文档内容
专题 2-7 导数大题求参归类
目录
题型01 恒成立求参：常规型..............................................................................................................................................1
题型02 恒成立求参：三角函数型......................................................................................................................................5
题型03恒成立求参：双变量型.........................................................................................................................................10
题型04 恒成立求参：整数型............................................................................................................................................13
题型05恒成立求参：三角函数型整数.............................................................................................................................17
/题型06“能”成立求参：常规型....................................................................................................................................21
题型07“能”成立求参：双变量型..................................................................................................................................24
题型08 “能”成立求参：正余弦型................................................................................................................................28
题型09 零点型求参：常规型............................................................................................................................................31
题型10 零点型求参：双零点型........................................................................................................................................35
题型11 零点型求参：多零点综合型................................................................................................................................40
题型12 同构型求参：x，x 双变量同构.........................................................................................................................44
1 2
题型13 虚设零点型求参....................................................................................................................................................47
高考练场..............................................................................................................................................................................50
题型 01 恒成立求参：常规型
【解题攻略】
利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的
关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范
围最后取并集.
【典例1-1】（2024上·北京·高三阶段练习）设 ，函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求a的取值范围；
(3)若 ，求a．
【答案】(1) 在 单调递减，在 单调递增(2) (3)
【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）构造函数 ，分类讨论 与 ，结合（1）中结论即可得解；
（3）构造函数 ，利用导数分类讨论 的取值范围，结合 的单调性即可得解.
【详解】（1）因为 的定义域为 ， ，
则 ，令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 单调递减，在 单调递增.（2）因为 ，所以 等价于 ，
记函数 ，当 时， ，不合题意；当 时，由（1）知 ，解得 ；
综上， 的取值范围是 .
（3）记函数 ，则 ，
若 ，令 ，得 ；令 ，得 ；
在 单调递增，在 单调递减，故 ，符合题意；
若 ，当 时， ，则 在 单调递减，
故 ，不合题意；若 ，当 时， ，则 在 单调递增，
故 ，不合题意；若 ，当 时， ，则 在 单调递增，
故 ，不合题意.综上， .
【典例1-2】（2024上·甘肃武威·高三统考期末）已知函数 .
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先求解出 ，然后根据 的正负确定出 的单调性，然后可求 的最大值；
（2）先求解出 ，令 的分子部分为 ，再根据 与 的关系进行分类讨论：当 时，根据
（1）的结果进行分析；当 时，根据 解析式各部分取值正负进行分析；当 时，根据 的
正负再进行讨论，由此求解出结果.
【详解】（1）由题可知 的定义域为 ，当 时， ，
因为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
当 时，由（1）知 ，不满足题意；
当 时， ，所以 恒成立，不满足题意；当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，所以 .
①当 时，因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，所以 满足题意，
②当 时，因为 在 上单调递减，且 ，
所以存在 ，使得 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，所以当 时， ，不满足题意，
综上所述， .
【变式1-1】（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知函数 ．
(1)若 在 上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若 对 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先求 ，然后将问题转化为“ 对 恒成立”，然后通过分
离参数结合函数的单调性求解出 的取值范围；
（2）将问题转化为“ 对 恒成立”，然后构造函数
，通过多次求导分析函数单调性的过程求解出 的取值范围.
【详解】（1）因为 ，又 在 上单调递增，
所以 对 恒成立，所以 对 恒成立，
所以 对 恒成立；令 ，且 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，即 的取值范围是 ；
（2）因为 对 恒成立，所以 对 恒成立，
设 ，所以 ，令
，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，所以 ，
当 时，即 ， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，满足条件；当 时，即 ， ，且 时， ，
所以 在 上有唯一零点，记为 ，则 ，即 ， 单调递增， ， 单调递减，
故当 时， ，与题意矛盾，综上所述， 的取值范围是 .
【变式1-2】（2024上·山西·高三期末）已知函数 ， .
(1)求证：函数 存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间 的长度 的取值范围；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析， (2)
【分析】（1）先求 ，然后分析 的根，由此完成证明；利用韦达定理表示出 结合 的
范围求解出其范围；
（2）将问题转化为“ 在 上恒成立”，建立函数
，通过多次求导分析函数单调性的过程求解出 的取值范围.
【详解】（1） ，令 ，
因为 ，二次函数对称轴 ， ，且
恒成立，
所以 恒有两个不相等的正实根，且这两个正实根分别为 ， ， ，
所以 的单调递减区间是 ，所以单调递减区间 的长度
，
因为 ，所以 的取值范围为 ；
（2）由题意 在 上恒成立，即 在
上恒成立，
令 ，则 ，令
，
则 ，令 ，则 ，令
，
则 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，
，
所以 在 上单调递减， ，
当 ，即 时， ，所以 在 上单调递减， ，
所以 在 上单调递减， 成立，所以 ；
当 ，即 ，单调递减函数 在 时， ，且 ，所以 在 上有根，记为 ，在 上， ，在 上 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，函数 在 时，
，
因此 在 上有解，记为 ，在 上， ， 单调递增，而 ，
因此在 上， ，从而在 上 不恒成立，
综上所述， 的取值范围是 .
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）第一步：求函数 的定义域与导函数 ，第二步：分 ， 分别讨论 的正
负，得函数 的单调区间.
（2）第一步：转化不等式，第二步：构造新函数 并求导，第三步：分 ， 分别讨论 的
单调性，求出其最值，第四步：总结，得 的取值范围.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， 在区间 上单调递增；
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）当 时 恒成立，等价于当 时，
恒成立．
设 ，则当 时， 恒成立，
．
①当 时，由 可得 ， ， ，又 ， ，
在 上单调递增，而 ， 当 时． 恒成立．
②当 时，令 ，则 ．
， ， ，且 ，
因此 ，即 在 上单调递增， 当 时， ．
当 ，即 时， ， 当 时， ， 在 上单调递增．， 当 时， 恒成立．
当 ，即 时， ， ．
， ，而 ，因 ，故 ，
而 在 单调递增， 当 时， ，
在 上单调递减，从而当 时， ，不符合题意．
综上所述， ，即实数 的取值范围是 ．
题型 02 恒成立求参：三角函数型
【解题攻略】
三角函数与导数应用求参：
1. 正余弦的有界性
2. 三角函数与函数的重要放缩公式： .
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)求证： 时， ；
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见详解(2) (3)
【分析】（1）根据题意，转化为 ，令 ，利用导数求得 的单调性，结合
，即可得证；
（2）令 ，转化为 在 上恒成立，令
在 上恒成立， 求得 ，分 、 和 ，
三种情况讨论，即可求解；
（3）由（1）（2），令 ，转化为 在 上恒成立，令
在 上恒成立． 分 、 和 ，三种情况讨论，结合函数的单
调性和最值，即可求解.
【详解】（1）证明： 时，求证 等价于求证 ，
令 ，则 ，故 在 上单调递减，故 ，不等式成立．
（2）解：令 ，因为 ，所以题设等价于 在 上恒成立，即 在 上恒
成立，
可得 ，且 ， ．
（i）当 时，在 上 ， ，故 ，所以 ，符合题意；
（ii）当 时， 在 上恒成立，故 在 上单调递增，故
，所以 ，符合题意；
（iii）当 时， ， ，
故必存在 ，使得 ，且当 时， ，
故 在 上单调递减，故在 上 ，不符合题意．
综上所述：实数a的取值范围是 ．
（3）解：由（1）知： 在 上恒成立．
由（2）知：当 时， ，即 在 上恒成立．
令 ，
因为 ，所以题设等价于 在 上恒成立，
即： 在 上恒成立．
（i）当 时，在 上 ， ，故 ，所以 ，符合题意；
（ii）当 时， ，
令 ， ，
则
，
所以 在 上单调递增，所以 ，故 ，所以 ，
符合题意；
（iii）当 时， ，
当 且 时， ，故 ，不符合题意．
综上所述：实数 的取值范围为 ．
【典例1-2】（2023上·全国·高三期末）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；(2)求 在区间 上的最大值；
(3)设实数a使得 对 恒成立，求a的最大整数值.
【答案】(1) (2) (3)-2
【分析】（1）求出函数在 处的导数，即切线斜率，求出 ，即可得出切线方程；
（2）求出函数在区间 上的单调性，求出最值即可；
（3）依题意，将不等式等价转化为 在R恒成立，构造函数 ，利用导数求出函
数的单调性和最小值的范围，进而求解.
【详解】（1） ， ，
， ，所求切线方程为 ，即 ，
所以切线方程为 .
（2）令 ，则 ，当 时， ， 在 上单
调递增.
又 ， ， ，使得 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
又 ， ，
所以函数 在区间 上的最大值为 .（3）不等式 恒成立等价于 恒成
立,
令 ，当 时， ， 恒成立,
当 时，令 ，则 , 当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增， ，
当 时， ；当 时， ， 的值域为 ,
， ， ，所以a的最大整
数值为-2.
【变式1-1】（2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增(2)【分析】（1）求导函数，对进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性；
（2）由题意，构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，多次构造函数，通过导
数研究单调性以及特殊点，即可求解.
【详解】（1） ，则 ，
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
综上， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（2）由题意得 对任意 恒成立，令 ，则
.
若 ，当 时， .令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，且 ，
即 ，令 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，且 ，即 ，
所以当 时， ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，且 ，即 恒成立.
当 时， ，存在实数 ，使得 ，均有 ，
则 在区间 上单调递减，且 ，不符合题意.
综上，实数 的取值范围是 .
【变式1-2】（2023上·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知函数
为其导函数．
(1)求 在 上极值点的个数；
(2)若 对 恒成立，求 的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用指数函数的单调性与三角函数有界性分段讨论 的符号，由此得函数 的单调
性与极值；
（2）先探求恒成立的必要条件，再证明其充分性.充分性的证明先构造函数，再利用导函数研究函数单调
性，结合（1）结论可证.
