个判断即可．
【详解】解：①当n=0时，P =a ，由❑√P2≤5得a ≤5且为自然数，故a 可取0，1，2，3，4，5，共6个
n 0 n 0 0
值，即①正确；
−2−a
②当n=1，a =5时，方程5x+a =−2的解为x= 0．因a >a 且a 为自然数，a =0,1,2,3,4，对应5
1 0 5 1 0 0 0
个不同的x值，而非7个，即②错误；
③若a ,a ,⋯,a ,a 是从1开始的连续奇数，G =a +a +⋯+a +a ，从1开始连续奇数求和，G
0 1 n−1 n n n n−1 1 0 25
(1+51)
是首项G =1，末项a =2×25+1=51,则 G =1+3+5+……+47+49+51= ×26=676，而不
0 25 25 2
是625，故③错误；
④所有满足G =5的整式包括：
n
当n=0时，P 为5；
0
当n=1时，P 为5x,4x+1,3x+2；
1
当n=2时，P 为4x2+x,3x2+2x；
2
相加得7x2+15x+8，即④正确．
综上，正确说法为①④，共2个．
故选C．
2．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）已知2a−5的算术平方根是3，b−2a+1的立方根是−2，c是❑√15
的整数部分．
(1)求a,b,c的值；
(2)求2a+7b+5c的平方根．
【答案】(1)a=7，b=5，c=3
(2)±8
【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根的定义，无理数整数部分的估算以及平方根的计算，熟练掌
握这些定义和估算方法是解题的关键．
（1）根据算术平方根、立方根的定义，以及无理数整数部分的确定方法来求解a、b、c的值．对于a，利
用算术平方根的定义建立方程；对于b，依据立方根的定义构建方程；对于c，通过估算❑√15的范围确定其
整数部分．
（2）先将（1）中求得的a、b、c的值代入2a+7b+5c计算出结果，再根据平方根的定义求出该结果的平
方根．【详解】（1）解：∵2a−5的算术平方根是3（算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即
x2=a，则x叫做a的算术平方根 ）
∴2a−5=32=9
2a=9+5
2a=14
∴a=7
∵b−2a+1的立方根是−2（立方根的定义：若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫做a的立方根 ）
∴b−2a+1=(−2) 3=−8
把a=7代入得：
b−2×7+1=−8
b−14+1=−8
b=−8+13
∴b=5
∵9<15<16（比较15与完全平方数9、16的大小 ）
∴❑√9<❑√15<❑√16
即3<❑√15<4
∴❑√15的整数部分c=3
综上，a=7，b=5，c=3
（2）解：把a=7，b=5，c=3代入2a+7b+5c得：
2×7+7×5+5×3
=14+35+15
=64
∵(±8) 2=64（平方根的定义：若x2=a（a≥0），则x叫做a的平方根，x=±❑√a ）
∴64的平方根是±8
即2a+7b+5c的平方根是±8
3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）（1）已知m=b−√1a+4是a+4的算术平方根，n=a−√23b−1是
3b−1的立方根，求m−2n的立方根．
（2）若m=❑√1−a+❑√a−1+1，n的算术平方根是5，求3n+6m的平方根．
【答案】（1）−1；（2）±9
【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是：（1）由算术平方根和立方根的定义可求出a=5，b=3，即得出m=3，n=2，，代入m−2n中求值，再求
其立方根即可；
（2）由被开方数为非负数即可求出a=1，由算术平方根的定义可求出n=25，代入3n+6m中求值，再求
其平方根即可．
【详解】解：（1）∵m=b−√1a+4是a+4的算术平方根，n=a−√23b−1是3b−1的立方根，
∴b−1=2，a−2=3，
∴b=3，a=5，
∴m=❑√5+4=3，n=√33×3−1=2，
∴m−2n的立方根为√33−2×2=√3−1=−1；
{1−a≥0)
（2）根据题意得 ，
a−1≥0
∴a=1，
∴m=1
∵n的算术平方根是5，
∴n=25，
∴3n+6m的平方根为±❑√3×25+6×1=±❑√81=±9．
4．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，用两个面积为8 cm2的小正方形纸片拼成一个大的正方
形纸片．
(1)则大正方形的边长为___________cm；
(2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面
积为12 cm2？请说明理由．
【答案】(1)4
(2)不能截得题目中要求的长方形纸片，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根的应用以及实数的大小，掌握算术平方根的定义，实数的大小比较是解题的
关键；
（1）根据题意求得大正方形的面积为16cm2，即可求解；
（2）设截出的长方形的长为3xcm，宽为2xcm，根据正方形的面积列式计算即可．
【详解】（1）解：∵两个正方形面积之和为：2×8=16cm2，∴拼成的大正方形的面积为16cm2，
∴大正方形的边长是❑√16=4cm；
故答案为：4．
（2）解：不能，
理由如下：
设截出的长方形的长为3xcm，宽为2xcm，
则3x⋅2x=12，解得x=❑√2，那么3x=3❑√2，2x=2❑√2，
∵3❑√2>4，
∴不能截得题目中要求的长方形纸片．
5．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角
线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为
______，大正方形的边长为_______
【知识迁移】（2）爱钻研的小思受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两
个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小
正方形的大正方形，所得到的小正方形EFGH的边长为__________，大正方形ABCD的边长为__________
【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为735cm2的长
