文档内容
第3讲 基本不等式
最新考纲 考向预测
本讲是高考的热点，主要考查
命题
利用基本不等式求最值、证明
1.探索并了解基本不等式的证明过程.
趋势
不等式、求参数的取值范围等，
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)
常与函数结合命题，难度中等.
值问题.
核心
数学运算、逻辑推理
素养
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y有最小值是2．(简记：积定
和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy有最大值是．(简记：和定积
最大)
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
常见误区
1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条
件，就会出错；
2．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(2)ab≤成立的条件是ab>0.( )
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．(易错题)若x<0，则x＋( )
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
解析：选D.因为x<0，所以－x>0，－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，
所以x＋≤－2.
3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝ ( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
解析：选C.当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝
(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
4．设0－1)，当x＝a时，y取得最小
值b，则2a＋3b＝( )
A．9 B．7
C．5 D．3
(2)已知0－1，所以x＋1>0，
所以y＝x－4＋＝x＋1＋－5≥
2－5＝1，
当且仅当x＋1＝，
即x＝2时取等号，
所以y取得最小值b＝1，此时x＝a＝2，
所以2a＋3b＝7.
(2)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，
当且仅当3x＝4－3x，
即x＝时，取等号．
【答案】 (1)B (1)
通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求
解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，
做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
技法二 常数代换法求最值
已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
【解析】 ＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．
【答案】 9
【引申探究】
1．(变问法)若本例中的条件不变，则＋的最小值为________．
解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号
成立．
答案：4
2．(变条件)若本例条件变为：已知 a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为
________．
解析：由4a＋b＝4得a＋＝1，
＝
＝
＝＋＋＋≥＋2＝＋.当且仅当4a＝b时取等号．
答案：＋
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
技法三 消元法求最值(2020·高考江苏卷)已知 5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是
__________．
【解析】 方法一：由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，
即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是.
方法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2，则x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2 ＝4y2＝
2，即x2＝，y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是，
【答案】
消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数
的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但
应注意保留元的范围．
1．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为( )
A．－9 B．9
C．10 D．0
解析：选B.＝5＋＋x2y2≥5＋2＝9，
当且仅当xy＝±时，上式取得等号，可得最小值为9.
2．(2021·湖北八校第一次联考)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为(
)
A．12 B．16
C．20 D．24
解析：选B.由题意知x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9≥1＋2＋9＝16，当且仅当，即时
取等号，故选B.
3．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的
最大值为( )
A．0 B．
C．2 D．
解析：选C.z＝x2＋4y2－3xy≥2(x·2y)－3xy＝xy，当且仅当x＝2y时等号成立，此时取得最小值，于是x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝2y(2－y)≤2·＝2，当且仅当y＝1
时等号成立，综上可得，当x＝2，y＝1，z＝2时，x＋2y－z取得最大值2.
利用基本不等式解决实际问题
经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y(L)与速度
x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
当该型号汽车的速度为________km/h时，每小时耗油量最少，最少为每小时
________L.
【解析】 当x∈[50，80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.
当x∈[80，120]时，函数y＝12－单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.
因为9<10，所以当x＝65，
即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少，最少为每小时
9 L.
【答案】 65 9
应用基本不等式解决实际问题的基本步骤
(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最
值问题；
(2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；
(3)还原为实际问题，写出答案．
某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩
形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，
其中a∶b＝1∶2，则S的最大值为________．解析：由题意可得xy＝1 800，b＝2a，x>3，y>3，
则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a
＝(3x－8)＝1 808－3x－y
＝1 808－3x－×
＝1 808－≤1 808－2
＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最
大值，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1 568.
答案：1 568
思想方法系列2 应用基本不等式的常见技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定
积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需
要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
技巧一 加上一个数或减去一个数使和或积为定值
函数f(x)＝＋x(x<3)的最大值是( )
A．－4 B．1 C．5 D．－1
[思路点拨] 由于已知条件x＜3，x－3＜0，先将f(x)转化为f(x)＝－＋3，再用
基本不等式求最值．
【解析】 因为x<3，所以3－x>0，所以f(x)＝－＋3≤－2＋3＝－1.当且仅当＝
3－x，即x＝1时等号成立，所以f(x)的最大值是－1.
【答案】 D
技巧二 平方后再使用基本不等式
一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．
若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．
[思路点拨] 由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是
一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值．
【解】 (x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·＝3×.当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为.
技巧三 展开后求最值
对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．
已知a>0，b>0且a＋b＝2，求的最小值．
[思路点拨] 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小
值转化为和的最小值．
【解】 由题得＝＋＋＋1＝＋＋1＝＋1，
因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以2≥2，所以ab≤1，所以≥1.所以≥4(当且仅当a
＝b＝1时取等号)，所以的最小值是4.
技巧四 形如型函数变形后使用基本不等式
若y＝中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．
求函数y＝(x≠－1)的值域．
[思路点拨] 将(x＋5)(x＋2)用(x＋1)来表示再变形为f(x)＝Ax＋＋C的形式，
然后运用基本不等式求解．
【解】 因为y＝＝
＝＝x＋1＋＋5，
当x＋1>0时，即x>－1时，y≥2＋5＝9(当且仅当x＝1时取等号)；
当x＋1<0，即x<－1时，y≤5－2＝1(当且仅当x＝－3时取等号)．
所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．
技巧五 用“1”的代换法求最值
若a，b为常数，且00，1－x>0.又1＝x＋(1－x)，因
此可考虑利用“1”的代换法．
【解】 因为00.