【详解】（1）
①当 时， ，所以 ， ，则 ，
所以 在 单调递增；②当 时，则 ，
设 ，则 ，
且 ， ，则 ，所以 在 单调递减，
又 ，故存在 ，使得 ，即 ，
且在 上， ，在 上， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
③当 时，则 ，所以 ，又 ，
所以 ，故 在 上单调递减；
④当 时，则 ，所以 ，又 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，所以 在 上单调递增；
⑤当 时，则 ， ，
所以 ， 在 上单调递增；
综上所述， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 在 上仅有 个极值点.
（2）当 时， 恒成立，即 .
令 ，若 对 恒成立，由 ，
，
所以当 时， 取得最小值.由 ，
则 为函数 的极小值点，故 ，解得 .
下面证明：当 时， 为函数 的最小值点， ，
令 ，
由（1）可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，且 ，
所以当 时， 的最小值为 ，则 恒成立，即 在 上恒成立，
所以 即 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 恒成立，符合题意.综上所述， .题型 03 恒成立求参：双变量型
【解题攻略】
一般地，已知函数 ，
(1)若 ， ，总有 成立，故 ；
(2)若 ， ，有 成立，故 ；
(3)若 ， ，有 成立，故 ；
(4) 若 ， ，有 成立，故 ．
【典例1-1】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)设函数 ，当 有两个极值点 时，总有
成立，求实数 的值．
【答案】(1) 单调递增， 单调递减(2)
【分析】（1）求出导函数 ，由 得增区间，由 得减区间；
（2）求出 ，由 有两个不等实根 ，结合判别式韦达定理得 且 ，
所以 ．不等式中消去 得关于 的不等式，分离参数转化为求函数的最值，从而得出结论．
【详解】（1） 时，函数 的定义域为 由 解得 ．
当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 单调递增．
（2） ，则 ．
根据题意，得方程 有两个不同的实根 ，
，即 且 ，所以 ．
由 ，可得 又
总有 对 恒成立．
①当 时， 恒成立，此时 ；
②当 时， 成立，即
令函数 ，则 在 恒成立
故 在 单调递增，所以 ．
③当 时， 成立，即
由函数 ，则 ，解得
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减又
，当 时， 所以 ．综上所述， ．【典例1-2】（2024上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数 ，其中 .
(1)讨论函数 在 上的极值；
(2)若函数f(x)有两零点 ，且满足 ，求正实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）求出 ，分 、 讨论，可得答案；
（2）由零点存在定理可知 ，而题设 ，消去a可得 ，令
，且 ，求出 ， ，将其代入 得 ，再利用导数
分 、 讨论可得答案..
【详解】（1）由 知 ，
1）当 时，且有 ， ， 单调递增，故无极值；
2）当 时，有 ， ， 单调递减，而 ， ， 单增，故
， 无极大值.综上，当 时， 无极值；
当 时， 极小值为 ， 无极大值；
（2）由（1）可知当 时， ， ，且 ，
由零点存在定理可知 ，而题设可知 ，消去a可得
，令 ，且 ，即 ， ，
将其代入 ，整理可令得 ，而 ，
1)当 时，且 ，有 ， 单调递增， ，满足题设；
2)当 时，且 ，有 ， 单调递减， ，不满足题设；
综上， 的取值范围为 .
【变式1-1】（2023·上海松江·校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极值点；
(2)若不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若函数 有三个不同的极值点 、 、 ，且 ，求实数a的取值范围.
【答案】(1)1(2) (3)
【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性，即可求函数的极值点.
（2）由 分离常数 ，利用构造函数法，结合导数来求得 的取值范围.
（3）首先根据 有 个不同的极值点求得 的一个范围，然后化简不等式
，利用构造函数法，结合导数求得 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ， ，
当 时， ， 时， ，所以函数在区间 单调递增，在区间 单调递减，所以函数在 处取得极大值，函数的极值点为1；
（2）函数 的定义域为 ，不等式 恒成立，即 在 上恒成立，
记 ，则 ，得到 在区间 上 单调递减，
在 上 单调递增，则 ，即 在区间 上恒成立，
分离变量知： 在 上恒成立，则 ，
，由前面可知，当 时，
恒成立，即 ，所以 在区间 上 单调递减，
在区间 上 单调递增，所以 ，所以 ．
（3） ，设曲线 图象上任意一点
，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
将 代入得 ，故切点为 ，过 的切线方程为 ，
所以直线 和曲线 相切，并且切点坐标为 ，
所以当且仅当 时，方程 有两个不相等的实根 ， ，并且 ，
从而当 时， 有三个极值点 ， ， ，并且 ， ， ，
取对数知： ， ，即 ， ，
则
．构造 ，
在 时恒成立，
则 在区间 上单调递增，且 ，
从而 的解为 ，
综上所述 ．
【变式1-2】（2023下·山东德州·高三校考阶段练习）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 存在两个极值点 的取值范围为 ，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）根据导数与单调性的关系可直接求解；（2）先根据（1）的结论和韦达定理把 化简为 ，然后通过比值代换构造新
函数，再通过研究新函数求出结果.
【详解】（1） 的定义域是 ，因为 ，
所以 ，令 ，则 .
①当 或 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增.
②当 ，即 时，由 ，得 或 ；
由 ，得 ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）知当 时， 有两个极值点，即方程 有两个正根 ，
所以 ，则 在 上单调递减，所以 ，
，则
，
令 ，则 ， ，
所以 在 上单调递减，
又 ，且 ，
所以 ，由 ，
又 在 上单调递减，所以 且 ，所以实数 的取值范围为 .
题型 04 恒成立求参：整数型
【解题攻略】
恒成立求参的一般规律①若 在 上恒成立，则 ；
②若 在 上恒成立，则 ；
③若 在 上有解，则 ；
④若 在 上有解，则 ；
如果参数涉及到整数，要注意对应解中相邻两个整数点函数的符号
【典例1-1】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知 ．
(1)若 恒成立，求实数 的取值范同：
(2)设 表示不超过 的最大整数，已知 的解集为 ，求 ．（参考数据：
， ， ）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得函数的最小值，进而可得参数范围；
（2）由 ，可得 ，分情况讨论该不等式是否有解，可得
，进而可得 .
【详解】（1）由 ，得 ，令 得 ，当 时， ，
当 时， ．所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，因为 恒成立，所以 ，即 ，解得
；
（2）由 ，得 ，则 ，
设函数 ， ，令 ，可得 ，
所以当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，则当 时，即 时，
由（1）得 在 单调递增， 恒成立，且当 时， ；
当 时，即 时，由（1）知 在 单调递减， ，不符合
题意；
当 时，易知 有解；
因为 的解集为 ，则 ，所以 ，即 ．
【典例1-2】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ，
为自然对数底数．
(1)证明：当 时， ；
(2)若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最小值．
答案】(1)证明见解析；(2)4.
【分析】（1）记 ，利用导数研究单调性，结合 可证；（2）构造函数 ，根据 确定 ，再构造函数
，利用导数求函数 的最大值，结合（1）中结论即可确定a的最小值.
【详解】（1）记 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以，当 时， ，即 .
（2）令 ，由题可知，当 时， 恒成立.
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，因为 ，所以 .
当 时， ，故 .
当 时，不等式 等价于 ，
设 ，由（1）知， ，
，记 ，
易知， 在 上单调递减，且 ，
所以，当 时， ，即 ， 单调递增；
当 时， ，即 ， 单调递减.
故当 时， 取得最大值 .
所以， 在区间 上恒成立，所以，整数 的最小值为4.
【变式1-1】（2023·江西景德镇·统考一模）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 值域；
(2)是否存在正整数a使得 恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不存在，请说明理
由.【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）由题设 ，对其求导，利用导数研究单调性，再根据区间单调性求值域即
可；
（2）问题化为 在 上恒成立，构造 ，讨论
、 、 ，并应用导数研究 单调性，进而判断函数值符号，即可求参数取值.
【详解】（1）由题设 ，则
，
若 ，则 ， ，可得 ， 递增；
若 ，则 ， ，可得 ， 递减；
又 ，综上， ，值域为 .
（2）由 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，且 ，
当 ， ，（舍）；
当 ，则 ，故 ，
令 ，则
，
又 ，对于 ，有 ，即 递增，
所以 ，故 恒成立，
所以 ，即 在 上递增，又 ，则 ，
所以 在 上递增，又 ，即 ， ，符合题意；
当 ，令 ，则 ， ，
所以 （舍）；
综上，正整数a的取值集合 .
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)若函数 的图象在点 处的切线与函数 的图象相切，求k的值；
(2)若 ，且 时，恒有 ，求k的最大值．
（参考数据： ）
【答案】(1)1或9(2)7
【分析】（1）求出 在点 处的切线方程为 ，从而设出 ，由 ，得到方程组，求出k的值；
（2）参变分离得到当 时， 恒成立．构造函数，求导得到其单调性，结合隐零
点得到 ，结合 ，求出 ，从而求出k的最大值.
【详解】（1）∵ ，∴ ， ，从而得到 ，
∴函数 的图象在点 处的切线方程为 ，即 ．
设直线 与 的图象相切于点 ，
从而可得 ， ，又 ，∴ ，解得 或 ，
∴k的值为1或9．
（2）由题意知，当 时， 恒成立，等价于当 时， 恒成
立．
设 ，则 ，
记 ，则 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增．又 ，
，
∴在 上存在唯一的实数m，且 ，使得 ①，
∴当 时， ，即 ，则 在 上单调递减，
当 时， ，即 ，则 在 上单调递增，
∴当 时， ，
由①可得 ，∴ ，
由对勾函数性质可知 在 上单调递增，
其中 ，
，
∴ ，又 ，∴k的最大值是7．题型 05 恒成立求参：三角函数型整数
【典例1-1】（2020·云南昆明·统考三模）已知 ．
（1）证明： ；
（2）对任意 ， ，求整数 的最大值．
（参考数据： ）
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【解析】（1）求导得到单调区间，计算 得到证明.
