文档内容
第 02 讲 函数的单调性与最大（小）值
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数的单调性
①求函数的单调区间
②根据函数的单调性求参数
③复合函数的单调性
④根据函数单调性解不等式
高频考点二：函数的最大（小）值
①利用函数单调性求最值
②根据函数最值求参数
③不等式恒成立问题
④不等式有解问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 02 讲 函数的单调性与最大（小）值（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的单调性
（1）单调性的定义一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ， ；
①当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数
②当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数
（2）单调性简图：
（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数 在区间 上是增函数或减函数，则称函数 在这一区间上具有（严格的）单调性，
区间 叫做函数 的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数 和 ，如果当 时， ，且 在区间 上和
在区间 上同时具有单调性，则复合函数 在区间 上具有单调性，并且具
有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
①对于任意的 ，都有 ；
②存在 ，使得
则 为最大值
（2）设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
①对于任意的 ，都有 ；
②存在 ，使得
则 为最小值
3、常用高频结论
（1）设 ， .①若有 或 ，则 在闭区间 上是增函数；
②若有 或 ，则 在闭区间 上是减函数.此为函数
单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设 ，两个函数 ， 在区间 上的单调性如下表，则 在 上的单
调性遵循（增+增=增；减+减=减）
增 增 增
减 减 减
增 减 增
减 增 减
（3）对钩函数单调性： （ ， ）的单调性：在 和 上单调
递增，在 和 上单调递减．
（4）常见对钩函数： （ ），的单调性：在 和 上单调递增，在
和 上单调递减．
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习） 则 在R上是增函
数 ( )
2．（2021·全国·高二课前预习）函数 在区间 上的最大值与最小值一定在区间端点处取得. (
)
二、单选题
1．（2022·北京市怀柔区教科研中心高一期末）下列函数中，在区间 上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一）若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) > f(－m)，则实数m的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
3．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝ 在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．－
4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 在区间 上的最大值是 ,最小值是 ,
则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数的单调性
①求函数的单调区间
1．（2022·全国·高三专题练习） 的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）函数 的图象如图所示，其增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖北·孝感市孝南区第二高级中学高一期中）函数 的减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·四川省峨眉第二中学校高一阶段练习）已知函数 在R上单调递减，则函数
的增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高一专题练习）函数 的增区间是
A． B． C． D．②根据函数的单调性求参数
一、单选题
1．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知函数 是R上的单调函数，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津河西·高一期末）若函数 在区间 上单调递增，则实数k的取值范围是（
）
A． B． C． D．
3．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数 是R上的增函数，则a的取值
范围为（ ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
4．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）已知函数 在区间 上为减函数，
则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广西梧州·高二期末（理））已知函数 ，若对任意的 ， ，且
，总有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
③复合函数的单调性
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，则该函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间是
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． ，
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 的单调递减区间是（ ）A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象如图所示，则函数 的单调递增区间
为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
④根据函数单调性解不等式
1．（2022·内蒙古包头·一模（文））设函数 ，则满足 的x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北保定·高一期末）已知函数 是 上的增函数（其中
且 ），则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川绵阳·高一期末）若 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数 关于直线 对称，且当 时，
恒成立，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
5．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的增函数，则满足 的实
数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西陕西·一模（文））已知 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
高频考点二：函数的最大（小）值
①利用函数单调性求最值
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ，则（ ）
A． 是单调递增函数 B． 是奇函数
C．函数 的最大值为 D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 在区间 上的最小值为
A．72 B．36 C．12 D．0
3．（2022·全国·高三专题练习）设函数 是定义在 上的增函数，实数 使得
对于任意 都成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高一专题练习）已知 ， ，若对 ， ，使得
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
②根据函数最值求参数
1．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）函数 在 上的最大值为 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．2．（2021·全国·高一单元测试）设函数 在 上的最小值为7，则 在 上的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·高一单元测试）若函数 在区间 上的最大值是4，则实数 的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
4．（2019·贵州·兴仁市凤凰中学高一阶段练习）已知函数 ， ，并且函数 的最
小值为 ,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·上海·高一单元测试）一次函数 ，在[﹣2，3]上的最大值是 ，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·广东·广州四十七中高一期中）己知函数 有最小值，则a的的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·全国·高一课时练习）若函数 在区间 上的最小值为4，则实数 的取值
集合为（ ）
A． B． C． D．
③不等式恒成立问题
1．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末（文））已知 ，且 ，若 恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
2．（2022·甘肃武威·高一期末）对 ，不等式 恒成立，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． 或 D． 或3．（2022·四川·遂宁中学高一开学考试）对于 ，不等式 恒成立，则实数m的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数 ，当 时，不等
恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广西梧州·高二期末（理））已知函数f(x)＝x ，g(x)＝2x+a，若∀x ∈[ ，1]，∃x ∈[2，3]，
1 2
使得f(x )≥g(x )，则实数a的取值范围是( )
1 2
A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2
④不等式有解问题
1．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））已知函数 ，
，对于任意的 ，存在 ，使 ，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数 ， ，对于任意
，存在 有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江·高三专题练习）当 时，若关于 的不等式 有解，则实数 的取值
范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）已知 ， ，若对 ，
， ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
5．（2021·全国·高一单元测试）若 ，使得 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京·高考真题）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函
数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2020·山东·高考真题）已知函数 的定义域是 ，若对于任意两个不相等的实数 ， ，总有
成立，则函数 一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
4．（2019·北京·高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
5．（2019·浙江·高考真题）已知 ，函数 ，若存在 ，使得 ，则实
数 的最大值是____.第五部分：第 02 讲 函数的单调性与最大（小）值
（精练）
一、单选题
1．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范
围是（ ）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
2．（2022·上海·华师大二附中高一期末）已知函数 可表示为
1 2 3 4
则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的值域是
C． 的值域是 D． 在区间 上单调递增
3．（2022·安徽蚌埠·高一期末）若函数 在定义域 上的值域为 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南·高二阶段练习（理））函数 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2022·浙江杭州·高一期末）已知 设 ，则函数 的
最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高一期末）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）对任意 ，函数 的值恒大于零，则 的
取值范围是（ ）A． B． 或 C． D． 或
二、填空题
9．（2022·天津市武清区杨村第一中学高一期末）函数 的单调减区间为__________．
10．（2022·全国·高一）函数y＝f（x）是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f（a＋1）
