文档内容
专题 04 基本不等式（九大题型+模拟精练）
目录：
01 基本不等式的内容辨析
02 利用基本不等式比较大小
03 利用基本不等式求最值
04 条件等式求最值
05 基本不等式“1”的妙用
06 对勾函数、类对勾函数求最值
07 基本不等式在其他模块的应用
08 高考新考法—以生活情境、传统文化等为背景考查基本不等式
09 高考新考法—新定义基本不等式压轴题
01 基本不等式的内容辨析
1．（21-22高一下·广东深圳·期末）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D；
【解析】解：对于A：若 、 时 ，故A错误；
对于B：因为 ，所以 ，所以 ，即 ，当且仅当 时
取等号，故B错误；
对于C：若 、 时， ，故C错误；
对于D：因为 ，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，故D正确；
故选：D
2．（2022高一·全国·专题练习）已知 为实数，且 ，则下列命题错误的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】对于A，利用基本不等式判断，对于B，由已知结合完全平方式判断，对于C，举例判断，对于
D，利用基本不等式判断
【解析】对于A，由基本不等式可知当 时， ，当且仅当 时取等号，所以A正
确，
对于B，因为 ， ，所以 ，且 ，所以 ，当且仅当
时取等号，所以B正确，
对于C，若 ，则 ，所以C错误，
对于D，因为 ， ，所以 ，且 ，所以 ，
，所以 且 ，所以D 正确，
故选：C
3．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）下列说法，其中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为
【答案】B
【分析】利用重要不等式判断A、B、利用特殊值判断C，利用对勾函数的性质判断D.
【解析】对于A：因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故A错误；
对于B：因为 ，所以 ，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，故B正确；
对于C：当 时，满足 ，但是 ，故C错误；
对于D：令 ，因为 在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
即 的最小值为 ，故D错误；
故选：B
02 利用基本不等式比较大小
4．（2023·河南开封·三模）已知 ， ，且 ， ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】使用基本不等式求解，注意等号成立条件.
【解析】 ，
∵ ，∴等号不成立，故 ；
，
∵ ，∴等号不成立，故 ，
综上， .
故选：A.
5．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知关于 的方程 有两个实根 ， ，则下列
不等式中正确的有 .（填写所有正确结论的序号）① ； ②
③ ； ④ .
【答案】①
【分析】解方程 得到 ， ， ，再利用作差法和基本不等式得解.
【解析】因为 ，所以 或 ，
所以 或 ，
因为关于 的方程 有两个实根 ， ，
所以 ， ，
对于①②，
，
所以 ，所以①正确，②错误.
对于③④， ，
因为 .
,
所以 或者 .
所以③④错误.
故答案为：①
03 利用基本不等式求最值
6．（23-24高一上·重庆·期末）函数 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D【分析】利用基本不等式即可得解.
【解析】因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
则 的最小值是 .
故选：D.
7．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】用基本不等式求解即可.
【解析】因为 ，
所以 ，当且仅当 即 时取等号；
故选：B
8．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）函数 的最小值为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】由基本不等式即可求解.
【解析】由 可得 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故选:D
04 条件等式求最值
9．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知正数 ， 满足 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式直接计算即可.
【解析】由题意得， ，则 ， ，即 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：C
10．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【解析】 ， ，由 得 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故选：A
05 基本不等式“1”的妙用
11．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算即可.
【解析】易知 ，则，
当且仅当 ，即 时取得等号.
故选：B
12．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数 ， ，满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【解析】实数 ， ，由 ，得 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：B
06 对勾函数、类对勾函数求最值
13．（2023高三·全国·专题练习）函数y＝x＋ （x≥2）取得最小值时的x值为 ．
【答案】2
【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有 ＝t＋ －1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解.
【解析】依题意，
y＝x＋ ＝x＋1＋ －1(x≥2)，
设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋ －1在[3,＋∞)上单调递增，
所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋ (x≥2)取得最小值．故答案为：2.
14．（2023高三·全国·专题练习）函数f（x）＝ ＋1的最小值为 ．
【答案】 ＋1
【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出 有最小值.
【解析】f（x）＝ ＋1＝ ＋1＝ ＋ ＋1，
令 ，t∈[ ，＋∞），
则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋ ＋1，t∈[ ，＋∞）．令u（t）＝t＋ （t≥ ），
则由u（t）在[ ，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥ ＋ ＝ ，
则g（t）≥ ，
所以函数f（x）的最小值为 ；
故答案为： .
