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专题 21.7 配方法解一元二次方程的应用（知识梳理与考点分类讲
解）
（特别说明：配方法的应用在数学中有着重要的地位与作用，也是培养学生转化、化归意
识的重要途径，为此，特意编写了此专题，供大家参考使用）
第一部分【知识点归纳】
1.用配方法解一元二次方程
（1）
移：移项，方法：将常数项移到等式右边，含未知数项移到等式左边；
（2）
化：二次项系数化为1，方法：左、右两边同时除以二次项系数；
（3）
配：配方，方法：左右两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）
开：开平方，方法：利用平方根的意义直接开平方；
（5）
解：解两个一元一次方程，方法：移项、合并同类项，系数化为1.
2.配方法的应用：
（1）准确配：配方过程中求参数的值；
（2）求参数：配方过程中求参数的值；
（3）求代数式的值：通过配方进行变形从而求出代数式的值；
（4）求最大（小）值：通过配方利用平方的非负性从而求出最小（大）值；
（5）比较大小：通过求差法再进行配方比较大小；
（6）三角形的形状：通过配方判断三角形的形状；（7）几何问题：通过配方解决几何问题.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】判断配方结果是否正确
【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
【变式1】（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）在解方程 时，对方程进行配方，两位
同学提供了如下两种方案．
方案Ⅱ
方案Ⅰ
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
A．方案Ⅰ正确、方案Ⅱ不正确 B．方案Ⅰ不正确，方案Ⅱ正确
C．方案Ⅰ、Ⅱ都正确 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不正确
【变式2】（22-23九年级上·山东青岛·期中）用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A． 化为 B． 化为
C． 化为 D． 化为
【题型2】从配方的过程判断参数的值【例2】（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）用配方法解一元二次方程 ，可将方程变形
为 的形式，则n的值是
【举一反三】
【变式1】（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）已知 是完全平方式，则常数 的值是
．
【变式2】（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）用配方法解方程 ，将方程变为
的形式，则m的值为 ．
【题型3】通过配方求代数式的值
【例3】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解一元二次方程 的部分步骤如图所示，
则 （ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
【变式1】一元二次方程 化成 的形式，则 的值为（ ）
A．11 B．－11 C．17 D．－17
【变式2】阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 的意义是 .按照这个规定，请
你计算：当 时， 的值( )
A． B． C．5 D．
【题型4】通过配方利用平方的非负性求最值【例4】（2024·山东东营·一模）小明和小林在探索代数式 （ ）有没有最大（小）值时，小
明做了如下探索：
∵ ，
∴小明的结论是 的最小值为 ，
小林做了如下探索：
∵ ，
小林的结论是 的最小值为2；则（ ）
A．小明正确 B．小林正确
C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级下·安徽·开学考试）已知 与 互为倒数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）如图， ， ， 是 三边上的点，且四边
形 为矩形， ， ．则矩形 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【题型5】通过求差法再配方比较大小【例5】（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）已知 ，则比较P，Q的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
【变式1】已知 （ 为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是
（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式2】（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知 、 是实数， ， ．则 、
的大小关系是（ ）
A． B． C． ＜ D． ＞
【题型6】通过配方判断三角形的形状
【例6】 的三边分别为 、 、 ，若 ， ，按边分类，则 是
三角形
【举一反三】
【变式1】已知三角形三边长为a、b、c，且满足 ， ， ，则此三角
形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【变式2】三角形一边长为10，另两边长是方程x2﹣14x+49＝0的两个根，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【题型7】配方在几何综合中的应用
【例7】（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式 及 叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式
子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值
或最小值．
例如：求代数式 的最小值．
，可知当 时， 有最小值，最小值是 ．
再例如：求代数式 的最大值．
，可知当 时， 有最大值．最大值是 ．
(1)求 的最小值为_____， 的最小值为_____；
(2)若多项式 ，试求M的最小值；
(3)如图，学校打算用长 米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的
最大面积．
【举一反三】
【变式1】（23-24八年级下·山东泰安·期中）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决一
些最值问题．例如： ，所以 的最小值为 ，此时
．
(1)尝试： ，因此当 时，代数式 有最小值，
最小值是 ；
，所以当 时，代数式 有最 （填“大”或“小”）值．
(2)应用：如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的栅栏的总长是 ，栅栏如何围能使
花圃面积最大？最大面积是多少？
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】．（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·江苏连云港·中考真题）若 （ 为实数），则 的最小
值为 ．
2、拓展延伸
【例1】（22-23八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系 中，P点坐标为 ，且实数
m，n满足 ，则点P到原点O的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知，则的值等于 ．
