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专题 3-2 三角函数求 w 类型及三角换元应用归类
目录
题型01 平移型求w..............................................................................................................................................................1
题型02 单调区间及单调性求w........................................................................................................................................2
题型03 对称中心（零点）求w..........................................................................................................................................3
题型04对称轴型求w...........................................................................................................................................................4
题型05 对称轴及单调性型求w..........................................................................................................................................5
题型06“临轴”型求w..........................................................................................................................................................6
题型07“临心”型求w..........................................................................................................................................................7
题型08 区间内有“心”型求w..........................................................................................................................................8
题型09 区间内无“心”型求w..........................................................................................................................................9
题型10 区间内最值点型求w............................................................................................................................................10
题型11多可能性分析型求w.............................................................................................................................................10
题型12三角应用：三角双换元.........................................................................................................................................11
题型13三角应用：无理根号型.........................................................................................................................................12
题型14三角应用：圆代换型.............................................................................................................................................12
题型15三角应用：向量型换元.........................................................................................................................................13
高考练场..............................................................................................................................................................................14
题型 01 平移型求 W
【解题攻略】
平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，
或者利用单调区间，再结合图形解出 值或者范围。
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，将 的图像向右平移
个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则 的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图像向右平移 个单位
长度后与原函数图像重合，则实数 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【变式1-1】（2021春·浙江杭州·高三学军中学校考开学考试）将函数 的图像向左平
移2个单位长度后，与函数 的图象重合，则 的最小值等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式1-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）将函数 （
）的图象向右平移 个单位长度后与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）A．1 B．2 C．4 D．5
【变式1-3】（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）将 的图象向左
平移 个单位长度后与函数 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型 02 单调区间及单调性求 W
【解题攻略】
正弦函数
在每一个闭区间 （k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间 （k∈Z）上都单调递减
余弦函数
在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，
在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减
【典例1-1】（上海市川沙中学2021-2022学年高三下学期数学试题）设 ，若函数 在
上单调递增，则 的取值范围是________
【典例1-2】（广西玉林市育才中学2022届高三12月月考数学试题）已知函数
的图象关于直线 对称，且 ， 在区间 上单调，则 的值为_____________.
【变式1-1】函数 ,若 在区间 上是单调函数,且
则 的值为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【变式1-2】若函数 在 上是增函数，则 的取值范
围是____________.【变式1-3】（2022-2021学年度下学期高三数学备考总动员C卷）若函数 在区
间 上单调递减，则实数 的取值范围是________.
题型 03 对称中心（零点）求 W
【解题攻略】
正弦函数对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
余弦函数对称中心
(＋kπ，0)(k∈Z)
正切函数对称中心
(，0)(k∈Z)
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设函数 的图象的一个对称中心为
，则 的一个最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2022秋·重庆·高三统考期中）若存在实数 ， 使得函数 的
图象的一个对称中心为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知
，周期 是 的对称中心，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022秋·高三课时练习）已知函数 的部分图象如图，
的对称中心是 ，则 （ ）A． B． C．3 D．
【变式1-3】（2023秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）设函数 的图象的一个对
称中心为 ，则 的一个最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
题型 04 对称轴型求 W
【解题攻略】
正弦函数对称轴
（k∈Z）时，y ＝1；
max
（k∈Z）时，y ＝－1
min
余弦函数对称轴
x＝2kπ（k∈Z）时，y ＝1；
max
x＝2kπ＋π（k∈Z）时，y ＝－1
min
【典例1-1】（2022秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函数
的部分图象如图， 的对称轴方程为 ，则
（ ）
A．3 B．2 C． D．1【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）若 是函数 图象的对称轴，则 的
最小正周期的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数 的图像关
于 对称，则函数 的图像的一条对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
【 变 式 1-2 】 （ “ 超 级 全 能 生 ” 高 考 全 国 卷 26 省 9 月 联 考 乙 卷 数 学 试 题 ） 已 知 向 量
，函数 ，且 ，若 的任何一条对称轴与 轴交点的横
坐标都不属于区间 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】已知向量 ，函数 ，且 ，若 的任何一
条对称轴与 轴交点的横坐标都不属于区间 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
题型 05 对称轴及单调性型求 W
【典例1-1】（2021届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题）已知函数 ，对任
意的 ，都有 ，且 在区间 上单调，则 的值为___________.
【典例 1-2】（2020 届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷?数学（二）试题）已知函数
的一条对称轴为 ，且 在 上单调，则 的最大
值为（ ）
A． B．3 C． D．【变式 1-1】（ 四川省成都市新都区 2020-2021 学年高三诊断测试数学试题） 已知函数
满足 ， ，且 在区间 上单调，则 的最大值为
________．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上是单调函数，其图
象的一条对称轴方程为 ，则 的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线 是曲线 的一条对称轴，
且函数 在区间[0， ]上不单调，则 的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
题型 06“临轴”型求 W
【解题攻略】
若 的图像关于直线 对称,则 或 .