方形纸片，使它的长与宽之比为5：3．请通过计算说明是否可行．
【答案】（1）2；❑√2；（2）1；❑√13；（3）不可行，理由见解析
【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方
根．
（1）根据大正方形的面积=2个小正方形的面积和，即可得解；
（2）小正方形的边长等于直角三角形两直角边的长的差，大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正
方形的面积，据此即可解答；
（3）设截出的长方形纸片的长为长为5xcm，宽为3xcm，4xcm，根据题意列出方程，计算即可解答．
【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为1+1=2，边长为❑√2；
（2）由题意得：所得到的小正方形EFGH的边长为：3−2=1；大正方形ABCD的面积为：1
4× ×3×2+12=13，则正方形ABCD的边长为❑√13；
2
（3）不可行，理由如下：
设截出的长方形纸片的长为5xcm，宽为3xcm，
则5x⋅3x=735，
∵x>0，
∴x=7，
∴截出的长方形纸片的长为35cm，
∵正方形纸片的面积为900cm2，
∴正方形纸片的边长为30cm，
∵35>30，
∴不能用面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为735cm2的长方形纸片，使它的长与
宽之比为5：3．
6．（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例
如：
∵❑√4<❑√6<❑√9，即2<❑√6<3，
∴❑√6的整数部分为2，
∴❑√6的小数部分为❑√6−2．
(1)求❑√17的整数部分和小数部分．
(2)已知5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是❑√12的整数部分，求3a−b+c的平方根．
【答案】(1)❑√17的整数部分为4， 小数部分为❑√17−4．
(2)±4
【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念
是解题的关键．
（1）根据无理数的估算方法求解即可；
（2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入3a−b+c求
其值，最后根据平方根的定义可得答案．
【详解】（1）解：（1）∵❑√16<❑√17<❑√25，
∴4<❑√17<5，
∴❑√17的整数部分为4，
∴❑√17的小数部分为❑√17−4．
（2）解：∵5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是❑√12的整数部分，∴5a+2=33=27，3a+b−1=42=16，
∴a=5，b=2，
∵❑√9<❑√12<❑√16，
∴3<❑√12<4，
∴❑√12的整数部分是3，
∴c=3，
∴3a−b+c=15−2+3=16，
∴3a−b+c的平方根是±4．
7．（24-25七年级下·福建厦门·期中）阅读材料，回答以下问题：
材料一： 材料二：
我们可以用以下方法表示无理数❑√7 我们可以用以下方法求无理数❑√107的近似值
的小数部分． （保留两位小数）．
∵面积为107的正方形的边长是❑√107，且
10<❑√107<11，
∵4<7<9，∴❑√4<❑√7<❑√9，
∴设❑√107=10+x，其中0<x<1，
即2<❑√7<3
画出边长为10+x的正方形，如图1：
∴❑√7的整数部分为2．
根据图中面积，得102+2×10x+x2=107，
∴❑√7的小数部分为❑√7−2．
当x2较小时，忽略x2，得100+20x=107．
解得x≈0.35．∴❑√107=10+x≈10.35
(1)利用材料一中的方法，❑√33的小数部分是__________；
(2)利用材料二中的方法，探究❑√145的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）
【答案】(1)❑√33−5
(2)12.04
【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
（1）根据材料一中的解题过程进行求解即可；
（2）根据材料二中的解题过程进行求解即可．【详解】（1）解：∵ 25<33<36，
∴ ❑√25<❑√33<❑√36，即5<❑√33<6，
∴ ❑√33的整数部分是5，
∴ ❑√33的小数部分是❑√33−5，
故答案为：❑√33−5；
（2）解：∵面积为145的正方形的边长是❑√145，且12<❑√145<13，
∴设❑√145=12+x，其中0<x<1，
画出边长为12+x的正方形，如图：
根据图中面积，得122+2×12x+x2=145，
当x2较小时，忽略x2，得144+24x=145．
解得x≈0.04．
∴❑√145=12+0.04≈12.04．
1．（23-24九年级上·全国·课后作业）我们发现：❑√6+3＝3，❑√6+❑√6+3＝3，❑√6+❑√6+❑√6+3＝
⏟ ❑√ 6+❑√ 6+❑√6+…＋❑√6+❑√6+3=3
3，…， ，一般地，对于正整数a、b，如果满足
n个根号
⏟ ❑√ b＋❑√ b＋❑√b＋…＋❑√b＋❑√b＋a=a
，那么称(a,b)为一组完美方根数对．如上面(3，6)是一组完
n个根号
美方根数对．下面4个结论：①(4，12)是完美方根数对；②(9，91)是完美方根数对；③若(a，380)是
完美方根数对，则a2−a=380；④若(x,y)是完美方根数对，则x、y满足y=x2−x．其中正确的结论有几
个，说明理由．
【答案】3个，理由见解析【分析】本题属于新定义类问题，主要考查算术平方根的性质与定义，理解完美方根数对的定义对是解题
关键．将(4,12)，(9,91)代入验证即可判断①②；将(a,380)代入公式，建立方程可得出结论；若(x,y)
是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论．
【详解】解：3个，理由如下：
解：将(4,12)代入❑√12+4=4，❑√12+❑√12+4=4，❑√12+❑√12+❑√12+4=4，…，
∴(4,12)是完美方根数对；故①正确；
将(9,91)代入❑√91+9=10≠9，❑√91+❑√91+9=❑√101，
∴(9,91)不是完美方根数对，故②错误；
③∵(a,380)是完美方根数对，
∴将(a,380)代入公式，❑√380+a=a，
即a2=380+a.所以a2−a=380，故③正确；
若(x,y)是完美方根数对，则❑√y+x=x.
