文档内容
专题 04 基本不等式（九大题型+模拟精练）
目录：
01 基本不等式的内容辨析
02 利用基本不等式比较大小
03 利用基本不等式求最值
04 条件等式求最值
05 基本不等式“1”的妙用
06 对勾函数、类对勾函数求最值
07 基本不等式在其他模块的应用
08 高考新考法—以生活情境、传统文化等为背景考查基本不等式
09 高考新考法—新定义基本不等式压轴题
01 基本不等式的内容辨析
1．（21-22高一下·广东深圳·期末）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高一·全国·专题练习）已知 为实数，且 ，则下列命题错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）下列说法，其中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为
02 利用基本不等式比较大小
4．（2023·河南开封·三模）已知 ， ，且 ， ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知关于 的方程 有两个实根 ， ，则下列不等式中正确的有 .（填写所有正确结论的序号）
① ； ②
③ ； ④ .
03 利用基本不等式求最值
6．（23-24高一上·重庆·期末）函数 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
7．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）函数 的最小值为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．7
04 条件等式求最值
9．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知正数 ， 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
05 基本不等式“1”的妙用
11．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
12．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数 ， ，满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
06 对勾函数、类对勾函数求最值
13．（2023高三·全国·专题练习）函数y＝x＋ （x≥2）取得最小值时的x值为 ．
14．（2023高三·全国·专题练习）函数f（x）＝ ＋1的最小值为 ．
15．（22-23高三上·江苏南通·期中）已知正实数x，y满足 ，函数 的最小
值为 ，则实数 取值的集合为 ．07 基本不等式在其他模块的应用
16．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）若数列 为等比数列，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
17．（22-23高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．当 且 时，
B．当 时， 的最小值为4
C．当 时，
D．当 时，
18．（2024·广东湛江·一模）已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知正实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形
三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式
求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现
有一个三角形的边长满足 ， ，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．8 C． D．
21．（2023·浙江杭州·二模）已知 ， ，且 ，则ab的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
22．（2023·江苏常州·一模）设 为复数， 为虚数单位，关于 的方程 有实数根，则复数 的
模 的范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（2024·河北沧州·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，直线l交抛物线T于A，B两点，M为线段 的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N，若 ，则 的最大值
为（ ）
A．1 B． C． D．
24．（20-21高三·北京·强基计划）在 中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且
，则 的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．前三个选项都不对
25．（2024·河南·三模）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值
为 ．
26．（2023·上海静安·二模）已知函数 为偶函数，则函数 的值域为 .
27．（22-23高三上·云南曲靖·阶段练习）已知 ，直线 与 互相垂直，
则 的最小值为 .
28．（2024·湖南·二模）若锐角 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
29．（2023·河南开封·模拟预测）在三棱锥 中，PA⊥平面ABC， ，
当三棱锥的体积最大时，三棱锥 外接球的体积为 ．
30．（20-21高三下·浙江·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，若点 ， 是该抛物线上的点，
， ，线段 的中点 在抛物线的准线上的射影为 ，则 的最大值为 ．
08 高考新考法—以生活情境、传统文化等为背景考查基本不等式
31．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是
，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方
米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
32．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分
别为m元和n元 ，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20
件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为 ，则（ ）
A． B． C． D． 的大小无法确定33．（2024·广东湛江·二模）当 ， 时， .这个基本不等式可以推广为当x， 时，
，其中 且 ， .考虑取等号的条件，进而可得当 时， .
用这个式子估计 可以这样操作： ，则 .用这样的方法，可得
的近似值为（ ）
A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039
34．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后
世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，
也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且 ，设 ，
，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
35．（2023·安徽池州·模拟预测） 年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一
根垂直的悬杆看上去最长 即可见角最大 后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问
题 我们把地球表面抽象为平面 ，悬杆抽象为线段 或直线 上两点 ， ，则上述问题可以转化为如
下的数学模型：如图 ，一条直线 垂直于一个平面 ，直线 有两点 ， 位于平面 的同侧，求平面上
一点 ，使得 最大 建立如图 所示的平面直角坐标系 设 ， 两点的坐标分别为 ，
，设点 的坐标为 ，当 最大时， （ ）
A． B． C． D．
09 高考新考法—新定义基本不等式压轴题
36．（23-24高二下·广东江门·阶段练习）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从
A沿曲线段 运动到B点时，A点的切线 也随着转动到B点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为
（它等于 的倾斜角与 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当
夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当B越接
近A，即 越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线 在点 处
的曲率计算公式为 ，其中 ．
(1)求单位圆上圆心角为 的圆弧的平均曲率；
(2)已知函数 ，求曲线 的曲率的最大值；
(3)已知函数 ，若 曲率为0时x的最小值
分别为 ，求证： ．
一、单选题
1．（2024·甘肃定西·一模） 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列 满足 ，则 有（ ）
A．最小值 B．最大值18 C．最小值27 D．最大值4．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若正实数 满足 ，则 有最小值4
B．若正实数 满足 ，则
C． 的最小值为
D．若 ，则
5．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
6．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由
相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按
图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角
满足 ，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在 中， 为线段 的中点， 为线段 上一点，
，过点 的直线分别交直线 ， 于 ， 两点．设 ， ，
则 的最小值为（ ）A． B． C．3 D．6
8．（2024·天津·二模）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上的点 到 的距离为6，
双曲线 的左焦点 在抛物线的准线上，过点 向双曲线的渐近线作垂线，垂足为
，则 与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）．
A．2 B． C． D．3
二、多选题
9．（2024·河南信阳·一模）已知正数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·浙江·二模）已知正实数 ， ， ，且 ， ， ， 为自然数，则满足
恒成立的 ， ， 可以是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
三、填空题
12．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，
20，且总体的平均值为10．则 的最小值为 ．
13．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）《孙子算经》中提到“物不知数”问题.如：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，即 ，构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，则 的
最小值为 .
14．（2024·江西上饶·一模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为
．
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）记 的内角 所对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)求 的最小值．
16．（2023·全国·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 外接圆的半径为 ，求 的面积最大值．
17．（2024·四川·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为
．点 在直线 上运动，且直线 的斜率与直线 的斜率之商为2．
(1)求 的方程；
(2)若点A、B在椭圆 上， 为坐标原点，且 ，求 面积的最小值．
18．（2024·辽宁·模拟预测）（1）利用双曲线定义证明：方程 表示的曲线是焦点在直线 上的双
曲线，记为曲线 ；
（2）设点 在曲线 上， 在曲线 上，且满足 ，求 方程；
（3）点 在 上，过点 的直线 与 的渐近线交于 ， 两点，且满足 ，求 （ 为
坐标原点）的面积.
19．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数 在约束条件
的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数 ，其中 为拉格朗日
系数．分别对 中的 部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：，解此方程组，得出解 ，就是二元函数 在约束条件
的可能极值点． 的值代入到 中即为极值．
补充说明：【例】求函数 关于变量 的导数．即：将变量 当做常数，即：
，下标加上 ，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的 表示
分别对 进行求导．
(1)求函数 关于变量 的导数并求当 处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 满足 ，求 的最大值．
(3)①若 为实数，且 ，证明： ．
②设 ，求 的最小值．
