文档内容
第 05 讲 基本不等式
（10 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新Ⅰ卷，第18题第一问,4
基本不等式求范围 导数综合
分
2023年新Ⅰ卷，第22题第二问,8
基本不等式求最值 圆锥曲线大题综合
分
2022年新Ⅰ卷，第18题第二问,6
基本不等式求最值 正余弦定理解三角形
分
2022年新Ⅱ卷，第12题,5分 基本不等式求最值 三角换元及三角函数相关性质
2021年新Ⅰ卷，第5题,5分 基本不等式求最值 椭圆方程及其性质
2020年新Ⅰ卷，第20题第二问,6
基本不等式求最值 空间向量及立体几何
分
2020年新Ⅱ卷，第12题,5分 基本不等式求最值 指对函数的性质及单调性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易
上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5分左右
【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”
2.能正确处理常数“1”求最值
3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值
4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最
值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。知识讲解
1．基本不等式
如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）.
说明：
①对于非负数 ，我们把 称为 的 ， 称为 的 .
②我们把不等式 称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的
几何平均数不大于它们的算术平均数.
③“当且仅当 时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有 ；另一方面当
时，有 .
④ 结构特点：和式与积式的关系.
【答案】 算术平均数 几何平均数
2．基本不等式求最值
（1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 （简记为：积定和最
小）.（2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2（简记为：和定积最大）.
【答案】2
3．几个重要不等式（含基本不等式链）
（1） （ ）；
（2） （ ）；
（3） （ ）；
（4） 或 （ ）；
（5）
【答案】 2
考点一、 直接用基本不等式求和或积的最值
1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】B
【分析】根据基本不等式，求解即可得出答案.
【详解】因为 ， ，
则由基本不等式可得 ，
所以有 ，
当且仅当 时等号成立.
故选：B.
2．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】 ，当且仅当 且 ，即 时等号成立，
故选：B.
1．（2023·上海·模拟预测）已知正实数a、b满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】由 ，代入即可得出答案.
【详解】 ，
当且仅当“ ”，即 时取等，
所以 的最大值为 .
故答案为：
2．（2024·云南·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，化简得到 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由正数 满足 ，可得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
考点二、 巧用“ 1 ”或常数关系求最值
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．【答案】D
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为 ， ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故选：D
2．（2024·河南·三模）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值
为 ．
【答案】
【分析】 是 的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.
【详解】因为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 ．
故答案为： .
1．（2024·安徽·三模）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，可得 ，再利用基本不等式计算即可得.
【详解】 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.故选：D.
2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知 ， ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为 ， ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故答案为：
3．（2024·江苏南通·二模）设 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】由不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以
.
当且仅当 ，即 时取等.
故选：C.
考点三、 拼凑法求最值1．（2024·山西临汾·三模）若 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，取得最小值 ，
故选：D．
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数 在 处取最小值，则 ．
【答案】4
【分析】利用配凑法可得 ，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】 ，
当且仅当 即 时取等号，
即 时取最小值，故 ．
故答案为：4
3．（2024·江西赣州·二模）已知 ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对 进行变形配凑，再结合基本不等
式即可求解最小值.
【详解】由题 ，所以，
当且仅当 ，即 ，即 时等号成立.
故答案为： .
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于巧妙变形分离 和配凑
.
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】 / ．
【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
【详解】由 ，得 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 的最小值是 ．
故答案为： ．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数 ，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】24
【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值
【详解】因为 ，且 ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故答案为：
考点 四 、 换元法求最值
1．（2022高三上·全国·专题练习）已知 ，求 的最大值.
【答案】
【分析】根据题意分别设 ，然后可求出 ，再化简 ，再
结合基本不等式即可求解.
【详解】
设 ，则 ，
因此
因 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
故 的最大值为 .
2．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 的最大值为 ．【答案】 /
【分析】
通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可.
【详解】令 ， ，
则 ， ， ， ， ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ， ，即 ， 时等号成立．
故答案为：
1．（2020·甘肃兰州·二模）设m，n为正数，且 ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】令 ，则 ， 可化为 ，利用基本不等式可求 的
最小值，从而可得所求的最小值.
【详解】令 ，则 ，且 ， ，
又 ，
而 ，
当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为 .故答案为： .
【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形
以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立.
2．（2024·浙江·模拟预测）已知 ， ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先变形 ，化简后换元 ，转化为关于 的式子，利用基本不
等式求最值.
【详解】 ，
，
设 ，
则 ，
，
当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：D
考点 五 、 二次与二次（一次）的商式求最值
1．（2023高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 .
