文档内容
第 05 讲 利用导数研究不等式能成立（有
解）问题 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离变量法
高频考点二：分类讨论法
高频考点三：等价转化法
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
高频考点五：值域法解决双参等式问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 05 讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 （精
练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化： ，使得 能成立 ；
，使得 能成立 ．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法( ， 或 ， )求解．
3、等价转化法
当遇到 型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数 ，进而只需满足 ，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1） , ,使得 成立
（2） , ,使得 成立
（3） , ,使得 成立
（4） , ,使得 成立
5、值域法解决双参等式问题
, ,使得 成立
① ，求出 的值域，记为
② 求出 的值域，记为
③则 ,求出参数取值范围.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二）已知函数 ， ，若至少存在一个 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意知至少存在一个 ，使得 成立，即 在 上有解，满足
即可，
设 ， ，∵ ，∴ ，
∴ 在 上恒为增函数，∴ ，∴ ，
故选：B.
2．（2022·全国·高二）若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
依题意：
，令 ，
则 ，
令 ，
则 ，易知 单调递增，
，所以 单调递增，
故 ，故 ，
则 在 上单调递增，故 ，
即实数 的取值范围为 ，
故选：B.
3．（2021·全国·高二课时练习）已知函数 ，若在定义域内存在 ，使得不等式
成立，则实数m的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．【答案】C
函数 的定义域为 ，
.
令 ，得 或 （舍）.
当 时， ；当 时， .
所以当 时， 取得极小值，也是最小值，且最小值为1.
因为存在 ，使得不等式 成立，
所以 ，
所以实数m的最小值为1.
故选：C
4．（2021·广东·高三专题练习）已知函数 ，实数 ， 满足 ，
若 ， ，使得 成立，则 的最大值为
A．4 B．
C． D．
【答案】A
试题分析： ，则当 时， ；当 时， ，∴
. ，作函数 的图象如图所示，当 时，方程两根
分别为 和 ，则 的最大值为 .故选A.
考点：函数的图象和性质.
【方法点晴】本题考查函数导数与单调性.确定方程根的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，
如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断
是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意
利用数形结合的数学思想方法.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：分离变量法
1．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练习）已知函数 在区间 上存在单调增
区间，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：因为 ，所以 ，
在区间 上存在单调递增区间， 存在 ，使得 ，即 ，
令 ， ，则 恒成立，所以 在 上单调递增，所以
，
，故实数 的取值范围为 ．
故选：D
2．（2022·河南焦作·二模（文））已知 使得不等式 成立，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意可得： 使得不等式 成立.
令 则 .
而 ， ，
所以当 时， ，所以 在 单调递增，所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，因为 ，所以 ，故实数a的取值范围为 .
故选：A
【点睛】
恒（能）成立求参数的取值范围问题常见思路：
①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究 的单调性及最值；
③特别地，个别情况下 恒成立，可转换为 （二者在同一处取得最值）.
3．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极小值.
(2)存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)1；(2) .
(1)
当 时 ，则 ，令 ，得 ．
时 ，函数 的单调递增区间为 ，
时 ，函数 的单调递减区间为 ；
所以函数 的极小值为 .
(2)
由题设，在 上 ，
设 ，则 ，显然当 时 恒成立，
所以 在 单调递增，则 ，
综上， ，故 ．
4．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.【答案】(1)函数 在 上递增，在 上递减，极大值为 ，无极小值
(2)
(1)
解：当 时， ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
所以函数 的极大值为 ，无极小值；
(2)
解：若存在 ，使不等式 成立，
则 ，即 ，
则问题转化为 ，
令 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 递增，在 上递减，
所以 ，
所以 .
5．（2022·江苏省天一中学高二期末）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间与极值；
(2)若 在 上有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在 上单调递减，在 上单调递增，函数 有极小值 ，无极大值
(2)
(1)
当 时， ，所以当 时 ；当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时函数 有极小值 ，无极大值.
