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重难点 04 指、对、幂数比较大小问题【八大题型】
【新高考专用】
从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，
往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序比较大小，主要涉及指数与对数的
互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质等知识，一般以选择题或填空题的形式
考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.
【知识点1 指、对、幂数比较大小的常用方法】
1．单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同时，如 和 ，利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同时，如 和 ，利用指数函数 单调性比较大小.
2．中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者
其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的
判定．
3．作差法、作商法：
(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
4．估算法：
(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
5．构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.
6．放缩法：
(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
(2)指数和幂函数结合来放缩；
(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.
【题型1 利用函数的性质比较大小】
【例1】（2024·四川资阳·二模）已知a=40.3，b=30.4，c=ln2，则（ ）
A．cb>a B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
【变式3-1】（2024·江西上饶·模拟预测）设 1 a 1 1 − 1 ，则有（ ）
( ) =2,b=log ,c=( ) 3
3 1 3 2
2
A．ab>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
√ 2
【变式4-1】（2024·陕西西安·模拟预测）若a=0.311.5,b=log 12,c=log 6,d=3− ，则有（ ）
3 2 3
A．a>b>c B．b>a>d
C．c>a>b D．b>c>a
ln2 ln3 ln5
【变式4-2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）若a= ，b= ，c= ，则（ ）
2 3 5
A．ab>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a
【变式5-3】（2024·河南·模拟预测）已知实数 满足 ，
a,b,c a2+log a=0,2023−b=log b,c=log √6
2 2023 7
则（ ）
A．a0)，则（ ）
A．ab D．无法确定
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知
a=
(1) a
,
(1) b
=log b,ac=log c
，则实数
a,b,c
的大小关系为
2 2 a 1
2
（ ）
A．ab>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b
【变式7-1】（2024·云南·模拟预测）已知 ，则（ ）
a=log 9,b=log 16,c=e−2
16 25
A．b>a>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
【变式7-2】（2024·湖南·模拟预测）已知a=log 2,b=log 3,c=log 5，则下列结论正确的是（ ）
3 5 8
A．ab>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b
【题型8 放缩法比较大小】
【例8】（2024·四川乐山·三模）若 ，则 的大小关系是（ ）
a=log 2,b=log 3,c=e−2 a,b,c
3 4
A．bb>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b
一、单选题
1．（2024·福建泉州·一模）若实数a>b>0，则下列不等式一定不成立的是（ ）
1 1
A．0.3a<0.3b B．lga>lgb C． < D．√a>√b
a−1 b−1
2．（2024·四川眉山·一模）若 ， ， ，则（ ）
a=log 91.1 b=log 0.2 c=40.40
3 0.5
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
3．（2024·宁夏吴忠·一模）已知 ，则（ ）
a=0.23,b=30.2,c=log 3
0.2
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
5 3+log 2
4．（2024·四川宜宾·一模）已知a= ，b=√3，c= 3 ，则（ ）
3 2
A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
5．（2024·四川雅安·一模）下列不等式成立的是（ ）
A．
(3)
3
2
<
(3) 3
4 B．log 5
√5
D．(√2) 3.9>3.9
4 4 2 4 7 5
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为
（ ）
1 1
A． > B．ln(a+1)>ln(b+1)
a b
C．a3>b3>0 D．√a−1>√b−1
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，记 ，则
f (x)=ex2−2x a=f (log 2),b=f (log 3)⋅c=f (log 5)
3 5 7
（ ）
A．aa>c B．c>b>a
C．a>c>b D．a>b>c
二、多选题
9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（ ）
A． B．
2−0.01>2−0.001 log √3>log π−1
2 2
C． D．
log 5e−0.01
1.8 1.7 3
10．（2024·贵州·模拟预测）已知01，则（ ）
A．ammb
C．log a>log b D．log m>log m
m m a b
11．（2024·吉林·模拟预测）若b>a>0，则下列不等式成立的是（ ）
a+b 1 1
A．a<√ab< (b−a) 2
2 2 2
三、填空题
1
12．（2024·北京昌平·二模） 三个数中最大的数是 .
3−2,23,log 5
2
1
13．（2024·北京通州·三模）已知a=2−1.1，b=log ，c=log 3，则三者大小关系为 （按从小到
1 3 2
4
大顺序）
14．（2024·吉林长春·模拟预测）已知
a=log
√2，
b=
(√2)− √
3
3，
c=ln
√1，则a，b，c的大小关系为
√3 2 2 e
3
．
四、解答题
(2) x 3 c=log x
15．（23-24高一·上海·课堂例题）设a=
3
， b=x2 及
3
2 ，当x>1时，试比较a、b及c之间的大
小关系．16．（23-24高一上·湖南长沙·期末）比较下列各组数中两个数的大小：
(1)log 3.4，log 3.8；
2 2
(2)log 1.8，log 2.1；
0.5 0.5
(3)0.60.6，0.61.5.
17．（2024高三·全国·专题练习）已知a,b均为正实数，且a≠1．
a b 1 1
(1)比较 + 与 + 的大小；
b2 a2 a b
(2)比较 和 的大小．
log (b3+1) log (b2+1)
a a
18．（24-25高一·全国·随堂练习）已知 x=lnπ ，y=log 2， − 1．
5 z=e 2
(1)比较x，y的大小；
(2)比较y，z的大小．
19．（23-24高一·全国·随堂练习）比较下列各题中两个数的大小：
(1)log 0.7，log 9.1；
6 6
(2)log 7，log 9；
0.2 0.2(3)log 5，log 5；
0.3 3
(4)log 2，log 6（a>0，a≠1）．
a a
