文档内容
第 06 讲 对数与对数函数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：对数的运算； 高频考点二：换底公式
高频考点三：对数函数的概念； 高频考点四：对数函数的定义域
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域；②求对数型复合函数的值域
③根据对数函数的值域求参数值或范围
高频考点六：对数函数的图象
①判断对数（型）函数的图象
②根据对数（型）函数的图象判断参数
③对数（型）函数图象过定点问题
高频考点七：对数函数的单调性
①对数函数（型）函数的单调性
②由对数函数（型）函数的单调性求参数
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式
④对数（指数）综合比较大小
高频考点八：对数函数的最值
①求对数（型）函数的最值
②根据对数（型）函数的最值求参数
③对数（型）函数的最值与不等式综合应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 06 讲 对数与对数函数（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、对数的概念（1）对数：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，
其中 叫做对数的底数， 叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以 10为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的
对数 .
（3）对数式与指数式的互化： .
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数 具有以下性质：
①负数和零没有对数，即 ；
②1的对数等于0，即 ；
③底数的对数等于1，即 ；
④对数恒等式 .
（2）对数的运算性质
如果 ，那么：
① ；
② ；
③ .
（3）对数的换底公式
对数的换底公式： .
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成
什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以 为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
① ；
② ；
③ (其中 ， ， 均大于0且不等于1， ).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义形如 ( ，且 )的函数叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 ．
（2）对数函数的图象与性质
图象
定义域：
值域：
性质
过点 ，即当 时，
在 上是单调增函数 在 上是单调减函数
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知 ，则不等式 成立 ( )
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习） ( )
3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习） .( )
4．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）若 则 ( )
二、单选题
1．（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·海南·模拟预测）已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·湖南师大附中高一阶段练习）不等式 成立的一个充分不必要条件是（ ）A． B．
C． D．
4．（2022·陕西西安·高一期末）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：对数的运算
1．（2022·甘肃平凉·二模（文）） ______．
2．（2022·北京师大附中高一期末） ______________．3．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）计算 ______.
4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：
(1) ；(2) ；(3) ．
高频考点二：换底公式
1．（2022·贵州遵义·高三开学考试（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知 ， ，用 ， 表示 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东济南·二模）已知 ， ，那么 用含a、b的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·高一课时练习）计算： ________.
高频考点三：对数函数的概念
1．（2021·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数 满足①定义域为 ；②值域为 ；③ .写出一个满足上述条件的函数： ___________.
2．（2021·江苏·高一专题练习）对数函数f（x）的图象过点(3，－2），则f( )＝________.
3．（2021·江苏南通·高三期中）写出满足条件“函数 在 上单调递增，且
”的一个函数 ___________.
4．（2021·全国·高一专题练习）若函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数，则a=________.
高频考点四：对数函数的定义域
1．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）函数f（x）= 的定义域为（ ）
A．（2，+∞） B．（0，2） C．（-∞，2） D．（0， ）
2．（2022·四川·模拟预测（文））函数 的定义域为___________.
3．（2022·四川宜宾·高一期末）函数 的定义域为________.
4．（2022·上海市控江中学高一期末）函数 定义域为R，则实数k的取值范围为______.
5．（2022·上海浦东新·高一期末）函数 的定义域为_____________．
高频考点五：对数函数的值域
①求对数函数在区间上的值域
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 在 上的值域为_______________________．
2．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知函数 ．
(1)求 在区间 上的值域；3．（2022·全国·高一课时练习）求函数 的值域.
②求对数型复合函数的值域
1．（2022·贵州·毕节市第一中学高一阶段练习）函数y＝2＋log (x2＋3)(x≥1)的值域为（ ）
2
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）函数 的值域是________．
3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数 （a>0且a≠1）的图象过点 .
(1)求a的值及 的定义域；
(2)求 在 上的最小值.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .当 时，求该函数的值域；③根据对数函数的值域求参数值或范围
1．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数 的值域为 ，则实数m的值为（ ）
A．2 B．3 C．9 D．27
2．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数 在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a的值是
___________.
3．（2022·全国·高一阶段练习）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为______．
4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若函数 有最小值，则a的取值范围
为______．
5．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)若函数 的值域为R，求实数 取值范围.
高频考点六：对数函数的图象
①判断对数（型）函数的图象
1．（2022·广东汕尾·高一期末）当 时，在同一平面直角坐标系中， 与 的图象是
（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）函数 与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知 （ 且 ， 且 ），则函数 与
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
②根据对数（型）函数的图象判断参数
1．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（ ）A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ，若 有两解，则a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南师大附中高一期末）已知函数 的图象如图所示，则
满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知 ，若方程 有四个根
且 ，则 的取值范围是______.③对数（型）函数图象过定点问题
1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一开学考试）函数 的图象一定过定点
__________.
2．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)
的图象上，则f（3）＝________.