【典例1-1】（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数
的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间
的最短距离为 ，直线 是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2023秋·高三课时练习）已知函数 ， 是函数 的
一个零点， 是函数 的一条对称轴，若 在区间 上单调，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知 ， 是函数
图象上两条相邻的对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．【变式1-2】（2023春·广东佛山·高三校考阶段练习）已知函数 ，
且 图象的相邻两对称轴间的距离为 .若将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，且
当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023春·四川成都·高三校联考阶段练习）已知直线 是函数
图象的任意两条对称轴，且 的最小值为 ，则 的单调递增区间是
（ ）
A． B．
C． D．
题型 07“临心”型求 W
【解题攻略】
函数 的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴，由 求对称中心.
(4)由 求增区间；由 求减区间.
【典例1-1】（2023春·广东珠海·高三校考）已知函数 的图象的一个对称中心
的横坐标在区间 内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）函数 ，
的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为 ，且 的图象关于直线
对称，则下列判断正确的是（ ）A．函数 在 上单调递减
B．将 图象向右平移 个单位与原图象重合
C．函数 图象关于点 对称
D．函数 的图象关于直线 对称
【变式1-1】（2023下·河南焦作·高三统考）已知函数 的图象的一个对称中心
的横坐标在区间 内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·云南红河·统考二模）已知函数 （ ）的图象的两个相邻对称
中心之间的距离为 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【变式1-3】（2021上·四川雅安·高三统考期末）已知函数 ，点 和
是其相邻的两个对称中心，且在区间 内单调递减，则 （ ）
A． B． C． D．
题型 08 区间内有“心”型求 W
【解题攻略】
求w的表达式时， 中不要把 写成k,因为后面还有一个k, 中不
要把 写成k，否则不好研究w的最小值.它们本身就不一定相等.
【典例1-1】（天津市部分区2020届高考二模数学试题）若函数 ( )在区间
上单调递减，且在区间 上存在零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2021春•商洛）已知函数 在 ， 上恰有6个零点，
则 的取值范围是A． B． C． D．
【变式1-1】（2022•湖北模拟）已知函数 在区间 ， 上恰有三个零点，则
的取值范围是 ．
【变式1-2】（云南省2020届高三适应性考试数学试题）若函数 （ ，
）图象过点 ， 在 上有且只有两个零点，则 的最值情况为（ ）
A．最小值为 ，最大值为 B．无最小值，最大值为
C．无最小值，最大值为 D．最小值为 ，最大值为
【变式1-3】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题16-20题）设函数 ，
若对于任意实数 ， 在区间 上至少有2个零点，至多有3个零点，则 的取值范围是
________．
题型 09 区间内无“心”型求 W
【解题攻略】
无“心”型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终
的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.
【典例1-1】已知函数 ，若函数 在区间 内没有零点，
则 的取值范围为_________.
【典例1-2】（天津市南开中学2022届高三下学期统练二数学试题）已知函数
， ，若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是
______.
【变式1-1】函数 ，且 ， ，若 的图像在 内与 轴无交
点，则 的取值范围是__________.
【变式1-2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）将函数 的图象先向右平
移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，
若函数 在 上没有零点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再把所得
函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在
上没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型 10 区间内最值点型求 W
【解题攻略】
极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。
【典例1-1】.已知函数 （ ， ）， ， ， 在
内有相邻两个最值点，且最小值点距离 轴近，则 的最小正整数值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【典例1-2】已知函数 的图象关于点 及直线 对称，且
在 不存在最值，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022年全国高考乙卷数学（理）试题变式题13-16题）已知函数 ，
若 且 在区间 上有最小值无最大值，则 _______．
【变式1-2】（2022届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学试题）已知函数 ，
，若 ，对任意 恒有 ，在区间 上有且只有
一个 使 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（【全国百强校】河北衡水金卷2022届高三12月第三次联合质量测评数学试题）已知函数， 两 个 等 式 ：
对 任 意 的 实 数 均 恒 成 立 ， 且
上单调，则 的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
题型 11 多可能性分析型求 W
【解题攻略】
解决函数 综合性问题的注意点
（1）结合条件确定参数 的值，进而得到函数的解析式．
（2）解题时要将 看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．
（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．
【典例1-1】.函数 ，已知 为 图象的一个对称中心，直线
为 图象的一条对称轴，且 在 上单调递减．记满足条件的所有 的值的和为 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（北京市西城区北京师范大学附属实验中学 2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题）
已知点 ，若三个点中有且仅有两个点在函数 的图象上，则正数
的最小值为__________.
【变式1-1】（北京市东城区2021-2022学年高三上学期数学试题）已知函数 ，
曲线 与直线 相交，若存在相邻两个交点间的距离为 ，则 的所有可能值为__________．
【变式1-2】（上海市晋元高级中学2022届高三数学试题）已知 ，若存在
使得集合 中恰有3个元素，则 的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2021•淮北二模）已知函数 满足 ， ，且 在
区间 上单调，则满足条件的 个数为
A．7 B．8 C．9 D．10题型 12 三角应用：三角双换元
【解题攻略】
形如 ， 等，均可以用三角换元来解
决.
