文档内容
第 04 讲 基本不等式及其应用
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................................................................2
题型一：基本不等式及其应用....................................................................................................................................2
题型二：直接法求最值................................................................................................................................................4
题型三：常规凑配法求最值........................................................................................................................................5
题型四：化为单变量法................................................................................................................................................6
题型五：双换元求最值................................................................................................................................................7
题型六：“1”的代换求最值........................................................................................................................................8
题型七：齐次化求最值................................................................................................................................................9
题型八：利用基本不等式证明不等式......................................................................................................................10
题型九：利用基本不等式解决实际问题..................................................................................................................12
题型十：与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值...................................................................................................15
题型十一：三角换元法..............................................................................................................................................18
题型十二：多次运用基本不等式..............................................................................................................................21
题型十三：待定系数法..............................................................................................................................................22
题型十四：多元均值不等式......................................................................................................................................23
题型十五：万能K法..................................................................................................................................................23
题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题...................................................................................................25
题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题..............................................................................................26
题型十八：整体配凑法..............................................................................................................................................27
02 重难创新练.............................................................................................................................................................28
真题实战练...................................................................................................................................................................36题型一：基本不等式及其应用
1．（2024·高三·安徽芜湖·期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了
后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之
为无字证明．现有如图所示的图形，点 在半圆 上，且 ，点 在直径 上运动．作
交半圆 于点 ．设 ， ，则由 可以直接证明的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】连接 ，由题知 ， ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以
所以由 可以证明
故选：D2．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ）
已知 ，求 的最小值；解答过程： ；
求函数 的最小值；解答过程：可化得 ；
设 ，求 的最小值；解答过程： ，
当且仅当 即 时等号成立，把 代入 得最小值为4．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】对 ：基本不等式适用于两个正数，当 ， 均为负值，
此时 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 的用法有误，故 错误；
对 ： ，
当且仅当 ，即 时取等号，
但 ，则等号取不到，故 的用法有误；
对 ： ， ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 的用法有误；
故使用正确的个数是0个，
故选： .
3．下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】A：当 时，有 ，故不等式不一定成立，故A错误；
B：当 ，即 时，有 ，故不等式不一定成立，故B错误；
C： 恒成立，故C正确；
D：当 时，有 ，故不等式不一定成立，故D错误；
故选：C
题型二：直接法求最值
4．（2024·上海普陀·二模）若实数 ， 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
5．（2024·高三·上海青浦·期中）若 且满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，
当 ，即 或 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为： .6．若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
故答案为：
题型三：常规凑配法求最值
7．若 ，则 的最小值是 ．
【答案】3
【解析】∵ ，
∴ ，
当且仅当 即 时取等号，
∴ 时 取得最小值3.
故答案为：3．
8．若 ，则函数 的值域是 .
【答案】
【解析】∵ .
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号；
故函数的值域为 .
故答案为： .
9．若 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】A
【解析】因 ，则 ，于是得 ，当且仅当 ，即 时取
“=”，
所以当 时， 有最大值 .
故选：A
题型四：化为单变量法
10．若 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ， ，
可消去 得到 ，
则 ，令 ，
，
当 时， ，
故 的最大值为 ．
故选：C．
11．（2024·高三·河南漯河·期末）设正实数 、 、 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为正实数 、 、 满足 ，则 ，
所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最大值为 .
故选：D.12．已知正数x，y满足 ，则 的最小值为 .
【答案】12
【解析】由 ，可得 ，即 ，代入 中，
可得
当且仅当 时，取等号，
所以 的最小值为12.
故答案为：12.
13．已知 ，若 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】由 ，且 ，可得 ，
则 ，
设 ，可得 且 ，
可得 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，所以 的最小值为 .
故答案为： .
题型五：双换元求最值
14．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】12
【解析】令 ， ，则 ， ，且 ， ，
所以 ， ．
又 ，所以，
当且仅当 ， ，即 ， 时，等号成立．
故答案为：12
15．（2024·高三·福建龙岩·期中）已知 且 ，则 的最小值为 ．
【答案】8
【解析】由 得 ，
即 ，所以 ，
令 得
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：8
题型六：“1”的代换求最值
16．（2024·高三·江苏南京·开学考试）函数 （ 且 ）的图象恒过定点A，若点A在
直线 上，其中 ，则 的最小值为 .
