文档内容
第 05 讲 基本不等式及应用
【基础知识网络图】
解不等式问题
不等式中的含参问题
不 等
式 的
综 合 实际应用问题
应用
不等式证明
【基础知识全通关】
知识点01：不等式问题中相关方法
1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，
方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起
来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复
杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解
化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明
晰．
2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及
函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本
思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与
不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．
3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等
式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象
关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到
不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．
4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→
变形→判断符号(值)．
5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思
维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特
点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明
显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入
手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导
果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到
欲证的目的．
6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式
的基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各
种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
知识点02：不等式与相关知识的渗透
1．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应
用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，
起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择
适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终
贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函
数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无
一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
2．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等
式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值
时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合
这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：10审题，20建立不等式模型，30解数学问
题，40作答。
【要点诠释】
⑴解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一
元二次不等式（组）来求解，。
⑵解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。
⑶不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的
基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
⑷根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。
【考点研习一点通】
考点01：基本不等式应用
1. 设 , ,求证：
【变式1】已知 ，求证:
2.已知 ，且 .
(1)若 则 的值为 .
(2)求证：【变式】已知函数 的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围.
(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足 时，求7a+4b的最小值.
考点02：不等式与相关知识的融合
3．已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1.
(1)证明：|c|≤1；
(2)证明：当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2；
(3)设a＞0，有－1≤x≤1时， g(x)的最大值为2，求f(x).
2x2 +bx+c
【变式1】已知函数f(x)= x2 +1 (b＜0)的值域是［1，3］，
(1)求b、c的值；
(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论；7 1 1 13
5 6 6 5
(3)若t∈R，求证：lg ≤F(|t－ |－|t+ |)≤lg .
考点02：不等式证明
4.已知a>0,b>0且a+b=1求证：
【变式】(1)已知函数 , 设 是函数y=f(x)图
像的一条对称轴,求 的值.
(2)已知函数 在 时， 成立，求 的取值范围.
考点03：基本不等式在实际问题中的应用
5. 某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为 ，预计（1）修复 旧墙的费用是建造 新墙费用的 ，
（2）拆去 旧墙用以改造建成 新墙的费用是建 新墙的 ，（3）为安装圈门，
要在围墙的适当处留出 的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所
需的总费用最小？
【变式】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1
人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游
泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为 40元.要使每
个学生游8次，每人最少交多少钱？
【考点易错】
1．已知△ABC的三边长是 ，且 为正数，求证： .
【变式1】设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，
0＜f(x)＜1.
(1)求证：f(0)=1，且当x＜0时，f(x)＞1；(2)求证：f(x)在R上单调递减；
(3)设集合A={ (x，y)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若
A∩B=∅，求a的取值范围.
2.已知函数 (其中常数m>0)
(1)当m=2时，求 的极大值.
(2)时谈论 在区间 上的单调性
(3)当 时，曲线 上总存在相异两点 ， ，
使得曲线 在点 处的切线互相平行，求 的取值范围.
【变式】已知 ，对 ， 恒成立(1)求 的最小值；
(2)求 的取值范围.
3.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一
种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成
本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处
理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多
少元才能使单位不亏损？
【巩固提升】
1．已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是（ ）
A．ac+bd>ad+bc B．ac+bdbd D．ac0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
8．若 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知两个不为零的实数 ， 满足 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ， ，若对任意 ，不等式 恒成立，则
的最小值为___________．
11．定义在R上的奇函数 满足 ，当 时，
，则当 时，不等式 的解为___________.12．不等式 的解集是___________.
13．设 ，解不等式 ．
14.已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最
大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
15.某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器
运转时间t(年数， )的关系为 ，要使年平均利润最大，则每台机
器运转的年数t为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
16.(多选题)已知 ， 为正实数，且 ，则（ ）
A． 的最大值为2 B． 的最小值为4
C． 的最小值为3 D． 的最小值为
17.（多选题）已知 ，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． D．18.（多选题）已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 最小值为
B．若 ，则 的最小值为
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则 的最小值为
19.已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值等于______．
20.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若
，则 的最大值为___________.
21.已知 都为正实数，则 的最小值为___________．
22.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷
第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问
出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作
被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门 里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门 步有树，出南门 步能见到
此树，则该小城的周长的最小值为（注： 里 步）________ 里.
23.已知正实数 满足 ，则 的最小值为_______； 的最小值为
__.
24.若 ， ，且 ，则 的最小值是___________，当且仅当
___________时，取得最值.
25.某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形
和 构成的面积为 的十字型地域，计划在正方形 上建一座花
坛，造价为4200元 ，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210
元 ，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元 .设总造价为 (单
位：元)， 长为 (单位： ). 的最小值是___________，此时 的值是___________.