在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是[-1，1]，但其角度有多种形式，
于是我们在设置角度时要抓住2点：
（1）设置的角度要使三角函数的范围为[-1，1]，
（2）根号要能直接开出来.就如本题来讲，令 ，此时 ，于是
.
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设 、 且 ，求 的取值范围是 .
【典例1-2】（2020·江西·校联考模拟预测）若等差数列 满足 ，且 ，求 的取值
范围（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知 ， ，求
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（江西省抚州市金溪一中等七校2021-2022学年高三考试数学试题（B卷））已知 满足
，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【变式1-3】（浙江省嘉兴市2022届高三试数学试题）已知实数 满足 ,则 的取值范
围是_______．
题型 13 三角应用：无理根号型
【解题攻略】
无理根号型求范围，可以通过换元求得：
1.单根号，一般是齐次关系。
2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去x。
3.式子可能具有“轮换特征”
4.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约。【典例1-1】.求函数 的值域.
【典例1-2】求函数 的值域.
【变式1-1】若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 .
【变式1-2】（新疆莎车县第一中学2022届高三上学期第三次质量检测数学试题）函数y=x−√4−x2的
值域为________．
【变式 1-3】（2020 届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（七）数学（理）试题）已知
，则 的最大值为_________.
题型 14 三角应用：圆代换型
【解题攻略】
圆代换型，利用圆的参数方程，注意尽量代换规范：余弦对应x，正弦对应y
的参数方程是：
【典例1-1】（上海市第二中学2020-2021学年高三下学期5月月考数学试题）知点A(2,0)，点P是以原点
为圆心，1为半径的圆上的任意一点，将点P绕点 逆时针旋转90°得点Q，线段AP的中点为 ，则
|MQ|的最大值是______
1
【典例1-2】设圆O:x2+ y2=1上两点A(x ,y )，B(x ,y )满足：⃑OA⋅⃑OB=− ，则
1 1 2 2 2
|x −2y |+|x −2y |的取值范围是___________.
1 1 2 2
【变式1-1】已知 是单位圆（圆心在坐标原点 ）上任一点，将射线 绕 点逆时针旋转 到
交单位圆于点 ，则 的最大值为________.
【变式1-2】设圆 上两点 ， 满足： ，则 的取
值范围是___________.
【变式1-3】（2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知点 为圆 上任一点， ，
分别为椭圆 的两个焦点，求 的取值范围 .题型 15 三角应用：向量型换元
【解题攻略】
向量中的三角换元原理之一，就是源于 ,实质是圆。
所以模定值，可以用圆的参数方程代换。
【典例1-1】（2022上·广东佛山·高三统考）菱形 中， ，点E，F分别是线段
上的动点（包括端点）， ，则 ， 的最小值为
.
【典例1-2】（2020·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知 ， ，则向量
的最小值为 .
【变式1-1】（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）平面向量 ， ， 满足 ，
，则 的最大值为 .
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最大值
为 .
【变式1-3】（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知 为单位向量，向量 满足
，则 的取值范围是 .
高考练场
1.（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设函数 ，将函数 的图
象先向右平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与 图象重
合，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2.（湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）数学试题）已知函数
，其中 ，若 在区间 上单调递减，则 的
最大值为__________．3.（2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数 ，使得函数 ( >0)的图象的一个对
称中心为( ，0)，则ω的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4.（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知直线 是函数 （ ）图象
的一条对称轴，则 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
5.（2020 届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷 ?数学（理）（二）试题） 已知函数
的一条对称轴为 ，且 在 上单调，则 的最大
值为（ ）
A． B．3 C． D．
6.（2023·全国·统考高考真题）已知函数 在区间 单调递增，直线 和 为
函数 的图像的两条相邻对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
7.（2020·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知点 ， 为曲线 ( )(常数
)的两个相邻的对称中心，若该曲线在点 ， 处的切线互相垂直，则 的值为 .
8.（四川省内江市威远县威远中学校2022-2023学年高三数学试题）已知函数 (ω>0)，
若 在 上恰有两个零点，且在 上单调递增，则ω的取值范围是________.
9.（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知函数 ，函数 的图象可以由函数
的图象先向右平移 个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍
得到，若函数 在 上没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．10..已知函数 ，其中 ， ， 为 的零点，且 恒成立，
在区间 上有最小值无最大值，则 的最大值是_______
11.（河北省衡水市第十四中学2020-2021学年高三四调数学试题）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|
φ|≤ ），x=- 为f（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（ ， ）上单调，则ω的
最大值为______．
12.（江苏省泰州中学 2020-2021 学年高三上学期第二次检测数学试题）已知非负实数 ， 满足
，则 的最大值为__________.
13.．函数y＝x＋ 的最小值为________．
14.（广东省清远市恒大足球学校2020届高三上学期九月月考数学试题）若 ，那么 的最大
值为_________________.
15.在同一个平面内，向量 的模分别为 与 的夹角为 ，且 与 的夹
角为 ，若 ，则 _________．
