文档内容
第 02 讲 导数与函数的单调性(精讲
+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
高频考点二：已知函数 在区间 上单调
高频考点三：已知函数 在区间 上存在单调区间
高频考点四：已知函数 在区间 上不单调
高频考点五：函数单调性的应用
①导函数与原函数图象的单调性
②比较大小
③构造函数解不等式
高频考点六：含参问题讨论单调性
①导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
②导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式
分解型
③导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因
式分解型
第四部分：高考真题感悟
第五部分： 第 02 讲 导数与函数的单调性（精练）第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
条件 恒有 结论
在 内单调递增
函数 在区
在 内单调递减
间 上可导
在 内是常数函数
2、求已知函数（不含参）的单调区间
①求 的定义域
②求
③令 ，解不等式，求单调增区间
④令 ，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令 （或 ）不跟等号.
3、由函数 的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数 在区间 上单调
①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立.
②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数 在区间 上存在单调区间
①已知 在区间 上存在单调增区间 令 ，解不等式，求单调增区间 ，
则
②已知 在区间 上存在单调减区间 令 ，解不等式，求单调减区间 ，
则
（3）已知函数 在区间 上不单调 ，使得
4、含参问题讨论单调性
第一步：求 的定义域
第二步：求 （导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为
对于 进行求导得到 ，对 初步处理（如通分），提出 的恒正
部分，将该部分省略，留下的部分则为 的有效部分（如： ，
则记 为 的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有
该部分决定 的正负.
第四步：确定导函数有效部分 的类型：
① 为一次型（或可化为一次型）② 为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论 的单调性
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·全国·高二课前预习）函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单
调递减.( )
【答案】错误
2．（2021·全国·高二课前预习）函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( )
【答案】错误
3．（2021·全国·高二课前预习）函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞).( )
【答案】正确
二、单选题
1．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）函数 的图象如图所示，则
（ ）
A． B．
C． D． 的符号不确定
【答案】B如图所示， 在 上单调递减，
所以
故选：B
2．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）函数 的单调递减区间是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：函数的定义域是 ， ，
令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递减．
故选：D．
3．（2022·江西南昌·高二期末（理））若函数 ，则 的单调增区间
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为函数 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 的单调增区间为 ，
故选：C.
4．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）“函数 在 上是增函数”是：
“实数 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B在 上恒成立，可得 ， ，
所以“函数 在 上是增函数”是：“实数 ”的必要不充分条件.
故选：B.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
1．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）函数 的单调减区
间是（ ）
A．（－∞， ] B．（0， ） C． 和（0， ） D．
【答案】B
函数定义域是 ，
，
由 可得 ．即减区间是 ．
故选：B．
2．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）函数 的减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
∵ ，
∴ ，
由 得， ，
∴函数的减区间是 .
故选：C.
3．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数 的递增区间为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
，
当 时， ， ，则 ；
当 时， ， ，则 ；
在 上的单调递增区间为 .
故选：D.
4．（2022·全国·高二课时练习）函数 的减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意， ，
令 ，得 ，则 ，故 的减区间是 .
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）函数 的递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
函数 的定义域为 ，且 ，
由 得 ，解得 ，所以 的递增区间为 .
故选：A.
高频考点二：已知函数 在区间 上单调
1．（2022·黑龙江·铁人中学高二开学考试）已知函数 ， ，若在 单调递增，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为 在 单调递增，
故 在区间 恒成立，
即 ，令
则 ，故 在 单调递增，
则 ，故 ， 的取值范围为 .
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，
则b＋c＝（ ）
A．－12 B．－10 C．8 D．10
【答案】A
＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1f(0)，e2 021f(2 021)f(0)，e2 021f(2 021)>f(0) D．e－2 021f(－2 021)f(0)
【答案】D
构造函数 ，
所以 在 上递增，
所以 ，
即 .
故选：D
高频考点六：含参问题讨论单调性
①导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
【答案】（1）答案见解析；（2） .
（1） 且 ，
∴当 时， ， 递增；
当 时：若 时， ， 递减；当 时， ， 递增；
∴ 时， 在 上递增； 时， 在 上递减，在 上递增；
2．（2022·全国·高三专题练习（理））设a为实数，函数f(x)＝ －2x＋2a，x∈R．
(1)求f(x)的单调区间与极值；
【答案】(1)f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，极小值f(ln2)＝
2－2ln2＋2a，无极大值；
(1)
由f(x)＝ －2x＋2a(x∈R)知 ＝ －2．令 ＝0，得x＝ln2．
当x＜ln2时， ＜0，故函数f(x)在区间(－∞，ln2)上单调递减；
当x＞ln2时， ＞0，故函数f(x)在区间(ln2，＋∞)上单调递增．
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)极小值为f(ln2)＝ －2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a，无极大值；
2．（2022·全国·高二）已知函数 ，讨论 的单调性．
【答案】答案见解析
解： ，
，
当 时， ，函数 在 上单调递增
当 时，当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减．
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 .讨论 的单调性.
