文档内容
专题 4-3 三角函数与解三角形典型大题归类
目录
专题4-3三角函数与解三角形典型大题归类........................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：三角形中线问题........................................................................................................................1
1、向量化(三角形中线问题）................................................................................................................4
题型二：三角形角平分线问题................................................................................................................9
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）.............................................................................................13
题型三：三角形周长（边长）（定值，最值，范围问题）..............................................................22
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）...........................................................................25
题型四：三角形面积（定值，最值，范围问题）..............................................................................28
题型五：四边形问题..............................................................................................................................38
. ...............................................................46
题型一：三角形中线问题
【典例分析】
例题1．（2022·河北张家口·高三期中）已知 的内角 ， ， 的对边分别为
， ．
(1)求角 的大小；
(2)若 边上中线长为 ， ，求 的面积．
【答案】(1) 或
(2) 或
【详解】（1）由题知， ，所以由正弦定理得 ，
因为在三角形中 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 或
（2）由（1）得 或
因为 边上中线长为 ， ，
设 中点为 ,
所以 ,
所以 ，即 ，
所以 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
所以
，或
例题2．（2022·广东·广州市协和中学高一期中）已知函数
．(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边， ， ，若 为 上一点，
满足 为 的中线，且 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
(1)
；
令 ，解得： ，
的单调递增区间为 .
(2)
由（1）知： ，即 ，
又 ， ， ，解得： ；
在 中，由余弦定理得： ；在 中，由余弦定理得： ；
， ，即 ，
；
在 中，由余弦定理得：
，解得： ；
， ，
的周长为 .
【提分秘籍】
1、向量化(三角形中线问题）
如图在 中， 为 的中点， (此秘籍在解决三角形中线问题
时，高效便捷）
2、角互补
【变式演练】
1．（2022·北京市十一学校高三阶段练习） 中，已知
．
(1)求 ；(2)记 边上的中线为 ．求 和 的长度．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意 ，
，
,
由于 ，所以 .
（2）由三角形的面积公式得 ，
由余弦定理得 .
由 两边平方并化简得：
，
所以 .
2．（2022·新疆·兵团第一师高级中学高三阶段练习（理））已知 中，内角 ， ，
所对的边分别为 ， ， ，且
(1)求 ；
(2)若 边上的中线长为 ， ，求 的面积．【答案】(1)
(2)
（1）
由已知得： ，
由正弦定理可化为： ，即 ，
由余弦定理知 ，
又 ，故 ．
（2）
设 边上的中线为 ，则
所以 ，即 ，
所以 ，即 ①
又 ，由余弦定理得 ，即 ②
由①②得 ，
所以 ．
3．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）在 中，
边上的中线长为 .
(1)求 的值；
(2)求 的面积.
【答案】(1)(2)
（1）
因为 ，
由正弦定理得 ,所以 ，
又因为 ，所以 .
（2）
记 的中点为 ，则 ，设 ，
因为 ，即 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 .
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，
(1)求角A的大小(2)若BC边上的中线 ，且 ，求 的周长
【答案】(1) ；
(2) .
（1）
由已知 ，
由正弦定理得： ，
由余弦定理得： ，
在 中，因为 ，
所以 ；
（2）
由 ，得 ①，
由（1）知 ，即 ②，
在 中，由余弦定理得： ，
在 中，由余弦定理得： ，
因为 ，所以 ③，
由①②③，得 ，所以 ，
所以 的周长 .
题型二：三角形角平分线问题
【典例分析】
例题1．（2022·辽宁沈阳·高一期末）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为
， ， ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ， 的内角平分线交边 于点D，求 ．
【答案】(1)
(2)
(1)
∵
由正弦定理得
∵ ，∴
∴ ，∴
∴ ∵
∴
(2)方法一：∵
∴
∴
∴
∴
方法二：在△ABD中，由正弦定理，
在△ADC中，由正弦定理，
∵ ，
∴
∴
∴
方法三：在△ABC中，由余弦定理：
∴
在△ABD中，由正弦定理，
在△ADC中，由正弦定理，
∵ ，∴
∴
在△ADC中，由余弦定理：
设 ，则 即 解得 或
在△ABC中，由余弦定理： ，∴C是钝角
在△ADC中 ，∴
∴
例题2．（2022·山西·高一阶段练习）在 中，内角 的对边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小，
(2)若 ，角 的角平分线交 于 ，且 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
(1)
解：因为 ，
由三角函数的基本关系式，可得
由正弦定理和 ，
即 ，
又由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 .
(2)
解：由 的角平分线 将 分为 和 ，如图所示，
可得 ，
因为 ，可得 ，且 ，
所以 ，
即 ，整理得 ，即 ，
又由 ，可得 ，即 ，
又由 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 的面积为 .