15．（22-23高三上·江苏南通·期中）已知正实数x，y满足 ，函数 的最小
值为 ，则实数 取值的集合为 ．
【答案】
【分析】根据基本不等式求得 的最大值，结合对勾函数单调性，即可求得结果.【解析】 ，∴ ， ，
令 ， ，
当 时， ，与已知矛盾；
当 时， 在 单调递减，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ 的取值集合 ．
故答案为： .
07 基本不等式在其他模块的应用
16．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）若数列 为等比数列，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
设出公比 ，先由 得到 ，利用基本不等式可得 ，得到“ ”
是“ ”的充分条件，再通过举反例 说明“ ”不是“ ”的必要条件，
故得结论.
【解析】因数列 为等比数列，不妨设公比为 ，则 ，由 可得 ，故 ，而
，由 知 ，当且仅当 时取等号，而 ，故 ，
此时 ，故“ ”是“ ”的充分条件；
由 可得 ，则 ，而 ，
故不一定能得到 .
如 时，满足 ，但是 ，
故“ ”不是“ ”的必要条件.
即“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
17．（22-23高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．当 且 时，
B．当 时， 的最小值为4
C．当 时，
D．当 时，
【答案】C
【分析】对AD，举反例判断即可；对B，根据基本不等式成立的条件判断即可；对C，根据基本不等式判
断即可.
【解析】对A，当 时， ，故A错误；
对B，当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，但当时， ，故B错误；
对C，当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，故C正确；
对D，当 时 ，故D错误.
故选：C
18．（2024·广东湛江·一模）已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式 ，将等式 左边转化为因式 表示，求解即可.
【解析】因为 ，得： （当且仅当 时成立），
即得： ，
则 ，
得： ，
所以 的最小值为 ，
故选：A.
19．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知正实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证明 ，然后证明对 总存在相应的 使得 ，即可说明的取值范围是 .
【解析】一方面有 ，及
.
另一方面，对 ，存在 满足 ， ，
.
所以 的取值范围是 .
故选：C.
20．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形
三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式
求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现
有一个三角形的边长满足 ， ，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】 ， ．可得 ．代入 ，利用基本不等式的性质即
可得出．
【解析】 ， ． ．
，
当且仅当 时取等号．，即三角形面积的最大值为 ．
故选：A．
21．（2023·浙江杭州·二模）已知 ， ，且 ，则ab的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】运用对数运算及换底公式可得 ，运用基本不等式可求得 的最小值.
【解析】∵ ，
∴ ，即：
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，当且仅当 即 时取等号，
即： ，当且仅当 时取等号，
故 的最小值为16.
故选：C.
22．（2023·江苏常州·一模）设 为复数， 为虚数单位，关于 的方程 有实数根，则复数 的
模 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 是方程的实数根，易知 ，则 ，根据复数的几何意义可得 ，结
合基本不等式计算即可求解.【解析】由题意知，设 是方程 的实数根，
则 ，若 ，则 ，等式不成立，
所以 ，有 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立.
所以 的取值范围为 .
故选：B.
23．（2024·河北沧州·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，直线l交抛物线T于A，B两
点，M为线段 的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N，若 ，则 的最大值
为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ， ，如图，根据抛物线的定义和梯形的中位线的性质可得 ，结合
基本不等式的应用即可求解.
【解析】设 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，过点A，B分别作 ， 垂直准线于点G，W，由抛物线的定义可知 ， ，
由梯形的中位线可知 ．
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以
所以 ，故 的最大值为 ．
故选：B
24．（20-21高三·北京·强基计划）在 中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且
，则 的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．前三个选项都不对
【答案】C
【分析】利用基本不等式可得 ，从而可求三角形的周长.
【解析】注意到 ，
结合均值不等式，可得 且 ，因此 的周长为 ．
故选：C.
25．（2024·河南·三模）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值
为 ．
【答案】【分析】 是 的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.
【解析】因为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 ．
故答案为： .
26．（2023·上海静安·二模）已知函数 为偶函数，则函数 的值域为 .