所以＋＝(x＋1－x)＝·[x＋(1－x)]＋·[x＋(1－x)]
＝a2＋＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
当且仅当＝时，等号成立．
所以＋≥(a＋b)2.
故函数f(x)的最小值为(a＋b)2.技巧六 代换减元求最值
(2021·天津模拟)已知a>0，b>0，c>0，若点P(a，b) 在直线x＋y＋c＝2
上，则＋的最小值为________．
[思路点拨] 本题由已知条件求出a，b，c的关系，再利用均值不等式求最值．
【解析】 因为P(a，b)在x＋y＋c＝2上，
所以a＋b＋c＝2，a＋b＝2－c>0，
＋＝＋＝＋－1，
设则m＋n＝2，
＋＝＋＝×
＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当m2＝2n2，即c＝2－2时，等号成立，
所以＋－1≥3＋2－1＝2＋2，
即＋的最小值为2＋2.
【答案】 2＋2
[A级 基础练]
1．函数f(x)＝的最小值为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：选B.f(x)＝＝|x|＋≥2＝4，
当且仅当x＝±2时，等号成立，故选B.
2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是( )
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1
解析：选C.因为x>0，y>0，
所以x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号．
故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件．故选C.
3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )A. B．2
C．2 D．4
解析：选C.因为＋＝，所以a＞0，b＞0，
由＝＋≥2＝2，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2.
4．(多选)(2021·山东临沂蒙阴实验中学期末)给出下面四个推断，其中正确的
为( )
A．若a，b∈(0，＋∞)，则＋≥2
B．若x，y∈(0，＋∞)，则lg x＋lg y≥2
C．若a∈R，a≠0，则＋a≥4
D．若x，y∈R，xy<0，则＋≤－2
解析：选AD.对于A项，因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a
＝b时取等号，故A项正确；对于B项，当x，y∈(0，1)时，lg x，lg y∈(－∞，0)，此
时lg x＋lg y≥2显然不成立，故B项错误；对于C项，当a<0时，＋a≥4显然不成
立，故C项错误；对于D项，若x，y∈R，xy<0，则－>0，－>0，所以＋＝－≤－2＝
－2，当且仅当－＝－，即x＝－y时取等号，故D项正确．故选AD.
5．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log a＋log b≥－2 D.＋≤
2 2
解析：选ABD.对于选项A，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝
(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，正确；对于选项B，易知02－1＝，正确；对于选项C，令a＝，b＝，则log ＋log ＝－2＋log <－
2 2 2
2，错误；对于选项D，因为＝，所以[]2－(＋)2＝a＋b－2＝(－)2≥0，所以＋≤，正确．
故选ABD.
6．(2021·郑州市第一次质量预测)已知a>0，b>0，2a＋b＝4，则的最小值为
________．
解析：因为2a＋b＝4，a>0，b>0，所以＝≥＝＝，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取“＝”，所以的最小值为.
答案：
7．函数y＝(x>1)的最小值为________．
解析：因为x>1，所以x－1>0，
所以y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
答案：2＋2
8 ． 若 a>0 ， b>0 ， 且 a ＋ 2b － 4 ＝ 0 ， 则 ab 的 最 大 值 为
______________________________________________________________________
__，
＋的最小值为________．
解析：因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×＝
2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2，因为＋＝·＝
(5＋＋)≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为.
答案：2
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设00，
所以＋≥2＝4，
当且仅当＝，
即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，
故函数的最大值为－.
(2)因为00，
所以y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，
即x＝1时取等号，所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝.
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
[B级 综合练]
11．若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析：选C.由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋
＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a
＋b的最小值为4，故选C.
12．已知点A(1，2)在直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)上，若存在满足该条件的a，
b，使得不等式＋≤m2＋8m成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1]∪[9，＋∞) B．(－∞，－9]∪[1，＋∞)
C．[－1，9] D．[－9，1]
解析：选B.点A(1，2)在直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)上，可得a＋2b＝1，＋＝
(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当a＝b＝时取得等号，即＋的最小值为9，则9≤m2＋8m，解得m≥1或m≤－9.
13．设a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
解：(1)由2＝＋≥2得ab≥，当且仅当a＝b＝时取等号，故a2＋b2≥2ab≥1，当
且仅当a＝b＝时取等号，所以a2＋b2的最小值是1.
(2)由(a－b)2≥4(ab)3得≥4ab，得－≥4ab，从而ab＋≤2，又ab＋≥2，所以ab
＋＝2，所以ab＝1.
14．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该
厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促
销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入
为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格
定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家获取利润最大，最大利润
是多少？
解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，
所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
所以2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，y ＝21(万元)．
max
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
[C级 创新练]
15．已知P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和
△PBC的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是( )
A. B.
C. D．3解析：选D.因为x＋y＋z＝1，00，b>0)
B.<(a>0，b>0，a≠b)
C.≤(a>0，b>0)
D.<<(a>0，b>0，a≠b)
解析：选D.由|AC|＝a，|BC|＝b，且a≠b，可得半圆O的半径|DO|＝，易得|DC|
＝＝，|DE|＝＝.因为|DE|<|DC|<|DO|，所以<<(a>0，b>0，a≠b)．故选D.