3．（2022·四川南充·高一期末）函数 的图象恒过一定点是___________．
高频考点七：对数函数的单调性
①对数函数（型）函数的单调性
1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·北京·高三专题练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北张家口·高一期末）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南新乡·高一期末）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．6．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末） 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
②由对数函数（型）函数的单调性求参数
1．（2022·陕西西安·高一期末）已知 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知函数 在[2，3]上单调递减，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南岳阳·高一期末）已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建泉州·高一期末）若函数 在 单调递增，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·重庆·高一期末）已知关于 的函数 在 上是单调递减的函数，则 的取值范
围为（ ）A． B．
C． D．
7．（2022·河南南阳·高一期末）若函数 在区间 上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
③由对数函数（型）函数的单调性解不等式
1．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 = ，则不等式 的解集是
（ ）
A．（﹣2，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（1，+∞）
3．（2022·北京房山·高一期末）设函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．4．（2022·四川绵阳·一模（理））设函数 则满足 的 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江西赣州·一模（文））设函数 则满足 的 取值范围是
A．[-1,2] B．[0,2] C．[1,+ ） D．[0,+ ）
④对数（指数）综合比较大小
1．（2022·广东中山·高一期末）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·江西·南昌十五中高二阶段练习（理））设 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点八：对数函数的最值
①求对数（型）函数的最值
1．（2021·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）已知函数 在区间 上的最大值为7，则在区间 上的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中（理））已知函数 ，则（ ）
A． 有最小值，且最小值为-2
B． 有最小值，且最小值为-1
C． 有最大值，且最大值为-2
D． 有最大值，且最大值为-1
3．（2022·上海金山·高一期末）函数 ， 的最大值为______.
4．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三阶段练习）函数 的最小值为___________.
5．（2021·全国·高一课时练习）函数 的最大值是_______．
②根据对数（型）函数的最值求参数
1．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数 的最大值与最小值的差为2，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2022·贵州·六盘水市第一中学模拟预测）若函数 有最小值，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数 若 存在最小值，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数 没有最小值，则 的取值范围是
____________.
5．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数 （ 且 ）， 在 上的
最大值为 .
(1)求 的值；
(2)当函数 在定义域内是增函数时，令 ，判断函数 的奇偶性，并证明，
并求出 的值域.
6．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数 （ ，且 ）.
(1)求函数 的定义域；
(2)是否存在实数a，使函数 在区间 上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存
在，请说明理由.
7．（2022·天津河北·高一期末）已知函数 （ ，且 ）
(1)求 的值及函数 的定义域；(2)若函数 在 上的最大值与最小值之差为3，求实数 的值．
③对数（型）函数的最值与不等式综合应用
1．（2022·湖北·武汉中学高一阶段练习）已知函数 ，若对任意的 使得
成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
2．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数 .
(1)当 时，求该函数的值域；
(2)若 ，对于 恒成立，求实数m的取值范围.
3．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数 .
(1)若 ，求a的值；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.4．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期末）设函数 ，其中 为常数.
（1）当 时，求 的定义域；
（2）若对任意 ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·湖南·高考真题）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·天津·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
3．（2021·天津·高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常
用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
第五部分：第 06 讲 对数与对数函数（精练）
一、单选题
1．（2021·江苏·高一专题练习）已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·江苏·高一专题练习） （ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏·高一专题练习）已知 ，那么 用 表示是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·高一期中）已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知 的值域为R，且 在
上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．6．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室高一期中）函数 的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
7．（2021·重庆市第七中学校高一阶段练习）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·江苏·高一专题练习）设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件：存在 ，使
在 上的值域为 ，则称 为“倍缩函数”.若函数 （其中 ）为
“倍缩函数”，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021·河南·漯河实验高中高一阶段练习） 在 上递减，则a的范围是_________．
10．（2021·江苏·高一专题练习）已知 且 ，对任意 且，不等式 恒成立，则 的取值范围是__________．
11．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数 在 上恒正，则实数 的取值范围
是__________．
12．（2021·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）对于函数 ，若在定义域内存在实数 满足
，则称函数 为“ 函数”.设 为其定义域上的“ 函
数”，则实数 的取值范围是___________.
三、解答题
13．（2021·江苏·高一专题练习）计算求值
(1) ；
(2) ；
(3)已知 ，求 的值．
14．（2021·河北省博野中学高三阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的定义域．
(2)若函数 的值域为R，求实数m的取值范围．(3)若函数 在区间 上是增函数，求实数m的取值范围．
15．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数
(1)求 的定义域并判断 的奇偶性；
(2)求函数 的值域；
(3)若关于 的方程 有实根，求实数 的取值范围
16．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数 ．
(1)判断函数 的奇偶性，并证明；
(2)对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