【答案】 /
【分析】首先化简可得 ，由 则可以利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为 ，则 ，
所以
≤ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】化简整理后，将 看成一个整理，利用基本不等式求最值即可.
【详解】
，
当且仅当， ，即 时，等号成立.
故答案为：
1．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数 在 上的最大值为 ．
【答案】【分析】令 ，则 ，则 ，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为 ， ，令 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ， 即 时，等号成立．
故 的最大值为 ．
故答案为：
2．（2023高三·全国·专题练习）当 时，求函数 的最小值.
【答案】
【分析】将函数变形成 ，再利用重要不等式即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以函数 的最小值为 .
考点 六 、 两次应用基本不等式求最值
1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则 的最大值是 ．
【答案】
【分析】
将 拆开为 ，同时用两次均值不等式构造相同结构即可.
【详解】，
所以 ，
当且仅当 时取到等号，
故答案为：
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数 ，满足 ，则 的最小值为
.
【答案】
【分析】变形得到 ，利用两次基本不等式，求出最小值.
【详解】任意的正实数 ，满足 ，
由于 为正实数，故由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
综上， 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比
如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【分析】利用 可把 放缩为 即 的形式，利用基本不等式可求后者的
最小值.
【详解】因为 ，故 .
又 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故 的最小值为 .
故答案为： .
2．（2023·江西·一模）已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最小值为 .
【答案】
【分析】由于 ， ， 是正实数，且 ，所以先结合基本不等式“1”的代换求 的最小值，
得 ，则 ，再根据基本不等式凑项法求 的最小值，即可求得
的最小值.
【详解】解： ，由于 ， ， 是正实数，且 ，
所以
，当且仅当 ，即 ，所以
时等号成立，则 的最小值为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则 最小值为 .
故答案为： .
考点 七 、 条件等式变形求最值
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】将 和 两边放，然后两边同时除以 ，凑出 ，再用基本不等式即可.
【详解】因为 ， ，两边同时除以 ，得到
，
当且仅当 即 取“=”.
则 ，当且仅当 取“=”.
两边取自然对数，则 ，当且仅当 取“=”.
故 的最小值为 .
故选：D.
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最小
值是 .
【答案】
【分析】因式分解得到 ，变形后得到 ，利用基本不等式求出最小值.
【详解】因为 为正实数，
故 ，
即 ，
，
当且仅当 ，即 ，此时 ，
所以 的最小值为 .
故答案为：
3．（2023·江西·二模）实数 ， ，满足： ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用立方和公式和完全平方公式将 用 与 表示，再分离出 ，使用基本不等式求解即
可.
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，令 ，则
易知 与 均不为 且符号相同，∴ ，解得 或 .
（此时，可通过验证 时， 满足题意， ，结合选项确定选项D正确.）
又∵ ， ， ， ，
∴由基本不等式， ，当且仅当 时，等号成立，
∴ ，
又∵ ，∴ ，（当 时， ），
∴解得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立.
∴综上所述， 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】易错点睛：本题若忽视 中的 与 同号，直接使用基本不等式求解，就容
易错解，而优先考虑 与 同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】64
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】法一：因为 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立．
所以 的最小值为64．
法二：因为 ， ， ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以 的最小值为64．
故答案为：64.
2．（2024·浙江绍兴·三模）若 ，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】由题意可借助 、 表示出 ，从而消去 ，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.【详解】由 ，则 ，
即
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为： .
3．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知正数 满足 ，则 的最小值是
．
【答案】
【分析】根据题意，将等式 化简变形，得到 的表达式，根据表达式特征利用换元
法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值.
【详解】根据题意，由 可得 ，
即
所以 ；
又因为 均是正数，令 ，则
所以，
令 ，
则当且仅当 ，即 时，等号成立；
所以
所以 的最小值为 ;
即当 时，即 时，等号成立.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据等式特征可知，利用基本不等式条件不明显，所以首先得出 的表达式，根据
可利用齐次式特征构造函数，再进行化简凑成基本不等式求解即可.
考点 八 、 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围
1．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）已知 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】问题化为 上 ，利用基本不等式求左侧最小值，注意取值条件，即可得
参数范围.
【详解】由题设，只需 上 即可，
又 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，所求范围为 .
故答案为：
2．（2023高一上·全国·专题练习）已知 且 ，若 恒成立，则实数 的
范围是 ．【答案】
【分析】依题意得 ，利用基本不等式“1”的代换求出 的最小值，即
可得解.
