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§1.4 基本不等式
考试要求 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基
本不等式在实际问题中的应用．
知识梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．( × )
(2)y＝x＋的最小值是2.( × )
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.( √ )
(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.( × )
教材改编题
1．已知x>2，则x＋的最小值是( )
A．1 B．2 C．2 D．4
答案 D
解析 ∵x>2，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．
2．(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是( )
A.＋≥2
B．ab≤
C.≥2
D.≤
答案 BC
解析 当<0时，A不成立；
当ab<0时，D不成立．
3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案 25
解析 设矩形的一边为x m，面积为y m2，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
其中0－1)的最小值为________．
答案 9
解析 因为x>－1，则x＋1>0，
所以y＝
＝
＝(x＋1)＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立，
所以函数的最小值为9.
命题点2 常数代换法
例2 (2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是( )
A．1 B．2
C. D.
答案 C
解析 因为a>0，b>0，且a＋b＝2，
所以＝1，
所以＋＝(a＋b)
＝
≥×
＝，
当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
命题点3 消元法
例3 (2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．
答案 6
解析 方法一 (换元消元法)
由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二 (代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
延伸探究 本例条件不变，求xy的最大值．
解 方法一 9－xy＝x＋3y≥2，
∴9－xy≥2，
令＝t，
∴t>0，
∴9－t2≥2t，
即t2＋2t－9≤0，
解得00，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于(
)
A．16 B．6 C．18 D．12
答案 B
解析 因为x>0，y>0,2x＋8y＝xy，
所以＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2＝10＋2×4＝18，
当且仅当即时取等号，
所以当x＋y取得最小值时，y＝6.
2．已知函数f(x)＝(x<－1)，则( )A．f(x)有最小值4
B．f(x)有最小值－4
C．f(x)有最大值4
D．f(x)有最大值－4
答案 A
解析 f(x)＝＝
＝－＝－
＝－(x＋1)＋＋2.
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以f(x)≥2＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．
故f(x)有最小值4.
思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代
换的方法；三是消元法．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝＋x(2x>1)，则f(x)的最小值为________．
答案
解析 ∵2x>1，∴x－>0，
f(x)＝＋x＝＋x－＋
≥2＋
＝2＋＝，
当且仅当＝x－，即x＝时取“＝”．
∴f(x)的最小值为.
(2)(2022·襄阳模拟)若实数x>1，y>且x＋2y＝3，则＋的最小值为________．
答案 4
解析 令x－1＝m,2y－1＝n，
则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，
∴＋＝＋
＝(m＋n)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即m＝n＝时取“＝”．
∴＋的最小值为4.
题型二 基本不等式的常见变形应用例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后
世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图
形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，
且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
答案 D
解析 由图形可知，OF＝AB＝(a＋b)，
OC＝(a＋b)－b＝(a－b)，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得，
CF＝＝，
∵CF≥OF，
∴≥(a＋b)(a>0，b>0)．
(2)(2022·广州模拟)已知01，则下列不等式中成立的是( )
A．a＋b<
B.<
C.<2
D．a＋b<
答案 D
解析 对于选项A，因为01，
所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>4ab，故选项A错误；
对于选项B，>＝，故选项B错误；
对于选项C，>＝2，
故选项C错误；
对于选项D,2a2＋2b2>a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
所以a＋b<，故选项D正确．
教师备选
若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2C.＋>
D.＋≥2
答案 D
解析 a2＋b2≥2ab，所以A错误；
ab>0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，
所以当a<0，b<0时，B错误；同时C错误；
或都是正数，根据基本不等式求最值，
＋≥2＝2，故D正确．
思维升华 基本不等式的常见变形
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0)．
跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p：a>b>0，命题q：>2，则p是q成立的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，
∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，
∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴>2，
∴由p可推出q，
当a<0，b<0时，命题q成立，
如a＝－1，b＝－3时，＝5>2＝4，
∴由q推不出p，
∴p是q成立的充分不必要条件．
(2)(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )
A. B.＋
C. D.
答案 B
解析 ∵a，b为互不相等的正实数，
∴＋>，
<＝<，<＝<，
∴最大的是＋.