(2)
因为 在 上有解，
所以 在 上有解，
当 时，不等式成立，此时 ，
当 时 在 上有解，
令 ，则
由（1）知 时 ，即 ，
当 时 ；当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，所以 ，
综上可知，实数a的取值范围是 .
6．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）己知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)存在 ，使得 成立，求整数 的最小值.
【答案】(1)增区间为 ，无单减区间(2)
(1)
解：当 时， ，该函数的定义域为 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
故函数 的增区间为 ，无单减区间.
(2)
解：存在 ，使得 成立，即 ，
令 ，其中 ，则 ，，
令 ，则 ，
令 ， 对任意的 恒成立，
故函数 在 上为增函数，则 ，
即 对任意的 恒成立，则函数 为增函数.
因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ， ，
设 ，则 ，
令 ，则 对任意的 恒成立，
故函数 在 上为增函数，则 ，
即 对任意的 恒成立，故函数 在 为增函数，
故 ，即 ，即 ，
因为 为整数，所以整数 的最小值为 .
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
高频考点二：分类讨论法1．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
已知函数 ，定义域为 ，
，
①当 时， ，
x
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
在 上单调递增，在 上单调递减；
②当 时， ，函数 在 单调递增；
③当 时， ，
x
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
在 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
时， 在 单调递增；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减.(2)
若存在 ，使得 成立，即使得 .
由（1），可知当 时， 在 上单调递增， ，
不满足 ；
当 时，
x
- 0 +
递减 极小值 递增
，所以 ，即 ，
令 ，∴ ，
∴ 在 上单调递减，
又∵ ，由 ，得 .
综上，实数a的取值范围为 .
2．（2022·安徽马鞍山·一模（文））已知函数 （ 为自然对数的底数）．
(1)若 时，求 的单调区间；
(2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增(2)
(1)
若 时， ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)
由题意可知，即求 成立的 的取值范围，
因为 ， ，所以 ，所以 （当且仅当 时取等号），
即 ，即求 对任意 成立的 的取值范围，
当 时， ，此时 在 上单调递增，
且有 ，不满足 ；
当 时，易知 ，显然成立；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得，
所以实数 的取值范围为 ．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，其中 ，
为自然对数的底数.
(1)判断函数 的单调性；
(2)若不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) 在 单调递减；在 上单调递增；(2) .
(1)
函数 的定义域为 ，
由 可得 ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以 在 单调递减；在 上单调递增；
(2)
由题意得 ，且 ，
当 时，因为 时， ，所以 在 上单调递减，
又因为 ，故 在 上不可能恒成立；
当 时，令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
①当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 ，故 在 上恒成立；
②当 ，即 时， ， ，
故存在在 使得 ，
此时函数 在 上单调递减，又 ，
故 在 上不可能恒成立，故不符合题意.
综上所述， 的取值范围 .
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）若函数在 时取极值，求 的单调区间；
（2）若当 时 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；（2）
（1） ，
因为函数 在 时取极值，所以 ，
可得： ，所以 ，
，
由 可得： 或 ；由 可得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，
所以 在 时取极大值，符合题意；
所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
（2） ，
若当 时 ，可得 对于 恒成立，
令 ，只需 ， ，
当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增，
，所以 不成立
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，所以只需 ，解得： ，所以 ，当 时， 恒成立，此时 在 上单调递减，
所以 ，所以 恒成立，所以 符合题意，
综上所述： ，
所以实数 的取值范围是
5．（2022·福建福州·高二期末）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若存在 ，使得不等式 成立，求m的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)
当 时， ,定义域为R， .
所以 ， .
所以曲线 在点（0，f（0））处的切线方程为： ，
即 .
(2)
不等式 可化为： ，
即存在 ，使得不等式 成立.
构造函数 ，则 .
①当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，故 ，解得： ，
故 ；
②当 时，令 ，解得： 令 ，解得： 故 在 上单调递减，
在 上单调递增，又 ，故 ，解得： ，这与 相矛盾，舍去；
③当 时， 恒成立，故 在 上单调递减，故 ，不符合题意，应
舍去.
