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专题 07 比大小归类
目录
题型一：基础函数：指数函数性质
题型二：基础函数：对数函数性质
题型三：幂指对函数性质
题型四：借助0、1分界
题型五：指数型同构法
题型六：借助常数分界
题型七：放缩型
题型八：构造型1：对数幂型
题型九：构造型2：指数幂型
题型十：构造型3：指数线性构造
题型十一：构造型4：对数线性构造
题型十二：构造型5：三角函数线性构造
题型十三：构造型6：综合构造
题型十四：三角函数型构造比大小
题型十五：幂指对与三角函数混合型
题型十六：泰勒展开
题型十七：麦克劳林展开
题型一：基础函数：指数函数性质
1．（23-24高三·湖南衡阳·阶段练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先比较 与 的大小，即可得到 ，再比较 与 的大小，即可得到
，从而得到 ，即可判断.
【详解】因为 ， ，所以 ，则
，即 ，因为 ， ，
所以 ，所以 ，则 ，即 ，又 ，所以 ，所以 .故选：D
2．（23-24高三·云南昆明·模拟）已知 ， （ 为自然对数的底数） ，比较 ，
， 的大小（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由常见的不等式可比较 和 的大小；利用幂函数和指数函数的单调性及中间量 可比较 ， 和
的大小，进而得出答案.
【详解】由三角函数线可得：不等式 ，则 ，
又函数 为增函数， 为减函数，则 ，
所以 ，综上所述： ，故选D．
【点睛】关键点点睛：本题考查比较函数值的大小.解题关键在于利用三角函数线得到不等式
，进而比较 和 的大小；再利用幂函数和指数函数的单调性及中间量 ，比较
， 和 的大小.
3．（23-24高三·宁夏银川·阶段练习）已知函数 ， ，且 ，则（
）
A． ， ， B． ， ，
C． D．
【答案】D
【分析】画出 的图象，根据 以及 的大小关系确定正确答案.
【详解】令 ，解得 ，
画出 的图象如下图所示，
由于 ，且 ，
由图可知： ， ， 的值可正可负也可为 ，所以AB选项错误.
当 时， ，
满足 ， ，所以C选项错误.
，
，所以 ，D选项正确.
故选：D
4．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知实数 满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性比较大小可得 ，再结合选项逐项判断可得答案.【详解】因为 ，则
，
，
因为 ，所以 ，
令 ，则
，所以 ，又因为 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
对于A，因为 ，所以 ，由 得 ，
所以 ，可得 ，故A错误；
对于B，即证 ，因为 ，所以 ，由 得 ，所以
，故B错误；
对于C，即证 ，因为 ，所以 ，由 得 ，所以
，故C错误；
对于D， ，因为 ，所以 ，由 得 ，所以
，即 ，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用对数函数、指数函数的单调性得出 ，考查了学生
运算求解能力.
5．（22-23高三·山东威海·模拟）已知函数 ，若 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的单调性和中间量比较出 ，再由函数 的单调性得出
结果.
【详解】 ，由于 ， ，
，所以 ， ，所以
，
因为函数 在 上为增函数，则 ，所以
.
故选：A
题型二：基础函数：对数函数性质1．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知 ， ， ， ，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先判断a、b、c范围均为 ，d>1，则d最大；用作商法可判断a、b大小；用作商法并结合
基本不等式可判断a、c大小；从而可得四个数的大小关系．
【详解】 ， ，
，
，
，
．
故选：D．
2．（23-24高三·江苏泰州·模拟）已知三个互不相等的正数 满足
，（其中 是一个无理数），则 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，所以
所以根据幂函数的性质可得 ，
因为 都是正数，
，
，
因为 是递增函数，又因为 ，作出 和 的图像，如图可得，当 时，两函数值相等； 时，
图像一直在 的上方，所以
故 ，
故选：B
【点睛】将 利用幂函数的单调性进行放缩；把 用指数函数的运算性质和基本不等式放缩；再把 用对
数函数的性质放缩，最终得到结果.
