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第 3 练 均值不等式及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知正实数a，b满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【详解】
设 ，则 ，故 ，其中 ，
，
由 ，
当且仅当 ， 时等号成立，
此时 ， 满足，
故 的最小值为 ，
故选：D.
2．函数 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【详解】
因为 ，所以 ， ，利用基本不等式可得
，
当且仅当 即 时等号成立.
故选：D.3．已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为 ， ， ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 .
故选：D.
4．函数 的最小值为（ ）
A．7 B．7 C．6 D．2
【答案】B
【详解】
，
，
当且仅当 时等号成立.
故选：B
5．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．函数 中最小值为
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】A
【详解】由 可得 ，所以 ，A对，
当 时，函数 的函数值为-10，故B错，
当 时， ，所以 ，C错，
取 ，则 ，D错，
故选：A.
6．下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：对于A选项，当 时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项， 成立的条件为 ，故错误；
对于C选项，当 时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于 ，故 ，正确.
故选：D
7．已知 中，点D为线段 （不包括端点）上任意一点，且实数x，y满足 ，则
的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【详解】
因为点D为线段 （不包括端点）上任意一点，且实数x，y满足 ，
所以 ， ，所以
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ，
故选：A
8．若 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．9 B．3 C．1 D．
【答案】C
【详解】
解：因为 ，所以 ，
因为
所以 ，即 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即 的最小值为 .
故选：C
二、多选题
9．已知 则下列结论正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】ABC
【详解】
由题可知 ， ，又 ，所以 ，D错误；
因为 ，有 ．所以A正确；
由基本不等式得 ，所以 ，当且仅当 时，取等号；
又因为 ， ，所以 ，故 ，B正确；
由于 ， ，所以 ，C正确.
故选：ABC．
10．已知 ， 是两个正数，4是 与 的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值是1 B． 的最大值是1
C． 的最小值是 D． 的最大值是
【答案】BC
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，可得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为1，故 错误，B正确．
因为 ，
故 的最小值为 ，无最大值，故C正确，D错误．
故选：BC
11．下列函数最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】ABC
【详解】
对于A， ，最小值为2；
对于B， ，当且仅当 ， 时取得最小值2；
对于C， ，当且仅当 ，即 时取得最小值2；
对于D， ，当 时取得最小值1，综上可知：ABC正确.
故选：ABC.
12．设 ，且 ，则( )
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】
对于A： ，且 ， ，解得 ，故A正确；
对于B： ，即 ， ，故B错误；
对于C： ，且 ， ，当且仅当 时，等号成立， ，故C正
确；
对于D ，且 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∵ －3＝ ，∴ ，∴D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．若 ， ，且 ，则 的最小值为___________【答案】 ##
【详解】
因为 ，
所以 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，即 时取等号，
，当且仅当 时取等号，即 时取等号，
所以 ，当且仅当 时取等号，
故答案为：
14．已知正数a，b满足 ，则 的最小值为___________.
【答案】 ##0.75
【详解】
因为 ，所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为： .
15．某工厂的产值第二年比第一年的增长率是 ，第三年比第二年的增长率是 ，而这两年的平均增长率
为 ，在 为定值的情况下， 的最大值为___________（用 ､ 表示）
【答案】
【详解】设第一年的产值为 ，则第二年的产值为 ，第三年的产值为 ，
又这两年的平均增长率为 ，所以 ，
因为 为定值，所以 ，当且仅当 时，等
号成立，
所以 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：
16．小明用某款手机性能测试app对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大
的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，95，97，99，已知总体的中位数为
90，若要使该总体的标准差最小，则 _________.
【答案】0
【详解】
因为总体的中位数为90，所以 ，
平均数为 ，
要使该总体的标准差最小，即方差最小，即 最小，
又 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
故 .
故答案为：0
四、解答题
17．已知 ， ， ，求证：
(1) ；(2) .
【解析】(1)
由题意，因为 ，且 ，
所以 ，当且仅当 时，取“=”，
所以 ，所以 ．
(2)
由 ，
所以
，
，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的
处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y
200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单
位不亏损？
【答案】(1)400；(2)不能获利，至少需要补贴35000元.
【解析】(1)
由题意可知： ，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；
(2)该单位每月的获利：
，
因 ，函数 在区间 上单调递减，
从而得当 时，函数 取得最大值，即 ，
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
18．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的
处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y
200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单
位不亏损？