【答案】5
【解析】对于函数 ，令 ，可得 ，可知 ，
若点 在直线 上，则 ，即 ，
则 ，
且 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为5.
故答案为：5.17．（2024·四川南充·二模）已知x，y是实数， ，且 ，则 的最小值为
【答案】1
【解析】因为 ，且 ，所以 ，
因为 ，当且仅当 时，取到等号，
所以 ，即 的最小值为1.
故答案为：1
18．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线 过函数 ，且
）的定点 ，则 的最小值为 .
【答案】6
【解析】 时， ，
函数 ，且 的图象恒过定点 ，
定点 在直线 上，
,
由 ，
当且仅当 时取等号.
即当且仅当 时， 取得最小值为 .
故答案为：6.
19．（2024·上海徐汇·二模）若正数 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由已知 ，当且仅当 ，即 时
等号成立，故所求最小值是 ．
故答案为： ．题型七：齐次化求最值
20．（2024·高三·浙江·开学考试）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】正实数 满足 ，有 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为：
21．已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ，即有 且 ，
将 代入 得 ，
令 ， ， ，
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值 ，即 的最小值是 .
故选：D.题型八：利用基本不等式证明不等式
22．已知 ， ， 为正数，函数 .
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若 且 ， ， 不全相等，求证： .
【解析】（1）由题意得 ，
∴ ，
∴当 时，函数 取得最小值4.
（2）∵ ， ， 为正数，且 ，∴ ，
∴要证 ，即证 .
∵ ，
当且仅当 时取等号.
又 ， ， 不全相等，∴ ，即 .
23．不等式选讲已知 均为正实数，函数 的最小值为4．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【解析】（1） ，
，
当且仅当 时取等号，
，要证 ，只要证 ，
由柯西不等式得 ，
当且仅当 时取等号， ．
（2）由基本不等式得 ，以上三式当且仅当 时同时取等号，将以上三式相加得
，即 ．
24．（2024·四川资阳·模拟预测）已知 ， ，且 ．
(1)求 的最小值；
(2)证明： ．
【解析】（1）（2）因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
则 ，即 的最小值是2．
（2）证明：因为 ，当且仅当 时，等号成立，
，当且仅当 时，等号成立，
所以 ．当且仅当 时，等号成立
则 ，即 ，当且仅当 时，等号成立．
题型九：利用基本不等式解决实际问题
25．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指
由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，
按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内
角 满足 ，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】因为四边形木板的一个内角 满足 ，如图，
设 ，由题设可得圆的直径为 ，
故 ，因 ， 为三角形内角，故 ，
故 ，
故 ，
故 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
同理 ，当且仅当 等号成立，
故四边形周长的最大值为 ，
故选：A.
26．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是
，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方
米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【答案】C
【解析】设矩形场地的长为 米，则宽为 米，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.所以平整这块场地所需的最少费用为 元.
故选：C
27．（2024·高三·山东济宁·开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买
黄金，售货员现将 的砝码放在天平的左盘中，取出 黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右
盘清空后，再将 的砝码放在天平右盘中，再取出 黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称
得的黄金交给顾客．则（ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
【答案】A
【解析】设天平左臂长为 ，右臂长为 ，且 ，则有 ， ，即 ， ，
所以， ，
又因为 ，所以 .
故选：A
28．（2024·高三·北京朝阳·期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的
影响，用 表示产量， 表示劳动投入， 表示资本投入， 表示技术水平，则它们的关系可以表示为
，其中 .当 不变， 与 均变为原来的 倍时，下面结论中正确
的是（ ）
A．存在 和 ，使得 不变
B．存在 和 ，使得 变为原来的 倍
C．若 ，则 最多可变为原来的 倍
D．若 ，则 最多可变为原来的 倍
【答案】D
【解析】设当 不变， 与 均变为原来的 倍时， ，
对于A，若 ，则 ，故A错误；
对于B，若 和 ，则 ，故B错误；
对于C，若 ，则 ，即若 ，故C错误；对于D，若 ，由 ， ，可得 ，故D
正确.
故选：D.
29．某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员
分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都
不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地
造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与
任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的
平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．30 D．45
【答案】B
【解析】设安排男社员 名，女社员 名，
根据题意，可得 ，平均损耗蔬菜量之和为 ，
则
，当且仅当 ，即 时等号成立，
则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15.
故选：B.