3．（2024·重庆·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到 最大，再利用作差法，结合基本不等式得到 ，从而得解.
【详解】由对数函数的性质知 ，
，
，
所以 ， ， ；
当 时， ，
所以
，
取 ，则 ，
所以
，即 ，
综上， .
故选：C.
【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论： .
4．（2024·辽宁·一模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ， ， ，即可得 ， ，再比较 与 的大小关系，借助对数运算
转化为比较 与 的大小关系，结合放缩计算即可得.
【详解】 ， ， ，故 ， ，要比较 与 的大小，即比较 与 的大小，
等价于比较 与 的大小，等价于比较 与 的大小，
又 ，故 ，即
，即 ，故 .故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较 与 的大小关系，可借助对数运算转化为比较 与 的大小
关系，再借助放缩帮助运算即可得.
5．（23-24高三·广东佛山·模拟）已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数式和对数式的转化，将 表示为对数形式，结合对数的运算性质以及对数函数的性
质比较大小，即可得答案.
【详解】由题意知 ， ，
则 ，
，因为 ，故 ，
又因为 ，故 ，即
故 ，即得 ，同理可得 ，故 ，即 ，
故 ，故选：D
题型三：幂指对函数性质
1．（23-24高三·辽宁朝阳·阶段练习）已知 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的上凸和下凸性质得到 ，
，结合 得到 ，设 ，求
导得到 在 上单调递减，得到 ，同理可得 ， ，相加后求出
，得到答案.【详解】设 ，画出 的图象，
故 为下凸函数，当 时 ，
所以 ， .设 ，画出 图象，
故 为上凸函数，当 时 ，所以 ，
同一坐标系内画出 和 的图象，
又 在R上单调递减，故 ，所以 .
设 ，则 ， 在 上单调递减，
所以 时 ，所以 ， ，
所以 ，同理可得 ， ，相加得 ，
，
所以 .故选：A
【点睛】结合函数图象得到函数 的凹凸性，进而可根据此性质得到以下结论，
若函数 为上凸函数，则有 ，
若函数 为下凸函数，则有 ，本题中可以此性质比较出 的大小.
2．（23-24高三江苏泰州·模拟）已知三个互不相等的正数 满足
，（其中 是一个无理数），则 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，所以 所以根据幂函数的性质可得 ，因为 都是正数，
，
，因为 是递增函数，又因为 ，
作出 和 的图像，如图可得，当 时，两函数值相等； 时，
图
像一直在 的上方，所以
故 ，故选：B
【点睛】将 利用幂函数的单调性进行放缩；把 用指数函数的运算性质和基本不等式放缩；再把 用对
数函数的性质放缩，最终得到结果.
3．（2023·河南·模拟预测）已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【详解】 ， ，即 ，
，下面比较 与 的大小，构造函数 与 ，
由指数函数 与幂函数 的图像与单调性可知，
当 时， ；当 时，
由 ，故 ，故 ，即 ，所以 ，故选：A
4．（22-23高三·河北唐山·阶段练习）设 ， ， ，则a，b，c的大小顺序是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】因为 ， ， ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
综上： .故选：D.
5．（2022·河南·一模）已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较 ，在同一坐标
系中作出 与 的图象，结合图象与幂函数的性质可比较 ，即可求解
【详解】令 ，则 ，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以 ，又 递增，
所以 ，即 ； ，
在同一坐标系中作出 与 的图象，如图：
由图象可知在 中恒有 ，又 ，所以 ，
又 在 上单调递增，且 所以 ，即 ；
综上可知： ，故选：A
6.（2024年高考天津卷）若 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为 在 上递增，且 ，
所以 ，所以 ，即 ，因为 在 上递增，且 ，所以 ，即 ，
所以 ，故选：B
题型四：借助 0、1 分界
1.（23-24高三 ·辽宁朝阳·阶段练习）已知 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的上凸和下凸性质得到 ，
，结合 得到 ，设 ，求
导得到 在 上单调递减，得到 ，同理可得 ， ，相加后求出
，得到答案.
