文档内容
第 03 讲 基本不等式 (精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典型例题剖析
高频考点一：利用基本不等式求最值
①凑配法
②“1”的代入法
③二次与二次（一次）商式（换元法）
④条件等式求最值
高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围
高频考点三：利用基本不等式解决实际问题
高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数
第五部分：高考真题感悟
第六部分：第 03 讲 基本不等式 （精练）
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果 ， ， ，当且仅当 时，等号成立．
②其中 叫做正数 ， 的几何平均数； 叫做正数 ， 的算数平均数．
2、两个重要的不等式
① （ ）当且仅当 时，等号成立．
② （ ）当且仅当 时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知 ， 是正数，如果积 等于定值 ，那么当且仅当 时，和 有最小值 ；
②已知 ， 是正数，如果和 等于定值 ，那么当且仅当 时，积 有最大值 ；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次
数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例： ；
凑系数，例： ；
②拆：例： ；
③除：例： ；
④1的代入：例：已知 ，求 的最小值.
解析： .
⑤整体解：例：已知 , 是正数，且 ，求 的最小值.
解 析 ： ， 即 ， 解 得
.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当 时， 的最小值为4 ( )
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知 ，则 的最大值为 ( )
二、单选题
1．（2022·江西·高一阶段练习）当 时， 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2022·湖南湖南·二模）函数 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2022·湖南·高一阶段练习）已知 ， 且 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
4．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：利用基本不等式求最值
①凑配法
1．（2022·北京大兴·高一期末）当 时， 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数 的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x>3，则对于 ，下列说法正确的是（ ）
A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4
4．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数 满足 ，则函数 的最小值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2022·上海虹口·高一期末）已知 ，则 的最大值为______．
②“1”的代入法
1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知 ， 均为正数，若 ，则当 取得最
小值时， 的值为（ ）
A．16 B．4 C．24 D．12
2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知 为正实数，且 ，则 的最小值为
__________.
4．（2022·广西桂林·高一期末）已知 ，若 ，则 的最小值是___________.
5．（2022·天津·南开中学高一期末）已知 ，则 的最小值为_______________.
③二次与二次（一次）商式
1．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
3．（2022·江西南昌·高一期末）当 时，函数 的最小值为___________．
4．（2022·上海·高三专题练习）若 ，则函数 的最小值为___________.
5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理）） 的最大值为______.
6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1） ；
（2） .④条件等式求最值
1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知 ， ，若 ，则xy的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．6
3．（2022·江苏·高三专题练习）已知 ， 且满足 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x，y满足 ，则 的最小值为_________
5．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且满足 ，则 的最小值为_______.
6．（2022·重庆·高一期末）已知 ， ， ，则 的最小值为______．
7．（2022·广东广州·高一期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为______．
高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围
1．（2022·全国·高三专题练习）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 的不等式 在区间 上恒成立，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，若不等式 恒成立，则m的最大值为
（ ）
A．10 B．12 C．16 D．94．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，若不等式 恒成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a，b满足 ，若不等式 对任
意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意 ， 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
高频考点三：利用基本不等式解决实际问题
1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为
3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ）
A．72元 B．300元 C．512元 D．816元
2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个
三角形，边长分别为 ， ， ，三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角
形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 ， ，则此三
角形面积的最大值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进
价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设 ，甲第一次提价 ，第二次提
价 ；乙两次均提价 ；丙一次性提价 ．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的
经销商依次为（ ）
A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙
C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ，则“对任意 ， ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 黄
金，售货员先将5 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 的砝码放
在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际
购得的黄金为 ，则（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛 扩建为一个更大的矩形花坛 ，要求点 在
上，点 在 上，且对角线 过点 ，已知 米， 米，当 =_______时，矩形花坛
的面积最小.
高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数
1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题 ：“ ”为真命题，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式 对一切 恒成立，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．不存在
4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数 ， ，若 ，
，使得 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）函数 在区间 上（ ）
A．有最大值为 ，最小值为0 B．有最大值为 ，最小值为0
C．有最大值为 ，无最小值 D．有最大值为 ，无最小值
第五部分：高考真题感悟
1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数 是定义在 上的单调函数，若正实数 ， 满足
则 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）A． B．
C． D．
3．（2021·天津·高考真题）若 ，则 的最小值为____________．
4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 万元与年
产量 吨之间的函数关系可以近似地表示为 ，已知此生产线的年产量最小为60吨，最
大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?
并求最大利润.
第六部分：第 03 讲 基本不等式 （精练）
一、单选题
1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数 的最小值为4
C．若 则 最大值为1D．已知 时， ，当且仅当 即 时， 取得最小值8
2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
3．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab满足 ，则 的最小
值为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
4．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意 ，使得 成立”是真命题，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，
成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的
名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，
又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为 ，在逆水中的速度为 ，则游船此
次行程的平均速度V与 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a，b和实数t满足 ，若 存在最大值，则 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是
不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩
形）长 大约为40米，宽 大约为20米，球门长 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线
上某点 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角 最大，则 大约为（ ）（精确到
1米）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数 ， 满足如下两个条件：（1）关于 的方程 有
两个异号的实根；（2） ，若对于上述的一切实数 ， ，不等式 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知 ， ， .则 的取值范围为
__________.
10．（2022·上海·二模）已知对 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是_________.
11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数 ， ，若存在 ，任意
，使得 ，则实数 的取值范围是___________.
12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田 ，其中
.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域 试种新品种的西红柿，点E在边
上，则该矩形区域的面积最大值为___________.
三、解答题
13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把 写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形 的周长为8 ，将△ 沿AC向
△ 折叠，AB折过去后交DC于点P，设 ，求 面积的最大值及相应x的值.
15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x的不等式 的解集为R，记实数a的
所有取值构成的集合为M.
(1)求M；
(2)若 ，对 ，有 ，求t的最小值.16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中
央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电
代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022
年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x（百
辆）新能源汽车，需另投入成本 万元，且 由市场调研知，每辆车售
价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出2022年的利润 （万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）
(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