题型十：与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值
30．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为 ,当且仅当 时等号成立，所以 ，A正确；
因为 ，所以 ，所以 ，B错误；
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以
，C错误；由 整理，得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，D正确．
故选：AD．
31．（多选题）已知位于第一象限的点 在曲线 上，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】由题意可得 ，且 ， ，
对A：由 ，即 ，故 ，故A错误；
对B： ，当且仅当 时，等号成立，即 ，故B正确；
对C： ，
当且仅当 时，等号成立，故C错误；
对D：由 ，故 ，故 ，
，故D正确.
故选：BD.
32．（多选题）设正实数 ， ，且满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A项，由 可得： ，
因 ，故 ，将其代入 可得：
当且仅当 时等号成立，故A项正确；对于B项，由 可得 ，
因 ，故得： ，则 ，
当且仅当 时等号成立，故B项错误；
对于C项，由 ，
设 ，由上分析知， ，
则 在 上单调递增，故 ，即C项错误；
对于D项，由 ，
由上分析知 ，则 ，
故 ，即 ，故D项正确.
故选：AD.
33．（多选题）已知 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B． 的最小值为
C． 的最小值为
D． 的最小值为
【答案】AD
【解析】A选项： ，即 ，解得 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成
立，A选项正确；
B选项： ，当且仅当 ，即 ，
时等号成立，B选项错误；
C选项：由 ，得 ， ，则 ，
设函数 ， ， ，令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，C选项错误；
D选项： ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
D选项正确；
故选：AD．
题型十一：三角换元法
34．（多选题）由知实数a，b满足 ，则（ ）
A．ab的最大值为
B． 的最大值为
C．
D．当 时， 的最大值为
【答案】AC
【解析】对于A中，由不等式 ，可得 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立，所以A正确；
对于B中，设 ，联立方程组 ，整理得 ，
由 ，解得 ，可得 ，
所以 的最大值为 ，所以B不正确；
对于C中，设 ，联立方程组 ，整理得 ，
由 ，解得 ，可得 ，所以 的最大值为 ，所以C正确；
对于D中，由 ，即 ，
设 ，则 ，
设 ，可得 ，可得 ，
因为 ，可得 ，即 ，
不妨设 ，可得
则 ，
所以
又因为 为单调递增函数，所以 无最大值，所以D不正确.
故选：AC.
35．（多选题）（2024·全国·模拟预测）实数 ， 满足 ，则（ ）
A．
B． 的最大值为
C．
D． 的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，由 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时取“=”，故A正确；
对于B选项，令 且 ，则 ，其中 ， ，
又 ，所以 的最大值为1，
所以 的最大值 ，故B错误；
对于C选项，由B中的分析知， ，
其中 ， ，
又 ，所以 ，故C正确；
对于D选项，令 ，
则
，
且 ，所以当 时， 取最大 ，
故D正确.
故选：ACD.
36．（多选题）若 ， 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】因为 （ R），由 可变形为，
，解得 ，
当且仅当 时， ，
当且仅当 时， ，故A错误，B正确；
由 可变形为 ，解得 ，
当且仅当 时取等号，故C正确；
因为 变形可得 ，设 ，所以 ，
因此
，所以当 时满足等式，故D正确．
故选：BCD．
题型十二：多次运用基本不等式
37．已知 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】由 ，可得 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
38．（2024·黑龙江·二模）已知实数 ， 且 ，则 取得最大值时， 的值为
（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ，或 取等号，
所以 或 .
故选：D
39．若实数a，b满足ab＞0，则 的最小值为（ ）A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【解析】实数a，b满足ab＞0， 则 ， 当且仅当 且 ，即
或 时等号成立．
故选：C．
40．已知 则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【答案】C
【解析】
题型十三：待定系数法
41．（云南师范大学附属中学2023-2024学年高三4月月考数学试题）已知实数 ， ， 不全为0，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意实数 ， ， 不全为0，
，
当且仅当 时，等号成立.
故选：D.
42．（2024·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为a，b均为正实数，则
，
当且仅当 ，且 ，即 时取等号，
则 的最大值为 ．
故选：A．
题型十四：多元均值不等式
43．已知 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】依题意， ，则 ，且 ，
，
当且仅当 时等号成立.
故答案为：
44．函数 的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ， ，
因为 ，
由对勾函数性质可知 在 上单调递增，
所以 .