【详解】设 ，画出 的图象，
故 为下凸函数，当 时 ，
所以 ， .设 ，画出 图象，
故 为上凸函数，当 时 ，所以 ，同一坐标系内画出 和 的图象，
又 在R上单调递减，故 ，所以 .
设 ，则 ， 在 上单调递减，
所以 时 ，所以 ， ，
所以 ，同理可得 ， ，相加得 ，
，
所以 .故选：A
【点睛】结合函数图象得到函数 的凹凸性，进而可根据此性质得到以下结论，
若函数 为上凸函数，则有 ，
若函数 为下凸函数，则有 ，本题中可以此性质比较出 的大小.
2.（黑龙江省桦南县第一中学2021-2022学年高三上学期）已知 ， ， ，则a，
b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的单调性，结合指数函数的性质进行判断即可.
【详解】
因为 ， ， ，
，所以 ，故选：D
3.（广东省陆丰市林启恩纪念中学2021-2022学年高三学期（12月）数学试题）已知 ， ，
，则 ， ， 三者的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用指数函数的性质比较即可
【详解】
因为 在 上为减函数，且 ，
所以 ，即 ，
因为 在 上为增函数，且 ，
所以 ，
所以 ，所以故选：C．
4.（陕西省西安市第一中学2021-2022学年高三上学期期中）已知定义在R上的函数 满足当
时，不等式 恒成立，若 ， ， ，则a，b，c
大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意可得函数 在R上为减函数，再根据指数、对数的性质比较自变量的大小即可；
【详解】
解：根据题意，函数 满足当 时，不等式 恒成立，
所以函数 在R上为减函数，
因为 ， ，即 ，又
所以 ，即 ，故选：D.
题型五：指数型同构法
1.（江苏省镇江市2021-2022学年高三上学期期中数学试题）已知 ， ， ，
，则下列大小关系正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用指数函数、对数函数的性质进行比较即可．
【详解】 。
a＞d＞b＞c，故选：D
2.. （ 四 川 省 宜 宾 市 普 通 高 中 2022 届 高 三 上 学 期 第 一 次 诊 断 测 试 文 科 数 学 试 题 ） 若
∴
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数和幂函数的单调性分别比较 和 的大小，即可比较 ，再根据
，即可得出答案.
【详解】
解：因为函数 是减函数，所以 ，又函数 在 上是增函数，
所以 ，所以 ，即 ， ，所以 .故选：B.
3.（陕西省西安中学2021-2022学年上学期数学试题）若 ，则三者大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先借助中间量“2”比较出 间的大小关系和 间的大小关系，再将a、b分别化为 ，进而化为根
式即可比较出a、b的大小关系，最后得到答案.
【详解】
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以a>b，
综上： .故选：D.
4..已知三个实数a， ， ，其中 ，则这三个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用指数函数的单调性判断．
【详解】
， 由指数函数的性质，有 ， ．再由指数函数的性质得 ，
即 ．
∵故选：A ∴ ∴
题型六：借助常数分界
1.（陕西省西安市第一中学2024届高三下学期高考模拟押题文科数学试题（一））若
，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先得 ，进一步 ，从
而我们只需要比较 的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【详解】 ，所以 ，
，
又因为 ，所以 ，即 .故选：B.
2.（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学理科猜题卷（四））已知 ， ， ，
则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意利用指、对数函数单调性以及指、对数运算分析判断.
