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微专题：利用基本不等式解决实际问题
【考点梳理】
1. 基本不等式
如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 该式叫基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平
均数，叫做正数 a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2. 几个重要不等式
重要不等式 使用前提 等号成立条件
a2＋b2≥ 2 ab a，b∈R a＝b
＋≥2 ab >0 a＝b
＋≤ － 2 ab<0 a ＝－ b
ab≤ a，b∈R a＝b
≤ a，b∈R a＝b
【题型归纳】
题型一：利用基本不等式解决实际问题
1．如图，公园里有一块边长为4的等边三角形草坪（记为 ），图中 把草坪分成面积相等的两部分，
在 上， 在 上，如果要沿 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（ ）
A． B． C．3 D．
2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，
y>0，则 ，当且仅当 时等号成立．根据权方和不等式，函数 的最
小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
3．迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市
商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中 ， ，曲
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司线段 是圆心角为 的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为 ，周长为 ，则 的最大值为（ ）．（本题
中取 进行计算）
A．6 B． C．3 D．9
【双基达标】
4．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的
关系式.设年产量为x（ ， ）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为 万元；
若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为 万元.每台设备售价为100
万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式；
(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？
5．已知 ， .
(1)求 的最大值；
(2)求证： .
6．如图，圆内接四边形 中， ， ， .
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求 ；
(2)求 面积的最大值.
7．在 中，角 的对边分别为 的面积为1.
(1)若 ，边 上的高分别为 ，求 ；
(2)当 取最小值时，求 的周长.
8．某旅游公司在相距为 的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为 ，游船每小
时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为 时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小
时240元，且单程的收入为6000元．
（1）当游船以 航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润 收入 成本）
（2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？
9．自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频
和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动.某厂家
往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为24
万元.为响应当地政府防疫政策，决定采用线上（直播促销）线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为
期4年的合作协议，直播费用（单位：万元）只与4年的总直播时长x（单位：小时）成正比，比例系数为0.12.已
知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C（单位：万元）与总直播时长x（单位：小时）之间的关系为
（ ，k为常数）.记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y（单位：万元）.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值.
10．已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是R.
（1）若 ， ，求扇形的弧长l及面积S；
（2）若扇形的周长是一定值C（ ），当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；
（3）若扇形的面积是一定值S（ ），当 为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.
【高分突破】
11．2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形 中， 米，
米，图中 区域为诊断区（ 、 分别在 和 边上）， 、 及 区域为治
疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求 的大小为 .
(1)若按照 米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？
(2)按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建
方案使得治疗区面积 最大，并求出最大值.
12．函数 图像过点 ，且相邻对称轴间的距离为 ．
(1)求 的值；
(2)已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ，且 ，求 面积的最大值．
13．（1）用篱笆围一个面积为 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度
是多少？
（2）用一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
14．某工厂需要建一个面积为 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆
料场的长和宽分别为多少？
15．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.
为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期
间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供 (万元)
的专项补贴.A企业在收到政府x(万元)补贴后，产量将增加到 (万件).同时A企业生产t(万件)产品需要投入
成本为 (万元)，并以每件 元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补
贴-成本
（1）求 企业春节期间加班追产所获收益 (万元)关于政府补贴 (万元)的函数关系式；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？
16．某地政府指导本地建扶贫车间､搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知
扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产 ( )万件，该产品需另投入流动成本 万元.在年产量
不足6万件时， ；在年产量不小于6万件时， .每件产品的售价为6元.由于该扶货车间
利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完.
（1）写出年利润 (万元)关于年产量 (万件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润.
17．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：
某珍稀水果树的单株产量 （单位：千克）与施用肥料 （单位：千克）满足如下关系：
，肥料成本投入为 元，其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费） 元.已知
这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为 （单位：元）.
(1)求 的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
18．设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
19．如图，设矩形 的周长为8 ，将△ 沿AC向△ 折叠，AB折过去后交DC于点P，
设 ，求 面积的最大值及相应x的值.