【提分秘籍】
角平分线
如图，在 中， 平分 ，角 , , 所对的边分别为 ， ，
核心技巧1：内角平分线定理：或
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）
核心技巧3：边与面积的比值：
核心技巧4：角互补：
在 中有： ;
在 中有：
【变式演练】
1．（2022·北京师范大学第三附属中学模拟预测）已知 的内角 的对边分别为
,且 .
(1)求 的值;
(2)给出以下三个条件:条件①: ;条件②: , ;条件③: .
这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题:
（i）求 的值;
（ii）求 的角平分线 的长.
【答案】(1)
(2)①③正确,（i） ;（ii）【详解】（1）解:由题意知
,
即
, ,
故 ;
（2）由（1）得 ,
,故条件②不成立,即条件①③正确,
在 中,由余弦定理可得:
,
即 ,
对于条件①: ,
与上式结合可得 ,
对于条件③: ,
故 ,所以 ,
将 代入 可得: ,
（i）在 中,由正弦定理可得:
,即 ,
,
（ii） 是 的角平分线,
,
,
, ,
在 中,由余弦定理可得
,
故 .
综上:条件①③正确, , .
2．（2022·广东·模拟预测） 中， ， ， ， .
(1)若 ， ，求 的长度；
(2)若 为角平分线，且 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)【详解】（1）∵ ， ，∴ ，
又∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，即： .
（2）在 中， ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ .
3．（2022·湖南·长沙一中高二期中）在锐角 中，内角 的对边分别为
，且满足
(1)求角C的大小；
(2)若 ，角A与角B的内角平分线相交于点D，求 面积的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）∵ ，由正弦定理可得, ，
整理可得： ,
即 ，
即： ,
又因为锐角 ，
所以 ， ，
所以 ，
即 ，又 ，
所以 ；
（2）由题意可知 ，
设 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，
所以 ，
所以，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以
即 面积的取值范围为 .
4．（2022·黑龙江·哈九中高三阶段练习）已知向量 ，
，函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若
恰好为函数 的最大值，且此时 ，求3a＋4b的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
则函数 的最小正周期 .（2）由（1）可知 ，当 ，即 时， 取得最大值为
，则 ， ，
因为 平分 ，所以 ，则点 分别到 的距离
，
由 ，则 ，即 ，
整理可得 ，
，当且仅
当 ，即 时，等号成立，
故 最小值为 .
5．（2022·黑龙江·铁人中学高三阶段练习）在 中，内角 ， ， 所对的边长分别
为 ， ， ，且满足 .
(1)求角 ；
(2)角 的内角平分线交 于点 ，若 ， ，求 .
【答案】(1) ；
(2)
（1）
由正弦定理及切化弦可得，
又 ，则 ，即 ，
又 ，则 ；
（2）
，又 ，
，
可得 ，又由余弦定理得
，解得 （负值
舍去），则 ，
可得 或 ，又 ，显然当 或12时， 的值相
同，不妨设 ，则 ，
由正弦定理得 ，可得 ，又 ，可得
.
6．（2022·江苏淮安·模拟预测）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已
知tanB(1)若 ，求tanC的值：
(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且 求△ABC的面
积．
【答案】(1) 或 ；
(2) .
(1)
因为 ，
所以 ，
解得 或sin ,
当 时， ， ，
所以 ， ；
当 时，因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ．
(2)
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，∴ ，
由角平分线定理可知， ，又 ，
所以 ，
由 ，可得 ，
∴ ， ，
所以 ．
题型三：三角形周长（边长）（定值，最值，范围问题）
【典例分析】
例题1．（2022·新疆·克拉玛依市高级中学高一阶段练习）设向量
，在三角形 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，
且 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，边长 ，求三角形 的周长 的值．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）由已知可得 ，所以 ，所以．
（2）由题意可知 ，可得 ，所以 ，
由余弦定理可知 ，
则 ，即 ，故周长为 ．
例题2．（2022·全国·模拟预测）在① ，② ，③
且 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，______.
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)若 为边 的中点，且 ，求 周长的最大值.
【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析
(2)
【详解】（1）方案一：选条件①.
由 及正弦定理，得 ，
所以 ，即 ，
又 ， ，所以 或 （不合题意，舍去），
故△ABC是等腰三角形.
方案二：选条件②.
由 ，得 ，
所以 ，由正弦定理，得 ，故 ，
所以△ABC为等腰三角形.
方案三：选条件③.由 及正弦定理，得
所以 ，得 ，
又 ， ，所以 或 ，
又 ，故 ，
所以△ABC为等腰三角形.
（2）由（1）知，△ABC为等腰三角形，且 .
在△ABD中，由余弦定理，得 ，化简得 .
设△ABC的周长为l，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以△ABC周长的最大值 .
