文档内容
§1.5 一元二次方程、不等式
考试要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二
次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
Δ＝b2－4ac
二次函数y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的图象
有两个不相等
方程ax2＋bx＋c＝ 有两个相等的实数
的实数根x， 没有实数根
1
0(a>0)的根 根x＝x＝－
1 2
x(x0(a>0)的 { x | x < x ，或
1
R
解集 x > x }
2
ax2＋bx＋c<0(a>0)的
{ x | x < x < x } ∅ ∅
1 2
解集
2.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔ f ( x ) g ( x )>0(<0) ；
(2)≥0(≤0)⇔ f ( x ) g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且 g ( x ) ≠ 0 .
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ( － ∞ ，－ a ) ∪ ( a ，＋ ∞ ) ，|x|0)的解集为 ( － a ， a ) ．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x，x)，则a<0.( √ )
1 2
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( × )
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( × )
教材改编题
1．若集合A＝{x|x2－9x>0}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∪B等于( )A．R
B．{x|x>－1}
C．{x|x<3或x>9}
D．{x|x<－1或x>3}
答案 C
解析 A＝{x|x>9或x<0}，B＝{x|－19}．
2．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________.
答案 －14
解析 依题意知
解得
∴a＋b＝－14.
3．一元二次不等式ax2＋ax－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－4,0)
解析 依题意知即
∴－40，
即(x＋1)(2x－3)>0，
∴x<－1或x>.
(2)(多选)已知集合M＝，集合N＝，则( )
A．M＝
B．N＝
C．M∪N＝
D．M∩N＝
答案 ACD
解析 由题设可得M＝[－1,3]，N＝(－1,4]，故A正确，B错误；
M∪N＝{x|－1≤x≤4}，故C正确；
而M∩N＝{x|－10)．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得1时，不等式的解集为.
延伸探究 在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．
解 当a>0时，同例2，当a＝0时，
原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，
当a<0时，<1，
原不等式可化为(x－1)>0，
解得x>1或x<.
综上，当01时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为.
教师备选
解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
解 由题意知，Δ＝a2－4，
①当a2－4>0，即a>2或a<－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝，
∴原不等式的解为≤x≤.
②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.
当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，
即(x－1)2≤0，∴x＝1；
当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，
即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.③当Δ＝a2－4<0，即－22或a<－2时，原不等式的解集为；
当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－20
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4}
C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为
D．a＋b＋c>0
答案 AC
解析 关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向向上，即a>0，故A正确；
对于B，方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3,4，
由根与系数的关系得
解得
bx＋c>0⇔－ax－12a>0，
由于a>0，所以x<－12，
所以不等式bx＋c>0的解集为，
故B不正确；
对于C，由B的分析过程可知
所以cx2－bx＋a<0⇔－12ax2＋ax＋a<0⇔12x2－x－1>0⇔x<－或x>，
所以不等式cx2－bx＋a<0的解集为，故C正确；
对于D，a＋b＋c＝a－a－12a＝－12a<0，故D不正确．
(2)解关于x的不等式(x－1)(ax－a＋1)>0.
解 ①当a＝0时，原不等式可化为x－1>0，即x>1；
当a≠0时，(x－1)(ax－a＋1)＝0的两根分别为1,1－.
②当a>0时，1－<1，∴原不等式的解为x>1或x<1－.
③当a<0时，1－>1，
∴原不等式的解为11}；
当a>0时，原不等式的解集为；
当a<0时，原不等式的解集为.
题型二 一元二次不等式恒(能)成立问题
命题点1 在R上恒成立问题
例3 (2022·漳州模拟)对∀x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a的取值范围
是( )
A．－20时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x) ＝g(3)，即7m－6<0，
max
所以m<，所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，
所以m<在x∈[1,3]上恒成立．
令y＝，
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 (2022·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是
( )
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 不等式x2＋px>4x＋p－3
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3] >0(0≤p≤4)，
min
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
可得
∴x<－1或x>3.
教师备选
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是________________．
答案 [－7,2]
(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)
解析 若x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②
或③
解①得－6≤a≤2，解②得a∈ ∅，
解③得－7≤a<－6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．
令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，
不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练2 (1)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(
)
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－10且Δ＝(－m)2－4(m＋1)(m－1)≤0，
解得m≥.综上，实数m的取值范围是m≥.
4．(2022·合肥模拟)不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值是( )
A．－5 B．－ C．－4 D．－3
答案 C
解析 ∵x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，
则a≥－恒成立，
又x∈[1,3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号．
∴－≤－4，
∴a≥－4.故a的最小值为－4.
5．(多选)满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，
b)的值可以是( )
A．(－2，－1) B．(－3，－6)
C．(2,4) D.
答案 AD
解析 不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，
∴方程(ax－b)(x－2)＝0的实数根为和2，
且即a＝2b<0，故选AD.
6．(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|x≠d}，则下列
四个结论中正确的是( )
A．a2＝4b
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x，x)，则xx>0
1 2 1 2
D．若不等式x2＋ax＋b1的解集为________．
答案 (1,4)
解析 ∵>1，
∴－1>0，即>0，
即10.
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
解 (1)根据题意得
解得a＝－2，b＝8.
(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，
即[x－(a＋1)](x＋1)<0.
当a＋1＝－1，即a＝－2时，
原不等式的解集为∅；
当a＋1<－1，即a<－2时，
原不等式的解集为(a＋1，－1)；
当a＋1>－1，即a>－2时，
原不等式的解集为(－1，a＋1)．
综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为∅；
当a>－2时，不等式的解集为(－1，a＋1)．
10．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，
得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2.
(2)因为存在x∈[1,2]，
使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，
令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1,2]，
故g(x) ＝g(2)＝－2，所以m<－2，
max
即m的取值范围为(－∞，－2)．
11．(多选)已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1，∀x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值可能
是( )
A．0 B．－1 C．－2 D．－3
答案 CD
解析 因为f(x)＝4ax2＋4x－1，
所以f(0)＝－1<0成立．
当x∈(－1,0)∪(0,1)时，由f(x)<0可得4ax2<－4x＋1，
所以4a< ，
min
当x∈(－1,0)∪(0,1)时，
∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
所以－＝2－4≥－4，
当且仅当x＝时，等号成立，
所以4a<－4，解得a<－1.
12．(2022·南京质检)函数y＝lg(c＋2x－x2)的定义域是(m，m＋4)，则实数c的值为________．
答案 3
解析 依题意得，一元二次不等式－x2＋2x＋c>0，即x2－2x－c<0的解集为(m，m＋4)，所
以m，m＋4是方程x2－2x－c＝0的两个根，所以解得m＝－1，c＝3.
13．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．
答案 [－4,3]
解析 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，
即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为
[1，a]，此时只要a≤3即可，即10在[1,5]上有解，则a的取值范围是________．
答案
解析 对于方程x2＋ax－2＝0，∵Δ＝a2＋8>0，
∴方程x2＋ax－2＝0有两个不相等的实数根，
又∵两根之积为负，
∴必有一正根一负根，
设f(x)＝x2＋ax－2，
于是不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，
即5a＋23>0，
解得a>－.
故a的取值范围是.
15．(2022·湖南多校联考)若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取
值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 令x2－(2a＋1)x＋2a＝0，解得x＝1或x＝2a.
当2a>1，即a>时，
不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|10时，有
即
解得－≤t≤，
所以0