20．某开发商用 万元购得一块土地，计划在此地块建造单层面积是 平方米的楼房一座，由于受规划限制，
楼房高度限制在 层到 层中间，经测算如果所建楼房超过 层，则每平方米的平均建筑费用为 （单位：
元）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)试写出楼房每平方米平均综合费用 关于建造层数 的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层，才能使楼房每平方米的平均综合费用最少？若开发商能承受的综合建造费用为每平方米
元，则该楼房可以盖多少层？
（注平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用，平均购地费用 ）
21．某工厂拟建一座底为矩形且面积为 的三级污水处理池（平面图如图所示），如果池四周的围墙建造单
价为每米400元，中间两道隔墙单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元.请你设计：污水处理池的长和
宽为多少米时，总造价最低，并求出总造价.
22．（1）已知正数 满足 ，求 的最小值；
（2）已知 ，求函数 的最大值．
23．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的中线 长度的最小值.
24．设a，b，c分别是 的内角A，B，C的对边， ．
(1)求角A的大小；
(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且 ，求 面积的最小值．
②设点D为BC边上的中点，且 ，求 面积的最大值．
25．已知 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，且D为 的中点，求 的最大值．
26．为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发
部原有100人，年人均投入a（ ）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x
名（ 且 ），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为 万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
27．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围
28．某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率 与日产量 （万枚）间
的关系为： ，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利 元，每出现1件次品则亏损15元.
(1)将日盈利额y（万元）表示为日常量x（万枚）的函数；
(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？
29．2020年1月，在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中，武汉市为了落实“四类人员”分类集中管理措施，迅
速启动“方舱医院”建设.某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心（长方体状，高度恒定）改造成方舱医院，
假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱，正面用一种复合板隔离，每米造价40元，两侧用砖砌墙，每米造价45元，
顶部每平方米造价20元.问：
（1）改造后方舱医院的面积S的最大值是多少?
（2）为使S达到最大，且实际造价又不超过预算，那么正面复合板应设计为多长?
30．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如
图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面
积均为300平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．
31．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文
明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创
文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为4000 m2矩形市民休闲广场.全国文明城市是中国大陆所
有城市品牌中含金量最高、创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市
综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m的草坪，南北边缘都留有5m的空地栽植花木.
（1）设占用空地的面积为S（单位：m2）， 矩形休闲广场东西距离为x(单位：m， )，试用x表示为S的函
数；
（2）当x为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值.
32．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千
米/小时）之间的函数关系为： （ ）.
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范用内？
33．某商场为回馈客户，开展了为期15天的促销活动，经统计，在这15天中，第 天进入该商场的人次 （单
位：百人）近似满足 ，而人均消费 （单位：元）与时间 成一次函数，且第3天的人均消费为
560元，第10天的人均消费为700元．
（1）求该商场的日收入 （单位：元）与时间 的函数关系式；
（2）求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式及条件可得 ，然后利用余弦定理及基本不等式可得 ，即得.
【详解】
由题可知 的面积为 ，
又 ，
∴ ，
由余弦定理可得
，
当且仅当 时取等号，
∴ ，即水管的最短长度为 .
故选：A.
2．B
【解析】
【分析】
将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
【详解】
因a，b，x，y>0，则 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，即 ，
于是得 ，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以函数 的最小值为25.
故选：B
3．B
【解析】
【分析】
根据面积和周长的计算,可得 ,根据基本不等式即可求解最大值.
【详解】
圆弧的半径为 ，则 ， ．
所以周长 ，面积 ．
第 9 页所以
．
当且仅当 ， 时等号成立．
故选：B
4．(1) ；
(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；
（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.
(1)
当 ， 时，
；
当 ， 时，
.
∴. ；
(2)
①当 ， 时，
，
∴当 时，y取得最大值，最大值为1200万元.
②当 ， 时，
，
当且仅当 ，即 时，y取得最大值1320，
∵ ，
∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.
5．(1)
(2)证明见解析
第 10 页【解析】
【分析】
（1）法一：将 ，两边平方，利用基本不等式求解；法二：利用柯西不等式求解；
（2）法一：利用基本不等式证明；法二：利用柯西不等式证明.
