文档内容
第 05 讲 利用导数研究不等式能成立（有
解）问题 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离变量法
高频考点二：分类讨论法
高频考点三：等价转化法
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
高频考点五：值域法解决双参等式问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 05 讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题 （精
练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化： ，使得 能成立 ；
，使得 能成立 ．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法( ， 或 ， )求解．
3、等价转化法
当遇到 型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数 ，进而只需满足 ，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1） , ,使得 成立
（2） , ,使得 成立
（3） , ,使得 成立
（4） , ,使得 成立
5、值域法解决双参等式问题
, ,使得 成立
① ，求出 的值域，记为
② 求出 的值域，记为
③则 ,求出参数取值范围.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二）已知函数 ， ，若至少存在一个 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二）若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高二课时练习）已知函数 ，若在定义域内存在 ，使得不等式
成立，则实数m的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．（2021·广东·高三专题练习）已知函数 ，实数 ， 满足 ，
若 ， ，使得 成立，则 的最大值为
A．4 B．
C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：分离变量法
1．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练习）已知函数 在区间 上存在单调增
区间，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南焦作·二模（文））已知 使得不等式 成立，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极小值.
(2)存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．4．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.
5．（2022·江苏省天一中学高二期末）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间与极值；
(2)若 在 上有解，求实数a的取值范围.
6．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）己知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)存在 ，使得 成立，求整数 的最小值.
高频考点二：分类讨论法
1．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；(2)若存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围.
2．（2022·安徽马鞍山·一模（文））已知函数 （ 为自然对数的底数）．
(1)若 时，求 的单调区间；
(2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，其中 ，
为自然对数的底数.
(1)判断函数 的单调性；
(2)若不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）若函数在 时取极值，求 的单调区间；
（2）若当 时 ，求实数 的取值范围.
5．（2022·福建福州·高二期末）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点（0，f（0））处的切线方程；(2)若存在 ，使得不等式 成立，求m的取值范围．
高频考点三：等价转化法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，若 ，使得
成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）当 时，已知 ， ，若存在唯一的整数 ，
使得 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏南通·高二期末）设函数 ， ，若存在 ， 成立，则实
数 的取值范围为__________.
4．（2022·河北·固安县第一中学高二阶段练习）已知函数 （ ）．
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）设函数 ，若至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
（1）若函数 与 有公共点，求 的取值范围；（2）若不等式 恒成立，求整数 的最小值.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，
.
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）当 时，若在 上存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知 ， ，若存在 ，
，使得 成立，则实数a的取值范围是_________．
2．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数 ， ，若对任意
都存在 使 成立，则实数 的取值范围是______
3．（2022·全国·高三专题练习）已知两函数 ， ， 若对 ，
， ， ，恒有 成立，求 的取值范围.4．（2022·上海·高三专题练习）已知两函数 ， ，其中 为实数.
（1）对任意 ，都有 成立，求 的取值范围；
（2）存在 ，使 成立，求 的取值范围；
（3）对任意 ，都有 ，求 的取值范围.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 ．
（1）求证：在区间 上，函数 的图象恒在函数 的图象的下方;
（2）若存在 ， ，使 成立，求满足上述条件的最大整数m．
6．（2022·重庆南开中学高二期末）设函数 .
(1)讨论函数 在区间 上的单调性；
(2)函数 ，若对任意的 ，总存在 使得 ，求实数 的取值范围.
7．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知函数
(1)讨论 的单调区间；
(2)设 ，若对任意的 ，存在 ，使 成立，求实数 的取值范围.高频考点五：值域法解决双参等式问题
1．（2022·北京·高三专题练习）已知 ， ，若对 ， ，使得
，则a的取值范围是（ ）
A．[2，5] B．
C． D．
2．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数 ， ，若 ， ，使得
，则实数a的取值范围是______．
3．（2022·上海长宁·高一期末）已知函数 ；若存在相异的实数 ，使得
成立，则实数 的取值范围是__________.
4．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在 ， 满足 ，且 ， ，求实数a的取值范围．
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝ x－ ，若对任意
x ∈[－1，1]，总存在x ∈[0，2]，使得f′(x )＋2ax ＝g(x )成立，求实数a的取值范围.
1 2 1 1 26．（2021·上海市复兴高级中学高三期中）已知函数 ， ， .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若对任意的 ，存在 ，使得 ，求实数m的取值范围.
7．（2021·吉林吉林·高三阶段练习（理））已知函数 ， .
（1）求函数 的极值；
（2） ， ，使 成立，求 的取值范围.
8．（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）已知函数 ， ，若 ，
则 的值域为____ ；若对 ， ，使 成立，则c的取值范围是__________.第四部分：高考真题感悟
1．（2021·天津·高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
.
第五部分：第 05 讲 利用导数研究不等式能成立（有
解）问题 （精练）
一、单选题
1．（2021·全国·高二单元测试）已知a ≥ ＋lnx对任意x∈[ ，e]恒成立，则a的最小值为( )
A．1 B．e-2 C． D．0
2．（2021·陕西·西安市第八十三中学高二期末（理））设函数 ，其中 ，若仅
有一个整数 ，使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三开学考试（理））已知函数 ，若 ，
成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．4．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知 ，若对于 且 都有
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）= ，函数g（x）=asin（ x）﹣2a+2（a
＞0），若存在x，x∈[0，1]，使得f（x）=g（x）成立，则实数a的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．[﹣ ，1] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ，2]
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若 成立，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·内蒙古师大附中高二期末（理））已知函数 ， ，若对于任意的
，存在唯一的 ，使得 ，则实数a的取值范围是（ ）
A．（e，4） B．（e ，4] C．（e ，4） D．（ ，4]
8．（2022·安徽安庆·二模（理））若存在两个正实数 使得等式 成立，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数h(x)＝ln x－ ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在单调递减区间”，
则实数a的取值范围为________.
10．（2022·全国·高二）若关于 的不等式 在 有解，则实数 的取值范围是
_________________.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，
，使得 成立，则实数 的取值范围是______．
12．（2022·广西壮族自治区北流市高级中学高二阶段练习（理））已知函数 ，函数，（ ），若对任意 ，总存在 ，使得 成立，则 的
取值范围是__________．
三、解答题
13．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若关于 的不等式 有实数解，求 的取值范围．
14．（2022·重庆长寿·高三期末）已知函数 ， ．
(1)若 在 处与直线 相切，求出实数 、 的值以及 的单调区间；
(2)若 ，是否存在实数 ，当 时，不等式 有解？若存在，求出实数 的取值
范围，若不存在，说明理由．
15．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试（理））已知函数 .
（1）设函数 ，求函数 的极值；
（2）若 在 上存在一点 ，使得 成立，求 的取值范围.16．（2021·河北邢台·高二阶段练习）已知函数 ， ．
（1）求 的单调区间；
（2）若 ， ， ，求 的取值范围．
17．（2021·重庆市万州清泉中学高二阶段练习）已知函数 ， .
（1）求函数 在区间 上的最大值和最小值；
（2）若 ， ，使得 ，求实数a的取值范围.
