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专题 1.2 锐角三角函数（基础篇）（专项练习）
一、单选题
知识点一、三角函数概念的辨析
1．已知在 中， ，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 中， ， 于 点，已知： ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾
斜程度之间，叙述正确的是（ ）A．sinA的值越大，梯子越陡 B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关
知识点二、求三角函数值
5．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为 （ ）
A． B． C．3 D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是 ( )
A． B． C． D．
7．在 中， 为斜边 上的高，已知 ，那么 等于（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，已知 ，下列条件中不能判断 和 相似的是（ ）
A． B． 平分 C． D．知识点三、由三角函数值求边长
9．在 中， 分别是 的对边，如果 ，那么
等于（ ）．
A． B． C． D．
10．在 中， ， ， ，则 等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
11．如图，已知菱形 的对角线 相交于点O，若 ，则
的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图， 是等边三角形， 是等腰三角形，且 ，过点 作 的平
行线交 于点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．6 B． C． D．
知识点四、三角函数值的增减性
13．如图，梯子地面的夹角为 ，关于 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，
下列叙述正确的是（ ）A． 的值越小，梯子越陡
B． 的值越小，梯子越陡
C．梯子的长度决定倾斜程度
D．梯子倾斜程度与 的函数值无关
14．如果 ，那么 的范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是( )
A． ＜tanα＜ B． ＜tanα＜
C． ＜tanα＜ D． ＜tanα＜
16．比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（ ）
A．cos10° B．cos20° C．cos30° D．cos40°
知识点五、由函数值确实锐角的取值范围
17．若∠A是锐角，且sinA＝ ，则（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
18．若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A（ ）
A．小于30° B．大于30° C．大于60° D．小于60°
19．已知 为锐角，且 ，那么下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．20．已知 为锐角，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
知识点一、三角函数概念的辨析
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 ，AB＝10，则∠B＝_____．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于
cosA的值的有______个
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝ ；②cosB＝
；③tanA＝ ；④tanB＝ ，其中正确的结论是_____ .
24．已知 （ 为锐角），满足方程 ，则 ________．
知识点二、求三角函数值
25．已知 ，且 为锐角，则 的取值范围是__________．
26．如图， 、 分别是 中 、 边上的高， ，则
________．27．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝24，点E是BC的中点，连接DE，将△DEC
沿DE折叠，点C落在点F处，连接FB，则cos∠FBE＝_______．
28．如图，已知正方形 的边长为3，如果将线段 绕点 旋转后， 落在 延长
线上的 点处，那么 _________．
知识点三、由三角函数值求边长
29．如图，在矩形 中， ，垂足为点 ．若 ， ，则
的长为______．
30．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC=8cm，
cos∠CBD= ，则边AB=____cm．31．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则图中阴影
部分面积为 ___．
32．在 中， ， ， ，则 的长为______．
知识点四、三角函数值的增减性
33．比较大小：sin48°___cos48°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
34．如图，将 绕点B顺时针旋转 得到 ．请比较大小：
______ ．
35．比较大小： ________ ．
36．在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为_____，写出sin70º、
cos40º、cos50º的大小关系__________．
知识点五、由函数值确实锐角的取值范围
37．用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ
（1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为__；（2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为_．
38．如图所示的网格是正方形网格，则 ___________ (填“＞”、“=”或
“＜”)．
39．已知 ＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________
40．已知 ，则锐角 的取值范围是________．
三、解答题
41．如图，在 中，AD、BE分别是BC、AC边上的高， ，求 的值．
42．如图， 的顶点都是正方形网格的格点，求 的三角函数值．43．如图，在矩形 中，点 是边 上的点， ， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
参考答案
1．A
【分析】由勾股定理求出 ，然后根据锐角三角函数定义判断即可．
解：在 中， ，
，
， ， ，故选:A．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，掌握勾股定理，锐角三角函数是解本题的关
键．
2．C
【分析】由题知 ，根据角的等量代换可知 ，再根据设
，再根据勾股定理即可解得 ，即可得解．
解：由题知
， ，
，
，
设 ， ，
则 ，
，
故选C．
【点拨】本题考查了三角函数的定义、同角的余角相等、勾股定理；熟练掌握相关的
基础知识是关键．
3．A
【分析】过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，求出BD和AD后由正切函数的
定义可以得到问题解答．
解：如图，过B作BD垂直于AC的延长线，垂足为D，
,
则在RT△ABD中，AD=5，BD=6，∴ ，
故选A．
【点拨】本题考查正切函数的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题关键．
4．A
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律判断即可；正弦值和正切值都是随着角的增
大而增大，余弦值是随着角的增大而减小．
解：A选项，sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡，A正确；
B选项，cosA的值越大，∠A越小，梯子越缓，B错误；
C选项，tanA的值越小，∠A越小，梯子越缓，C错误；
D选项，根据∠A的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，D错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了三角函数的增减性，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题