(1)
解：法一： ， ，
，
，
，
，
（当且仅当 时取等），
的最大值为 .
法二：柯西不等式
，
（当且仅当 时取等）.
(2)
法一： ，
又 ，
同理： ， ，
，
；
法二：柯西不等式
， （当且仅当 时取等）
同理可得： （当且仅当 时取等）
（当且仅当 时取等）
（当且仅当 时取等）
6．(1)
第 11 页(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理求边；（2）先求出角D，利用余弦定理和基本不等式得到 的最大值，进而求出 面
积的最大值
(1)
在 中，由正弦定理得 ，即 .
所以 .
(2)
因为四边形 内接于圆，故 .
设 ， ，在 中，由余弦定理得：
.
因为 ，所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立.
所以
所以 面积的最大值是 .
7．(1) ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）由已知及余弦定理、三角形内角的性质可得 ，根据三角形的面积公式有 、
即可求 .
（2）由三角形面积公式可得 根据基本不等式可得 求 的范围并确定等号成立条件，
进而可得a、b、c，即可知 的周长.
(1)
则 ，且 ，
∴ ，
的面积为1，
可得 ，
第 12 页又 则 ，
.
(2)
则
，当 时等号成立且 ，即 ，
代入 得： 即 故 ，
∴ 则
∴周长为 .
8．（1）4750元；（2）游轮的航速应为 ，最大利润是4800元．
【解析】
【分析】
（1）设游船的速度为 ，旅游公司单程获得的利润为 （元 ，根据利润 收入 成本建立函数关系式，所
以 ，代入 即可求得；
（2）利用基本不等式求出最大利润即可．
【详解】
解：（1）设游船的速度为 ，旅游公司单程获得的利润为 （元 ，
因为游船的燃料费用为每小时 元，依题意 ，则 ．
所以 ．
时， 元；
（2） ，
当且仅当 ，即 时，取等号．
所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为 ，最大利润是4800元．
9．(1)
(2)线上直播x=150小时可使y最小为42万元
【解析】
【分析】
（1）通过 求出系数 ，即可得结果；
（2）直接根据基本不等式即可得结果.
(1)
第 13 页由题得，当 时， ，则 ，
故该厂家4年促销费用与线上直播费用之和为
(2)
由（1）知 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
即线上直播150小时可使y最小为42万元.
10．13.（1） ， ；（2）当 弧度时，扇形面积最大，为 ；（3）当 弧度时，扇形周长
最小，为 .
【解析】
【分析】
（1）首先将圆心角化为弧度制，由已知结合扇形的面积公式与弧长公式即可直接求解；
（2）扇形周长 ，可得 ，利用扇形的面积公式，基本不等式即可求解．
（3）依题意 ，则 ，则 在利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：（1）若 ， ，则 ，所以扇形的弧长 ，扇形的面积
；
（2）扇形周长 ，
，
．
当且仅当 ，即 时，扇形面积有最大值 ．
（3）扇形的面积 ，所以
所以 当且仅当 即
时周长取得最小值
11．(1)不符合要求
(2)按照 修建，治疗区面积最大，最大值为 （平方米）
第 14 页【解析】
【分析】
(1)依题意求 即可判断.
(2)设 ，用 表示诊疗区域的面积 即可.
(1)
当 时， ，
所以
因此诊断区不符合要求
(2)
设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ， ,
所以
，其中 ，
所以 ，当且仅当 即 取等号
故按照 修建，治疗区面积最大，最大值为 （平方米）.
12．(1) ， ；
(2)
【解析】
【分析】
第 15 页（1）由题干条件得到最小正周期，进而求出 ，待定系数法求出 ；（2）先由 求出 ，利
用余弦定理，基本不等式求出 ，进而求出面积的最大值.
(1)
由题意得： 的最小正周期 ，由于 ，故 ，解得： ，又 ，所以
，即 ，又 ，所以 ，解得： ， ，故 ，
此时 ，综上： ， ；
(2)
，所以 ，因为 ，所以 ，则 ，解得：
，又 ，所以由余弦定理得：
，则 ，由基本不等式得： ，即 ，解得：
，当且仅当 时等号成立，故 面积最大值为 .