题型三 基本不等式的实际应用
例5 小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第
二年起，每年都比上一年增加支出 2万元，假定该车每年的运输收入均为 25万元．小王在
该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 x年年底出售，
其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售
收入－总支出)
解 (1)设大货车运输到第x年年底，
该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50＝－x2＋20x－50(00，可得10－52，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是( )A．1 B．4
C．7 D．3＋
答案 C
解析 ∵x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，
∴x＋y＝(x－2)＋(y－1)＋3≥
2＋3＝7，
当且仅当时等号成立．
5．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于
9，
∵(x＋y)＝1＋a＋＋
≥a＋2＋1，
当且仅当y＝x时，等号成立，
∴a＋2＋1≥9，
∴≥2或≤－4(舍去)，∴a≥4，
即正实数a的最小值为4.
6．(2022·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整
个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现
小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下
列说法正确的是( )
A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算
C．两种方案一样 D．无法确定
答案 B
解析 设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则
方案一：两次加油平均价格为
＝>，
方案二：两次加油平均价格为
＝<，
故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．
7．(多选)(2022·重庆渝中区模拟)已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等
式成立的有( )
A．2a＋2b≥2 B．a2＋b2<1C.＋<4 D．a＋<2
答案 AB
解析 ∵2a＋2b≥2＝2＝2，当且仅当a＝b时取等号，∴A正确；
∵a2＋b20，b>0，a＋b＝1，∴02，D错误．
8．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b＋≥2 B.>
C.≥a＋b D．(a＋b)≥4
答案 ACD
解析 因为a>0，b>0，
所以a＋b＋≥2＋≥2，
当且仅当a＝b且2＝，
即a＝b＝时取等号，故A正确；
因为a＋b≥2>0，
所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
故B错误；
因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以＝＝a＋b－≥
2－＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以≥，即≥a＋b，故C正确；
因为(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号，故D正确．
9．若00，b>0，且a＋2b＝2ab，则ab的最小值为________，2a＋
b的最小值为________．答案 2
解析 ∵a＋2b＝2ab，
∴2ab≥2，即ab≥2，
当且仅当a＝2b，即b＝1，a＝2时等号成立，
故ab的最小值为2.
∵a＋2b＝2ab，
∴＋＝2，
∵2a＋b＝(2a＋b)··
＝
≥(5＋2)＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，
∴2a＋b的最小值为.
11．(2022·郴州模拟)习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励
外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培
训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{a}(单
n
位：万元，n∈N*)，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a 的3倍，已
1
知a＋a＝72.则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为________万元．
答案 120
解析 由题意得，五年累计总投入资金为
a＋a＋a＋a＋a＋5×3a＝5a＋15a
1 2 3 4 5 1 3 1
＝5(a＋3a)＝10(a＋a)，
3 1 1 2
而10(a＋a)＝10
1 2
≤10＝120，
当且仅当a＝a 时等号成立，
1 2
∴预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元．
12．已知p：存在实数x，使4x＋2x·m＋1＝0成立，若綈p是假命题，则实数m的取值范围
是________．
答案 (－∞，－2]
解析 ∵綈p为假命题，∴p为真命题，
即关于x的方程4x＋2x·m＋1＝0有解．
由4x＋2x·m＋1＝0，
得m＝－2x－＝－
≤－2＝－2，
当且仅当2x＝，即x＝0时，取等号．∴m的取值范围为(－∞，－2]．
13．(2022·合肥质检)若△ABC的内角满足sin B＋sin C＝2sin A，则( )
A．A的最大值为
B．A的最大值为
C．A的最小值为
D．A的最小值为
答案 A
解析 ∵sin B＋sin C＝2sin A.
∴b＋c＝2a.
由余弦定理知
cos A＝＝
＝≥＝，
当且仅当b＝c时取等号．
又A∈(0，π)，
∴00，y>0且x＋y＝xy，则＋的最小值为________．
答案 3＋2
解析 因为x>0，y>0且x＋y＝xy，
则xy＝x＋y>y，即有x>1，同理y>1，
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
于是得＋＝1＋＋2＋
＝3＋
≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，
即x＝1＋，y＝1＋时取“＝”，
所以＋的最小值为3＋2.
16．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是________．
答案 4
解析 ∵a>b>0，∴a－b>0，
∴a(a－b)>0，a2＋＋
＝a2＋ab－ab＋＋
＝a2－ab＋＋ab＋
＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，
当且仅当
即a＝，b＝时等号成立．
∴a2＋＋的最小值是4.