（2）令 ，则 ，计算得到 ，再证明 恒成立即可，令
，证明 在 上单调递增，计算得到答案.
【详解】（1） ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
所以 ，所以 ．
（2）由 恒成立，令 ，则 ，由 ，得整数 ，
因此 ．下面证明对任意 ， 恒成立
即可．
由（1）知 ，则有 ，由此可得：
，
令 ，则 ，
设 ，又 ，所以 单调递增，
当 时， ， 在 上单调递增．
故当 时， ，所以 恒成立，
综上所述：整数 的最大值为2．
【典例1-2】（2020上·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数 ， .
（1）若 ，求函数 在 上的单调区间；
（2）若 ，不等式 对任意 恒成立，求满足条件的最大整数b.
【答案】（1） 在 上单调递增，在 上单调递减；（2）3；
【解析】（1）利用导数研究函数的单调区间即可；
（2）根据分析 知在 上 恒成立，分类讨论参数
，当 时不等式恒成立， 时， 不能恒成立， 时， 上恒成立，在 也要恒成立则必须要 ，有
，结合基本不等式即可求 的范围，进而得到最大整数值.
【详解】（1）当 时， ，
，而 时， ，∴ 时， 在 上单调
递增，
时， 在 上单调递减；综上， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2） ， ，令 由 知：
， 时 ，而 知 ，
∴ ，使 在 上单调增，在 上单调减；而 ，
∴ 在 上 恒成立.∴当 时， 有 恒成立.
当 时，有恒有 ，令 即 ，
∴ 上 ，而在 上，令 ，
，即 单调减，又 ，
所以 使 ，即 上 ， 单调增， 上 ， 单调减，
∴综上， ，使 在 上单调增， 上单调减；又 ，
1、 时， 在 上单调减， 上单调增，且 ，故此时不能保证
恒成立；
2、 时， 上 恒成立；在 上要使 恒成立，
令 ，有 恒成立，
所以只要 单调递增即可，有 成立，
即
综上，知： 时不等式 对任意 恒成立，故 .
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， 为 的导函数．
(1)讨论 在区间 内极值点的个数；
(2)若 ， 时， 恒成立，求整数 的最小值．
【答案】(1)答案见解析；(2)1.【分析】（1）对函数进行求导得出 ，令 ，求导得 ，对 进行
分类讨论，利用导数研究函数的单调性和极值，从而求得 在区间 内极值点的个数；
（2）由 ， 时， 恒成立，求得 ，进而证明 时， 在 ， 恒成立，
利用放缩法得到 ，设 ， ， ，
从而得出 ，利用导数研究函数的单调性和最值，从而证得 ，即 恒成立，
由此确定整数 的最小值.
【详解】（1）解：由 ，得 ，
令 ，则 ， ， ， ，
当 时， ， 单调递增，即 在区间 内无极值点，
当 时， ， ，故 ，
故 在 单调递增，又 ， ，
故存在 ，使得 ，且 时， ， 递减，
， 时， ， 单调递增，故 为 的极小值点，
此时 在区间 内存在1个极小值点，无极大值点；
综上：当 时， 在区间 内无极值点，当 时， 在区间 内存在1个极小值点，无
极大值点．
（2）解：若 ， 时， 恒成立，则 ，故 ，
下面证明 时， 在 ， 恒成立， ， 时， ，故 时，
，
令 ， ， ，故 ，
令 ，则 ， 在区间 ， 单调递增，
因为 ， ，所以 在 上存在零点 ，
且 时， ； 时， ，故 在 上为减函数，在 上为增
函数，
又 ， ， ，
故存在 ， ，使得 ，且 ， 时， ， 递增，
， 时， ， 单调递减，故 时， 取得最大值，且 ，
， ， ，故 单调递减，故 ， 时， 即 成立，综上，若 ， 时， 恒成立，则整数 的
最小值1
【变式1-2】（2023·云南保山·统考二模）设函数 ，
(1)求 在区间 上的极值点个数；
(2)若 为 的极值点，则 ，求整数 的最大值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）求得 ，令 ，可得 ，分
和 ，两种情况讨论，求得函数的单调性，结合极值点的概念，即可求解；
（2）由题意得到 ，化简 ，令 ，转化为 ，记
，求得 ，当 和 ，两种情况求得函数的单调性，结合
和（1）中的极值点，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 ，可得 ，令 ，可
得 ，①当 时， ， 单调递增，无极值点；
②当 时， ， 单调递减，又 ， ，故存在唯一
，使得 ，
当 时， ；当 时， ，故 在 上单调递增，在 上单调递
减， 有极大值点 ，综上可得， 在区间 上有1个极值点.
（2）解：若 为 的极值点，则 ，即 ，
由 ，
令 ， ，即 .
记 ，即 ，则 ，
①当 时， ，故 在 上单调递增，所以 ，符合题意；
②当 时，若 ，
则 ，故 在 上单调递减，
由（1）这 在区间 上存在极值点，记为 ，则 ，
故 ，不符题意，综上可得，整数 的最大值为1./题型 06“能”成立求参：常规型
【解题攻略】
形如 的有解的求解策略：
1、构造函数法：令 ，利用导数求得函数 的单调性与最小值，只需 恒
成立即可；
2、参数分离法：转化为 或 恒成立，即 或 恒成立，只需利用导数求
得函数 的单调性与最值即可.
【典例1-1】（2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）已知函数 ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围.
注： 为自然对数的底数.
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）求出函数的导数，对 讨论，分为 和 两种情形，通过导数与0的关系可判断单调
区间；
（2）依题转化为 ，设 ，即 ，，应用导数求最值，对对 讨论，
分为 和 ， 三种情形讨论即可求解.
【详解】（1）∵ ，定义域为 ，∴ ，
当 时，∴ ，∴ 的递增区间是 ；
当 时，由 ，得 ，∴ 的递增区间是 ，
，得 ，递减区间是 ；
（2）∵ ，∴ ，∴ ，
设 ，∴ ，
当 ， ， 在 上单调递增，∴ ， ，不符合
题意，
当 ，则存在唯一的 ，使得 .
当 ，使得 ，当 ，使得 .
当 ， 单调递减，当 ， 单调递增，∴ ，∴ ，这与
矛盾.当 ， ， 在 上单调递减，
∴ ，∴ ，综上，
【典例1-2】（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知函数 ， 是
的导函数.
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若存在实数 使 成立，求 的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 (2)
【分析】（1）求导函数，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）分类讨论求解函数的 最大值，然后利用有解问题转化求解即可.
【详解】（1） ，所以 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2） ，则 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减；
所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，不符合题意；
当 时，令 得 ，令 得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增.
当 时， ，所以 在 上单调递增， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，符合题意；
当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增， ，
所以 ，若 ，即 ，则 在[0，1]上单调递减，
所以 ，不符合题意；
若 ，即 ，则存在 ，使 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
若存在 使成立，则 ，
解得 ，所以 .综上： 的取值范围为 .【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若存在 ，使得 ，求实数 的最小值．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）根据题意，求导得 ，然后分类讨论，即可得到 的单调区间；
（2）根据题意，分离参数可得 ，构造函数求其最小值，即可得到结果.
【详解】（1）因为 ，
所以 的定义域为 ．
当 时， ；
当 时，令 ，解得 或 （舍去），
所以当 时， ，当 时， ．
综上：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增．
（2）若存在 ，使得 ，则存在 ，使得 成立，
令 ，令 ，则 ，
当 时， ，即 在 单调递减，
当 时， ，则 在 单调递增，
所以 在 取得极小值，即最小值，所以 ，即 在 上恒成立，
即存在 ，使得 成立，即 ．
令 ，则 ，
令 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即实数 的最小值为 ．
【变式1-2】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；(2)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
【答案】(1)在 上单调递增，在 上单调递减(2)
【分析】（1）根据导数的性质进行求解即可；
（2）根据导数的性质，结合导函数零点之间的大小关系分类讨论进行求解即可.
【详解】（1） 时， ， .
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
即函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）函数 的定义域为 ， ，由已知 可知 ，
∴ .
①当 时，则 ，则当 时， ，∴函数 在 单调递增，
∴存在 ，使得 的充要条件是 ，即 ，
解得 ；
②当 时，则 ，则当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增.
∴存在 ，使得 的充要条件是 ，
而 ，不符合题意，应舍去.
③当 时， ，函数 在 上单调递减，又 ，成立.
综上可得： 的取值范围是 .
题型 07“能”成立求参：双变量型
【解题攻略】
一般地，已知函数 ，
（1）相等关系
记 的值域为A, 的值域为B,
①若 ， ，有 成立，则有 ；
②若 ， ，有 成立，则有 ；
③若 ， ，有 成立，故 ；（2）不等关系
(1)若 ， ，总有 成立，故 ；
(2)若 ， ，有 成立，故 ；
(3)若 ， ，有 成立，故 ；
(4) 若 ， ，有 成立，故 ．
【典例1-1】（2022·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知函数 ，其中a≠0.
(1)若 ，讨论函数f(x)的单调性；
(2)是否存在实数a，对任意 ，总存在 ，使得 成立？若存在，求出实数a
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)f(x)在 单调递增， 单调递减；(2)存在；a＝ .
【分析】(1)求导讨论导数正负即可判断原函数单调性；
(2)根据a的范围分类讨论函数f(x)在[0，1]上的单调性并求最大值和最小值，判断是否满足已知条件即可.