例题3．（2022·山东·新泰市第一中学北校高三期中） 的内角 ， ， 的对边
分别为 ， ， ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）在 中， ，由正弦定理得：
，整理得 ，由余弦定理得： ，而 ，
所以 .
（2）由（1）知， ，由正弦定理得： ，
则 ，而 ，令 ，
在锐角 中， ，解得 ， ，
于是得 ，则
，
所以 周长的取值范围是 .
【提分秘籍】
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）
利用基本不等式 ，在结合余弦定理求周长取值范围；
核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）
利用正弦定理 ， ，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助
角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
【变式演练】
1．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知在 中，内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，且 ．
(1)若 ，求证： 为直角三角形；
(2)若 的面积为 ，且 ，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析(2)
（1）
由 及正弦定理，得 ，
又 ，故 ，又 ，故 ．
因为 ，由余弦定理，得 ，
所以 ，所以 是以 为直角的直角三角形．
（2）
由 的面积为 ，得 ，故 ，
由 ，结合余弦定理，得 ，
所以 ，
故 的周长为 ．
2．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（文）） 三角形的内角 的对边分别
为 ，
(1)求 ；
(2)已知 ，求 周长的最大值．
【答案】(1)
(2)18
【详解】（1）由 ，根据正弦定理，可得
，整理可得 ，
由余弦定理， ，由 ，则 .
（2）由（1）可知， ， ，由 ，当且仅当 时，等号成立，则 ，即 ，
故 周长 .当 时等号成立
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， 分别为锐角△ 三个内角 ， ， 的
对边，记三角形的面积为 ，若 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，试求△ 周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理 得 ，
∴ ，
∵三角形面积 ，∴
∴ ，
∵ ，∴ .
∴角 的大小为 .
（2）由正弦定理及（1）得 ，
∴ ，
.
∴在锐角△ 中， ， ，
又∵ ，∴ ，∴
综上 ，
∴ ，
∴
∴△ 周长的取值范围为 .
题型四：三角形面积（定值，最值，范围问题）
【典例分析】
例题1．（2022·江苏·苏州中学高三阶段练习）记 的内角 、 、 的对边分别为
、 、 ，已知 ， ．
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为 ，则 ，所以，
，所以，
，
所以， ，又因为 ，故 .
（2）解：因为 ，所以 ， ，
因为 ， ，则 ，
所以， ，化简整理得 ，
所以 ，
故 的面积为 .
例题2．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））在 中，内角 ， ， 所对
的边分别为 ， ， ．已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【详解】（1）在 中， ，由余弦定理
得，，整理得 ，由正弦定理得：
，而 ，解得
（2）由（1）知 ，而 ，则 ，当且仅当 时
取等号，
于是得 ，
所以当 时， 面积取得最大值 ．
例题3．（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）在锐角 中，角 ， ， 所对的
边分别为 ， ， ，已知 ．
(1)求 的取值范围；
(2)若 是 边上的一点，且 ， ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，故
，
整理得到： 即 ，
故 ，而 为三角形内角，故 ，
所以 ，故 ，而 为锐角三角形内角，故 .,
因为三角形为锐角三角形，故 ，故 ，
故 ，故 ，故 .
（2）由题设可得 ，故 ，
整理得到： ，
故 即 ，
整理得到： ，
当且仅当 时等号成立，故 .
故三角形面积的最大值为 .
例题4．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））已知 中，内角 ， ，
所对的边分别为 ， ， ，且 .
(1)若 ，求 外接圆的面积；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题知： ，
由正弦定理可化为 ，
即 ，
由余弦定理知 ，
又 ，故 .
设 外接圆的半径为R，则 ，
所以 ，
所以 外接圆的面积为 .
（2）由（1）知： ，所以 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ，解得 ，
又由正弦定理 ，得 ，
所以
.又 ，则 ，
所以 ，
故 面积的取值范围是 .
【提分秘籍】
常用的三角形面积公式
1
（1）S = ×底×高；
ΔABC 2
1 1 1
（2）S = absinC= bcsinA= casinB（两边夹一角）；
ΔABC 2 2 2
核心秘籍1、基本不等式
①
②
核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）
利用正弦定理 ， ，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，
根据角的取值范围，求面积的取值范围.
【变式演练】
1．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，
且 ．
(1)求角C的大小；
(2)若 ， ，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)【详解】（1）由 及正弦定理，
所以 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 ．
（2）由余弦定理 ，
得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
2．（2022·全国·模拟预测）在锐角 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且
， .
(1)求角 的大小；
(2)求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ,根据余弦定理可得 ，化简得 ，
由正弦定理 ，可知 ，
因为 为锐角三角形，所以 .
（2）由 .
由正弦定理得 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ，解得 ，
则 ， ，
故 ，
即 面积的取值范围为 .