【答案】
【分析】利用偶函数的定义求出 ，则 ，设 ，利用基本不等式，即可求
出结果．
【解析】 函数 （ ）是偶函数，
，
，易得 ，
设 ，
则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 ，所以函数 的值域为 ．
故答案为： ．
27．（22-23高三上·云南曲靖·阶段练习）已知 ，直线 与 互相垂直，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据 ，由两直线垂直的充要条件，可得 ，所以 ，再利用基本不等式的性
质即可得出．
【解析】根据 ，直线 与直线 互相垂直，
，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号．
则ab的最小值等于 ，
故答案为: .
28．（2024·湖南·二模）若锐角 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两角和的余弦公式得 ，再由基本不等式求得 的最小值.
【解析】 .
于是 ，当且仅当 时取等号，则 的最小值为 .
故选：D.
29．（2023·河南开封·模拟预测）在三棱锥 中，PA⊥平面ABC， ，
当三棱锥的体积最大时，三棱锥 外接球的体积为 ．
【答案】
【分析】根据棱锥体积公式及基本不等式可得 体积最大，然后利用长方体的性质及球的体积
公式即得.
【解析】由题可知三棱锥 的体积为：
，当且仅当 时等号成立，
此时， ，将三棱锥 补成长方体 ，
则三棱锥 外接球的直径为 ，则 ，
因此，三棱锥 外接球的体积为 .
故答案为： .
30．（20-21高三下·浙江·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，若点 ， 是该抛物线上的点，
， ，线段 的中点 在抛物线的准线上的射影为 ，则 的最大值为 ．
【答案】【分析】设 ， 由勾股定理可得 ，根据抛物线的性质可得 ，再利
用基本不等式可得 ，即可求出 的最大值；
【解析】解：如图所示，设 ， ，则 ，
而根据抛物线的性质可得
结合平方平均值与算术平均值的关系式 当且仅当 时取等号，
因此 ，，所以 ，即 的最大值为
故答案为：
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定
——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
08 高考新考法—以生活情境、传统文化等为背景考查基本不等式
31．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方
米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【答案】C
【分析】设矩形场地的长为 米，则 ，结合基本不等式计算即可求解.
【解析】设矩形场地的长为 米，则宽为 米，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以平整这块场地所需的最少费用为 元.
故选：C
32．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分
别为m元和n元 ，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20
件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为 ，则（ ）
A． B． C． D． 的大小无法确定
【答案】B
【分析】由题意求出 的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.
【解析】由题意得 ， ，
因为 ，故 ， ，
即 ，
故选：B33．（2024·广东湛江·二模）当 ， 时， .这个基本不等式可以推广为当x， 时，
，其中 且 ， .考虑取等号的条件，进而可得当 时， .
用这个式子估计 可以这样操作： ，则 .用这样的方法，可得
的近似值为（ ）
A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039
【答案】C
【分析】根据给定的信息，求出 的近似值，进而求出 的近似值.
【解析】依题意， ，则 .
故选：C
34．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后
世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，
也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且 ，设 ，
，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用数形结合计算出 ，再在 中，利用勾股定理得 ，再由 ，可得结论．
【解析】设 ，可得圆 的半径为 ，又由 ，
在 中，可得 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号．
故选：D.
35．（2023·安徽池州·模拟预测） 年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一
根垂直的悬杆看上去最长 即可见角最大 后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问
题 我们把地球表面抽象为平面 ，悬杆抽象为线段 或直线 上两点 ， ，则上述问题可以转化为如
下的数学模型：如图 ，一条直线 垂直于一个平面 ，直线 有两点 ， 位于平面 的同侧，求平面上
一点 ，使得 最大 建立如图 所示的平面直角坐标系 设 ， 两点的坐标分别为 ，
，设点 的坐标为 ，当 最大时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，然后由正切的和差角公式和基本不等式即可得到结果.
【解析】由题意可知 是锐角，且 ，
而 ，
所以 ，而 ，当且仅当 ，即 时取等号，
因为 是锐角，
所以当 时， 最大，此时 最大.
