文档内容
第 05 讲 基本不等式
（10 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新Ⅰ卷，第18题第一问,4
基本不等式求范围 导数综合
分
2023年新Ⅰ卷，第22题第二问,8
基本不等式求最值 圆锥曲线大题综合
分
2022年新Ⅰ卷，第18题第二问,6
基本不等式求最值 正余弦定理解三角形
分
2022年新Ⅱ卷，第12题,5分 基本不等式求最值 三角换元及三角函数相关性质
2021年新Ⅰ卷，第5题,5分 基本不等式求最值 椭圆方程及其性质
2020年新Ⅰ卷，第20题第二问,6
基本不等式求最值 空间向量及立体几何
分
2020年新Ⅱ卷，第12题,5分 基本不等式求最值 指对函数的性质及单调性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易
上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5分左右
【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”
2.能正确处理常数“1”求最值
3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值
4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最
值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。知识讲解
1．基本不等式
如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）.
说明：
①对于非负数 ，我们把 称为 的 ， 称为 的 .
②我们把不等式 称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的
几何平均数不大于它们的算术平均数.
③“当且仅当 时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有 ；另一方面当
时，有 .
④ 结构特点：和式与积式的关系.
2．基本不等式求最值
（1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 （简记为：积定和最
小）.
（2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2（简记为：和定积最大）.
3．几个重要不等式（含基本不等式链）（1） （ ）；（2） （ ）；
（3） （ ）；（4） 或 （ ）；
（5）
考点一、 直接用基本不等式求和或积的最值
1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
2．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·上海·模拟预测）已知正实数a、b满足 ，则 的最大值为 ．
2．（2024·云南·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的最小值为 .
考点二、 巧用“ 1 ”或常数关系求最值
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
2．（2024·河南·三模）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值
为 ．
1．（2024·安徽·三模）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）A．4 B． C． D．
2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知 ， ，则 的最小值为 .
3．（2024·江苏南通·二模）设 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
考点三、 拼凑法求最值
1．（2024·山西临汾·三模）若 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数 在 处取最小值，则 ．
3．（2024·江西赣州·二模）已知 ，则 的最小值为 .
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值是 ．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数 ，且 ，则 的最小值是 ．
考点 四 、 换元法求最值
1．（2022高三上·全国·专题练习）已知 ，求 的最大值.
2．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 的最大值为 ．1．（2020·甘肃兰州·二模）设m，n为正数，且 ，则 的最小值为 .
2．（2024·浙江·模拟预测）已知 ， ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考点 五 、 二次与二次（一次）的商式求最值
1．（2023高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 .
2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数 ，则 的最大值为 ．
1．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数 在 上的最大值为 ．
2．（2023高三·全国·专题练习）当 时，求函数 的最小值.
考点 六 、 两次应用基本不等式求最值
1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则 的最大值是 ．
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数 ，满足 ，则 的最小值为
.1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数 满足 ，则 的最小值为 .
2．（2023·江西·一模）已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最小值为 .
考点 七 、 条件等式变形求最值
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最小
值是 .
3．（2023·江西·二模）实数 ， ，满足： ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
2．（2024·浙江绍兴·三模）若 ，且 ，则 的最小值是 ．
3．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知正数 满足 ，则 的最小值是
．
考点 八 、 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围
1．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）已知 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
2．（2023高一上·全国·专题练习）已知 且 ，若 恒成立，则实数 的
范围是 ．
3．（2023·广东湛江·二模）当 ， 时， 恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足 ，若不等式 恒成立，则实数a的取值范
围是 ．
2．设正实数 满足 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足 ， ，不等式
恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． D．
考点 九 、 利用基本不等式判断或证明不等式关系
1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数 满足 .
(1)若 ，求 的最小值；
(2)证明： .
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知 为正数，且 .证明：
(1) ；
(2) .1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数 满足 且 ，则下列不等关系一定正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)若a，b， ，求证： ．
3．（2024·青海·一模）已知正数 满足 ．求证：
(1) ；
(2) ．
考点 十 、 基本不等式多选题综合
1．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河北保定·二模）已知 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为2 D． 的最小值为
3．（2024·浙江·二模）已知正实数 ，且 为自然数，则满足 恒成
立的 可以是（ ）
A． B．
C． D．1．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值4 B． 有最小值
C． 有最小值 D． 的最小值为
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知 ，且 ，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．存在 ， 使得 D．
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024·河南·模拟预测）已知点 在以原点 为圆心，半径 的圆上，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·上海奉贤·三模）若 ，则 有最大值为 ．
6．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数 满足 ，则 的最小值是 ．
7．（2024·天津·模拟预测）若 ， ，且 ，则 的最小值为
8．（2024·河南·模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 的取值范围为
．
9．（2024高三·全国·专题练习）若实数 满足 则 的最小值为 ．
10．（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式 ，则 的最小值为 .
一、单选题
1．（2024·北京顺义·三模）设 ， ， .若 ， ，则 最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．（2024·江苏盐城·模拟预测） 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知 ， ， ，若不等式 恒成立，
则实数 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．（2024·广西·模拟预测）已知 ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2024·上海·三模）已知函数 ，若 ， ，且 ，则 的最小值是
6．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数 ， 满足 ，则 .
7．（2024·河北·三模）已知函数 ，若 ，则当 取得最小值时，
．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为
．
9．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数 满足 ，则 的最大值为 ；
的取值范围为 ．
三、解答题
10．（2024高三·全国·专题练习）设正实数 满足 ，不等式 恒成立，求 的
最大值．
1．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高考真题）（多选）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
4．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．C． D．
5．（2021·全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的
最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
6．（2021·天津·高考真题）若 ，则 的最小值为 ．
7．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·天津·高考真题）已知 ，且 ，则 的最小值为 ．
9．（2020·江苏·高考真题）已知 ，则 的最小值是 ．