解：因为 ，所以定义域为 ，所以 .
当 时， 恒成立， 在 上单调递减；
当 时，由 ，得 ；由 ，得 .
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
②导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式
分解型
1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；(1)
因为 ，故可得 ，
令 ，可得 或 ；
当 时， ，此时 在 上单调递增；
当 时，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调
递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调
递减；
当 时， ， 单调递增.
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 和 单调递增，在 单调递减.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性.
【答案】当 在 上单调递增；
当 在 上单调递增，在 上单调递减.
的定义域为 ， .
当 ，则x∈ 时， ，故 在 单调递增.
当a＜0，则x∈ 时， ；x∈ 时，
故 在 单调递增，在 单调递减.
综上所述, 当 在 上单调递增；
当 在 上单调递增，在 上单调递减.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间.【答案】（1） ；（2）答案见解析.
（1）因为 ，所以 ，所以 ，
，所以所求切线方程为 .
（2） ，而a>0，令 得
，
当 时，由 得 或 ，由 得 ，
所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， ，所以 的单调增区间为 ，无单调减区间；
当 时，由 得 或 ，由 得 ，
所以 的单调增区间为 和 ，单调递减区间为 .
4．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的值域；
(2)若 ，讨论 的单调性.
【答案】(1) ；
(1)
a＝1，则 ，
，
∴ 在 单调递增，∴f(x)在 单调递增，
∴ ，
即f(x)在[1，2]上值域为 ；(2)
，
， ，
且 ，
①当 时， ，
或 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减；
②当 时， ，
或 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减；
③当 时， ，
时， ， 单调递减，
， ， 单调递增；
综上，当 时，f(x)在 单调递减，在 单调递增；
当 时，f(x)在 ， 单调递增，在 单调递减；
当 时，f(x)在 ， 单调递增，在 单调递减.
5．（2022·广西柳州·三模（理））若 .
(1)当 ， 时，讨论函数 的单调性；
(2)若 ，且 有两个极值点 ， ，证明： .
(1)
因为
当 ， 时， ，
令 ，解得 或2，
当 时，若 或 时 ，若 时 ，
即 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，当 时， ，故 在 上单调递增，
当 时，若 或 时 ，若 时 ，
即 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
(2)
当 时， ，
由函数有两个极值点，即 有两个正根 ， ，则 且
，解得 ，
由题意得：
，
令 ， ，则 ，即 在 上单调递减，
所以 ，即 .
6．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(1)由已知得函数 的定义域为R，
则
由于 ，从而当 时， 恒成立，故函数 在R上单调递增，
当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 ，
从而函数 在 上单调递增，在 上单调递减
综上：当 时，函数 在R上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
③导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因
式分解型
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）讨论函数的单调性；
【答案】（1）答案见解析；（2） .解：（1）由已知定义域为 ，
当 ，即 时， 恒成立，则 在 上单调递增；
当 ，即 时， （舍）或 ，所以 在 上单调递
减，在 上单调递增.
所以 时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）可知，当 时， 在 上单调递增，若 对任意的
恒成立，只需 ，而 恒成立，所以 成立；
当 时，若 ，即 ，则 在 上单调递增，又 ，所以
成立；
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，所以
， ，不满足 对任意的 恒成立.
所以综上所述： .
2．（2022·全国·高二课时练习）设函数 讨论 的单调性.
解： 定义域为 ， ，
令 ，
①当 时， ， ，故 在 上单调递增，
②当 时， ， 的两根都小于零，在 上， ，
故 在 上单调递增，
③当 时， ， 的两根为 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
故 分别在 上单调递增，在 上单调递减.
综上可得：①当 时， 在 上单调递增；②当 时， 在
上单调递增；③当 时， 分别在 上单调递增，在上单调递减.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若函数 的一个极值点为 ，求函数 的极值
(2)讨论 的单调性.
【答案】（1） 的极小值为 ，没有极大值（2）见解析
（1）∵ ，
∴ ，
∵ 是函数 的一个极值点，
∴ ，解得 ．
∴ ，
∴当 时， ；当 时， ．
∴ 的单调减区间为 ，单调增区间为 ，
∴ 的极小值为 ，没有极大值．
（2）由题意得 ，
①当 时， 对 恒成立，所以 在 上单调递减．
②当 时，由 ，即 ，得 ，
显然 ，且当 时， 单调递减；当 时， ，
单调递增．
综上可得，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 ．（1）讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
(1)由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
2．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1） ；（2）函数 的增区间为 、 ，单调递减区间
为 ，最大值为 ，最小值为 .
（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
【答案】(1) 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，
单调增区间为 ；
【详解】
(1) ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
综上可得， 时， 在 上单调递增；
时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 .
4．（2021·全国·高考真题（文））设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；
（1）函数的定义域为 ，
又 ，因为 ，故 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的减区间为 ，增区间为 .
