文档内容
第 04 讲 基本不等式及其应用
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................................................................2
题型一：基本不等式及其应用....................................................................................................................................2
题型二：直接法求最值................................................................................................................................................3
题型三：常规凑配法求最值........................................................................................................................................3
题型四：化为单变量法................................................................................................................................................3
题型五：双换元求最值................................................................................................................................................3
题型六：“1”的代换求最值........................................................................................................................................4
题型七：齐次化求最值................................................................................................................................................4
题型八：利用基本不等式证明不等式........................................................................................................................4
题型九：利用基本不等式解决实际问题....................................................................................................................5
题型十：与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值.....................................................................................................6
题型十一：三角换元法................................................................................................................................................7
题型十二：多次运用基本不等式................................................................................................................................8
题型十三：待定系数法................................................................................................................................................8
题型十四：多元均值不等式........................................................................................................................................8
题型十五：万能K法....................................................................................................................................................9
题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题.....................................................................................................9
题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题................................................................................................9
题型十八：整体配凑法..............................................................................................................................................10
02 重难创新练.............................................................................................................................................................10
真题实战练...................................................................................................................................................................12题型一：基本不等式及其应用
1．（2024·高三·安徽芜湖·期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了
后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之
为无字证明．现有如图所示的图形，点 在半圆 上，且 ，点 在直径 上运动．作
交半圆 于点 ．设 ， ，则由 可以直接证明的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ）
已知 ，求 的最小值；解答过程： ；
求函数 的最小值；解答过程：可化得 ；
设 ，求 的最小值；解答过程： ，
当且仅当 即 时等号成立，把 代入 得最小值为4．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．题型二：直接法求最值
4．（2024·上海普陀·二模）若实数 ， 满足 ，则 的最小值为 .
5．（2024·高三·上海青浦·期中）若 且满足 ，则 的最小值为 .
6．若 ，则 的最小值为 ．
题型三：常规凑配法求最值
7．若 ，则 的最小值是 ．
8．若 ，则函数 的值域是 .
9．若 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
题型四：化为单变量法
10．若 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·高三·河南漯河·期末）设正实数 、 、 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知正数x，y满足 ，则 的最小值为 .
13．已知 ，若 ，则 的最小值为 .
题型五：双换元求最值
14．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 的最小值为 ．
15．（2024·高三·福建龙岩·期中）已知 且 ，则 的最小值为 ．题型六：“1”的代换求最值
16．（2024·高三·江苏南京·开学考试）函数 （ 且 ）的图象恒过定点A，若点A在
直线 上，其中 ，则 的最小值为 .
17．（2024·四川南充·二模）已知x，y是实数， ，且 ，则 的最小值为
18．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线 过函数 ，且
）的定点 ，则 的最小值为 .
19．（2024·上海徐汇·二模）若正数 满足 ，则 的最小值为 .
题型七：齐次化求最值
20．（2024·高三·浙江·开学考试）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 .
21．已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
题型八：利用基本不等式证明不等式
22．已知 ， ， 为正数，函数 .
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若 且 ， ， 不全相等，求证： .