【详解】因为 且 ，若 恒成立，则 ，
又
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 ，即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
3．（2023·广东湛江·二模）当 ， 时， 恒成立，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将左侧分式的分子因式分解成 的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可
以得到结果.
【详解】当 ， 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ．
所以 ，即 ．
故选：A.1．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足 ，若不等式 恒成立，则实数a的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】
将 变形为 ，利用均值不等式求 的最
小值即可求解.
【详解】因为 ，
所以
，
所以
，等号成立当且仅当 ，
所以 ， ，
故实数a的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到 ，再进一步结合乘“1”法即可顺利
得解.
2．设正实数 满足 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，求出 的值，代入 中化简，利用基本不等式求出结果.【详解】设 ，则
所以
当且仅当 即 时取等号
所以 的最小值是 ，则 的最大值为 .
故选A
【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设 ，得出
进行代换，属于偏难题目.
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足 ， ，不等式
恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】B
【分析】令 ，不等式变形为 ，求出 的最小值，从
而得到实数 的最大值.
【详解】 ， ，变形为 ，
令 ，
则 转化为
，即 ，
其中
当且仅当 ，即 时取等号，可知 .故选：B
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
考点 九 、 利用基本不等式判断或证明不等式关系
1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】应用对数运算性质及基本不等式判断各式的大小关系.
【详解】由 ，
而 ，则 ，所以 ，即 ，
由 ，则 ，即 ，
综上， .
故选：D
2．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数 满足 .
(1)若 ，求 的最小值；
(2)证明： .
【答案】(1)4
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，得到 ，化简得到 ，结合基本不等式，即可求解；（2）根据题意，得到 ，再由
，即可得证.
【详解】（1）解：当 时，可得 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 .
（2）证明：因为 ，可得 ,
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
因为 ，所以 ，
所以 .
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知 为正数，且 .证明：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）由关于 三个重要不等式左右分别相加，得到 ，结合题设条件推得
代入即得；
（2）先证明三维的柯西不等式，再利用柯西不等式将左式 化成 ，再
构造不等式
，化简得到 ，代入
条件即得.
【详解】（1）因为 为正数， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 .
（2）先证明三维的柯西不等式.
已知 求证:
,当且仅当 时取等号.
证明：设
①当 ，即 时，不等式显然成立；
②当 时，
∵对于任意实数 ，都有 ,当且仅当 时取等号,
∴ ，即
∴ ,当且仅当 时取等号.故得证.
由柯西不等式，得
，即 .
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故得： .
1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数 满足 且 ，则下列不等关系一定正确的是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.
【详解】因为 且 ，所以 或 ，
对A：若 ，则 ，若 ，则 ，A错误；
对B：∵ ， ，∴ ，B错误；
对C：由 或 ，知 且 ，∴ ，C正确；
对D：当 时，有 ，从而
当 ，则 且 ，∴ ，D错误.
故选：C
2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)若a，b， ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得 ，又 ，结合基本不等式可得 ，化简
求得 ，得证；
（2）法一，由已知条件得 ，同理可得 ， ，三式
相加得证；法二，根据已知条件可得 ，所以
，利用柯西不等式求解证明.
【详解】（1）因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
整理得 ，所以 ．
（2）解法一： 因为 ，且a，b， ，
所以 ， ， ，所以 ，
同理可得 ， ，
以上三式相加得 ，当且仅当 时等号成立．
解法二：因为 ，且a，b， ，
所以 ， ， ，且 ，
所以
，
当且仅当 时等号成立．
3．（2024·青海·一模）已知正数 满足 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据 ，结合基本不等式，即可得证；
（2）由 ，结合基本不等式，即可得证.
【详解】（1）证明：因为正数 满足 ，
由 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，即 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.
（2）证明：由
，
当且仅当 ，即 ，等号成立.
所以 .
考点 十 、 基本不等式多选题综合
1．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式 ，结合已知等式 变形可判断A，C，D；由
可得 ，结合实数的性质即可判断B.
【详解】因为 ,当且仅当 时等号成立，所以 ，A正确；
因为 ，所以 ，所以 ，B错误；
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以
，C错误；
由 整理，得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，D正确．
故选：AD．
2．（2024·河北保定·二模）已知 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为C． 的最大值为2 D． 的最小值为
【答案】AC
【分析】借助基本不等式逐项判断即可得.
【详解】对A：由 ，得 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，故A正确；
对B：由 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故B错误；
对C：由 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故C正确；
对D：由 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故D错误.
故选：AC.
3．（2024·浙江·二模）已知正实数 ，且 为自然数，则满足 恒成
立的 可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】将 恒成立，转化为 恒成立，再利用基本不等
式得到 ，转化为 恒成立，逐项判断.