【详解】因为 ， ，所以 ；
又因为 ，则 ，
即 ，所以 ，即 ；
所以 ．故选：A．
3.（2022年全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（九））若 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的单调性，分别计算 ， ， 的范围即可比较大小.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，又 ，可得 ，
因为 ，故 所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 。故选：D．
4.（广西师大附属外国语学校2021届高三5月高考考前模拟考试数学（理）试题）已知 ，
， ， ，则 、 、 、 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用对数函数的单调性比较 、 、 与 的大小关系，利用中间值法判断出 、 的大小关系，综合可
得出 、 、 、 的大小关系.
【详解】
， ， ，
， ，则 ，
， ，则 ，
因此， .故选：D.
题型七：放缩型1.（湖北省恩施州咸丰春晖学校2022-2023学年高二上学期11月月考数学试题）若 ， ，
，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断 大小，再分别判断 和 的大小即可
【详解】因为 ，故 .又 ，
，故 .再分析 和 的大小，因为 ， ，故 ，又
，故 ，故 .综上有
故选：D
2.（山东省枣庄市第三中学2021-2022学年高三质量检测数学试题）已知 ， ， ，则
a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先把a，b，c的化成同底的对数值，再把真数化成同指数幂的形式进行大小比较即可.
【详解】 ， ，
由 ， ，可得 ，
又 为 上增函数，则 ，即
故选：B
3.若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用对数运算的性质将 化简为 ，从而和c比较大小，同理比较a,c的大小关系，再根
据两个指数幂的大小结合对数的运算性质可比较a,b大小，即可得答案.
【详解】由题意： ， ，故 ．
又 ，即 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ．
因为 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选：B.
4.设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为______.（用“<”连接）
江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期12月阶段性测试数学试题
【答案】
【分析】易知 ， 的大小借助指数和对数的运算性质放缩可得，详见解析.
【详解】 ，
，再比较 与 的大小，同时四次方：
，则 .故答案为： .
题型八：构造型 1：对数幂型
1.（2023·江西景德镇·统考一模）设 ， ， （e为自然对数底数），则a，b，c大小关系
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 ， ， ，且 ，构造 利用导数研究单调性比较
大小，即可得结果.
【详解】由题设 ， ， ，显然 ，
对于 ， 的大小，只需比较 大小，令 且 ，则 ，即 在 上递减，
所以 ，故 ，
综上， ，故 .
故选：B
2.（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题设有 ，构造 且 研究单调
性比较 大小，进而确定 ，再构造 且 研究单调性比较
参数大小.
【详解】由 ，
得 .
令 且 ，则 且在 上单调递减，
而 ，
所以 在 上恒成立，故 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，
令 且 ，则 ，
所以 在 上单调递减，故 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：由 ，构造 研究单调性比较等
式右侧大小确定 大小，构造 并利用单调性确定参数大小.
3.（2023·河南·校联考模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构建函数 ，求导判断其单调性，利用单调性比较大小，注意 .
【详解】由题意可得 ， ， ，
设 ， ，则 ，故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因为 ， ， ，且 ，
可得 ， ，所以 .
故选：D.
4.（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 结构构造函数 ，求导，利用单调性比较大小 即可；再根据 结构构造
函数 ，求导，利用单调性比较大小 即可，即可判断选项.
【详解】令 ， ，则 ，当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，即 .
令 ， ，当 时， ，
单调递增，又 ，所以 在 上恒成立，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 .
故选：D
题型九：构造型 2：指数幂型1.（2023·安徽·校联考模拟预测）已知实数 ，且 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得 ， ， ，故考虑构造函数 ，利用导数研究函数
的单调性，结合单调性可得 ，由此比较 的大小.
【详解】由 ， ， ，可得 ， ， ．
令 ，则 ， 当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，又 ， ．故选：D．
2.（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用中间值法比较a与c，b与c大小关系，再通过构造函数 ，然后通过 的单
调性比较a与b的大小关系.
【详解】 ， ， ，又 ，
∵ ∴ ∴ ∵
，令 ，则 ，又 中，
∴ ∵
，
， 在R上恒成立， 在R上单调递增，
∴ ∴ ∴
，即： ， ，即： ， .故选：A.