综上所述：m的取值范围为： .
高频考点三：等价转化法1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，若 ，使得
成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由 ，得 ，即 ，
记 ， ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
，
，记 ， ，
，
， ， ，
时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
∴ ， .
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）当 时，已知 ， ，若存在唯一的整数 ，
使得 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意知，存在唯一整数 使得点 在直线 的下方，
， 时 ， 时 ，即 在 上递减，在 上递
增， ，
直线 恒过定点 且斜率为 ， ，如图：又 ， ， ，于是有 ，符合题意的唯一整数为
0，
观察图形得， ，即 ，从而得 ，
所以 的取值范围是
故选：D
3．（2022·江苏南通·高二期末）设函数 ， ，若存在 ， 成立，则实
数 的取值范围为__________.
【答案】
由 ， 得，
令 ，则
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故
由于存在 ， 成立，则
故答案为：
4．（2022·河北·固安县第一中学高二阶段练习）已知函数 （ ）．
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）设函数 ，若至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2） ．
（1） ．
当 时， ，∴ 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，∴ 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
∴ 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
（2）若至少存在一个 ，使得 成立，则当 时， 有解．
∵当 时， ，∴ 有解，
令 ， ，则 ．
∵ ，
∴ 在 上单调递减，∴ ，
∴ ，即 ，
∴实数 的取值范围 ．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
（1）若函数 与 有公共点，求 的取值范围；
（2）若不等式 恒成立，求整数 的最小值.
【答案】（1） ；（2）最小值为 .
解：（1）令 ，即 ，则 ，
函数 与 有公共点，即 有解.
令 ，则 .令 ，
当 时， ，所以 ，当 时， ，所以
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 且当 时，
所以 .
（2）不等式 恒成立,即 恒成立.
则 时， 成立，解得 ，
由题意求满足条件的整数 最小值,下面验证 是否满足题意.
当 时，令 ，且 在 上单调递增.
又 ，可知存在唯一的正数 ，使得 ，
即 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增.所以 ，
即当 时，不等式 成立.
故整数 的最小值为
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，
.
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）当 时，若在 上存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）极小值为 ，极大值为 ；（2） .
（1） 函数 ， 定义域为 ，
，当 时，令 ，解得： 或 ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增， 在 上单调递减；
函数 的极小值为 ，函数 的极大值为 .
（2）令 ，
在 上存在一点 ，使得 成立，即在 上存在一点 ，使得 ，即函数
在 上的最小值小于零.
由 得： ，
， ，又 ， ，
当 时， ；当 时， ，
①当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
， ，
，此时 不成立，
②当 ，即 时， 在 上单调递减， ；
由 可得： ，
， ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知 ， ，若存在 ，
，使得 成立，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
存在 ， ，使得 成立，等价于 ， ，使得 成立．因为 ，∴函数 在 上单调递增， 上单调递减，∴ 时，
函数 取得极小值即最小值，所以
． ，可得函数 在 上单
调递减，∴ ．
∴ ．因此实数a的取值范围是 ．
故答案为： ．
2．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数 ， ，若对任意
都存在 使 成立，则实数 的取值范围是______
【答案】
对任意 都存在 使 成立，
所以得到 ，
而 ，所以 ，
即存在 ，使 ，
此时 ， ，
所以 ，
因此将问题转化为：
存在 ，使 成立，
设 ，则 ，
，
当 ， ， 单调递减，
所以存在 ，使 成立，则 ，
即 ，
所以实数 的取值范围是 .故答案为： .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知两函数 ， ， 若对 ，
， ， ，恒有 成立，求 的取值范围.
【答案】
若对 ， ， ， ，恒有 成立，
只需在 ， 上， 即可.
，
， ，
在 ， ， ， ，
故 与 ， 是 单调递增区间.
在 ， ，
故 ， 是 单调递减区间.