故选：
09 高考新考法—新定义基本不等式压轴题
36．（23-24高二下·广东江门·阶段练习）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线
弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从
A沿曲线段 运动到B点时，A点的切线 也随着转动到B点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为
（它等于 的倾斜角与 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当
夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当B越接
近A，即 越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线 在点 处
的曲率计算公式为 ，其中 ．
(1)求单位圆上圆心角为 的圆弧的平均曲率；
(2)已知函数 ，求曲线 的曲率的最大值；(3)已知函数 ，若 曲率为0时x的最小值
分别为 ，求证： ．
【答案】(1)1
(2)
(3)证明见解析；
【分析】（1）根据平均曲率 的定义，代入计算可得结果；
（2）对函数 求导，代入曲率计算公式并化简变形利用基本不等式可求得曲线 的曲率的最
大值为 ；
（3）根据 曲率为0可求得 ，利用导数判断出函数 的单调性，可知
的两解分别为 ，且 ，令 可得 ，对 整理变形并构造
函数 可得出证明.
【解析】（1）易知单位圆上圆心角为 的圆弧 ，
根据定义可得平均曲率
（2）由 可得 ，
又 可得 ；所以 ，
易知 ，当且仅当 时，即 时等号成立；
所以 ，
即曲线 的曲率的最大值为 .
（3）由 可得 ，
记 ，则 ；
同理由 可得 ，
记 ，则 ，
若 曲率为0时，即 ，可得 ，
化简可得 ；
令 ，则 ，由 可得 ，
则当 时， ，此时 单调递增，且 ；
当 时， ，此时 单调递减，且 ；
则 的图象如下图所示：又 ，结合 的图象可得 有两解，
设这两解分别为 ，且 ，
又 ，
因为 最小，因此 ，
由 ，可设 ，
故 ，
化简可得 ，则 ，
要证 ，即证 ，
即 ，也即 ，
即证 ，
令 ，则 ，
所以 在在区间 上单调递增，
故 ，故 .
【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明不等式 时，利用双变量消元技巧找出 的关系式，再
通过构造函数并利用导函数判断出其单调性，并求得其最值即可证明得出结论.一、单选题
1．（2024·甘肃定西·一模） 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
【解析】由题意知 ，所以 ，
所以 .
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：B.
2．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对于AB，利用对数函数的性质即可判断；对于CD，利用对数的运算得到 ，结合基本不等
式即可判断.
【解析】因为 ，所以 ，
对于A，易得 ，所以 ，故A成立.
对于B，因为 ，所以 ，故B成立.
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，显然等号不成立，所以 ，故C不成立.
对于D，因为 且 ，
所以 ，故D成立.
故选：C.
3．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列 满足 ，则 有（ ）
A．最小值 B．最大值18 C．最小值27 D．最大值
【答案】C
【分析】由数列 是等比数列，可得 ，即 ，方法一： ,则
利用基本不等式计算即可，方法二：
利用基本不等式计算即可.
【解析】方法一：因为数列 是等比数列，所以 ，所以 ，所以 ，所
以
，
当且仅当 ，即 时取等号．
方法二 因为数列 是等比数列，所以 ，所以 ，所以
，
当且仅当 时取等号．
故选：C．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）A．若正实数 满足 ，则 有最小值4
B．若正实数 满足 ，则
C． 的最小值为
D．若 ，则
【答案】D
【分析】对于A，利用 即可证明 ，再给出取等的情况即可得到A正确；对于
B，利用 即可证明 ，得到B正确；对于C，利用换元法与对勾函数单调性
判断；对于D，验证当 ， 时不等式不成立，得到D错误.
【解析】对于A，若正实数 满足 ，则 ，
而当 时，有 ， ，从而 的最小值是 ，故A正确；
对于B，若正实数 满足 ，则 ，故B正确；
对于C，设 ，则 ，由对勾函数单调性得最小值是 ，故C
正确；
对于D，当 ， 时，有 ，但 ，故D错误.
故选：D.
5．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A【分析】根据题意可得 ，利用基本不等式求解.
【解析】由 可得 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 符合题意.
所以 的最小值为 .
故选：A.
6．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由
相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按
图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角
满足 ，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求周长的最大值.
【解析】因为四边形木板的一个内角 满足 ，如图，设 ，由题设可得圆的直径为 ，
故 ，因 ， 为三角形内角，故 ，
故 ，
故 ，
故 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
同理 ，当且仅当 等号成立，
故四边形周长的最大值为 ，
故选：A.