23．不等式选讲已知 均为正实数，函数 的最小值为4．
(1)求证： ；
(2)求证： ．24．（2024·四川资阳·模拟预测）已知 ， ，且 ．
(1)求 的最小值；
(2)证明： ．
题型九：利用基本不等式解决实际问题
25．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指
由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，
按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内
角 满足 ，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
26．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是
，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方
米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
27．（2024·高三·山东济宁·开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将 的砝码放在天平的左盘中，取出 黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右
盘清空后，再将 的砝码放在天平右盘中，再取出 黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称
得的黄金交给顾客．则（ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
28．（2024·高三·北京朝阳·期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的
影响，用 表示产量， 表示劳动投入， 表示资本投入， 表示技术水平，则它们的关系可以表示为
，其中 .当 不变， 与 均变为原来的 倍时，下面结论中正确
的是（ ）
A．存在 和 ，使得 不变
B．存在 和 ，使得 变为原来的 倍
C．若 ，则 最多可变为原来的 倍
D．若 ，则 最多可变为原来的 倍
29．某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员
分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都
不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地
造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与
任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的
平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．30 D．45
题型十：与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值
30．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
31．（多选题）已知位于第一象限的点 在曲线 上，则（ ）
A． B．C． D．
32．（多选题）设正实数 ， ，且满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
33．（多选题）已知 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B． 的最小值为
C． 的最小值为
D． 的最小值为
题型十一：三角换元法
34．（多选题）由知实数a，b满足 ，则（ ）
A．ab的最大值为
B． 的最大值为
C．
D．当 时， 的最大值为
35．（多选题）（2024·全国·模拟预测）实数 ， 满足 ，则（ ）
A．
B． 的最大值为
C．
D． 的最大值为
36．（多选题）若 ， 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．题型十二：多次运用基本不等式
37．已知 ，则 的最小值为 .
38．（2024·黑龙江·二模）已知实数 ， 且 ，则 取得最大值时， 的值为
（ ）
A． B． C． D． 或
39．若实数a，b满足ab＞0，则 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
40．已知 则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
题型十三：待定系数法
41．（云南师范大学附属中学2023-2024学年高三4月月考数学试题）已知实数 ， ， 不全为0，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
42．（2024·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型十四：多元均值不等式
43．已知 ，则 的最小值为 .
44．函数 的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．题型十五：万能K法
45．已知实数 满足 ，则 的最大值为 .
46．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数 ，满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
47．（2024·高三·重庆·期中）已知x， ，且 ，则 的最大值为 ．
题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题
48．（2024·辽宁大连·一模）对于任意的正数m，n，不等式 成立，则λ的最大值为
49．（2024·高三·山东滨州·期末）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
50．若两个正实数 满足 且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题
51．已知 ，向量 ，则 的最大值为 .
52．（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱 中， ，则该三棱柱的体积的
最大值为 ．
53．（2024·四川南充·二模）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边．已知 ，
．则 的最小值为 ．
54．（2024·湖南·模拟预测）已知 为锐角，且 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．题型十八：整体配凑法
55．（2024·四川成都·三模）若正实数 满足 ，则 的最大值为 （用 表示）．
56．对于正数 ，有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
57．已知 ， 且 ，则 的取值范围为 .
58．若 ，则 的最小值为 .
1．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若正实数 满足 ，则 有最小值4
B．若正实数 满足 ，则
C． 的最小值为
D．若 ，则
2．（2024·河南焦作·模拟预测）已知正数 ， 满足 ，则当 取得最小值时，
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·辽宁大连·一模）若 奇函数，则 的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
5．（2024·贵州黔东南·二模）已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．6．（2024·重庆·模拟预测）若实数 ， 满足 ， 则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．（2024·江苏南通·二模）设 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
8．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2024·河北保定·二模）已知 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为2 D． 的最小值为
10．（多选题）（2024·浙江绍兴·二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． 且 B．
C． D．
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
12．（多选题）（2024·高三·浙江湖州·期末）已知正数 满足 ，下列结论中正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为2
C． 的最小值为 D． 的最大值为1
13．（2024·湖北黄石·三模）设 ， ，若 ，则 的最小值为 ，此时 的值为
.
14．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数 的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正
确的序号）
① ；② ；③ ；④ ．
15．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最
小值是 .16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 ，若 ， ，且
，则 的最小值为 ．
1．（2021年天津高考数学试题）若 ，则 的最小值为 ．
2．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023年天津高考数学真题）在 中， ， ，记
，用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））若实数 满足 ，则 的
最小值为
A． B．2 C． D．4
5．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷））要制作一个容积为4 m3，高为1 m的
无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低
总造价是( )
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
6．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））设a + b = 2, b>0,则 的最小
值为 .
7．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷））设 ，且
，则 的最小值为
8．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））已知实数 、 、 满足 ，
，则 的最大值为 .