因此 的极小值为 又 ，
所以
所以 ，
解得 的范围为 .
4．（2022·上海·高三专题练习）已知两函数 ， ，其中 为实数.
（1）对任意 ，都有 成立，求 的取值范围；
（2）存在 ，使 成立，求 的取值范围；
（3）对任意 ，都有 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
（1）依题意， ，
令 ，则对任意 ，都有 成立，等价于对任意 ，都有
成立，
，而 ，则当 或 时， ，当
时， ，
因此， 在 和 上都单调递减，在 上单调递增，当 时， 取极小值 ，当 时， 取极大值 ，
而 ， ，于是得当 时， ， ，
所以 的取值范围是 ；
(2)由(1)知 ， ， ， ，
存在 ，使 成立，等价于存在 ，有 成立，则 ，
所以 的取值范围是 ；
(3)当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 或 时， ，当
时， ，
则 在 和 上都是递增的，在 上递减，而 ， ，从而得当
时， ，
对任意 ，都有 ，等价于 在 的最大值不大于 在 上的最小值，
即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
5．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 ．
（1）求证：在区间 上，函数 的图象恒在函数 的图象的下方;
（2）若存在 ， ，使 成立，求满足上述条件的最大整数m．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
（1）设 ，
则 ，
在区间 上， ， ，
所以当 时， ， 单调递减，
且 ，
故 时， ，
所以 ，所以在区间 上函数 的图象恒在函数 的图象的下方．
（2）由 ，得 ，
当 时， ，
所以 ，
．
存在 ， ，使 成立等价于 ，
即 ，
，
故满足条件的最大整数 为4．
6．（2022·重庆南开中学高二期末）设函数 .
(1)讨论函数 在区间 上的单调性；
(2)函数 ，若对任意的 ，总存在 使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2) .
(1)
,
,
①当 时， 恒成立，
在 上单调递增.
②当 时， 恒成立， 在 上单调递减，
③当 吋， ，
在 单调递减， 单调递增.
综上所述，当 吋， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 单调递减， 单调递增.
(2)由题意可知：
在 单调递减， 单调递增
由（1）可知：
①当 时， 在 单调递增 ，则 恒成立
②当 时， 在 单调递减 ，
则应 （舍）
③当 时， ，
则应有
令 ，则 ，且
在 单调递增， 单调递减，又 恒成立，则 无解
综上， .
7．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数
(1)讨论 的单调区间；
(2)设 ，若对任意的 ，存在 ，使 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)
，
①当 时，由于 ，故 ， ，
所以 的单调递增区间为 ；
②当 时，由 ，得 ，
在区间 上 ，在区间 上 ，
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
(2)
由题目知，只需要 即可
又因为 ，所以只需要 即可即等价于 恒成立，
由变量分离可知 ， ，
令 ，下面求 的最小值，
令 ，所以 得 ，
所以 在 为减函数， 为增函数，
所以 ，所以 .
高频考点五：值域法解决双参等式问题
1．（2022·北京·高三专题练习）已知 ， ，若对 ， ，使得
，则a的取值范围是（ ）
A．[2，5] B．
C． D．
【答案】A
，
所以 在[1，2]递减，在（2，3]递增，
,
可得 的值域为 ，
对称轴为 ，在[1，3]递增，可得 的值域为 ，
若对 ， ，使得 ，
可得 的值域 为 的值域 的子集.
则 ，且 ，解得 ，
故选：A.
2．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数 ， ，若 ， ，使得
，则实数a的取值范围是______．【答案】
由 ，得 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
由 ，得 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
因为 ， ，使得 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
3．（2022·上海长宁·高一期末）已知函数 ；若存在相异的实数 ，使得
成立，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
①当 ， 时， ， ，
则 在 单调递减，不满足题意（舍）；
②当 ， 时， ，
当 时， ， 在 单调递减，且 ,；
当 时，由 ，得 ，
当 ，即 时， ，则 恒成立，
则 ，不满足题意（舍）；
当 ，即 时， ，则 在 单调递增，
在 单调递减，且对于任意 ， ，
则满足存在相异的实数 ，使得 成立，
所以 .