∴y+x=x2，即y=x2−x，故④正确.
2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）探究发散：
(1)完成下列填空
①❑√32=______，②❑√0.52=______，③❑√(−6) 2=______，
④❑√02=______，⑤❑ √ ( − 3) 2 =______，⑥❑ √ ( − 1) 2 =______；
4 3
(2)计算结果，回答：❑√a2一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：
_____________________
(3)利用你总结的规律，计算：若x<2，则❑√(x−2) 2=______；
(4)有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
化简：❑√(b−c) 2−|a+b)+|−a+c)．
3 1
【答案】(1)3，0.5，6，0， ，
4 3
(2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数(3)2−x
(4)2c
【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值；
（2）结合（1）中计算可知❑√a2不一定等于a，并发现其中规律．
（3）运用（2）得出的规律进行运算即可；
（4）结合数轴可知a<0<b<c，且|a)>|b)，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性
质进行求解即可．
【详解】（1）解：①❑√32=3，②❑√0.52=0.5，③❑√(−6) 2=6，
④❑√02=0，⑤❑ √ ( − 3) 2 = 3 ，⑥❑ √ ( − 1) 2 = 1 ．
4 4 3 3
3 1
故答案为：3，0.5，6,0， ， ；
4 3
（2）由（1）可知，❑√a2不一定等于a，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方
的算术平方根为其相反数
故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；
（3）若x<2，则x−2<0，
所以❑√(x−2) 2=2−x．
故答案为：2−x；
（4）由a、b、c在数轴上的位置可知，
a<0<b<c，且|a)>|b)，
所以❑√(b−c) 2−|a+b)+|−a+c)
=c−b−[−(a+b)]+(−a+c)
=c−b+a+b−a+c
=2c．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运
算法则是解题关键．
3．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子：①√38+√3−8=2+(−2)=0；
②√31+√3−1=1+(−1)=0；
③√31000+√3−1000=10+(−10)=0；
√ 1 √ 1 1 1
④3 +3− = +(− )=0；
27 27 3 3
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若
______，则√3 a+√3 b=0；反之也成立．
(2)根据上述的真命题，解答问题：若√32−3x与√32x+6的值互为相反数，求−❑√2x的值．
【答案】(1)a+b=0
(2)−4
【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键．
（1）用含a、b的式子表达规律即可得答案；
（2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出x的值即可,进而求得算术平方根，即可．
【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数a、b，若a+b=0，则√3 a+√3 b=0，
故答案为：a+b=0．
（2）解：若√32−3x与√32x+6的值互为相反数，则2−3x+2x+6=0，
解得：x=8．
∴−❑√2x=−❑√16=−4
4．（23-24七年级下·云南昭通·期末）规定：对任意的非负实数n，用[n)表示不大于n的最大整数，称为n
的整数部分，用{n)表示n−[n)的值，称为n的小数部分.例如：[1.3)=1，{1.3)=0.3，[5.4)=5，{5.4)=0.4；
请回答下列问题：
(1)当x≥0时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号）
①{3)=0；②0≤{x)<1；③{x+1)={x)+1；④[x+1)=[x)+1；⑤若[x)=a（a为整数），则a≤x<a+1
(2)当x≥0时，解关于x的方程3x−6=2[x+2)+{x)
【答案】(1)①②④⑤
(2)x=10或x=9.5
【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．（1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案；
（2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得x+{x)=10，再进行分类讨论，求解即可．
【详解】（1）解： {3)=3−3=0，故①正确；
{x)=x−[x)，由于x−1<[x)≤x，∴0≤{x)<1，故②正确；
∵{x+1}表示x+1的小数部分，∴{x+1}={x}，故③错误；
∵[x]表示x的整数部分，∴[x+1]=[x]+1，故④正确；
∵[x]=a(a为整数），∴a≤x<a+1，故⑤正确，
故五个命题中为真命题的是①②④⑤，
故答案为：①②④⑤；
（2）解：∵x≥0，
∴2[x+2)+{x)=2([x)+2)+{x)=2[x)+4+{x)=2x−{x)+4，
∴3x−6=2x−{x)+4，
∴x+{x)=10，
∵{x)是x的小数部分，
当{x)=0时，x=10；
当{x)≠0时，[x)=9，
∴x+{x)=[x)+2{x)=9+2{x)=10，
可得{x)=0.5，
∴x=9+0.5=9.5，
综上可得x=10或x=9.5．
