文档内容
微专题：利用基本不等式求最值
【考点梳理】
1. 基本不等式
如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 该式叫基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平
均数，叫做正数 a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2. 几个重要不等式
重要不等式 使用前提 等号成立条件
a2＋b2≥ 2 ab a，b∈R a＝b
＋≥2 ab >0 a＝b
＋≤ － 2 ab<0 a ＝－ b
ab≤ a，b∈R a＝b
≤ a，b∈R a＝b
3. 基本不等式求最值
(1)设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 2 ( 简记为：积定和最小 ).
(2)设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2(简记为：和定积最大).
4. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)≤≤≤(a>0，b>0).
即有：正数a，b的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
5. 三元均值不等式
(1)≥.
(2)≥abc.
以上两个不等式中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
6. 二维形式柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成
立.
【题型归纳】
题型一： 由基本不等式比较大小
1．已知m，n为正实数，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若 ， ， ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
3．已知 ， ，设 ， ， ，则a，b，c的大小关系
正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
题型二：直接求最值
4．若正实数 满足 ，则（ ）
A． 有最大值 B． 有最大值4
C． 有最小值 D． 有最小值2
5．若 ， ，函数 的图象过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
题型三：配凑法求最值
7．函数 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．已知 ，则函数 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
9．函数 有（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
题型四：常数代换求最值
10．已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知 都是正数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
12．已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
【双基达标】
13．设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面
积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
14．已知 ，且 ，不等式 恒成立，则正实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
15．已知 为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：
“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南
到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，
即出南门 里见到树，则 ．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此
树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 里 B． 里 C． 里 D． 里
17．已知 ， ，若 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
18．已知 ， ，直线 ： ， ： ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A．2 B．4 C． D．
19．已知函数 （ ），则该函数的（ ）．
A．最小值为3 B．最大值为3
C．没有最小值 D．最大值为
20．设 ，则 取得最小值时， 的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
21．某手机生产线的年固定成本为250万元，每生产x千台需另投入成本 万元，当年产量不足80千台时，
(万元)；当年产量不小于80千台时， (万元).每千台产品的售价为50万元，
该厂生产的产品能全部售完.当年产量为（ ）千台时，该厂当年的利润最大？
A．60 B．80 C．100 D．120
22．已知圆 的圆心到直线 的距离为 ，若 ，且 ，则
的最小值为（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
23．已知 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
24．已知 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．
25．已知 在 处取得极值，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
26．设函数 的定义域为R，若存在常数 ，使 对一切实数x均成立，则称 为“F函数”．
给出下列函数：① ；② ；③ ；④ ．其中是“F函数”
的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
27．已知 ，则 的最小值是（ ）
A．7 B． C．4 D．
28．若正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
29．若实数 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
30．若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【高分突破】
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司一、单选题
31．已知 是抛物线 ： 的焦点，直线 与抛物线 相交于 ， 两点，满足 ，记线
段 的中点 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
32．已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
33．若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
34．已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
35．已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
36．已知两个正实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
37．若实数 满足约束条件 ，且 最大值为1，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
38．已知正数 ， 满足 ，则（ ）
A． 有最大值 B． 有最小值8
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． 有最小值4 D． 有最小值
39．若 ， ， ，则下列不等式中对一切满足条件的 ， 恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
40．设正实数 、 满足 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
41．已知实数 ，且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值 B． 有最大值
C． 有最小值 D． 有最大值
三、填空题
42．已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
43．若 ，则 的最小值是___________.
44．若 ，则 的最小值为____________．
45．若正数 满足 ，则 的最小值为______.
46．已知 ， ，则二元函数 的最
小值为___________.
47．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔
成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
四、解答题
48．（1）若 ，求 的最小值及对应 的值；
（2）若 ，求 的最小值及对应 的值．
49．（1）已知 ，则 取得最大值时 的值为？
（2）已知 ，则 的最大值为？
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）函数 的最小值为？
50．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．
（1）求 的最小值；
（2）证明： ＜ ．
51．某航运公司用300万元买回客船一艘，此船投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资，已知每月
燃油费7000元，第 个月的维修费和工资支出为 元.
（1）设月平均消耗为 元，求 与 （月）的函数关系；
（2）投入营运第几个月，成本最低？（月平均消耗最小）
（3）若第一年纯收入50万元（已扣除消耗），以后每年纯收入以5%递减，则多少年后可收回成本？
52．已知 ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求ab的最小值.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据指数函数及幂函数的单调性可判断A，B，举反例可判断C，根据均值不等式判断D即可.
【详解】
， 为正实数，且 ，即
在 上均为减函数，
在 上为增函数.
当 时， ，故A错误；
当 时， ，故B错误；
取 ，此时 ，故C错误；
， ， ，
， ， ，故D正确.