故答案为： .
4．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在 ， 满足 ，且 ， ，求实数a的取值范围．
【答案】(1)当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上
单调递增；(2) .
(1)
函数 的定义域为 ， ．
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上所述，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
(2)，
又 ，则 ．
令 ，即方程 在 上有解．
令 ， ，
则 ， ． ，
当 时， ， 在 上单调递减，
又 ，则 在 上恒成立，不合题意；
当 时， ，令 ，可知该方程有两个正根，
因为方程两根之积为1且 ，所以 ．
当 时， ，
当 时， ；
则 时， ，
而 ．
令 ，则 ，
令 ， ，
则 在 上单调递减， ，
则 在 上单调递减， ，即 ，
故存在 ，使得 ，故 满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是 ．
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝ x－ ，若对任意
x ∈[－1，1]，总存在x ∈[0，2]，使得f′(x )＋2ax ＝g(x )成立，求实数a的取值范围.
1 2 1 1 2【答案】[－2，0].
由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为 .
令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，
则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－ .
当x∈ 时，h′(x)<0；当x∈ 时，h′(x)>0，
所以[h(x)]min＝h ＝－a2－2a－ .
又由题意可知，h(x)的值域是 的子集，
所以
解得实数a的取值范围是[－2，0].
6．（2021·上海市复兴高级中学高三期中）已知函数 ， ， .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若对任意的 ，存在 ，使得 ，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
当 时， ，
由 ，即
当 时，不符合题意
当 时，则
当 时，则
综上所述：
(2)
由题可知： ，
所以 在 恒成立，则 且 在 恒成立，
由 ，所以
当 时， ；当 时，
所以 在 单调递减，在 单调递减
所以当 时， ；当 时，
所以 的最小值为
又 ，所以 ，
当 时， ；当 时，
所以 在 单调递减，在 单调递减
所以当 时， ；当 时，
所以函数 在 的最大值为3
所以 且 ，即
7．（2021·吉林吉林·高三阶段练习（理））已知函数 ， .
（1）求函数 的极值；
（2） ， ，使 成立，求 的取值范围.
【答案】（1）极小值为 ，极大值为 ；（2） .
解：（1）因为 ，所以 ，且定义域为 ，
令 ，解得 或 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
- + -极小值 极大值
因此，当 ， 有极小值，极小值为 ；当 ， 有极大值，极大值为 .
（2）由（1）知，在 上，函数 单调递减，所以 ，
即在 上 ，因为 ，所以 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递增，
所以，当 时， 取最小值， ，当 时， ，所以 ，
若 ， ，使得 成立，等价于 ，
即 ，所以 ，解得， ，又 ，
所以 的取值范围为 .
8．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数 ， ，若 ，
则 的值域为____ ；若对 ， ，使 成立，则c的取值范围是__________.
【答案】
解：因为 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上最大值为 ，
当 时， 且 ，
所以函数 值域为 ，
由 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以 在 上的值域为 ，
因为对 ， ，使 成立，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以c的取值范围为
故答案为： ；
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·天津·高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I） ；（II）证明见解析；（III）
（I） ，则 ，
又 ，则切线方程为 ；
（II）令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增，
当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；
（III）由（II）知 ，此时 ，
所以 ，
令 ，
若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ，
， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，故 ，
所以实数b的取值范围 .
第五部分：第 05 讲 利用导数研究不等式能成立（有
解）问题 （精练）
一、单选题
1．（2021·全国·高二单元测试）已知a ≥ ＋lnx对任意x∈[ ，e]恒成立，则a的最小值为( )
A．1 B．e-2 C． D．0
【答案】B
详解：由题可得：令 ，可得函数在 递减，在 递增，又
所以函数的最大值为e-2，故 ，选B.