【详解】（1） 时， ，当 时， ；当 时， ，
∴f(x)在 单调递增， 单调递减；
（2）存在满足条件的实数a，且实数a的值为 ．理由如下： ，
(i)当 时， ，∴f(x)在[0，1]上单调递减，∴ ，
则 ，∴此时不满足题意；
(ii)当 时，f(x)在 单调递增， 单调递减，
①当 时，即 ，f(x)在[0，1]单调递减，同上，此时不满足题意；
②当 时，即 时，f(x)在 单调递增， 单调递减，
∴ ，
当 时，对任意 ， ，
∴此时不满足题意；
③当 时，即 ，f(x)在[0，1]单调递增， ，
令 ，易知g(x)在[0，1]单调递减，
∴ ，
若对任意 总存在 ，使得 ，即使得 ，
∴ ，即 ，∴ ，∴ ，
综上所述，存在满足题意的实数a，且实数a的值为 ．
【典例1-2】（2023上·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）已知函数 ．(1)讨论函数 的单调性；
(2)若存在 ， 满足 ，且 ， ，求实数a的取值范围．
【答案】(1)当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增；
(2) .
【分析】（1）根据 的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；
（2）根据已知等式构造函数 ，利用导数的性质，结合一元二次方程的求解根公式判断该
函数的单调性，再通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ．
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．上所述，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2） ，
又 ，则 ．
令 ，即方程 在 上有解．令 ， ，
则 ， ． ，当 时， ， 在 上单调递减，
又 ，则 在 上恒成立，不合题意；
当 时， ，令 ，可知该方程有两个正根，
因为方程两根之积为1且 ，所以 ．
当 时， ，
当 时， ；
则 时， ，
而 ．
令 ，则 ，
令 ， ，则 在 上单调递减， ，
则 在 上单调递减， ，即 ，
故存在 ，使得 ，故 满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是 ．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
(1)若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)答案见解析(3)
【分析】（1）由题意可得出 ，可求得实数 的值；
（2）求出函数 的定义域，求得 ，对实数 的取值进行分类讨论，分析
的符号变化，由此可得出函数 的增区间和减区间；
（3）分析可知当 时，有 ，分析两个函数的单调性，可得出关于实数 的不等式，
综合可得出实数 的取值范围.
【详解】（1）解： ，则 ，其中 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ．
（2）解：函数 的定义域为 ，则 .
①当 时，对任意的 ， ，
由 ，可得 ；由 ，可得 ，此时函数 的增区间为 ，减区间为
；
②当 时，则 ，由 可得 ；由 可得 或 .
此时函数 的减区间为 ，增区间为 、 ；
③当 时，对任意的 ， 且 不恒为零，此时函数 的增区间为 ，无减区间；
④当 时，则 ，由 可得 ；由 可得 或 .
此时函数 的减区间为 ，增区间为 、 .综上所述，当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 ；
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 、 ；
当 时，函数 的增区间为 ，无减区间；
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 、 .
（3）解：对任意 ，均存在 ，使得 ，
所以，当 时，有 ． 在 的最大值 ．
由（2）知：①当 时， 在 上单调递增，
故 ，
所以， ，解得 ，此时 ；
②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
由 ，知 ，所以， ，则 ，则 .
综上所述 的取值范围是 ．
【变式1-2】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在区间 上的最大值和最小值;
(2)若对任意的 ，均存在 ，使得 ，求a的取值范围．
【答案】(1)最大值为 ，最小值为 ；(2) .
【分析】（1）利用导数研究 的区间单调性，进而确定端点值和极值，比较它们的大小，即可得最值；
（2）将问题转化为 、 上 ，利用二次函数性质及导数求函数最值，
即可得结果.
【详解】（1）由题设 ，则 ，
所以在 上 ， 递增，在 上 ， 递减，
则 ，极大值 ，综上， 最大值为 ，最小值为 .
（2）由 在 上 ，
根据题意，只需 即可，由 且 ，当 时， ，此时 递增且值域为R，所以满足题设；
当 时， 上 ， 递增； 上 ， 递减；
所以 ，此时 ，可得 ，
综上，a的取值范围 .
.
题型 08 “能”成立求参：正余弦型
【典例1-1】（2017·江苏淮安·高三江苏省淮安中学阶段练习）函数 .
（1）求证：函数 在区间 内至少有一个零点；
（2）若函数 在 处取极值，且 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由零点存在定理进行论证；
（2）先由极值定义得 ，再分离参变得 ，转化为求函数
最大值，利用导数不难得 为单调减函数，因此 ，即得实数 的取值范围.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，从而 ，
，若 ，则 ，
所以函数 在区间 内至少有一个零点 ；若 ，则 ，
所以 ，又函数 在区间 上连续不断，
所以由零点存在定理可知函数 在区间 内至少有一个零点；
综上：函数 在区间 内至少有一个零点；
（2）因为 ，所以 ，又函数 在 处取极值，
所以 ，即 ，解得 ，
当 时， ， ，
当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减；
所以 时，函数 在 处取的极大值，所以 ， ，使得
成立，
即 等价于 ，
令 ， ，则 ， ，， ，
即 （等号在 和 处取等），所以 在 上单调递减，
，
所以 ，又 ，所以 ，所以实数 的取值范围是
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x+2﹣2cosx
（1）求函数f（x）在[ ， ]上的最值：
（2）若存在x∈（0， ）使不等式f（x）≤ax成立，求实数a的取值范围
【答案】（1）f（x）min＝2 ，f（x）max＝2 ；（2）（1，+∞）．
【分析】(1)求导后分析导数的正负再求得函数的单调性与最值即可.
(2)设 ,再代入 ,求导得 的值域为 ,再根据 的范围进行讨论,分析
的最大值即可.
【详解】（1）f'（x）＝1+2sinx,当x 时,由f'（x）＜0得, ,由f'（x）＞0得,
,
∴函数f（x）在[ , ）上单调递减,在（ , ]上单调递增,
∴f（x）min＝f（ ）＝2 ,f（x）max＝f（ ）＝2 ；
（2）存在x∈（0, ）使不等式f（x）≤ax成立,即x+2﹣2cosx＜ax成立,
设g（x）＝f（x）﹣ax＝x+2﹣2cosx﹣ax,则g（0）＝0,g'（x）＝1+2sinx﹣a,
当x∈（0, ）时,1+2sinx∈（1,3）,所以g'（x）∈（1﹣a,3﹣a）,
由于1﹣a≥0即a≤1时,g'（x）＞0,则g（x）＞g（0）＝0,即f（x）＞ax恒成立,不满足题意,
故1﹣a＜0,即a＞1,此时g'（0）＝1﹣a＜0,因为g'（x）＝1+2sinx﹣a在（0, ）上单调递增,
所以存在区间（0,t） （0, ）,使x∈（0,t）时,g'（x）＜0,
所以g（x）在（0,t）⊆上单调递增,则当x∈（0,t）时,g（x）＜g（0）＝0,即f（x）＜ax,
所以实数a的取值范围是（1,+∞）．
【变式1-1】（2020·四川泸州·统考二模）已知函数 .
（1）求证：当x∈(0,π]时，f(x)<1；
（2）求证：当m＞2时，对任意x ∈(0,π] ，存在x ∈(0,π]和x ∈(0,π](x ≠x )使g(x )=g(x )=f(x )成立.
0 1 2 1 2 1 2 0
【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析
【分析】（1）变换得到 ，设 ，求导得到最值得到答案.
（2）只需要求出f（x）在（0，π]上的值域，然后研究g（x）的单调性是先增后减或先减后增，同时说明
每一段上的函数值范围都包含f（x）的值域即可.【详解】（1） ， ，即 ，设 ，
则 ，函数单调递减，故 ，即 ，得证.
（2）f（π）＝0，当 时， ，故f（x）的值域为[0，1）.
又因为g′（x） ，x∈（0，π]，m＞2.
令 ∈（0，1）.显然y＝mx﹣2是增函数.
∴ 时，g′（x）＜0，g（x）递减； ，g′（x）＞0，g（x）递增.
此时g（x）min ，（m＞2）.将上式化简并令r（m）＝2lnm﹣m+2﹣2ln2，m＞
2.
∵ ，∴r（m）在（2，+∞）上递减.所以r（m）＜r（2）＝0，故g（x）min＜0.
显然当x→0时，g（x）→+∞，即当 时，g（x）递减，
且函数值取值集合包含f（x）的值域[0，1）；
而g（π）＝（π﹣1）m﹣2lnπ＞2（π﹣1）﹣2lnπ＝2（π﹣1﹣lnπ）＞2（3﹣1﹣lnπ），
∵ ，∴ ，即当x 时，g（x）递增，且函数值取值集合包含f（x）的
值域[0，1）.
所以当m＞2时，对任意x ∈（0，π]，存在x ∈（0，π]和x ∈（0，π]（x ≠x ）
0 1 2 1 2
使g（x ）＝g（x ）＝f（x ）成立.
1 2 0
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
（1）若 在 处的切线为 ，求 的值；
（2）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）因为 在 处的切线为 ，即： ，所以 .
（2）通过分离参数， 转化为 ，进而求导，判断单调性，即可
得出答案.
【详解】（1）由题意得： ，又因为 在 处的切线为
所以 ，所以 .
（2）存在 ，使得 ，又因为 ，所以 .
所以 在 上有解.设 ，即： 在 上有解
在 上有解.设
所以 又因为
，所以 ， .故
所以 ， ，所以 在 上单调递增.即 在 上单调递增.
又因为 ，所以 ，故
所以 在 上恒大于0.所以 在 上单调递增.
故 所以
题型 09 零点型求参：常规型
【解题攻略】
零点常规型求参基础：
1. 分类讨论思想与转化化归思想
2. 数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线
处（极值点处）
3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。
【典例1-1】（2023上·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习）已知函数 为 上的偶函数，
为 上的奇函数，且 ．
(1)求 的解析式；
(2)若函数 在 上只有一个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ， .(2) 或 .