∴ ∴ ∴
3.（2023下·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）设 ，则
， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ， ，构造函数 研究其单调性来比较m与n，构造函数
研究其单调性来比较m与t即可.
【详解】解：设 ，则 ， ， ，比较 ， ， 的大小， ，令 ， ， ，
∴
在 上单调递减， ， ，即 ，则 ， ， ，
∴ ∴ ∴ ∵
，令 ， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递减， ， ∴ ， ，
，则 ， ，故选：D.
∴ ∵ ∴ ∴
∴ ∴
4.（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知 ， ， （其中 为自然常
数），则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 变形，得 ， ， ，构造函数 ，利用导数得 在
上为减函数，在 上为增函数，根据单调性可得 ， ，再根据
可得答案.
【详解】 ， ， ，
设 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
综上所述： .故选：D
题型十：构造型 3：指数线性构造1.（2022·全国·模拟预测）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ， ，利用其单调性判断 的关系，令 ，得到
，取 ，判断 即可．
【详解】解：令 ， ，
则 ，则 在 上单调递增，且 ，
因此 ，即 ，
则 ．令 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
即 ，即 ，取 ，得 ，
则 ，
即 ．综上， ，故选：C．
2.（2022下·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 利用导数说明函数的单调性，即可得到 ，即可判断；
【详解】解：令 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
即 恒成立，即 （当 时取等号），
所以 ， ，
又 （当 时取等号），
∴
所以当 且 时，有 ， ， ．
故选：A
∴ ∴
3.（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则下列不等式成
立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，利用导数分析函数 在 上的单调性，即可得出 、 、 的大
小关系.
【详解】依题意 ， ，
构造函数 ，定义域为 ，
求导得 ，所以，函数 在 上单调递增，因为 ， ，又 ，则 ，则 ，即 ，即 ，
因为 ， ， ，故 .
故选：A.
4.已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先设 ，利用导数得到 ，从而得到 ，设
，利用导数得到 ，从而得到 和 ，即可得到答案.
【详解】
设 ， ，令 ，解得 . ， ， 为减函数，
， ， 为增函数.所以 ，即 ，当且仅当 时取等号.
所以 .故 ，即 .设 ，
，令 ，解得 . ， ， 为增函数， ，
， 为减函数.
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号.所以 .
所以 ，又因为 ，所以 .又因为 ，所以
，即 ，综上 .故选：B
关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性来解决比较大小问题，解决本题的关键为构造函数
和 ，属于难题.
题型十一：构造型 4：对数线性构造
1.（2022上·江苏镇江·高三校考期中）已知 ， ， ，其中 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，利用导数分析函数 的单调性，可知 ，即可得
出 、 、 的大小关系.
【详解】解：令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，由 ，可得 ，即 ，
同理可得 ， ，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递减，且 ， ， ，
则 、 、 ，由 ，可得 ，故 .
故选：A.
2.（2022·全国·高三专题练习）已知 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指对函数的性质比较 与0的关系，构造函数 ，利用导数研究函
数的单调性即可比较 的大小.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
3.（2022上·河南·高三校联考开学考试）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造 ，并利用导数、对数的性质研究大小关系即可.
【详解】设函数 ，则 ，
所以 为减函数，则 ，即 ，又 ，
所以 ．
故选：D
4.（2022下·贵州贵阳·高三校联考）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可得 ， ， ，令 ，利用导数可得 的单调
性，根据函数单调性，可比较 和 的大小，即可得答案.
【详解】由题意得 ， ， ，
令 ，则 ，所以 在 为减函数，
所以 ，即 ，所以 ，则 ，即 .故选：D
题型十二：构造型 5：三角函数线性构造1.（2022上·浙江·高三绍兴鲁迅中学校联考阶段练习）设 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性，进一步得到 ，根据基本不等式化简求出c的范围
以及b的范围，进一步求出答案.