2．（2021·陕西·西安市第八十三中学高二期末（理））设函数 ，其中 ，若仅
有一个整数 ，使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D试题分析： ，由题意得， 的单调性为先递减后递增，故 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
又∵ ， ，∴只需 ，
即实数 的取值范围是 ，故选D.
3．（2022·全国·高三开学考试（理））已知函数 ，若 ，
成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为 ，得 ，同时除以 得： ， 使该不等式
成立．设 ， ，当 时， ，所以 在 为减函数，所以，
由 得 ，即 ，因为 ，所以， ，即a的
取值范围是 .
故选：D.
4．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知 ，若对于 且 都有
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意，对于 且 都有 成立，
不妨设 ，可得 恒成立，
即对于 且 时，都有 恒成立，
构造函数 ，
可转化为 ，函数 为单调递增函数，
所以当 时， 恒成立，又由 ，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
又由 ，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）= ，函数g（x）=asin（ x）﹣2a+2（a
＞0），若存在x，x∈[0，1]，使得f（x）=g（x）成立，则实数a的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．[﹣ ，1] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ，2]
【答案】B
当x∈[0， ]时，y= ﹣ x，值域是[0， ]；
x∈（ ，1]时，y= ，y′= ＞0恒成立，故为增函数，值域为（ ，1]．
则x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]，
当x∈[0，1]时，g（x）=asin（ x）﹣2a+2（a＞0），为增函数，值域是[2﹣2a，2﹣ ]，
∵存在x、x∈[0，1]使得f（x）=g（x）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a，2﹣ ]≠ ，
1 2 1 2
若[0，1]∩[2﹣2a，2﹣ ]= ，则2﹣2a＞1或2﹣ ＜0，即a＜ ，或a＞ ．
∴a的取值范围是[ ， ]，
故选：B．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若 成立，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：不妨设 ，
， ，，即 ， ，
故 ，
令 ，
， ，
故 在 上是减函数，且 ，
当 时， ，当 时， ，
即当 时， 取得极大值同时也是最大值，
此时 ，即 的最大值为 ，
故选： ．
7．（2022·内蒙古师大附中高二期末（理））已知函数 ， ，若对于任意的
，存在唯一的 ，使得 ，则实数a的取值范围是（ ）
A．（e，4） B．（e ，4] C．（e ，4） D．（ ，4]
【答案】B
解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当 时， ，
由 时， ， 时， ，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的 ， ．因为 开口向下，对称轴为 轴，
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
则函数 在[ ，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在 ，
图象关于 轴对称，在（ ，2]上，函数 单调递减．由题意，得 ， ，
可得a–4≤0－1，
又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).
故答案为：
10．（2022·全国·高二）若关于 的不等式 在 有解，则实数 的取值范围是
_________________.
【答案】
依题意关于 的不等式 在 有解，
，构造函数 ，
则只需 .
，
所以 在区间 递减，在区间 递增，
所以 .
所以 的取值范围是 .
故答案为：
11．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，
，使得 成立，则实数 的取值范围是______．
【答案】
， ，使得 成立等价于在 上，
．
易得 ，当 时， ，
∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∴函数 在区间 上的最小值为 ．易知 在 上单调递增，
∴函数 在区间 上的最小值为 ，
∴ ，即实数 的取值范围是 ．
故答案为：
12．（2022·广西壮族自治区北流市高级中学高二阶段练习（理））已知函数 ，函数
，（ ），若对任意 ，总存在 ，使得 成立，则 的
取值范围是__________．
【答案】对函数f(x)求导可得： ，
令f′(x)=0解得 或 .当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示：
x 0 1
f′(x) − 0 +
f(x) 单调递减 −4 单调递增 −3
所以,当 时,f(x)是减函数;当 时,f(x)是增函数．
当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[−4,−3].
对函数g(x)求导,则g′(x)=3(x2−a2).