【分析】（1）利用奇偶性求 ，通过解方程组法可得 ；
（2）利用对数函数性质化简方程（去对数号），再换元设 ，转化为关于 的方程
只有一个大于0的根，然后分类讨论可得参数范围．
【详解】（1）因为 ，①
所以 ，
又因为函数 为 上的偶函数， 为 上的奇函数，
所以 ，②
由①②得 ， .（2）若函数 在 上只有一个零点，
则 在 上只有一个根，
则 在 上只有一个根，令 ，
则方程 正根有且只有一个，
当 ，即 或 （舍）时，方程的根为 ，符合正根有且只有一个；
当 且 ，即 且 ，若正根有且只有一个，
则 ，解得： ；当 时，方程的根为 ，符合正根有且只有一个；
综上所述： 或 .
【典例1-2】（2023上·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知函数
是偶函数．
(1)求 的值；
(2)若函数 无零点，求 的取值范围；
(3)设 ，（其中实数 ）．若函数 有且只有一个零点，求 的取
值范围．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据偶函数的定义及对数的运算即可求解；
（2）先结合（1）得到 ，则函数 无零点等价于 与 无交点，
进而即可求出 的取值范围；
（3）依题意可得 ，设 ， ，则 (*)，再分 ，
， 三种讨论问题等价于关于 的（*）方程有唯一实根，进而即可求出 的取值范围．
【详解】（1）由 是偶函数，则对于 ，都有 ，
即 ，
即 ，即 ，即 ，所以 ，解得 ．
（2）结合（1）知 ，所以 ，即
，
又 ，则 ，令 ，即 ，因为 无零点，即关于 的方程 无解，即 与 无交点，所以 ，
即当 时， 无零点，故满足条件的 的取值范围是 ．
（3）由函数 的零点即方程 的根，
而 ， ，
，设 ， ，则 (*)，
令 ， ，又 ，则 ，
①当 时，则 ，所以问题等价于关于 的（*）方程在 有唯一实根；
又因为 ， ，则由二次函数图象可知只需 且
，得 ；
②当 时，则 ，得 ，不合题设；
③当 ，则 ，所以问题等价于关于 的（*）方程在 时有唯一实根；
又因为 ，则由二次函数图象可知只需 且 ，无解．综上，
．
【变式1-1】（2023上·江苏南通·高三统考期中）已知 ．
(1)试判断函数 的单调性；
(2)若函数 有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2) 或
【分析】（1）求导，讨论 ， 两种情况，由导数得出其单调性；
（2）将 的零点问题化为函数 零点问题，讨论 、 、 、 ，由其单调性结
合零点个数得出实数a的取值范围．
【详解】（1）解： ，所以
当 时，因为 ，所以函数 在 上为增函数
当 时，函数 在 上为减函数，在 上增函数
综上所述：①当 时，函数 为增函数；
②当 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数
（2）若函数 有且只有一个零点，则函数 有且只有一个零点，且 ，
由（1）知：当 时，函数 为增函数，此时只有一个零点，满足题意
当 时，
① 时，因为函数 在 上为减函数，所以 ，因为 ，因为函数 在 上为增函数，
所以 唯一 ，使 ，所以函数 恰有两个零点，不满足题意
② 时，因为函数 在 上为增函数，所以 ，
，
因为 ，函数 在 上为减函数，
所以 唯一 ，使 ，所以函数 恰有两个零点，不满足题意
③ 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，函数 有且只有一个零点，满足题意．
综上所述：实数 的取值范围为 或
【变式1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求 的最小值；
(2)若函数 有且只有一个零点，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）求导，根据函数 在 上单调递增，可得 在 恒
成立，进而可得出答案；
（2）函数 有且只有一个零点，令 ，则曲线 与直线 的
图象只有一个交点，利用导数求出函数 的单调区间及极值，作出函数 的大致图象，结合函数图
象即可得解.
【详解】（1） ，
函数 在 上单调递增，
在 恒成立，故 ，得 ， 的最小值为 ；
（2） ，函数 有且只有一个零点，
即方程 只有一个根，令 曲线 与直线 的图象只有一个交点，
，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
在 上单调递增， 上单调递减，
又 ， ，当 时， ，当 时， ，如图，作出函数 的大致图象如下所示：
曲线 与直线 的图象只有一个交点， ，
即 的取值范围为 ．
题型 10 零点型求参：双零点型
【解题攻略】
利用导数解决 有两个零点，求实数 的取值范围问题，综合性强，难点在于要分类讨论参数的范
围，进而判断函数的单调性，确定极值的正负问题，关键在于要多次构造函数，利用导数判断函数单
调性.
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 过原点的切线的方程．
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据函数解析式，求导，设出切点，写出切线方程，代入已知点，建立方程，可得答案；
（2）根据函数 解析式，以分子的代数式构建新函数，求导利用分类讨论思想，结合隐零点的解题方
法，可得答案.
【详解】（1）当 时， ．设切点为 ．
因为 ，所以 ，所以切线方程为 ．
将原点的坐标 代入，可得 ，整理，得 ．
解得 ．故曲线 过原点的切线的方程为 ．
（2）函数 的定义域为 ．
令 ，则 有两个零点等价于 有两个零点．
易得 ．
当 时， ，
所以 在 上单调递增，则 至多有一个零点，因此 ．
令 ，则 ，所以 在 上单调递增．
因为 ， ，所以存在 ，使得 ，则 ．
所以当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减；当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增．
因此， ．
由 ，得 ，则 ，
故 ．
当 时， ，则 在 上没有零点．
当 时， ，则 在 上只有一个零点．
当 时， ．
因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，
所以 在 上有且只有一个零点，即 在 上有且只有一个零点．
易得 ．
设 ，则 ．
易知 在 上单调递增，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，所以 在 上有且只有一个零点，即 在 上有且只有一个零点．
综上可知，实数 的取值范围为 ．
【典例1-2】（2023·四川泸州·统考一模）已知函数 ，且 恒成立．
(1)求实数 的最大值；
(2)若函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）当 时显然成立，当 时利用导数说明函数的单调性，分 和 两种情况讨论，
结合零点存在性定理说明 不成立，即可求出 的取值范围；
（2）求出函数的导函数 ，令 ，则 ，令
，再分 、 两种情况讨论，当 时令 ，解得
， ，再分 、 、 三种情况讨论，结合函数的单调性与零点存在性定理计
算可得.
【详解】（1）当 时，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，符合题意；
当 时 ，令 ， ，
则 ，所以 在 上单调递减，所以 ，
当 时 ，则 在 上单调递减，所以 ，符合题意，当 时 ， ，
所以存在 使得 ，所以当 时 ，
则 在 上单调递增，所以 ，不符合题意，
综上可得 的取值范围为 ，故 的最大值为 .
（2）因为 ， ，
则 ，
令 ，则 ，令 ，
当 时则当 时 ，当 时 ，即当 时 ，当 时
，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时 ，所以 在 上至多有一个零点，不合题意；
当 时令 ，解得 ， ，
当 ，即 时 在 上恒成立，所以当 时 恒成立，
即 在 上单调递增，所以 ，不合题意；
当 ，即 时， 时 ， 时 ，
所以 ， ，即 时 ，
当 时 ，所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，（其 取不到），因为 ， ，
所以当 ，即 时， ，则 在 上没有零点，不符合题意；
当 ，即 时 ， ， ，
所以 在 和 上各有一个零点，符合题意；
当 ，即 时，当 时 ，当 时 ，
所以当 时 ，当 时 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时 ，所以 在 上至多有一个零点，不合题意；
综上可得实数 的取值范围为
【变式1-1】（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的图象在 处的切线方程;
(2)若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2) .
【分析】（1）根据切线的几何意义得到 ，根据点斜式可得到方程;
（2）对 进行求导，然后分 ， 和 且 三种情况研究其单调性，判断最值的符号，
结合零点存在定理即可
【详解】（1）因为 ，其定义域为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以
又 ，所以 的图象在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由题意知 ，且其定义域为 ，易知 ，且
，当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，不可能有2个不同零点，不合题意;
当 时，令 ，则 ，故 在 上单调递减，
当 时， ，且 ，
所以当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，所以 在
上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，且 ，此时函数 仅有一个零点，不合题意.
当 且 时， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，即 ;当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
又 ，所以 .
设 ，则 ，
当 时， ;当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，于是 ，所以 (当且仅当 时等号成立)，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 在 上单调递增，在 上单调递减.
①当 时，由 ，令 ，显然 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，且由 可得 ，
令 ，则 ，可得 ，
所以在 上， 单调递减，从而 ，即 .
所以 ，从而在 内 必有另一个零点，故此时 有两个零点.符合题意.
②当 时，所以 ，
因为 在定义域内是单调递增函数，且当 时， ，
所以 ，此时 时， 时， ，
设 ，可得 .
令 ，
所以 在 上单调递减，从而 ，故 ，
从而 ，且当 时，存在 ，使得 ，
也即当 有两个零点.综上，所求实数 的取值范围是 .
【变式1-2】（2023下·山西晋城·高三校考阶段练习）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析.(2) .
【分析】（1）求出函数的导数，分 和 两种情况进行讨论，当 时，根据导数等于0，求得
根，从而再讨论根的大小，判断函数的单调性；
（2）分 和 ， 三种情况进行讨论函数的单调性，判断零点情况，当 时，结合函数单调
性，求得函数最小值，根据题意列出不等式求得参数范围；当 时，函数只有一个零点， 时，结
合函数单调性，判断极值情况，说明 至多只有一个零点，不符合题意，综合可得答案.
【详解】（1）由题意知 ，函数的定义域为 ，
则 ，
（i）当 时， 恒成立，当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 单调递增，
（ii）当 时，令 ，解得 ，或 ， (舍去），
当 ，即 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时，即 ，
当 ,或 时， ，函数 在 ， 上单调递减，
当 时， ，函数 在 单调递增，
当 时，即 ，
当 时， ，函数 在 递减，
当 时， ，函数 在 单调递增，
综上所述：当 时，函数 在 上单调递减，在 单调递增，
时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，
当 时，函数 在 ， 上单调递减，在 单调递增.