【详解】设 ， ，
∴
在 的范围内单调递增， ，
由此可得 ，设 ， ，
∴ ∴
在 的范围内单调递减， ，
∴
由此可得， ，显然 ，
∴ ∴
，所以 ，综合可得 .故选：D.
2.（2022·四川内江·统考二模）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别构造函数 ， ， ，利用其单调性
判断.
【详解】解：设 ，则 ，
所以 在 上递减，所以 ，即 ，
设 ，则 ， 递增，则 ，即 ，
所以 ，令 ，则 ， ，
当 时， ，则 递减，又 ，
所以当 时， ， 递减，则 ，即 ，
因为 ，则 ，所以 ，即 ，故 ，故选：D
3.（2021上·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由函数的单调性结合已知条件求解即可
【详解】由题意可知， ，即 ，又 ，且当 时，令 ，
则 ，所以 在 递减，又 ，所以 ，即
所以 ，即 ，又因为 ，而 ，
所以 ，即 ，故选：D.
4.（2023下·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试） ， ， ，则 的大小关系
为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别构造函数证明 与 ，利用这两个不等式可判断 ；构造函数
，可证得 ，即可判断 ，从而得出答案.
【详解】令 ，则 ，
则 在 上单调递增，故 ，则 ．
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，故 ，则 ．
所以 ，即 ；
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，故 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
易知 ，所以 ，则 ，即 ；
综上： .
故选：B.
题型十三：构造型 6：综合构造1.（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设 ，则 大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过证明 确定 的大小关系；通过证明 确定 的大小
关系.
【详解】令 ，
，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ， ，
，所以 .
令 ，
，令 ， ，
，令 ，则 ，
所以 在 上单调递减， ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，即当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 的最小值为 中一个，而
，
，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 ， ，
所以 ，即 .所以 .故选：B.
2.
（2023·山东·模拟预测）已知 ， ， ，其中 为自然对数的底
数，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造 的结构特征，构造 ， ，求导后得到其单调性，得到 ，
再构造 ， 和 ， ，求导得到其单调性，得到
，即 ，从而得到 .
【详解】 ，
令 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，
又 ，所以 在 上恒成立，所以 ，即 ，即 ，
令 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 在 恒成立，
所以 ，
令 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故 在 上单调递减，
所以 ，即 在 恒成立，
当 时， ，
故 ，即 ，
综上，
故选：B
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出
函数的单调性，从而比较出代数式的大小.
3.
（21-22高三上·江西景德镇·阶段练习）已知 ， ， ，则
， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】观察a,b,c的结构，进而变形为 ， ，
，然后通过构造函数，利用导数得出函数的单调性，最后比较出大小.
【详解】由题意， ， ， ，
构造函数 ，则
，
所以函数 在 上单调递减，所以 ，即 .
故选：C.
【点睛】比较大小通常会用到函数的单调性，本题首先需要观察a,b,c的结构，对式子进行恰当的变化，
找到共性，进而构造函数，通过函数的单调性进行解决.
4.
（23-24高三·山东·阶段练习）已知实数 满足 ， ， ，则 ， ，
的大小关系是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
构造 ，根据函数的单调性得到 ，构造 ，确定函数单调递增
得
到 ，结合 时， 得到答案.
【详解】设 ，函数单调递减，且 ，
，即 ，即 ， ， ；
设 ， ，
取 ，
，
， ， ，故 ，函数单调递增，
， 在 上恒成立，
在 上恒成立，且函数单调递减，
故 在 上单调递增， ，即 ，
当 时， ，即 ，
综上所述： ，即 .
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数比较数值的大小问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综
合应用能力，其中构造新函数，根据新函数的单调性来比较数值的大小关系是解题的关键.
题型十四：三角函数型构造比大小
1.已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】根据 比较b，c的大小关系，构造函数 比
较a，b的大小关系，即可得解.