因为a 1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1−a2) 0，
因此当
⩾
x∈(0,1)时,g(x)为减函数，
⩽
从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)]，
又g(1)=1−2a−3a2,g(0)=−2a，
即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1−2a−3a2,−2a]，
任给x ∈[0,1],f(x )∈[−4,−3],存在x ∈[0,1]使得g(x )=f(x )，
1 1 0 0 1
则[1−2a−3a2,−2a] [−4,−3],即 ，
⊇
解①式得a 1或a − ，
⩾ ⩽
解②式得a ，
⩽
又a 1,故a的取值范围内是 .
⩾
三、解答题
13．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若关于 的不等式 有实数解，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)(1)
因为 ，所以 ，
所以 ．又 ，
所以所求切线方程为 ，即 ．
(2)
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
因为关于 的不等式 有实数解，所以 ，
故 的取值范围是 ．
14．（2022·重庆长寿·高三期末）已知函数 ， ．
(1)若 在 处与直线 相切，求出实数 、 的值以及 的单调区间；
(2)若 ，是否存在实数 ，当 时，不等式 有解？若存在，求出实数 的取值
范围，若不存在，说明理由．
【答案】(1) ， ，单调递增为 ，单调递减为
(2)存在， 的取值范围是
(1)
，依题意 ，
，得m＝－1，n＝2，
∴ ，令 ，得－2＜x＜1，
又函数的定义域是 ，
∴函数的单调递增为 ，单调递减为 ．
(2)
当n＝2时， ，令 ，得 ，又函数的定义域是 ，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
即函数 在 上单调递减，
又 ，令 ，得0＜x＜e，∴ 在 上单调递增．
当 时，不等式 有解，
等价于 ，即 ，得 ， ．
∴存在m的值符合条件，且m的范围是 ．
15．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试（理））已知函数 .
（1）设函数 ，求函数 的极值；
（2）若 在 上存在一点 ，使得 成立，求 的取值范围.
【答案】（1）当 时， 极大值为 ，无极小值；当 时， 无极值；（2）
或 .
（1）依题意 ，定义域为 ，
∴ ，
①当 ，即 时，
令 ，∵ ，∴ ，
此时， 在区间 上单调递增，
令 ，得 .
此时， 在区间 上单调递减.
②当 ，即 时， 恒成立，
在区间 上单调递减.
综上，当 时，
在 处取得极大值 ，无极小值；
当 时， 在区间 上无极值.
（2）依题意知，在 上存在一点 ，使得 成立，
即在 上存在一点 ，使得 ，故函数 在 上，有 .
由（1）可知，①当 ，
即 时， 在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ .
②当 ，或 ，
即 时， 在 上单调递减，
∴ ，∴ .
③当 ，即 时，
由（2）可知， 在 处取得极大值也是区间 上的最大值，
即 ，
∵ ，∴ 在 上恒成立，
此时不存在 使 成立.
综上可得，所求 的取值范围是 或 .
16．（2021·河北邢台·高二阶段练习）已知函数 ， ．
（1）求 的单调区间；
（2）若 ， ， ，求 的取值范围．
【答案】（1） 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；（2） .
（1） ．
在 和 上， ， 单调递增．
在 上， ， 单调递减．
综上， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
（2）由（1）可知， 在 和 上单调递增，在 上单调递减．又 ， ， ， ．
所以在 上， ．
又 ．
所以在 上， ， ，
即 ．
因为 ， ， ，
所以 解得 ．
故 的取值范围是 ．
17．（2021·重庆市万州清泉中学高二阶段练习）已知函数 ， .
（1）求函数 在区间 上的最大值和最小值；
（2）若 ， ，使得 ，求实数a的取值范围.
【答案】（1）最大值为1，最小值为 ；（2）a≥-4.
解：（1） ，
令 ，则 .
得
当 时， ，
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
因此 在区间 上的最大值为1，最小值为 . .
（2）依题意知 .
∵∴ ，∴ 在[1，2]上是减函数，
∴
因此 ，则