13．（1）当这个矩形菜园是边长为 的正方形时，最短篱笆的长度为 ；（2）当这个矩形菜园是边长为
的正方形时，最大面积是 .
【解析】
设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 、 ，篱笆的长度为 .
（1）由题意得出 ，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从
而可得出结论；
（2）由题意得出 ，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从
而可得出结论.
【详解】
设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 、 ，篱笆的长度为 .
（1）由已知得 ，由 ，可得 ，所以 ，
当且仅当 时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 ；
（2）由已知得 ，则 ，矩形菜园的面积为 .
由 ，可得 ，
当且仅当 时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为 的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是 .
第 16 页【点睛】
本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，
同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
14．宽为 ，长为 .
【解析】
【分析】
作出图形，设场地一边长为 ，则另一边长为 ，求出新墙的总长度，利用基本不等式可求得新墙的总长度
的最小值，利用等号成立的条件可求得 的值，即可得出结论.
【详解】
如图，设场地一边长为 ，则另一边长为 ．
因此新墙总长度 ．
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故当堆料场的宽为 ，长为 时，可使砌墙所用的材料最省．
15．（1） ， ；（2）即当政府的专项补贴为 万元时，A企业春节期间加班追产所
获收益最大，最大值为 万元；
【解析】
（1）依题意得到 的函数解析式；
（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解；
【详解】
解：（1）依题意可知，销售金额 万元，政府补贴 万元，成本为
万元；
所以收益 ，
（2）由（1）可知 ，
其中 ，当且仅当 ，即 时取等号，
第 17 页所以 ，
所以当 时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为 万元；
即当政府的专项补贴为 万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为 万元；
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方
16．（1） ；（2）当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14
万元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意结合分段函数即可求解；
（2）结合二次函数在固定区间上的最值以及均值不等式即可求出函数的最值.
【详解】
解：（1）每件产品的售价为6元，则 万件产品的销售收入为 万元.
依题意得，当 时， .
当 时， .
所以 .
（2）当 时， ，
故当 时， 取得最大值4.5万元.
当 时， ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值14万元.
所以当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.
第 18 页17．(1)
(2)当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元
【解析】
【分析】
（1）用销售额减去成本投入得出利润 的解析式；
（2）分段判断 的单调性，及利用基本不等式求出 的最大值即可．
(1)
由已知
(2)
解：由（1）得
当 时， ；
当 时，
当且仅当 时，即 时等号成立.
因为 ，所以当 时， .
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.
18．（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）方法一：由 结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）方法一：不妨设 ，因为 ，所以
，则 ．故原不等式成立．
【详解】
（1）［方法一］【最优解】：通性通法
，
.
第 19 页均不为 ，则 ， ．
［方法二］：消元法
由 得 ，则 ，
当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ．
［方法三］：放缩法
方式1：由题意知 ，又
，故结论得证．
方式2：因为 ，
所以
．
即 ，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ．
［方法四］：
因为 ，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，
不妨设 则 .
［方法五］：利用函数的性质
方式1： ，令 ，
二次函数对应的图像开口向下，又 ，所以 ，
判别式 ，无根，
所以 ，即 ．
方式2：设 ，
则 有a，b，c三个零点，若 ，
则 为R上的增函数，不可能有三个零点，
所以 ．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
不妨设 ，因为 ，所以 ，
则 ．故原不等式成立．
［方法二］：
第 20 页不妨设 ，因为 ，所以 ，且
则关于x的方程 有两根，其判别式 ，即 ．
故原不等式成立．
［方法三］：
不妨设 ，则 ，关于c的方程有解，判别式
，则 ．故原不等式成立．
［方法四］：反证法
假设 ，不妨令 ，则 ，又
，矛盾，故假设不成立．即 ，命题得证．
【整体点评】
（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最
优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号
法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．
（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方
程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．
19． 时，最大值为 .
【解析】
【分析】
根据题意，用 表示 ，以及 面积，结合基本不等式即可求得结果.