故选：D
2．D
【解析】
【分析】
根据不等式串 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误.
【详解】
对于选项A：∵ ，当且仅当 时取等号，∴A错误；
对于选项B： ， ，∴B错误；
对于选项C ： ，
因为 ∴C错误；
对于选项D：∵ ，当且仅当 时取等号，
∴ ，D正确；
第 9 页故选：D
3．D
【解析】
【分析】
首先求出 ， 的表达式，再利用对数的运算法则进行变形比较 与 ，再利用基本不等式以及函数的单调性进行
判断即可.
【详解】
依题意得， ，，
，
由基本不等式得： ，
又 为单调递增函数
即 ，
故选：D.
4．A
【解析】
【分析】
结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项的结论是否成立即可.
【详解】
因为正实数 满足
所以 ，当且仅当 ， ，即 取等号，故A正确、C错误．
，当且仅当 ， ，即 取等号，故B、D错误．
故选：A
5．CD
【解析】
【分析】
利用对数函数过 可得 ，利用基本不等式可依次判断ABD；根据指数函数单调性可判断C.
【详解】
因为 过点 ，所以 ，即 ，
又 ， ，所以 ， ，
对于A， （当且仅当 时取等号），
第 10 页，A错误；
对于B， （当且仅当 时取等号）， B错误；
对于C， ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ， C正确；
对于D， （当且仅当 时取等号），D正确.
故选：CD
6．C
【解析】
【分析】
把所求代数式 变形，转化成 ，再对其中 部分以基本不等式求最值即可解决.
【详解】
时， （当且仅当 时等号成立）
则 ，即 的最大值为0.
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
结合基本不等式求得所求的最小值.
【详解】
，
，
当且仅当 时等号成立.
故选：C
8．D
【解析】
【分析】
应用基本不等式求函数的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】
由题设， ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
第 11 页∴函数最小值为 .
故选：D.
9．D
【解析】
【分析】
分离常数后，用基本不等式可解.
【详解】
（方法1） ， ，则 ，当且仅当 ，即 时，
等号成立.
（方法2）令 ， ， ， .
将其代入，原函数可化为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，此
时 .
故选：D
10．D
【解析】
【分析】
利用基本不等式进行求解.
【详解】
因为 ， ，
所以
（当且仅当 ，即 时取等号），
即 的最小值为4.
故选：D.
11．C
【解析】
【分析】
利用基本不等式中“1”的妙用，令 ，即可求解.
【详解】
由题意知， ， ，
则
第 12 页，
当且仅当 时， 取最小值 .
故选：C．
12．D
【解析】
【分析】
利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【详解】
，当且仅当 ，即 ，b＝6时，等号成立，
故 的最小值为27
故选：D
13．B
【解析】
【分析】
因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得 ， 两点坐标，
即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据 ，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
第 13 页双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使
用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
14．D
【解析】
【分析】
根据题意，结合基本不等式计算 的最小值，即可求解.
【详解】
由题意得
，
当且仅当 时取等号．因此 ，结合 ，可知 ．
则 符合条件，因此正实数 的取值范围是 .
故选：D．
15．B
【解析】
【分析】
根据题意，化简得到 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，可得 ，
则有 ，解得 ，
当且仅当 ， 取到最小值 .
故选：B.
16．D
【解析】
【分析】
根据题意得 ，进而得 ，再结合基本不等式求 的最小值即可.
【详解】
第 14 页因为1里=300步，
则由图知 步=4里， 步=2.5里．
由题意，得 ，
则 ，
所以该小城的周长为 ，
当且仅当 时等号成立.
故选:D．
【点睛】
本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即： ，
再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.
17．C
【解析】
【分析】
将 ，转化为 ，由 ，利用基本不等式求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故选：C
18．D
【解析】
根据 得到 ，再将 化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
第 15 页当且仅当 时，等号成立.
故选：D
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方
19．D
【解析】
【分析】
先由基本不等式得到 ，再转化得到 （ ），最后判断选项即可.
【详解】
解：因为 ，所以 ， ，
由基本不等式： ，
当且仅当 即 时，取等号.
所以 ，即 ，所以 （ ），
当且仅当 即 时，取等号.
故该函数的最大值为：
故选：D
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.
20．A
【解析】
转化条件为原式 ，结合基本不等式即可得解.
【详解】
第 16 页，
当且仅当 ，即 ， ， 时，等号成立.
故选：A.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方.
21．C
【解析】
求得当年的利润 的解析式，结合二次函数的性质、基本不等式求得正确选项.
【详解】
设年产量为x千台，当年的利润为y万元，
则由已知有 ，
即 ，
当 时，由二次函数的性质可知当 时y取最大值950，
当 时， .
当且仅当 时，y取得最大值1000，
又 ，所以当年产量为100千台时，该厂当年的利润取得最大值1000万元.