（2）由（1）知，当 时，函数 在 上单调递减，在 单调递增，而 ，
令 ，则 在 成立，故 在 单调递减，
所以 ，且 趋向于 时， 趋向于 ，即 趋向于 ，
又 在 上恒负，且 趋向于 时， 趋向于0，
综上，在 趋向于 时， 趋向于 ，
∴函数 有两个零点等价于 ，结合 ，解得 ；
当 时， 只有一个零点，不符合题意；
当 时，函数 在 上单调递减，至多只有一个零点，不符合题意；
当 且 时，由（1）知 有两个极值点，而 ，
又 ，下研究其符号：令 ，则 ，令 ，则 ，当 ， ， 在 递减，
当 时， ， 在 上单调递增，故 ，即 在 上
单调递减，
当 趋向于0时， 趋向于0，即g(x)恒负，故 ，
此时， 至多只有一个零点，不符合题意，综合上述，实数m的取值范围为 .
题型 11 零点型求参：多零点综合型
【解题攻略】
三个以及三个以上零点，较复杂，综合度较大。
1、三个零点型，注意是否有容易观察出来的零点，这样可以转化为两个零点型以降低难度。
2、三个零点型，可通过讨论，研究函数是否是“类一元三次函数”型。
3、如果函数有“断点”，注意分段讨论研究。
【典例1-1】（2021下·重庆江北·高三校考阶段练习）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）已知函数 ，记函数 ，若函数 有三个零点，求实数
的取值范围.
【答案】（1）当 时，函数 在R上单调递减；
当 时，函数 在 ， 上递减，在 上递增；
当 时函数 在 ， 上递减，在 上递增．
（2） .
【分析】 求出导函数，得到函数的两个极值点，根据大小关系分类确定单调区间以及单调性；
分类确定 和 的大小，由导数求得 的单调性和极值，结合函数图象，由极值的符号解不
等式求得t的范围．
【详解】解：（1） ，
，令 ，得 ，
当 时， ， ，故函数 在R上单调递减；
当 时， ，故函数 在 ， 上递减，在 上递增；
当 时， ，故函数 在 ， 上递减，在 上递增．
由已知 ， 在 有且仅有 一个零点，当 时， ，由 得 ，
此时 有三个零点．
当 时， ，得 ， ，
故函数 在 上递减，在 上递增； ， ，
当 时， ，故 在 上仅有一个零点；
若函数有 有三个零点，则需满足 ，解得 ；
当 时，
若 ，则 为单调函数，所以函数 至多有2个零点，不合题意，舍；
若 ， ， ，故 在 至多有1一个零点，所以
函数 至多有2个零点，不合题意，舍；
， ， ，
当 ，即 时，函数 至多有2个零点，不合题意，舍；
当 ，即 时， ，函数 恰有3个零点，
符合题意；
当 ，即 时， ；
令 ，则 ，
故 在 单调递减， ，即 ，
此时函数 有4个零点，不合题意，舍；
综上，实数的取值范围是
【典例1-2】（2022上·广西钦州·高三校考阶段练习）已知 在区间 ， 上的值域 ， .
（1）求 的值；
（2）若不等式 在 ， 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有三个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）对 配方，求出对称轴 ，讨论若 时，若 时，若 ，由单调性可得最
小值，解方程，即可得到所求 的值；
（2）由题意可得 ，化为 ，令 ，求出 的范围，求得右边
函数的最小值即可得到 的范围；
（3）令 ，可化为 有3个不同的实根，令 ，讨论 的范围和单调性， 有两个不同的实数解 ， ，已知函数有3个零点等价为
， 或 ， ，记 ，由二次函数图象可得不等式组，解不等
式可得 的范围.
【详解】（1） 在区间 ， 上的值域 ， .
若 时， 的最小值为 (a) ，
由 ，可得 舍去)， 满足在区间 ， 上的值域 ， ；
若 时， 在 ， 递减， 的最小值为 （3），
由 （3） ，解得 (舍去)；
若 ，则 在 ， 递增， 的最小值为 （1），
由 （1） ，解得 .综上可得， ；
（2）由 即 ，
化为 ，令 ，由 可得 ，则 ， ，
记 ， ，由单调递减，可得 的最小值为 ，
则 的取值范围是 ；
（3）令 ，可化为 有3个不同的实根.
令 ，则 ，由 ，当 时， ， ， 且递减，
当 时， ， 且递增，
当 时， .当 时， ， 且递增，
有两个不同的实数解 ， ，
已知函数有3个零点等价为 ， 或 ， ，记 ，则
或 ，解得 或 无实数解，综上可得， 的取值范围是 .
【变式1-1】（2020·浙江·模拟预测）已知函数 .
（1）求函数 的最值；
（2）已知函数 ，设函数 ，若函数 有三个
零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）最大值为 ，无最小值；（2） 或 .
【分析】（1）求出函数导数，判断单调性，即可求出最值；
（2）利用导数讨论 的范围即可求解.
【详解】（1）∵ ，∴ ，当 时， ，当 时，∴ 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以，函数 在 处取得最大值为 ，无最小值.
（2） .
①当 时，须满足 ，∴ ；
②当 时， ，∵ ， ，所以方程 的两根 ，
此时函数 有三个零点，符合题意；
③当 时， 在 上递减， 上递增， 上递减，∴ 一定不符合；
（i）若 ，则 ，此时 ，
所以，函数 有三个零点，符合题意；
（ⅱ）若 ，则 ，
此时 .
（三部分都为正），所以，函数 有四个零点，不符合题意；
④当 时， 单调减函数，故函数 最多两个零点，不合题意；
⑤当 时，函数 的极大值 ，
所以，函数 不可能有三个零点，不合题意.
综上所述，实数 的取值范围是 或 .
【变式1-2】（2022上·福建泉州·高三校考开学考试）已知函数 .
(1)求函数 的极值点；
(2)当 时,当函数 恰有三个不同的零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见详解(2)
【分析】（1）求导，分情况讨论原函数的单调性，进而可得极值；
（2）求导，分情况讨论原函数的单调性，注意到 ，并结合零点存在性定理判断 在 上
的零点，进而求 在 上的零点，即可得结果.
【详解】（1）由题意可得： ，且 的定义域为 ，
当 时，则 当 时恒成立，故 在 内单调递增，即 无极值点
当 时，令 ，解得 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，则 有极大值点 ，无极小值点；综上所述：当 时， 无极值点；
当 时， 有极大值点 ，无极小值点.
（2）由题意可得： ，且 的定义域为 ，
则 ，∵ ，构建 ，则 的开口向下，对称轴
，
当 ，即 时，则 当 时恒成立，故 在 内单调递减，
则 在定义域内至多有一个零点，不合题意；
当 ，即 时，设 的两个零点为 ，不妨设 ，
则有： ，可得 ，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 分别在 内至多只有一个零点，即 至多只有三个零点，
∵ ，故 在 内的零点为2，得 ，
对于 ，
构建 ，则 当 时恒成立，
则 在 上单调递增，且 ，
故 ，即 ，∴ 在 内存在零点 ，即 ，
注意到 ，可得 ，且 ，
故 在 内存在零点 ，可得 有三个零点 ，符合题意；
综上所述：当函数 恰有三个不同的零点，则实数 的取值范围为 .
题型 12 同构型求参： X ， X 双变量同构
1 2
【解题攻略】
双变量同构型，较多的是含有绝对值型。
1.含绝对值型，大多数都是有单调性的，所以可以通过讨论去掉绝对值。2.去掉绝对值，可以通过“同构”重新构造函数。
不含绝对值型，可以直接调整构造函数求解
【典例1-1】（2019·河南郑州·统考二模）已知函数 .
（1）曲线 在点 处的切线方程为 ，求 ， 的值；
（2）若 ， 时， ，都有 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】(1)对f(x)求导，由给定的切点、切线方程列出关于a，b的方程而得解；
(2)将给定不等式等价转化，构建新函数，利用函数单调性即可求得.
【详解】（1）由题意， ，切线斜率为-1，切点 ，
即 ，得 ，又 ， ，即 ， ；
（2）当 ， ， 时， ， 在 上单调递减，
不妨令 ，则 ，原不等式即为 ，
即 ，即 ，
令 ，则 在 上为单调增函数，
∴有 在 上恒成立，
即 ， ，令 ， ， ，
令 ， ，∴ 在 上单调递减， ，则 ，
在 上为单调增函数，
∴ ，即 ，综上， .
【典例1-2】（2020上·河南三门峡·高二统考期末）已知函数 .
（Ⅰ）若 在 处的切线方程为 ，求a的值；
（Ⅱ）若 ， ，都有 恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，依题意可知 ，即可求出参数的值.
（Ⅱ）由已知 在区间 上是增函数，函数 是减函数，不妨设 ，由已知得，
，所以 ，构造函数
，参变分离即可求出参数的取值范围.
【详解】（Ⅰ）求导 ，在 处的切线方程为 ，即斜率为 ，
，即 ，解得 .
（Ⅱ）若 ， ， ， 在区间 上是增函数，函数 是减函数，
不妨设 ，由已知， ，所以 ，
设 ， ，
则 在区间 是减函数，
在 上恒成立， ，
令 ，求导 在 上恒成立，
单调递减， ，
所以 ，故 .
【变式1-1】（2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习）已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）设 ，若对任意 、 ，且 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2） .
【分析】（1）求出函数 的定义域和导数 ，然后分 和 两种情况讨论，分析 在
的符号，可得出函数 的单调区间；
（2）设 ，由函数 和 在 上的单调性，将不等式 等
价转化为 ，并构造函数 ，将问题转化为函数 在
上是减函数，然后由 在 上恒成立，结合参变量分离法可求出实数 的取值范围.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， .