【详解】
由题意，矩形 的周长为8 ，且 ，
∴ ，则 ，∴ ，
又由 ，
在 中， ，
解得 ，
∴
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
第 21 页∴ 面积的最大值为 ，此时 .
20．(1)
(2)应建造15层，才能使楼房每平方米的平均综合费用最少；该楼房最多可以盖20层.
【解析】
【分析】
（1）根据平均综合费用公式得出函数关系式
（2）利用基本不等式即可求出最值，根据开发商能承受的费用列不等式求解.
(1)
根据平均综合费用公式得
(2)
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
即该楼房应建造15层，才能使楼房每平方米的平均综合费用最少
若开发商能承受的综合建造费用为每平方米 元，
则 ，解得
故该楼房最多可以盖20层.
21．污水处理池的长为18米，宽为 米，总造价最低，为44800元.
【解析】
【分析】
令池底长为x米，宽为 米，总造价为y元，依题意化简得 ，利用基本不等式求解即
可.
【详解】
令池底长为x米，宽为 米，总造价为y元，依题意：
，
取等号的条件是 ，则长为18米，宽为 米，总造价最低，为44800元.
【点睛】
第 22 页本题考查了基本不等式的应用、造价与建筑面积和单价的关系等基础知识与基本方法，属于中档题．
22．（1）8；（2）－1
【解析】
【分析】
（1）运用基本不等式由 ，可求得 的最小值；
（2）原式可变形为 ，运用基本不等式可求得 的最大值．
【详解】
（1）因为正数 ， 满足 ，
所以 ，得 ，
当且仅当 时，即 时取等号，则 的最小值为8；
（2）因为 ，所以 ，
所以
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值为－1．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方．
23．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理可得 ，结合三角恒等变换可得结果；
（2）由题意可得 ，即 ，结合余弦定理及均值不等式可得结果.
(1)
因为 ，
第 23 页所以 ，
即 ，
整理得 ，
因为 ， 为三角形内角，所以 ， ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ；
(2)
因为 ，所以 ，
整理得 ，
在三角形 中，由余弦定理得 .
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
即 长度的最小值为 .
24．(1) ；
(2)① ；② .
【解析】
【分析】
（1）利用正余弦定理即求；
（2）选①利用基本不等式及面积公式即求；选②利用余弦定理可得 ，然后利用基本不等式及面积公
式即求.
(1)
∵ 且 ,
∴ ，即 ，
∴ ，又 ，
∴ ；
(2)
第 24 页选①∵AD平分∠BAC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴
由基本不等式可得：
，
∴ ，当且仅当 时取“=”，
∴ ，
即 的面积的最小值为 ；
②因为AD是BC边上的中线，
在 中由余弦定理得 ，
在 中由余弦定理得 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
∴
∴ ，
第 25 页解得 ，当且仅当 时取“=”，
所以 ，
即 的面积的最大值为 .
25．（1） ；（2） .
【解析】
（1）根据 ，利用正弦定理结合 ，得到
求解.
（2）根据D为 的中点，得到 ，然后两边平分结合余弦定理得到 ，再利用基本
不等式求解.
【详解】
（1）因为
由正弦定理得： ， ①
又因为 ， ②
由①②得： ，
而 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
（2）因为 ，
所以
所以 ，
由余弦定理得： ，
所以 ，
所以 ，
而 （当且仅当 时，取“=”），
所以 ，即： ，
所以 （当且仅当 时，取“=”），
所以 的最大值为 ．
第 26 页【点睛】
方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够
利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中
含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)
解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
26．(1)75人
(2)存在，7
【解析】
【分析】
（1）根据题意直接列出不等式可求解；
（2）由条件可得 ， ，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.
(1)
依题意可得调整后研发人员人数为 ，年人均投入为 万元，
则 ，( )
解得 ，
又 ， ，所以调整后的技术人员的人数最多75人；
(2)
假设存在实数m满足条件.
由技术人员年人均投入不减少有 ，解得 .
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以 得 ，
整理得 ，
故有 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，
又因为 ， ，所以当 时， 取得最大值7，所以 ，
，即存在这样的m满足条件，其范围为 .