【详解】 ，所以 ，
构造函数 ，
，
，所以 ，
，必有 ， ，所以
所以 ，
即
所以 单调递减，
所以
即 ，
所以
故选：A
【点睛】此题考查比较三角函数值的大小，常利用中间值比较，或构造函数利用函数单调性比较大小.
2.（安徽省安庆市第一中学2022届高三热身考试数学试题）已知函数 与函数
在区间 都为减函数，设 ，且 ， ，
，则 的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ， ,即 ，又
∵ ∴
，又函数 在区间 都为减函数， ；
， ，即 ，
∴ ∴
∵ ∴
，又函数 在区间 都为减函数，
综上：
∴ ∴
点睛：本题重点考查了函数的单调性的应用，函数 与函数 在区间
都为减函数，同时注意重要结论的应用，x ，
利用这个桥梁搭起了三个变量间的关系.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据 的取值范围，明确三角函数 的取值范围，利用指数函数和幂函数的单调性，可
得答案.
【详解】解：已知 ，则 ，
因为 在 上是减函数，故 ；
因为幂函数 在 上是增函数，故 ，
故 ．
故选：A.
4.已知 则 的大小关系是__________．
【答案】
【分析】
构造函数 ,求导分析单调性即可比较出a与b的大小，结合三角函数线可得出b与c
的大小.
【详解】
令 ，则 当0b；
∴
， ， ， ；
∵ ∴
， ， ， ；
．故选：D．
∵
【点睛】本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以 和 两个值作为中间值，比较a、b、c
与中间值的大小即可判断a、b、c的大小．
题型十六：泰勒展开1.（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.
2.（22-23高三下·广东广州·阶段练习） ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】找中间值 进行比较大小，再借助泰勒展开即可比较大小.
【详解】由题意得， ，
因为 ，所以 ，
由泰勒展开得
，
，
所以
，
故 ，综上所述a，b，c的大小关系是 .
故选：C
3.（2024高三·河南·专题练习）设函数 ， ， 在 上
的零点分别为 ，则 的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数结合零点存在性定理得出 ， ， ，再根据 ，
可得 ，即可得出答案.
【详解】因为 ， ，所以 在 上单调递增，
又因为 ，所以存在 使得 ，
所以 ，
因为 ， ，令 ，解得 ，当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
又因为 ，
又 ， ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，所以存在 使得 ，所以 最大，
因为 ，所以 ，
， ，
又 ，
.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间，
区间的长度越小越好.
4.（23-24高三·山东临沂·模拟）英国数学家泰勒发现了如下公式： ，
，其中 .已知 ，则下列说法不正确的是（
）
A． B．
C． D．无法判断二者大小
【答案】A
【分析】根据泰勒公式，将 代入公式，直接计算近似值再比较即可.
【详解】由题意可知 ，
，所以 .
故选：A.
题型十七：麦克劳林展开1.（22-23高三上·江苏无锡·期末）设 ， ， ，这三个数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式得到 ，结合 的单调性，比较出 ，先利用多次求导，
得到 ， ，从而得到 ，比较出 .
【详解】 ，
，而 在 上单调递增，
∵
∴
且 时， ，以下是证明过程：
令 ， ，
，令 ，
故 ，令 ，
故 ，令 ，
则 ，令 ，
故 ，令 ，故 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
所以 ，故 在 上单调递增，
所以 ，故 在 上单调递增，
所以 ，故 在 上单调递增，
所以 ，故 在 上单调递增，
，
， .故选：C．
∴
∴ ∴
2.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由麦克劳林公式对函数值进行近似，然后比较大小。
【解析】
=x- +- +
0.1- =0.0998
通过近似计算可知 .
故选：B
3.已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由麦克劳林公式对函数值进行近似，然后比较大小。
【解析】
ln（x+1）=x- + +
c=ln（1+ ） - + =0.00995
a 0.00990
=1+x+ + +
1+ + =1.0101通过近似计算可知 .
故选：B