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在 中， 为线段 的中点， 为线段 上一点，
，过点 的直线分别交直线 ， 于 ， 两点．设 ， ，
则 的最小值为（ ）A． B． C．3 D．6
【答案】B
【分析】由中点和三等分点得到 ，结合 ， ，得到
，
由三点共线得到 ，利用均值不等式中“1的代换”求得 的最小值.
【解析】因为 为线段 的中点，所以 ，又因为 ，所以
，
又 ， ，则 ，
而 ， ， 三点共线，所以 ，即 ，
则
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故选：B．
8．（2024·天津·二模）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上的点 到 的距离为6，双曲线 的左焦点 在抛物线的准线上，过点 向双曲线的渐近线作垂线，垂足为
，则 与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）．
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义及焦半径公式先求 ，再由双曲线的性质，基本不等式计算即可.
【解析】设双曲线右焦点 ，易知 ， ，
即 ，而双曲线的一条渐近线为 ，
易知 ， 所以 ，
由双曲线的性质可知 ，
由基本不等式可知 ，当且仅当 时取得等号.
故选：A
二、多选题
9．（2024·河南信阳·一模）已知正数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】选项A，将等式 应用基本不等式求解即可；选项B、C，检验特殊情况 时的结
果即可判断；选项D，原不等式等价于 ，应用基本不等式可得
.【解析】对于选项A， ，则 ，
当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于选项B，应用重要不等式得： （ 时取得等号），
接选项A中 ，当 时取得等号，
（当 时能取得等号），
即 的最小值为 ，与 矛盾，故B错误；
对于选项C，因为 ，则
，
其中 ，当 取得等号，
则 ，即 的最小值为 ，
且 ，故C错误；
对于选项D， ，
且 ，得： ，
而 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，故D正确；
故选：AD．
10．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足 ，则下列结论正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式 ，结合已知等式 变形可判断A，C，D；由
可得 ，结合实数的性质即可判断B.
【解析】因为 ,当且仅当 时等号成立，所以 ，A正确；
因为 ，所以 ，所以 ，B错误；
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以
，C错误；
由 整理，得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，D正确．
故选：AD．
11．（2024·浙江·二模）已知正实数 ， ， ，且 ， ， ， 为自然数，则满足
恒成立的 ， ， 可以是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】BC
【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到 ，进而得到只需 即可，再依次判断四个选项即可.
【解析】要满足 ，只需满足 ，
其中正实数 ， ， ，且 ， ， ， 为正数，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
观察各选项，故只需 ，故只需 即可，
A选项， ， ， 时， ，A错误；
B选项， ， ， 时， ，B正确；
C选项， ， ， 时， ，C正确；
D选项， ， ， 时， ，D错误.
故选：BC.
三、填空题
12．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，
20，且总体的平均值为10．则 的最小值为 ．【答案】 /
【分析】根据平均数的概念可求 的值，再利用不等式可求 的最小值.
【解析】因为各个个体的值是有小到大排列的，所以 ，
又总体平均值为 ，所以 .
所以 （当且仅当 时取“ ”）.
故答案为：
13．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）《孙子算经》中提到“物不知数”问题.如：被3除余2的正整数按照
从小到大的顺序排成一列，即 ，构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，则 的
最小值为 .
【答案】19
【分析】根据题意，由等差数列的前 项和公式，即可得到 ，再由基本不等式即可得到结果.
【解析】由题意可知，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
则 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为：
14．（2024·江西上饶·一模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为
．【答案】
【分析】函数 在区间 上单调递增，转化为 在 上恒成立，即
恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.
【解析】因为 ，
所以 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
即 时， 恒成立，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，所以 ，
故答案为： .
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）记 的内角 所对边分别为 ，已知 ．
(1)证明： ；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）将已知条件利用两角和差公式与正弦定理即可计算出结果；（2）利用第一问的结果代入 的余弦定理表达式，再利用基本不等式即可得到结果.
【解析】（1）已知 ，
由正弦定理得： ，
整理得： ，
……①
因为 ……②
②代入①有： ，
再由正弦定理得 ．
（2）由余弦定理得：
，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 ．
16．（2023·全国·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 外接圆的半径为 ，求 的面积最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．
（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.