关键．
5．A
【分析】根据勾股定理求出AC，再根据正弦的定义求解即可；
由图可知： ，
∴ ；
故选A．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确利用勾股定理和正弦的定义求解
是解题的关键．
6．D
【分析】根据勾股定理求出OA的长度，即可解决问题．
解： 点A的坐标为(4，3)，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角函数的定义，坐标与图形，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．
7．A
【分析】根据同角的余角可证∠A=∠BCD，利用三角函数定义可得tanA= ，
求出CD的长，然后求出tanA即可．
【详解】
解：由题意可知，∠A+∠B=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴tanA= ，
∴CD2=AD·BD=8×4=32，即CD=4 ，
则tanA= = = ．
故选A．
【点拨】本题主要考查解直角三角形，利用同角余角得到∠A与∠BCD的关系，利用
三角函数列比例式，再通过正切函数求解是解题的关键．
8．C
【分析】根据相似三角形的判定方法，对选项逐个判定即可．
解：A、∵
∴
又∵
∴ ，选项不符合题意；B、∵ 平分
∴
∴ ，选项不符合题意；
C、根据 得不到三角形的某个角相等，选项符合题意；
D、∵ 根据三角函数的定义可得 ，
∵ ，∴
∴ ，∴ ，选项不符合题意；
故答案为C
【点拨】此题考查了相似三角形的判定方法，涉及了三角函数的定义，熟练掌握相似
三角形的判定方法是解题的关键．
9．A
【分析】根据正弦函数的定义得到 ，再根据 ，即可
得到 ，化简即可求值．
【详解】
解：如图，在Rt△ABC中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故选：A【点拨】本题考查了正弦函数的定义，熟知正弦函数的定义并能运用分式的性质进行
化简是解题的关键．
10．B
【分析】直接根据余弦定义求解即可．
解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∴AC= =2．
故选B．
【点拨】在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边， ∠A的
余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边．
11．B
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA= AC=3，BD=2OB．再解
Rt△OAB，根据tan∠BAC= = ，求出OB=1，那么BD=2．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，OA= AC=3，BD=2OB．
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，∴tan∠BAC= = ，
∴OB=1，
∴BD=2．
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的
对角线互相垂直平分是解题的关键．
12．B
【分析】连接 交 于点 ，由题意证明 垂直平分 ，由 是等边三角
形，得到 ，通过证明 是等边三
角形，可得 ，由勾股定理求得 的长即可．
【详解】
解：连接 交 于点 ，取 中点 ，连接 ，如图，
是等边三角形
是等腰三角形，
垂直平分
是 的中位线，中，
故选：B．
【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、中位线、勾
股定理、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．B
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案．
解：A选项，sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，故错误；
B选项，cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡，故正确；
C选项，梯子的长度不能决定倾斜程度，故错误；
D选项，梯子倾斜程度与 的函数值有关，故错误；
故选：B．
【点拨】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦和正切函数，函数值随角度的
增大而增大；对于余弦函数，函数值随角度的增大而减小．
14．B
【分析】在 时， 的值随着 的增大而增大.
【详解】
在 时， 的值随着 的增大而增大.如果 ，那么 的范围是 .
故选:B.
【点拨】考查正弦的变化规律，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键；
15．C
【分析】根据特殊角的三角函数值，及正切函数随角度的增大而增大解答．
解：∵tan30°= ，tan60°= ，30°＜α＜60°，
∵当0°＜α＜90°，tanα随α的增大而增大，
∴ ＜tanα＜ ．
故选C．
【点拨】熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
16．A
【分析】根据同名三角函数大小的比较方法比较即可．
解：∵ ，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题考查了同名三角函数大小的比较方法，熟记锐角的正弦、正切值随角度
的增大而增大；锐角的余弦、余切值随角度的增大而减小．
17．A
【分析】根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及30°、45°、60°
的正弦值可求出.
解：∵∠A是锐角，且sinA＝ ＜ ＝sin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或
减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．
18．D【分析】首先明确cos60°=0.5，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．
解：∵cos60°=0.5，余弦函数随角增大而减小，
∵∠A为锐角，
∴∠A>60°．
故选：D．
【点拨】熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
19．B
【分析】根据正切函数的增减性，可得答案．
解： ，
由正切函数随锐角的增大而增大，得
tan30°＜tanA＜tan45°，
即30°＜A＜45°，
故选：B．
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，利用正切函数的增减性是解题关键．
20．C
【分析】首先明确 再根据正切值随角增大而增大，进行分析．
解：∵ 正切值随角增大而增大，
又
∴
故选:C.
【点拨】考查锐角三角函数的增减性，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
21．60°
【分析】利用正弦定义计算即可．
解：如图，∵sinB＝ ，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
【点拨】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义．
22．3
【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴cosA＝ ＝ ＝ ．
故（1），（2），（4）正确．
故答案为：3．
【点拨】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．
23．②③④
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴ ．∴∠A=30°．∴∠B=60°．
∴cosB= cos60°= ，tanA= tan300= ，tanB= tan600= ．
∴正确的结论是②③④．
24．
【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再根据锐角三角函数的正弦值取值范围，
筛选 的值代入即可解题．
【详解】
（ 为锐角），故答案为： ．
【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及正弦等知识，是重要考点，难度
较易，掌握相关知识是解题关键．
25．
【分析】根据锐角三角函数的取值范围列出不等式，然后转化为不等式组求m的取值
范围．
【详解】
∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
则0＜2m-3＜1
解得