故选：C
22．D
【解析】
【分析】
本题目考察圆的一般方程的圆心坐标，以及点到直线的距离公式，通过点到直线的距离公式可以求出参数 的值，
最后是基本不等式中“1”的代入的应用，已知分式为定值，可以求得整式的最小值
第 17 页【详解】
由题意，知圆心坐标为(1，4)，
圆心到直线 的距离为 ，则 ，解得 或
因为 ，所以
所以 ，且 ，则 ，当且仅当
时取“="，即 的最小值为 ．
故选：D
23．C
【解析】
由题意可得 ，结合目标式即可构造出 ，进而利用基本不等式求 的最
小值
【详解】
由 知： ，而 ，
∴ ，则
∴
故选：C
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价代换构造出基本不等式的形式
求最值
24．C
【解析】
【分析】
由目标式可得 ，结合已知条件，应用基本不等式即可求目标式的最小值，注意等号成立的
条件.
【详解】
∵ ，
∴ 当且仅当 时等号成立.
故选：C
25．D
【解析】
求导 ，根据极值点得到 ， ，展开利用均值不等式计算得
到答案.
第 18 页【详解】
，故 ，
根据题意 ，即 ，
经检验 在 处取得极值.
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选： .
【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
26．C
【解析】
【分析】
①若 ，则 没有最大值，故 不是 函数；
②当 时， ，此时 不成立，故 不是 函数；
③ ，所以是F函数；
④ 总成立，是F函数．
【详解】
解： ①若 ，则 没有最大值，则不存在 使 成立，故 不是 函数；
②若 ，则当 时， ，此时 不成立，故 不是 函数；
③由 ，且 时， ，显然 ，∴是F函数；
④由题得 ，所以 为奇函数，且 ，∴
，
所以 ，所以 ，
又 时， ，当 时， ，故 ，
第 19 页所以 即 ，
当 时， ，∴ 总成立，是F函数．
故选：C
27．D
【解析】
【分析】
由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.
【详解】
因为 ，
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立.
结合 可知，当 时， 有最小值 .
故选：D.
28．C
【解析】
【分析】
由 配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.
【详解】
（当且仅当 ，即 时取
等号），
的最小值为 .
故选：C.
29．D
【解析】
【分析】
由条件变形 ，再结合基本不等式求最小值.
【详解】
由条件可知， ，
所以
第 20 页，
当 ，即 ，结合条件 ，
可知 时，等号成立，所以 的最小值为 .
故选：D
30．A
【解析】
【分析】
由题得 ，再通过变形得到 ，再利用基本不等式求解.
【详解】
因为 ，所以 ，
则
，
当且仅当 时取等号，
故选：A．
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是对式子 进行合理的变形和拼凑，使之能使用基本不等式求最值.
31．C
【解析】
【分析】
设 ，过点 ， 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 ，进而得 ，
再结合余弦定理得 ，进而根据基本不等式求解得 .
【详解】
解：设 ，
过点 ， 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 ，
则 ，
因为点 为线段 的中点，
所以根据梯形中位线定理得点 到抛物线 的准线的距离为 ，
第 21 页因为 ，
所以在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，故 .
所以 的最大值为 .
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题
解题的关键在于根据题意，设 ，进而结合抛物线的定于与余弦定理得 ，
，再求最值.
32．C
【解析】
依题意可得 ，则 ，再利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为 且 ，所以 ，所以
当且仅当 ，即 ， 时取等号；
所以 的最小值为
故选：C
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方
33．C
【解析】
【分析】
第 22 页利用基本不等式即可求解.
【详解】
解： ，
，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值为 ，
故选： ．
34．A
【解析】
【分析】
将4x+3y＝4变形为含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由换元法、基本不等式换“1”的代换求解即
可．
【详解】
由正实数x，y满足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，
令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，
∴ ，即 ，当且仅当
时取等号，
∴ 的最小值为 .
故选：A．
35．C
【解析】
【分析】
本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即可得到答案．
【详解】
由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
36．A
【解析】
第 23 页【分析】
根据题中条件，得到 ，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】
因为正实数 满足 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选： ．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方.
37．A
【解析】
【分析】
首先画出可行域，根据目标函数的几何意义得到 ，再利用基本不等式的性质即可得到 的最大值.
【详解】
由题知不等式组表示的可行域如下图所示：
目标函数 转化为 ，
由图易得，直线 在 时， 轴截距最大.
所以 .
因为 ，即 ，
当且仅当 ，即 ， 时，取“ ”.
第 24 页故选：A
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.
38．ACD
【解析】
【分析】
A由 即可确定 最大值；B利用基本不等式“1”的代换有 即可求最小值；C将
代入，利用基本不等式即可求最小值；D将 代入，结合二次函数的性质求最值.