【解析】（1）由已知可得： ，∴ ，
∴ ，
根据正弦定理可知： ，
∴ ．
又 ．
（2）∵ 外接圆的半径为 ，
∴ ，解得 ．
又由（1）得 ，
故 ，∴ ，当且仅当 时等号成立
∴ ，
∴ 的面积最大值为 ．
17．（2024·四川·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ．
点 在直线 上运动，且直线 的斜率与直线 的斜率之商为2．
(1)求 的方程；
(2)若点A、B在椭圆 上， 为坐标原点，且 ，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意，由两直线的斜率之商为2以及离心率公式，代入计算，即可求得 从而得道结果；
（2）根据题意，分直线 ，直线 其中一条直线斜率不存在与直线 ，直线 的斜率均存在讨论，然后联立方程，由三角形的面积公式结合基本不等式即可得到结果.
【解析】（1）
设 ，
所以 ，由直线 的斜率与直线 的斜率之商为2，
可得 ，所以 ，
又离心率 ，所以 ，则 ，
所以 的标准方程为 .
（2）
当直线 ，直线 其中一条直线斜率不存在时，不妨令 ，
此时 面积为 ；
当直线 ，直线 的斜率均存在时，不妨设直线 的方程为 ，
则直线 的方程为 ，设点 ，联立方程 可得 ，
所以 ，
联立方程 可得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，又 ，
所以 ，又 ，
所以 面积的最小值为 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以及
结合基本不等式计算.
18．（2024·辽宁·模拟预测）（1）利用双曲线定义证明：方程 表示的曲线是焦点在直线 上的双
曲线，记为曲线 ；
（2）设点 在曲线 上， 在曲线 上，且满足 ，求 方程；
（3）点 在 上，过点 的直线 与 的渐近线交于 ， 两点，且满足 ，求 （ 为
坐标原点）的面积.【答案】（1）证明见详解；（2） ；（3）
【分析】（1）根据设 ，分 和 两种情况，结合两点间距离公
式可得 ，即可得结果；
（2）根据题意将 代入曲线 即可；
（3）设 ，求 的坐标，结合中点可得 ，代入 方程可得 ，
进而可求 的面积.
【解析】（1）设 ，显然 在直线 上，
则 ，
同理可得 ，
若 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
则 ， ，
可得 ；
若 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
可得 ，则 ， ，
可得 ；
综上所述： ，
所以方程 表示的曲线是焦点在直线 上的双曲线；
（2）因为点 在曲线 上，则 ，
又因为 ，可得 ，
所以 方程为 ；
（3）令 ，可得 ，即曲线 的渐近线为 ，
由题意可知：直线 的斜率可能不存在，但不为0，设 ，
联立方程 ，解得 ，即 ，
同理可得： ，
因为 ，可知 为线段 的中点，则 ，即 ，
又因为 在曲线 上，则 ，
整理得 ，
且 ，即 ，可得 ，
注意到直线 与x轴的交点坐标为 ，
则 的面积 .
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利
用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
（2）面积问题常采用 底 高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，
选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面
积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思
想的应用．
19．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数 在约束条件
的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数 ，其中 为拉格朗日
系数．分别对 中的 部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解 ，就是二元函数 在约束条件的可能极值点． 的值代入到 中即为极值．
补充说明：【例】求函数 关于变量 的导数．即：将变量 当做常数，即：
，下标加上 ，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的 表示
分别对 进行求导．
(1)求函数 关于变量 的导数并求当 处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 满足 ，求 的最大值．
(3)①若 为实数，且 ，证明： ．
②设 ，求 的最小值．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)①证明见解析；②4.
【分析】（1）根据给定条件，对变量 求导并求值.
（2）利用拉格朗日乘数法求出极值，再判断并求出最大值.
（3）①利用换元法，结合平方数是非负数推理即得；②利用二次函数、均值不等式求出最小值.
【解析】（1）函数 ，对变量 求导得： ，
当 时， .
（2）令 ，则 ，解得 或 ，
于是函数 在约束条件 的可能极值点是 ， ，
当 时，函数 的一个极值为函数 ，
当 时，函数 的一个极值为函数 ，
方程 视为关于x的方程： ，则 ，解得 ，
视为关于y的方程： ，则 ，解得 ，
因此函数 对应的图形是封闭的，而 ，
所以 的最大值为 .
（3）①由 ， ，设 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，
所以 .
②当 时，
，当且仅当 时取等号，
所以 时， 取得最小值4.【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧：
①在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、
“二定”、“三相等”的条件；
②利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及
“1”的代换等应用技巧.
