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专题 1.7 基本不等式-重难点题型精讲
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(a+b) 2
(3)ab≤ (a，b∈R)．
2
(a+b) 2
(4)≥ (a，b∈R)．
2
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数
不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
【题型1 利用基本不等式判断不等关系】【方法点拨】
将代数式灵活变形，利用基本不等式求解最值的方法，来求出所给代数式的最值或取值范围，以此来判断
不等关系是否成立，注意变形的等价性及基本不等式应用的前提条件.
【例1】（2022春•赤峰期末）若a＞0，b＞0，且2a+b＝4，则下列不等式中成立的是（ ）
b2
A．ab＜2 B．a2+ ≥4
4
C．log a+log b＜1 D．9a+3b≥18
2 2
【变式1-1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
a a
A．a+b＞2√ab B．a+b＜2√ab C． +2b＞2√ab D． +2b＜2√ab
2 2
【变式1-2】（2021•安徽模拟）设a＞0，b＞0，c＞0，下列不等关系不恒成立的是（ ）
1
A．c+ ≥2 B．|a﹣b|≤|a﹣c|+|b﹣c|
c
1 1
C．若a+4b＝1，则 + ＞8 D．ax2+bx﹣c≥0（x R）
a b
∈
1
【变式 1-3】（2022 春•肥东县月考）对于不等式①√4+√6＞2√5，②x+ ≥2（x≠0），③
x
√2
√a2+b2≥ (a+b)(a、b∈R)，下列说法正确的是（ ）
2
A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误
C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确
【题型2 利用基本不等式求最值】
【方法点拨】
(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解
答
技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
1 4
【例2】（2022春•西宁期末）已知x，y都是正数，若x+y＝2，则 + 的最小值为（ ）
x y
7 9 13
A． B． C． D．1
4 2 4
m+1
【变式2-1】（2022春•信州区期末）已知正数m，n满足m+n＝1，则 的最小值为（ ）
mn
A．3 B．3+2√2 C．3√2 D．3+2√31 1
【变式2-2】（2022春•三明期末）已知正实数a，b满足a+ =2，则2ab+ 的最小值是（ ）
b a
5 9
A． B．3 C． D．2√2+1
2 2
a2 b2
【变式2-3】（2022春•恩施州期末）若a＞2，b＞3，则 + 的最小值是（ ）
a−2 b−3
A．16 B．18 C．20 D．22
【题型3 利用基本不等式解决恒成立（或存在性）问题】
【方法点拨】
对于恒成立（或存在性）问题，求解时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化为最值问题，利用基本
不等式求出有关代数式的最值，进行转化求解即可.
2 3
【例3】（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设 + =1，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的
x y
取值范围是（ ）
A．{x|x≤﹣6或x≥4}B．{x|x≤﹣4或x≥6}
C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}
2 1
【变式3-1】（2021秋•怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且 + =1，若2x+y＜m2﹣8m有解，则实数
x y
m的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1）
C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）
1 4
【变式3-2】（2021秋•香坊区校级期中）若x＞0，y＞0，x+y＝1，且 + ＞m恒成立，则实数m的取值
x y
范围是（ ）
A．{m|m＜3} B．{m|m＜6} C．{m|m＜5} D．{m|m＜9}
【变式3-3】（2021秋•包河区校级期中）若正实数x，y满足2x+y+8xy＝2，且存在实数x，y使不等式3m2
﹣2m≥2x+y成立，则实数m的取值范围为（ ）
1
A．[− ，1] B．[﹣1，2]
3
1
C．（﹣∞，− ]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
3【题型4 利用基本不等式证明不等式】
【方法点拨】
(1)对于与基本不等式有关的不等式证明问题，对所给条件进行合理转化，利用基本不等式进行证明，其解
答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．
(2)证明过程中，若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．
1 1
【例4】（2021秋•上饶期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求证：(1+ )(1+ )≥9．
a b
【变式4-1】（2021春•福田区校级期末）若a＞0，b＞0，a+b＝1．求证：
4 1
（1） + ≥9；
a b
（2）√2a+1+√2b+1≤2√2．
【变式4-2】（2021秋•桂林月考）已知a＞0，b＞0．
1 9
（1）若 + =1，求证：a+b≥16；
a b
（2）求证：a+b+1≥√ab+√a+√b．
【变式4-3】（2020•黄州区校级模拟）设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：
（1）a+b+c≥√3；
√ a √ b √ c
（2） + + ≥√3（√a+√b+√c）．
bc ac ab【题型5 利用基本不等式解决实际问题】
【方法点拨】
解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再结合基本不等式解决问题(求解)，最后
要回应题意下结论(作答)．
【例5】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．
设菜园的长为x，宽为y．
（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
1 2
（2）若使用的篱笆总长度为30，求 + 的最小值．
x y
【变式5-1】（2021秋•黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中
右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的
宽度为5cm．
（1）试用栏目高acm与宽bcm（a＞0，b＞0）表示整个矩形广告面积Scm2；
（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．【变式5-2】（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线
入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一
棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线
口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块
BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）
（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；
（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
【变式5-3】（2021秋•常州月考）如图，长方形 ABCD表示一张6×12（单位：分米）的工艺木板，其四
周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点 P）到外边框AB，AD的距离分别为
1分米，2分米．现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M，N分别在AB，AD上．设AM，AN
的长分别为m分米，n分米．
（1）为使锯掉一块三角形废料MAN的面积最小，试确定m，n的值；
（2）求剩下木板MBCDN的外边框长度（MB，BC，CD，DN的长度之和）的最大值．【题型6 基本不等式与其他知识综合】
【例6】（2022春•重庆校级期中）直角三角形ABC中角A，B，C对边长分别为a，b，c，∠C＝90°．
（1）若三角形面积为2，求斜边长c最小值；
（2）试比较an+bn与cn（n N*）的大小，并说明理由．
∈
【变式6-1】（2021秋•赫山区校级月考）已知向量→ （1，2），→ （﹣2，m），→ → （t2+1）→，
a= b= x=a+ b
→
→ 1→
ka+ b，m R，k，t为正实数．
y=−
t
∈
（1）若→∥→，求m的值；
a b
（2）当m＝1时，若→⊥→，求k的最小值．
x y
【变式6-2】（2021秋•东海县校级期中）已知x＞0，y＞0，且2x，ab，5y成等差数列，2，a，b，5成等比数列．
（1）求lgx+lgy的最大值；
2 5
（2）求 + 的最小值．
x y
【变式6-3】（2021春•高淳区期末）如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植
桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱
笆．
（1）若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，AP段围墙造价为每平方米150元，AQ段围墙造价为
每平方米100元．若围围墙用了30000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