【详解】
A： ，则 当且仅当 ， 时取等号，正确；
B： ，当且仅当 时取等号，错误；
C： ，当且仅当 时取等号，正确；
D： ，故最小值为 ，正确.
故选：ACD
39．ACD
【解析】
【分析】
利用基本不等式 ，判断A；平方后，再利用基本不等式判断B；变形 判断C；利
用“1”的变形 ，展开后，利用基本不等式判断D.
【详解】
解： ， ， ，
，
即 ，即 ，故 正确；
，
故 ，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD．
40．ABD
【解析】
第 25 页【分析】
利用不等式的性质以及指数函数的性质可判断A选项的正误，利用基本不等式可判断BCD选项的正误.
【详解】
对于A选项，因为正实数 、 满足 ，则 ，
，故 ，A对；
对于B选项，由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，B对；
对于C选项，由基本不等式可得 ，
因为 ，故 ，当且仅当 时，等号成立，C错；
对于D选项， ，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，D对.
故选：ABD.
41．AC
【解析】
【分析】
已知等式化简为 ,利用基本不等式转化 ,得到关于 的不等式，研究可得 的最值情况，转化 ,
得到关于 的不等式，研究可得 的最值情况，进而作出判定.
【详解】
，解不等式得 或 ，故 ，
等号当且仅当 时取得，故 有最小值9，则A对，B错；
，解不等式得 或 ，又 ，
故 ，当且仅当 时取等号，故 有最小值6，则C对，D错，
故选：AC．
42．4
【解析】
【分析】
根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】
， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：
第 26 页【点睛】
本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
43．
【解析】
【分析】
由 ，结合基本不等式即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 时，取等号成立.
故 的最小值为 ，
故答案为：
44．
【解析】
【分析】
两次利用基本不等式即可求出.
【详解】
，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
45．16
【解析】
【分析】
利用基本不等式求得 的最小值.
【详解】
依题意 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.所以 的最小值为 .
故答案为：
第 27 页【点睛】
本小题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.
46．
【解析】
【分析】
直接利用不等式： 化简即可．
【详解】
根据均值不等式：
所以有
当且仅当 时取等号．
【点睛】
直接利用不等式： 化简．属于中档题
47．
【解析】
设每个小矩形长为 米，宽为 米，则依题意可知 ，代入矩形的面积公式，根据基本不等式求出围成
矩形面积的最大值．
【详解】
如图所示：
设每个小矩形长为 米，宽为 米，显然 ，则依题意可知 ，
设围成的整个矩形场地的面积为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，即当 时取
等号，因此 .
故答案为：
48．（1）最小值为5， ；（2）最小值为 ， ．
【解析】
【分析】
第 28 页（1）化简 ，再利用基本不等式求解；
（2）化简 ，再利用基本不等式求解.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，函数取最小值5；
（2）
当且仅当 即 时等号成立，函数取最小值 .
49．（1） ；（2）1；（3）
【解析】
【分析】
（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；
（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；
（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.
【详解】
（1） ，
当且仅当 ，即 时，取等号.
故所求 的值为 .
（2）因为 ，所以 ，
则 .
当且仅当 ，即 时，取等号.
故 的最大值为1.
（3）
第 29 页.
当且仅当 ，即 时，取等号.
故函数的最小值为 .
50．（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．
【详解】
（1） ，
当且仅当“ ”时取等号，
故 的最小值为 ；
（2）证明：
，
当且仅当 时取等号，此时a+b≠1．
故 ＜ ．
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式证明不等式，属基础题.
51．（1） ；（2）投入第 个月，成本最低；
（3）7年后收回成本.
【解析】
【分析】
（1）先求出购船费和所有支出的和，然后把购船费和所有支出费用平摊到每一个月，即可求得平均消耗 与
（月）的函数关系；
（2）利用基本不等式可得最值，从而求出此时 的值，即可求解；
（3）假设 年后可收回成本，则收入是首项为50，公比为0.95的等比数列，然后建立收入大于成本的不等式，即
可求解.
第 30 页【详解】
（1）购船费和所有支出费为
元，
所以月平均消耗 ，
即月平均消耗为 与 的函数关系 .
（2）由（1） ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以当投入营运100个月时，营运成本最低.
（3）假设 年后可收回成本，则收入为：
，
解得 时满足条件， 时不满足条件，
故7年后可收回成本.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的应用，以及基本不等式求最值的应用，着重分析问题和解答问题的能力，属于中档试
题.
52．（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.
（2）根据 ，可得 ，从而得到 ，进而求得 ，注意等号成立的条件，得到
结果.
【详解】
证明：（1）∵ ，
∴ .
（2）∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ .
当且仅当 时取等号，此时ab取最小值1.
【点睛】
该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，
一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.
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