当 时， 恒成立，此时，函数 在 上单调递增；
当 时，由 得 ；由 得 .
此时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2） 时，函数 在 上递增， 在 上递减，
不妨设 ，则 ， ，
等价于 ，即 ，令 ，
等价于函数 在 上是减函数，
，即 在 恒成立，
分离参数，得 ，
令 ， ， 在 上单调递减，
， ，又 ，故实数 的取值范围为 .
【变式1-2】（2019上·河南平顶山·高三统考阶段练习）已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的单调区间；
(Ⅱ)设 ， ，若对任意 ，且 ，都有 ，求实数 的取值
范围.
【答案】(Ⅰ)答案不唯一，见解析；(Ⅱ) (0，2]
【分析】（1）先求出 ，然后讨论在定义域内导函数符号问题. 即得函数 的单调区
间，
（2）先根据 的单调性，以及 的单调性将 转化为
，进一步转化为 ，从而得新函数 在(0，1]上
是减函数，即 恒成立，求出参数 的范围.
【详解】(Ⅰ)
当 时，函数定义域为(0，+∞)， 恒成立，此时，函数在(0，+∞)单调递增；
当 时，函数定义域为(一∞，0)， 恒成立，此时，函数在(一∞，0)单调递增.
(Ⅱ) 时，函数定义域为(0，+∞)， 在(0，1]上递增， 在(0，1]上递减，
不妨设 ，则
∴ 等价于 即
令 等价于函数 在(0，1]上是减函数，
∴ 令 即 在(0，1]恒成立，分离参数，
得 令 ， .∴ 在(0，1]递减，
∴ ，又t∈[3，4]，∴ ，又 ，故实数 的取值范围为(0，2].题型 13 虚设零点型求参
.
【解题攻略】
虚设零点转化技巧：
（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式
子，如比值代换等等。
（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无
关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变
量求导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立
含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为
止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围。
【典例1-1】（2023·河南安阳·统考二模）已知函数 ， ．
(1)若曲线 有两条过点 的切线，求实数m的取值范围；
(2)若当 时，不等式 恒成立，求实数a的取值集合．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）设切点坐标，对函数求导，写出切线方程将点 代入后根据已知条件建立不等式求解即
可；
（2）构造函数对函数求导，再由不等式恒成立等价出问题，利用函数导数的单调性进行分析求解即可.
【详解】（1）设切点坐标为 ．因为 ，所以切线方程为 ，
将 代入，可得 ．因为曲线 有两条过点 的切线，
所以 ，解得 或 ，故实数 的取值范围是 ．
（2）设 ，则 ．
当 时， ， 单调递增，又 ,因为当 时， ，
当 时， ，所以 不恒成立．
当 时，设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又当 且 时， ，当 时， ，故 ，使得 ，
当 时， ， ，当 时， ， ．
因为 ，所以 ．故
．因为 ，所以只需 ．
设 ，则 ．当 时， ，当 时，
，
所以 ，所以 ．所以 ，故 ，
所以 ， ，所以 ，故实数a的取值集合为 ．
【典例1-2】（2023·天津河北·统考一模）已知函数 .(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若对任意的 ，都有 成立，求整数 的最大值.
【答案】(1) ；(2)递减区间是 ，递增区间是 ；(3)3.
【分析】（1）求出函数 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
（2）利用导数求出 的单调区间作答.
（3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最小值情况作答.
【详解】（1）函数 ，求导得 ，则 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程是 .
（2）函数 的定义域是 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 的递减区间是 ，递增区间是 .
（3） ， ，
令 ，求导得 ，
由（2）知， 在 上单调递增， ， ，
因此存在唯一 ，使得 ，即 ，
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
于是 ，则 ，
所以整数 的最大值是3.
【变式1-1】（2023·河南安阳·统考三模）已知函数 .
(1)证明：曲线 在 处的切线经过坐标原点；
(2)记 的导函数为 ，设 ，求使 恒成立的 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数 在 处的切线方程即可证明；
（2）把不等式 恒成立转化为求函数 的最大值小于等于零恒成立，然后利用导数求出函数
的最大值即可得结果.
【详解】（1）由已知得 ，所以 ，又 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 ，恒过坐标原点.
（2） ，定义域为 ， .
当 时， 在 上单调递增，且 ，故 不恒成立.
当 时，设 ，则 ，则当 时， 在 上单
调递减，又 ，因为 ，所以 ，即
，
由零点存在定理知 在 内存在唯一零点 ，即 ，即 .
当 时， ，于是 在 上单调递增，
当 时， ，于是 在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值也是最大值 ，要使 恒成立，只需 .
因为 ，
由 ，解得 ，故所求的 的取值范围是 .
【变式1-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数 ， （ ，
为自然对数的底数）.
(1)求函数 的极值；
(2)若对 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)极大值为 ，无极小值(2)
【分析】（1）求导后，根据 的正负可求得 的单调性，根据极值的定义可求得结果；
（2）分离变量可将问题转化为 在 上恒成立；求导后可令 ，
利用导数可求得 的单调性，利用零点存在定理可求得 的零点，并得到 的单调性，由此可求
得 ，化简可得 ，由此可求得 的取值范围.
【详解】（1） 定义域为 ， ， 当 时， ；当 时，
；
在 上单调递增，在 上单调递减， 的极大值为 ，无极小值.
（2）由 得： ， 在 上恒成立；
令 ，则 ；
令 ，则 ， 在 上单调递增，又 ，
，
，使得 ，则 ， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ；由 得： ， ， ，
，
则实数 的取值范围为 .
高考练场
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递增，在 上单调递减(2)
【分析】（1）已知 由 得 ，由
得 函数 的单调性
（2）由题意可得如果 在 上恒成立 在 上恒成立
，由
的单调性
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减
的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，则 ，由 得 ，
由 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）解法一 ： 当 时， ，故由 在 上恒成立，得 在 上恒成
立．
令 ，则 ， ．
设 ，则 ．
设 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ， ， ，所以存在 ，使得 ，且当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ，即 的取值范围为 ．
解法二 ： 由 在 上恒成立，得 ，即 ．
下面证明当 时， 在 上恒成立．
，令 ，
要证 在 上恒成立，只需证 在 上恒成立．
，设 ，则 ，
令 ，得 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取到极小值也是最小值，
所以 ，
又 ， ，故存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故当 时， ．综上， 的取值范围为 ．
2.（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）设函数 .
(1)讨论 在区间 上的单调性；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) 在 上单调递减(2)
【分析】（1）求导得到 ，结合三角函数的性质与指数函数的性质得到 ，从而得解；
（2）构造函数 ，再求导得 ，从而利用导数得到 在 上
单调递增且 ，分类讨论 和 即可得解.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，则 ， ，
即 在 恒成立，即 在 上单调递减.
（2）由题意，得当 时， ，即 ，即 .
令 ， ，则 ，
设 ，则 ，当 时， ， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
①当 时， ，则 ，所以 在 上单调递增，所以 恒成立，符合
题意.
②当 时，则 ，且由指数函数 爆炸增长性质可知，当 时， ，
则由零点存在定理可知，必存在正实数 满足 ，
则当 时， ， 在 上单调递减，
此时 ，不符合题意.综上， 的取值范围是 .
3.（2023·山东德州·三模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 存在两个极值点 的取值范围为 ，求 的取值范
围．
【答案】(1) (2)答案见解析(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）求导后，分类讨论 ，根据导数的符号可得结果；
（3）根据 存在两个极值点可得 ，且 ，根据单调性可得 ，将
化为 ，利用比值代换可求出结果.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以函数 在 处的切线方程为 ，即 .
（2） 的定义域是 ， ， ，
令 ，则 ．
①当 或 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．
②当 ，即 时，由 ，得 或 ；
由 ，得 ，所以 在 和 上单调递增，在
上单调递减．综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减
（3）由（2）当 时， 在 上单调递增，此时函数 无极值；当 时， 有两个极值点，即方程 有两个正根 ，
所以 ，则 在 上是减函数．所以 ，
因为 ，所以
，令 ，则 ，
，所以 在 上单调递减，
又 ，且 ，
所以 ，由 ，又 在 上单调递减，
所以 且 ，所以实数 的取值范围为 ．
4.（2023下·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）已知函数
(1)若 ，讨论 的单调性.
(2)当 时，都有 成立，求整数 的最大值.
【答案】(1)答案见解析(2)1
【分析】（1）求定义域，求导，分 与 两种情况，得到 的单调性；
（2）变形得到 ，令 ， ，只需 ，求导，结合隐零点
得到 的单调性和极值，最值情况，得到 ，从而求出整数 的最大值.
【详解】（1） ，定义域为R，
且 ，
当 时， 恒成立，故 在R上单调递增，
当 时，令 得， ，此时 单调递增，
令 得， ，此时 单调递减，
综上：当 时， 在R上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）由题意得， 在 上恒成立，
因为 ，所以 ，故 ，令 ， ，只需 ，
，令 ， ，
则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，又 ，故存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ， ， 单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值， ，
所以 ，故整数 的最大值为1.
5.（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)当 时，对任意 ，都有 ，求整数 的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)3
【分析】（1）将恒成立问题转化为最值问题，利用导数判断函数单调性进而即得；
（2）选特值 ， 时，举反例验证结论不成立，从而得出 ，赋值 ，通过参数放缩与导数，
来证明结论成立，即找到了整数 的最大值.
【详解】（1） 时，设 ，则 ，
，
即 在 上恒成立，
在 上单调增， 又 ，
即 ；
（2） 时，当 时， ，所以 ．
下证 符合．
时，当 时， ，所以当 时， ．
记 ，则只需证 对 恒成立．
，令 ，则 在 递减，
又 ，所以存在 ，使得 ，
则 在 递增， 在 递减；
又 ，所以存在 使得 ，且
，
所以 在 递增，在 递减，又 ，所以 对 恒成
立，因为 ，所以 符合．
综上，整数 的最大值为3．
6.（2023上·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)试讨论 的极值点的个数；
(2)若 ，且对任意的 都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）根据题意，求得 ，令 ，单调 ，令 ，求得
，得到函数 的单调性与最大值，进而得出答案.