27．（1）12；（2） .
【解析】
【分析】
第 27 页（1）变形为 后，根据基本不等式可得结果；
（2）转化为 ，等价于 ，等价于 ，等价于 .
【详解】
解：（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以
当且仅当 时，等号成立，
所以当 时， .
（2）存在 ，使得 成立，
等价于当 时，
由（1）知 ，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最小值，考查了不等式能成立问题，属于中档题.
28．(1)
(2)日产量应为3万枚
【解析】
【分析】
（1）利用题中的条件可以直接列出函数关系式，利用合格产品数量乘以30，减去次品数量乘以15，即可得到函
数关系式；
（2）由（1）分析求出每一段函数的最大值，再进行比较，即可得出结果．
(1)
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
第 28 页∴ .
(2)
由（1）知，当 时，日盈利为0元，
当 时，
，
当且仅当 ，即x＝3时取等号，
所以为使日盈利最大，日产量应为3万枚．
29．（1）8836 m2；（2）141 m.
【解析】
【分析】
（1）设正面复合板长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，得y≤ ，令t=9+2x，则x= （t>9），
,再利用基本不等式求解；
（2）解方程291=9+2x，即得解.
【详解】
（1）设正面复合板长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，则方舱医院的面积
S=xy，总造价z=40x+2×45y+20xy=40x+90y+20xy.
由条件知z≤188 000，即4x+9y+2xy≤18800.
∵x>0，y>0，
∴y≤ .
令t=9+2x，则x= （t>9），
∴S=xy≤
=
=
当且仅当 ，即t=291时等号成立.
故S的最大值为8836 m2.
（2）由（1）知，当S=8836 m2时，t=291，t=9+2x，∴x=141，则y= .
∴方舱医院的面积S达到最大值8836 m2，实际造价又不超过预算时，正面复合板的长应设计为141 m.
第 29 页30．(1)15米
(2)864平方米
【解析】
【分析】
（1）根据“矩形草坪的长比宽至少多5米”列不等式，解不等式来求得草坪宽的最大值.
（2）求得绿化面积的表达式，利用基本不等式求得最小值.
(1)
设草坪的宽为x米，长为y米，由面积为300平方米，得 ，
∵矩形草坪的长比宽至少多5米，∴ ，
∴ ，解得 ，
又 ，∴ ，
草坪宽的最大值为15米．
(2)
记整个绿化面积为S平方米，由题意可得
，
当且仅当 时，等号成立，
∴整个绿化面积的最小值为864平方米．
31．（1） ；（2）当休闲广场东西距离为40m时，用地最小值为4880 m2.
【解析】
【分析】
（1）由广场面积可得矩形广场的南北距离为 m，进而可求得结果；
（2）根据基本不等式可求得结果.
【详解】
（1）因为广场面积须为4000 ，所以矩形广场的南北距离为 m，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
当且仅当 时，等号成立.
答：当休闲广场东西距离为40m时，用地最小值为4880 .
32．（1）当 时，车流量最大，最大车流量约为 千辆/时；（2）汽车的平均速度应大于 且
小于 .
【解析】
第 30 页【分析】
（1）化简得 ，再利用基本不等式求解；
（2）解不等式 即得解.
【详解】
（1）依题得 .
当且仅当 ，即 时，上时等号成立，
（千辆/时）.
当 时，车流量最大，最大车流量约为 千辆/时；
（2）由条件得 ，因为 ，
所以整理得 ，即 ，解得 .
如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于 且小于 .
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和解决实际问题
的能力.
33．（1） ；（2）该商场第5天的日收入最少，且日收入的最小值为
360000元．
【解析】
【分析】
（1）由待定系数法求出 ，进而可得日收入的解析式；
（2）由日收入的解析式及基本不等式即可得解.
【详解】
（1）设 ，由题意可得 ，解得 ，
则 ．
故
；
（2）因为 ，所以 ，
第 31 页则 ，
当且仅当 时，等号成立；
故该商场第5天的日收入最少，且日收入的最小值为360000元．
第 32 页第 33 页