【详解】解：因为正实数 ，且 为自然数，
所以 ，
则 恒成立，即 恒成立，
两边同乘 ，则 ，
而 ，，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
若 恒成立，则 恒成立，
A.当 时， ，不成立；
B.当 时， ，成立；
C.当 时， ，成立；
D.当 时， ，不成立，
故选：BC
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值4 B． 有最小值
C． 有最小值 D． 的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式可判断各选项.
【详解】A选项：由 ，得 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，故A选项
正确；
B选项： ，当且仅当 ，即 ，
时取等号，故B选项正确；
C选项：由 ，得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故C选项错误；D选项：由A的分析知 且 ， 时取等号，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，故D选项正确；
故选：ABD．
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知 ，且 ，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．存在 ， 使得 D．
【答案】ABD
【分析】对于A，据已知条件即可证明；对于B，使用基本不等式即可证明；对于C，据已知条件即可否定；
对于D，将条件变形为 ，再利用 即可证明结论.
【详解】对于A，由 及 ，得 ，所以 ，A正确.
对于B，由 及 ，得 ，所以 .同理可得 .
又 ，所以 ，所以 ，B正确.
对于C，由 及 ，得 ，所以 ，得 ，
所以 ，得 ，C错误.
对于D，由 ，得 ，所以 .
因为 ， ，所以 ，所以 ，D正确.
故选：ABD.
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据 ，结合基本不等式计算即可判
断C；根据 ，基本不等式计算即可判断D.
【详解】A：由 ，得 ，
即 ，得 ，解得 ，当且仅当 时等号成立，故A错误；
B：由选项A的分析知 ，故B正确；
C：由 ，得 ，即 ，
所以 ，
得 ，当且仅当 时等号成立，故C正确；
D：由 ，得 ，即 ，
所以 ，得 ，
当且仅当 时等号成立，故D错误.
故选：BC
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
一、单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.
【详解】 ， ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
故选：B.2．（2024·河南·模拟预测）已知点 在以原点 为圆心，半径 的圆上，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】由题可得点 满足的圆方程 ，进而 ，然后利用基本不等式结合条件
即得.
【详解】由题意可得点 的坐标满足 ，所以， ．
因此，
.
当且仅当 时，即 时取等号．
故选: D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用已知 ，求二元变量的最值，一般可用用消元法变为函数求最值，如 ，
，当然也可以用均值不等式求最值，如 ，
.
【详解】选项A：因为 ， ， ，所以 ，所以 ，故A正确．
选项B： ，当且仅当 时取等号，（利用基本不
等式时注意取等号的条件）,故B正确．
选项C： ，所以 ，当且仅当 时取等号，
故C错误．选项D： ，
当且仅当 时取等号，（另解： ，当且仅当 时取等号）,故D正确．
故选:ABD.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质可判断A；取 ， 可判断BC；根据基本不等式可判断D．
【详解】由题意，得 ， ， ，
对于A， ，故A正确；
对于B，取 ， ，则 ，故B错误；
对于C，取 ， ，则 ，故C错误；
对于D， ，当且仅当 时等号成立，故D正确．
故选：AD
三、填空题
5．（2024·上海奉贤·三模）若 ，则 有最大值为 ．
【答案】 /0.25
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】因为 ，显然当 时， 取得最大值，所以 ，
当且仅当 时等号成立，所以 ，
所以 有最大值为 .
故答案为： .
6．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数 满足 ，则 的最小值是 ．
【答案】4
【分析】由基本不等式求解即可．
【详解】因为 为正数， ，所以 ，即 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故答案为：4．
7．（2024·天津·模拟预测）若 ， ，且 ，则 的最小值为
【答案】
【分析】先对 进行等式变形，利用 把原式化简为 ，再利用均值不等式可
得 ，然后由函数 在区间 上是单调递减，即可得到最小值为 .
【详解】由 ，
因为 ，所以上式 ，
又因为 ， ，由均值不等式得： ，
利用函数 在区间 上是单调递减可知：
，
当且仅当 时取到最小值.
故答案为：
8．（2024·河南·模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 的取值范围为
．
【答案】
【分析】根据数量积的坐标表示得到 ，再利用乘“1”法及基本不等式求出 的最小值，即可
求出其范围.
【详解】因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
9．（2024高三·全国·专题练习）若实数 满足 则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据基本不等式求和式的最值即可得结论.
【详解】因为 所以 ，
当且仅当 ，即 且 时等号成立，
故 的最小值为 .
