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重难点 2-1 指对幂比较大小 8 大题型
函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐。每年高考基本都会出现，
难度逐年上升。高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混
在一起，进行排序。这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。
【题型1 直接利用单调性比较大小】
满分技巧
当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该
函数的单调性比较
（1）底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如 和 ，利用幂函数 的单调性；
（3）底数相同，真数不同，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
（4）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。
【例1】（2023·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）已知 则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·广东湛江·高三统考期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·天津·高三统考期末）设 ， ， ，则 的大小关系为（
）A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·四川攀枝花·统考二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 作差作商法比较大小】
满分技巧
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法
【例2】（2023·四川成都·校联考一模）若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（
）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·山东青岛·高三莱西市第一中学校联考期中）已知 ， ， ，则（
）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·全国·高三统考阶段练习）已知 ，则正数 的大小
关系为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 中间值/估值法比较大小】
满分技巧
中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用
函数的性质比较大小；
估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；【例3】（2024·天津红桥·高三统考期末）设 ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·河北石家庄·高三校联考期末）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）设 ， ， ，则a，b，c的大小
关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·广东肇庆·统考模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 含变量式子比较大小】
满分技巧
当比较的几个数都含参数时，可尝试把参数取一个具体的实数，通过估算来比较大小。也可通过函数的
单调性，结合图象进行比较。
【例4】（2023·安徽淮南·高三校考阶段练习）设 ， ， ，其中 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·河南·模拟预测）（多选）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）（多选）已知 ， ，
则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知 ， ， ，.则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 构造函数比较大小】
满分技巧
构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
【例5】（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（
）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）设 ， ，则
下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·全国·高三课时练习）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 数形结合比较大小】
满分技巧
当比较的几个数都可转化为两个函数的零点时，可数形结合，通过函数图象的交点来比较大小。【例6】（2024·全国·模拟预测）已知 ，则实数 的大小关系为（
）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·福建·高三校联考阶段练习）已知正实数 ， ， 满足 ，
则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数 ， ，
的零点分别为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2022·内蒙古呼和浩特·统考二模）若 ， ， ，则x、y、z由小到
大的顺序是 .
【题型7 放缩法比较大小】
满分技巧
1、放缩法的解题思路：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一
些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
2、常见放缩不等式
（1） ；
（2） ； ；
（3）
【例7】（2024·全国·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B． C． D．【变式7-1】（2023·云南大理高三模拟）若 ， ， ，则 的大小关系为（
）
A． B． C． D．
【变式7-2】设 ，则 的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，
我们得到如下结论：当 或 时， ；当 时， ，请比较 ， ，
的大小关系
A． B． C． D．
【题型8 泰勒展开式比较大小】
满分技巧
常见函数的麦克劳林展开式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【例8】（2023·江苏连云港·高三海州高级中学校考阶段练习）已知 ，则（
）
A． B． C． D．
【变式8-1】已知 ，则（ ）【变式8-2】（2023·广东广州·高三华南师大附中校考） ， ， ，则a，b，c的大小关
系是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）设 ， ， ，这三个数的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林·统考一模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽铜陵·高三统考阶段练习）设 ，则 的大小关系为（
）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏连云港·高三统考期中）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·广东·校联考二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知 ，则（
）
A． B． C． D．9．（2023·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·广东·高三茂名市第一中学校联考阶段练习）已知正数a，b，c满足
，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·江西·统考模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·四川·高三南江中学校联考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·江苏南通·高三统考期末）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·黑龙江双鸭山·高三校考期末）设 ，其中 是自然对数的底数，
则（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·海南·高三校联考阶段练习）设 ， ， ，则（
）
A． B． C． D．
18．（2023·云南大理·统考一模）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系正确的是（
）
A． B． C． D．
19．（2024·湖南邵阳·统考一模）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·全国·校联考模拟预测）设 ， ， ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