故选：D.题型十五：万能K法
45．已知实数 满足 ，则 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】原方程可化为 ，
故 ，故 ，故 ，
当 时， ，
故 的最大值为 ，
故答案为：
46．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数 ，满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，
方程 可化为 ，
整理得 ，则满足 ，
解得 ，所以 ，即 ，
所以 的最大值为 .
故选：B.
47．（2024·高三·重庆·期中）已知x， ，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】设 ，由 得 ，
，解得 ，
时， ，
故答案为： .
题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题
48．（2024·辽宁大连·一模）对于任意的正数m，n，不等式 成立，则λ的最大值为
【答案】 /
【解析】因为 都为正数，则不等式 成立，即为 成立，
又由 ，
当 时，即 时，等号成立，
所以 ，即 的最小值为 .
故答案为： .
49．（2024·高三·山东滨州·期末）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不等式 对任意 恒成立，则 ， 成立，
而 ，当且仅当 ，即 时取等号，因此 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
50．若两个正实数 满足 且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题设 ，
当且仅当 时取等号，
又 恒成立，即 .
故选：A
题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题
51．已知 ，向量 ，则 的最大值为 .
【答案】 /0.125
【解析】由题意知 ，故 ，
又 ，所以 ，
故 ，当且仅当 ，结合 ，即 时取等号，
故 的最大值为 ，
故答案为：
52．（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱 中， ，则该三棱柱的体积的
最大值为 ．
【答案】6
【解析】如图， ， ，则 ，
由 ，则 ，当 时，等号成立，
即 的最大值为6，此时三棱柱的体积最大，最大体积为 .
故答案为：6
53．（2024·四川南充·二模）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边．已知 ，
．则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为 ，由正弦定理可得 ，又 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 .
故答案为：
54．（2024·湖南·模拟预测）已知 为锐角，且 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 为锐角，所以 ，由题意可得 ，当
且仅当 时取等号，故 的最大值为 ，
故选：A．
题型十八：整体配凑法
55．（2024·四川成都·三模）若正实数 满足 ，则 的最大值为 （用 表示）．
【答案】
【解析】因为 是正实数， ，所以 ，
当且仅当 时取等号，于是 ，所以 的最大值为 .
故答案为：
56．对于正数 ，有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知： ，
因为 都是正数，所以 （当且仅当 时取等），
所以 （当且仅当 时取等），
化简可得 ，解得 ，故C正确.
故选：C.
57．已知 ， 且 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意 ，且 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
令 ，则上式为： ，即 ，
解得 或 （舍），所以 的取值范围为 .
故答案为： .
58．若 ，则 的最小值为 .
【答案】4
【解析】由完全平方公式可知： ，当且仅当 时取等号，
所以有 ，当且仅当 时取等号.
故答案为：4.1．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若正实数 满足 ，则 有最小值4
B．若正实数 满足 ，则
C． 的最小值为
D．若 ，则
【答案】D
【解析】对于A，若正实数 满足 ，则 ，
而当 时，有 ， ，从而 的最小值是 ，故A正确；
对于B，若正实数 满足 ，则 ，故B正确；
对于C，设 ，则 ，由对勾函数单调性得最小值是 ，故
C正确；
对于D，当 ， 时，有 ，但 ，故D错误.
故选：D.
2．（2024·河南焦作·模拟预测）已知正数 ， 满足 ，则当 取得最小值时，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，平方得 ，
当且仅当 ，即 ， 时取得等号，
故 取得最小值时， .
故选：A.
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A：由 ，故 ，即 ，故A错误；
对B：由 ， ，则 ，且 ，
当且仅当 时，等号成立，故 ，故B正确；
对C：由 ，故 ，即有 ，
又由B可得 ，即 ，故C错误；
对D：由 ，故 ，即 ，故D错误.
故选：B.
4．（2024·辽宁大连·一模）若 奇函数，则 的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若 为奇函数，则 ，
所以 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，奇函数的定义域满足 ，
即 ，结合 可得 ，即 ，
故
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 的最小值 .
故选：B.
5．（2024·贵州黔东南·二模）已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A【解析】由题 ，构造函数 ，则 ，
显然 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ， 时等号成立.
所以 的最大值为0.
故选：A.
6．（2024·重庆·模拟预测）若实数 ， 满足 ， 则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】 ，
当且仅当 时，等号成立.
故选：D.
7．（2024·江苏南通·二模）设 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以
.