5．（2021·全国·高考真题（理））已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
【答案】（1） 上单调递增； 上单调递减；
（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
6．（2021·全国·高考真题（文））已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
(1)由函数的解析式可得： ，
导函数的判别式 ，
当 时， 在R上单调递增，
当 时， 的解为： ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
综上可得：当 时， 在R上单调递增，当 时， 在 ， 上
单调递增，在 上单调递减.
7．（2021·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
【答案】（1） 的递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析.
(1) 的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
第五部分：第 02 讲 导数与函数的单调性（精练）
一、单选题
1．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）函数 的定义域为 ，其导函数
在 内的图象如图所示，则函数 在区间 内极小值点的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由 图像可知， 在 内从左向右的单调性依次为增 减 增 减，
根据极值点的定义可知在 内只有一个极小值点为 .
故选：A.
2．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）函数 是减函数的区间为
（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
，令 ，则 ，
故函数的减区间为 ，
故选：B.
3．（2022·江西·赣州市第一中学高二阶段练习（文））设函数 的导函数为 ，若
对任意 都有 成立，则（ ）
A． B．
C． D． 与 的大小关系不能确
定
【答案】C
解：令 ，则
对任意 都有 成立
，即 在 上单调递增
又
，即
故选：C
4．（2022·北京交通大学附属中学高二阶段练习）若函数 在 上单
调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，由题意 恒成立，故
解得
故选：A
5．（2022·湖北省罗田县第一中学高二阶段练习）函数 的导函数为 ，对 ，
都有 成立，若 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B∵ ，都有 成立，∴ ，
令 ，则于是有 ，
所以 在 上单调递增，
∵ ，∴ ，
∵不等式 ，
∴ ，即不等式 的解集是 .
故选：B．
6．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））函数 在 上可导且满足
，则下列一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
令 ，则 ，根据题意，当 时， ，
即 ，故 在 单调递增，则 ，即 .
故选：A.
7．（2022·贵州师大附中高二阶段练习（理））若对任意的 ，且
，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为 ，故可得 ，
即 ， ，
令 ，则上式等价于 ，又 ，根据题意， 在 单调递减；
又 ，令 ，解得 ，即 的单调减区间为 ，
要满足题意，只需 ，即 的最小值为 .
故选：B.
8．（2022·新疆石河子一中模拟预测（理）） ， ， ，则a，b，c的大
小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由 ， ， ，若 ，则 ，
令 且 ，则 ， ， ，
所以 ，若 得： ，
在 上 ， 递增； 上 ， 递减；
所以 ，即 中 最大，而 ，即
，
综上， ，又 在定义域上递增，故 .
故选：A
二、填空题
9．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数 在定义域 内
可导，其图象如下图，记 的导函数为 ，则不等式 的解集为
______________.
【答案】
由函数图象可得，在定义域 内函数的单调递减区间为 ，故不等式 的解集为： ，
故答案为：
10．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高二阶段练习）函数 在
整个实数范围内单调递增，则 的最大值是________.
【答案】6
由 ，得 ，
因为函数 在整个实数范围内单调递增，
所以 在 上恒成立，
所以 ，得 ，
解得 ，
所以 的最大值是6，
故答案为：6
11．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））若函数 在
区间 上单调递减，则实数 的取值范围是____________.
【答案】
显然 ，且 ，由 ，以及考虑定义域x>0，解得: .
在区间 ， 上单调递减，∴ ，解得: .
故答案为：
12．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数 ，若存在实数 ，
使得 ，则 的取值范围是______.
【答案】
由 ，得 ，
据题意， 有两个不同零点，则直线 与函数 的图象有两个不同交点，由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 ，
当 时， ，
由图可知， 的取值范围是 .
故答案为：
三、解答题
13．（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
【答案】(1)增区间为 ， ，减区间为 ；
(1)
依题意： ，
故当 时， ，当 时， ，当 时， ，
∴ 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ；
14．（2022·全国·高二课时练习）已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；
(2)讨论f（x）的单调性.
【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析
(1)
若a＝1，则f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0， ，令f′（x）＝0，可得x＝1，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝1处取得极小值，也
是最小值，最小值为f（1）＝1，故f（x）≥1.
(2)
f（x）＝ax3﹣3lnx，x＞0， （x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，令f′（x）＞0，得x ，令f′（x）＜0，得0＜x ，
所以f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增.
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增.
15．（2022·湖南·高二课时练习）若函数 在区间 上为增函数，
求a的取值范围．
【答案】
对于函数 ，
.
因为函数 在区间 上为增函数，
所以 在区间 上恒成立.
而 时， ，所以只需 .
a的取值范围为 .
16．（2022·贵州贵阳·高二期末（文））已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，设 ，求函数 的单调区间.
【答案】(1) ；
(2)增区间为 ，减区间为 .(1)
当 时， ，
则 ，
又 ，
设所求切线 的斜率为 ，则 ，
则切线 的方程为： ，
化简即得切线 的方程为： .
(2)
，其定义域为 ，
，
∵ ，∴ax＋1＞0，
∴当 时， ；
当 时， .
的增区间为 ，减区间为 .