故答案为： .
10．（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【分析】令 ，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得 ，结合基本不等式
和 计算即可．
【详解】因为 ，所以 ,
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，
即 的最小值为 .
故答案为： .
一、单选题1．（2024·北京顺义·三模）设 ， ， .若 ， ，则 最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】先利用指、对数的关系利用 表示 ，再利用基本不等式求最大值.
【详解】∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当且仅当 ， 时取等号.
∴ 的最大值为1.
故选：C.
2．（2024·江苏盐城·模拟预测） 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析知 ，将所求式子化为 ，结合基本不等式可得结果.
【详解】若 取得最小值，则 ，
（当且仅当 ，即 时取等号），
的最小值为 .
故选：C.
3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知 ， ， ，若不等式 恒成立，
则实数 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C
【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以
，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 .
故选：C
4．（2024·广西·模拟预测）已知 ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先确定 ，再由基本不等式得到 ，从而求出 的取值范围.
【详解】因为 ， ，则 ，所以 ．
又 ，
即 ，即 ，解得 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 的取值范围为 .
故选：D．
二、填空题
5．（2024·上海·三模）已知函数 ，若 ， ，且 ，则 的
最小值是
【答案】8
【分析】由函数奇偶性的定义可知 为奇函数，根据单调性可知 ，然后结合基本不等式即可
求解.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，又 ，所以函数单调递增，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， ，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
6．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数 ， 满足 ，则 .
【答案】
【分析】先利用对数的运算法则进行化简， ，右边使用不等式
，根据不等式的传递性， ，换元后利用函数的单调
性得 ，所以只能 ，再根据取等条件求出 即可.
【详解】 ，
，即 ，
根据不等式得， ，
令 ，所以 ，
因为 ，所以 .
， ，
所以， 单调递增， 单调递减，
所以 ，即 ， ，
所以只能 ，即 ，
所以 ，当 成立，即 ，
所以 .
故答案为： .
7．（2024·河北·三模）已知函数 ，若 ，则当 取得最小值时，
．
【答案】【分析】根据题意，由条件可得 ，令 ，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由 得 ，即 ，令 ，
则
当且仅当 ，即 时， 取得最小值，此时z也取得最小值．
故答案为： .
8．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】配凑出 ，再利用基本不等式求最值.
【详解】由 ，
得 ，
即 ，得 ，
， ，
， ， ，
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
此时 ，
的最小值为
故答案为：
9．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数 满足 ，则 的最大值为 ；
的取值范围为 ．【答案】 1
【分析】第一空：直接由基本不等式即可求解；第二空：首先将目标式子化为关于 的代数式，通过三角
换元得 的范围，进一步取到倒，结合对勾函数性质得
，从而即可得解.
【详解】由题意 ，等号成立当且仅当 ，即 的最大值为1；
由题意 ，
因为 ，所以设 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ， ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：1； .
【点睛】关键点点睛：第二空的关键是首先画出关于 的代数式，并求出 的范围，由此即可顺利得解.
三、解答题
10．（2024高三·全国·专题练习）设正实数 满足 ，不等式 恒成立，求 的
最大值．
【答案】
【分析】利用换元法，将不等式左边转化为 的表达式，再多次利用基本不等式求得其最小值，从而得解.
【详解】因为 ， ，所以 ， ，
令 ， ，则 ， ， ， ，
所以
，
当且仅当 且 且 且 ，即 ，
即 ， 时，等号成立，
又不等式 恒成立，所以 ，即 的最大值为 .
1．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ，
对于选项AB：可得 ，即 ，
根据函数 是增函数，所以 ，故B正确，A错误；
对于选项D：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故D错误；对于选项C：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故C错误，
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题）（多选）若x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为 （ R），由 可变形为， ，
解得 ，当且仅当 时， ，当且仅当 时， ，所以A错误，B
正确；
由 可变形为 ，解得 ，当且仅当 时取等号，所
以C正确；
因为 变形可得 ，设 ，所以
，因此
，所以当 时满足等式，但是 不成立，所以D错误．
故选：BC．
3．（2022·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再结合 ，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成
，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
4．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得
出 不符合题意， 符合题意．
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数
的性质即可解出．
5．（2021·全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的
最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即
可得到答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
6．（2021·天津·高考真题）若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】 ，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
7．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据 ，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学
运算的核心素养.
8．（2020·天津·高考真题）已知 ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
9．（2020·江苏·高考真题）已知 ，则 的最小值是 ．【答案】
【分析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一
正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值
（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参
数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.