当且仅当 ，即 时取等.
故选：C.
8．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ．
因为 ，
令 ，则 ， ，
所以 ，
由对勾函数 在 上单调递增，则当 时函数取到最小值，
所以当 时， ，
所以 .
故选：B．
9．（多选题）（2024·河北保定·二模）已知 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为2 D． 的最小值为
【答案】AC
【解析】对A：由 ，得 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，故A正确；
对B：由 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故B错误；
对C：由 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故C正确；
对D：由 ，得 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故D错误.
故选：AC.
10．（多选题）（2024·浙江绍兴·二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． 且 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A， ， ， ，则 ，故 ，同理可得 ，A正确；
对于B， ， ， ，
当且仅当 时取等号，B正确；
对于C， ， ， ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，C错误；
对于D，由于 ，故 ，
当且仅当 时取等号，而 ，故 ，D正确，
故选：ABD
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】 ， ，且 ， ，
当且仅当 时取等号，故A正确.
， ，且 ， ， ，
， ，故B正确.
由 ，得 ，当且仅当 时取等号， ，故C
错误.，又 ， ，故D错误.
故选：AB.
12．（多选题）（2024·高三·浙江湖州·期末）已知正数 满足 ，下列结论中正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为2
C． 的最小值为 D． 的最大值为1
【答案】AC
【解析】由 可得 ，
对于A, ，当且仅当 时，即 , 时取
等号，故A正确，
对于B, ，当且仅当 时，即 时等号成立，但此时 ，故等号取不
到，故B错误，
对于C， ，记
，
当 单调递增，当 单调递减，故
，
故 的最小值为 ，故C正确，
对于D，由于 ， ， ，故 的最大值不可能为1，故D错误，
故选：AC
13．（2024·湖北黄石·三模）设 ， ，若 ，则 的最小值为 ，此时 的值为
.
【答案】 2
【解析】由 ， ， ，得 ，当且仅当 时取等号，因此 ， ，
令 ，函数 在 上单调递减，当 时， ，
所以当 ，即 时， 取得最小值 .
故答案为： ；2
14．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数 的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部
正确的序号）
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】②③④
【解析】对于①，取 ，故①错误；
对于②， ，故②正确；
对于③，当 ，要证 ，即证 ，
即 ，即证 ，
而 恒成立，
当 时， ，所以 ，故③正确.
对于④， ，所以 ，故④正确.
故答案为：②③④.
15．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最
小值是 .
【答案】
【解析】因为 为正实数，
故 ，
即 ，
，当且仅当 ，即 ，此时 ，
所以 的最小值为 .
故答案为：
16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 ，若 ， ，且
，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】函数 的定义域为R， ，
即函数 是奇函数，又函数 都是R上的增函数，则 在R上递增，
由 ，得 ，于是 ，即 ，
则 ，而 ，即有 ，
因此
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故答案为：
1．（2021年天津高考数学试题）若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ，
，当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
2．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为 （ R），由 可变形为，
，解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当
时， ，所以A错误，B正确；
由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所
以C正确；
因为 变形可得 ，设 ，所以
，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D错误．
故选：BC．
3．（2023年天津高考数学真题）在 中， ， ，记
，用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））若实数 满足 ，则 的
最小值为
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】 ，（当且仅当 时取
等号），所以 的最小值为 ，故选C.
考点：基本不等式
5．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷））要制作一个容积为4 m3，高为1 m的
无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
【答案】C
【解析】设长方体底面边长分别为 ，则 ，
所以容器总造价为 ，
由基本不等式得， ，
当且仅当底面为边长为 的正方形时，总造价最低，选C.
考点：函数的应用，基本不等式的应用.
6．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））设a + b = 2, b>0,则 的最小
值为 .
【答案】 /0.75
【解析】因为a + b = 2，所以 ，即 = = ，当且仅当
，即 时取等号，当 时， = ；当 时， =
，所以 的最小值为 .
【考点定位】本小题主要考查均值不等式的变形应用(1的代换),要注意应用均值不等式成立的条件,熟练不
等式的基础知识是解答好本类题目的关键.
7．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷））设 ，且
，则 的最小值为
【答案】
【解析】由 ，(当且仅当 时等号成立)
可得
即 ，得
所以 ，
故答案为：
8．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））已知实数 、 、 满足 ，
，则 的最大值为 .【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，解得 ，
故实数 的最大值为 .