（2）解法一：令 ，求得 ，得到函数 的单调性，且
，进而得 在 上单调递减，进而求得 的取值范围；
解法二：由 ，当 时， ，不符合题意；当 时，取得
，得到 有两个异号实根 ，分 和 ，两种情况讨论，即可求解.
解法三：根据题意，把不等式的恒成立，转化为 恒成立，令 ，求得
，令 ，利用导数求得函数的单调性，得出 在
上单调递增，进而求得 的取值范围.
【详解】（1）解：由函数 的定义域为 ，可得 ，
令 ，即 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 ，又当 时， 且 ；且当 时， ，
所以当 时， 无极值点；
当 时， 有两个极值点；
当 时， 有1个极值点．
（2）解法一：由 ，可得 ，且 ，
若 ，即 ，则 ，使得 时， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，此时与题意不符，故 ，可得 ，
下证当 时， 对 恒成立．证明：令 ，则 ．
因为 ，所以 对 恒成立，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，对 恒成立，
所以 在 上单调递减，所以 ，所以 对 恒成立．
综上所述，实数 的取值范围为 ．
解法二：由 ．①当 时， ，不符合题意；
②当 时， ，令 ，即 ，可得 ，且
两根之积为 ，
所以 有两个异号实根，设两根为 ，且 ，
若 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，此时不符合题意．
若 ，则 ，即 ，此时 在 上单调递减，
所以 ，符合题意．综上所述，实数 的取值范围为 ．
解法三：由 ．若 ，则 ，满足题意；
若 ，则 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 ．
7.（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知函数 .
(1)若 ，设 ，讨论函数 的单调性；
(2)令 ，若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
【答案】(1) 在 和 上单调递减(2)
【分析】（1）先写出 ，求 ，二次求导判断 的单调性，得出 ，从而得出 在
和 上单调递减，需注意单调性在各个区间上分开描述；
（2）先写出 ，求 ，讨论 在 上的最小值 ，使 ，解出 的取值范围，最后取并集即可.
【详解】（1） .∴
.
令 ，则 ，令 ，解得 ，
令 ，解得 ， 在 上单调递增，在 上单调递减.
∴ ，即 ∴ 在 和 上单调递减.
（2）函数 的定义域为 ， ，
∴ .
①当 时，则 ，则当 时， ，∴函数 在 单调递增，
∴存在 ，使得 的充要条件是 ，即 ，
解得 ；
②当 时，则 ，则当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增.
∴存在 ，使得 的充要条件是 ，
而 ，不符合题意，应舍去.
③若 时， ，成立.综上可得： 的取值范围是 .
8.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若对于任意的 ，都存在 ，使得 成立，试求实数 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 (2)
【分析】（1）求出导函数 ，由导数的正负确定单调性；
（2）利用导数求出 的最小值，问题转化为不等式恒成立，再用分离参数法分离参数后转化为
求函数的最大值．
【详解】（1）由题可知函数 的定义域为 .
因为 ，则 .当 时， .
所以当 时， ，函数 在 上单调递减；当 时， ，函数 在 上单调递增.
所以 的单调递增区间为 的单调递减区间为 .
（2）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，故函数 在 上单调递增，所以 .
所以对任意的 恒成立，即 恒成立.所以 恒成立.
令 ，则 .
令 ，则 ，解得 .
当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ，所以函数 在 上单调递减.
所以 .所以 .所以实数 的取值范围是 .
9.（2020·江西·校联考模拟预测）已知函数 在 上单调递增，函数
．
（1）求 的值；
（2）若存在 ，使得 成立，求m的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）根据函数单调性可知导函数不小于0恒成立，转化为 恒成立即可求解；
（2）构造函数 ，求函数导数，分类讨论，得出函数的单调性，
求 即可求解.
【详解】（1）∵ ∵ 在 上恒成立．∴ 恒成
立，即 ∵ ， ，∴ ， ∴ ．
（2）令
∵ ，∴ 当 时，即 ；
在 上单调递增，∴ ∴
当 时，即 ， 在 上单调递减，∴
∴
当 时，存在 使得 在 上单调递减，在 上单调递增
∴ ∴ ，解得
综合上述：m的取值范围是10.（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若函数 在 上只有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）变形所证不等式，构造函数，利用导数探讨单调性推理作答.
（2）由函数零点的意义，分离参数并构造函数，再利用导数求出函数的值域作答.
【详解】（1）函数 ，不等式 ，
令函数 ，求导得 ，
当 时，函数 单调递减，即有函数 单调递增， ，
当 时， ，则有 ，因此 ， 成立，
于是函数 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以当 时，不等式 成立.
（2）当 时，由 得 ，令 ， ，
求导得 ，令 ， ，
求导得 ，即函数 在 上单调递减， ，
于是 ，函数 在 上单调递减， ，
而当 时， ，函数 在 上单调递减，其值域为 ，
因此函数 在 上的值域为 ，则函数 在 上只有一个零点，当且仅当 ，即
，
所以a的取值范围为 .
11.（2022上·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数 是
自然对数的底数， 且 ．
(1)若 是函数 在 上的唯一的极值点，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ;(2) .
【分析】（1）求出函数的导数，得到 在 内无变号根或无根；设 ，讨论
的范围，求出函数的最小值，得到关于 的不等式，解出即可；
（2） ， ，令 ，讨论 的范围，去掉绝对值，结合函数的零点个数，
确定出 的取值范围．
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，由题意 是函数 在 上的唯一的极值点，
所以 在 上无变号根或无根，设 ，则 ，
①当 ，且 时， ， ，
所以 在 单调递增， ，符合题意，
②当 时，令 ，得 ，
时， ， 递减， 时， ， 递增，
所以 ，令 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 ；
（2）由题意， ， ，
令 ， ， 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 单调递减，（i）当 时， ，
，
所以 ，因为 ， ，故 ，
因此 在 上单调递增；（ii）当 时, , ,
故 ，
因为 ， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，因此 在 上单调递减；
综上，当 时， ，
要使函数 有两个不同的零点，则 ，
所以 且 ，
而当 且 时，当 时， ，
又 ， ，所以 ，即 在 有一个零点；
当 时， ，
，即 在 内有一个零点，
综合上述可知 且 时，函数 有两个不同的零点，
综上，实数 的取值范围是 ．
12.（2021上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知 ，
.
（1）讨论 在区间 上的单调性；（2）若 ，且 在 上有三个零点 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，单调递增； ， 单调递减， 单调递增； ，单调递减；
（2） .
【分析】(1)求出函数 的导数 ，按a的取值分类讨论 值的符号即可得解；
(2)根据给定条件化简 ，并求出数a与b的关系式，再确定出 在 内有唯一零点，然后借助导
数探讨即得.
【详解】(1)由 求导得： ，因 时， ，
当 ，即 时， ，当且仅当 ，且 时取“=”，则 在 上单调递增，
当 ，即 时， ，当且仅当 ，且 时取“=”，则 在 上单调递减，
当 ，即 时，由 得 ，
当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在
上单调递增，
所以，当 时， 在 上单调递增，当 时， 在 上单调递减，在 上单
调递增，当 时， 在 上单调递减；
(2)依题意， ， ，
因 ，则有 ，
显然 ，即0，1是函数 在 上的两个零点，
又 ，而 ，当 时，由(1)知 在 上单调递减，
， ，则有存在唯一 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，因此， 在 是递增，在 上递减，
函数 在 上的图象在x轴上方，即函数 在 上只有两个零点，与 在 上有三个零
点矛盾，
于是得 ，此时， 在 上单调递减，在 上单调递增，则
，
令 ， ， ，
可得 在 递增， 递减， ，
即 ，
因 在 上有三个零点，则 在 上必有一个零点，
必存在 ， 使得 ，
当 或 时， ，当 时， ，
则 在 ， 上都递增，在 上递减，有 ，于是得 在区间 上存在唯一零点，即 在 上有三个
零点，
从而得函数 在 内必有两个零点，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是
13.（2019·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）对任意的 ， ， ，恒有 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】(1)对参数讨论使之能确定导函数的正负，从而能确定原函数的单调性；
(2)设定两个变量的大小关系，能判断绝对值符号内的式子的正负，可以清除绝对值符号带来的障碍，
再构造新函数使所要证明的不等式为两个变量的函数值的不等关系，则利用其单调性可得解.
【详解】解：（1）由题意，得 .
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 ， ，减区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 ， ，减区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 ，没有减区间.
（2）不妨设 ，则 .
又 ，由（1）知，函数 在 上单调递减，所以 .
故 ，即 .
令 ，则函数 在 上单调递增， ，
即 ，对任意的 ， 成立.
记 ，则 ，函数 在 上单调递增，
所以函数 .
记 ，则 .
注意到 ， ，由二次函数性质知， ，
即函数 在 上单调递增，所以 ，即 为所求.
14.（2020秋·辽宁营口·高三营口市第二高级中学校考阶段练习）已知函数 ，
（1）判断函数 在区间 上的单调性；
（2）若当 时， 恒成立，求正整数 的最大值．
【答案】（1）减函数；（2）3.
【分析】（1）求出导函数 ，由 确定增区间，由 确定减区间；
（2）不等式 ，变形为 ，因此令 ，利用导数求出 的最小值，
即可得 的取值范围，从而得到最大的正整数 ．【详解】（1） ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 在 上是减函数；
（2）当 时， 恒成立，即 对 恒成立，
，记 ，
则 ，∴ 在 上单调递增，
又 ，∴ 存在唯一实数根 ，且满足
， ，
由 时， ， 时， ， 知 的最小值是
，
∴ ，正整数k的最大值是3．