3．（2022·广东·恩平黄冈实验中学高二阶段练习）在 中，角 所对的边分别为
，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由 得 ，
因为 中 ，
所以 ，
所以 ，
又在 中 ， ，
所以 ，所以 .
（2）在 中由余弦定理得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的面积 ，
所以 的面积S的最大值为 ．
4．（2022·广西广西·模拟预测（理））记 的面积为S，其内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，已知
(1)求角C.
(2)求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)【详解】（1）因为 ，得 ，
又由余弦定理得 ，由三角形面积公式得 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）及余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，故 ，
所以 ，
所以 面积的最大值为 .
5．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）在 中，角 的对边分别是 且
满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求锐角 的面积 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，由正弦定理可得
所以 ，
因为 ，所以 ，且 ，所以
（2）因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 ，
所以 的面积 的最大值为
故 的面积 的取值范围是
题型五：四边形问题
【典例分析】
例题1．（2022·河北·高三期中）如图所示，在四边形ABCD中， ，
，
(1)求 ；
(2)若 为 的平分线，试求 ．
【答案】(1)5
(2)8【详解】（1）由正弦定理得 ，
∴ ＝
∴ .
（2）由 ，可得 ，
又 ， 为 的平分线，
∴A，B，C，D四点共圆， ，
由余弦定理得 ，即
∴ .
例题2．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）如图，在平面四边形 中，
， ．
(1)若 平分 ，证明： ；
(2)记 与 的面积分别为 和 ，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）
平分 ， ，则 ，由余弦定理得： ，
即 ，解得： ；
，
，
，又 ， ，
（2）
，
，整理可得： ；
，
， 当 时， 取得最大值，最大值为 .
例题3．（2022·安徽·蚌埠二中高三阶段练习）如图，在梯形 中， ，
．
(1)若 ，求 周长的最大值；
(2)若 ， ，求 的值．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：在 中，
，
因此 ，当且仅当 时取等号．
故 周长的最大值是 ．
（2）解：设 ，则 ， ．
在 中， ，
在 中， ．
两式相除得， ， ，
因为 ，
，
，故 ．
【变式演练】
1．（2022·全国·高二课时练习）在 中，角 所对的边分别为 ，
.(1)判断 的形状，并加以证明；
(2)如图， 外存在一点D，使得 且 ，求 .
【答案】(1)直角三角形，证明见解析
(2)5
【详解】（1）在 中，由正弦定理得
又 ，所以
化简得： ， ，
所以， ，
所以， 是直角三角形
方法二：
在 中，由余弦定理得
整理得 ，
所以 ， 是直角三角形
（2）方法一：
在 中，由正弦定理得 .由题设知， ，所以 .
由题（1）知， .
在 中，由余弦定理得
.
所以 .
方法二：
作 ，垂足为 ， ，垂足为 ,则，
在 中
所以 ， 为 的中垂线
所以
2．（2022·江苏省镇江中学高一阶段练习）在平面四边形 中，
为等边三角形，设 .
(1)求四边形 面积的最大值，以及相应 的值；(2)求四边形 对角线 长度的最大值，以及相应 的值.
【答案】(1) ； ；
(2) ；
(1)
由题意， 为等边三角形，∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴四边形 面积为
，
因为 ，∴ ，即 时，
四边形 面积最大，此时
(2)
设 ，由正弦定理得 ，
由余弦定理得， ，
∴ ， ，当 ，即 时， ，
即 的最大值为 .
3．（2022·福建·厦门一中高一阶段练习）在平面四边形ABCD中， ，
， .
(1)若 ABC的面积为 ，求AC；
△
(2)若 ， ，求 .
【答案】(1)
(2)
（1）
在△ 中， ， ，
∴ ，可得 ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
.
（2）设 ，则 ，
在 中， ，易知： ，
在△ 中，由正弦定理得 ，即 ，
，可得 ，即 .
.
1．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高三阶段练习）在① ，②
，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解
答该问题.问题：锐角 的内角 的对边分别为 ，且______.
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选①
，所以 ，
所以 ，
整理得 .因为 ，所以 .因为 ，所以 .
选②
因为 ，所以 ，
所以 ，整理得 .
因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
选③
因为 ，
所以 ，
所以 ，
整理得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ， .
（2）因为 ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 .
2．（2022·山东·汶上县第一中学高三阶段练习）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分
别是a，b，c， ， ， .(1)求角A的值；
(2)求 的面积.
【答案】(1)
(2) 或3
【详解】（1）因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
在 中，因为 ，所以A为锐角，所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的面积为 或3.
3．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知在 中，角 的对边
分别为 ， ， ， 且 ．
(1)求 ；
(2)求 面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由已知可得 ，所以
，
由正弦定理可得 ，即
，则 ，
因为 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（2）由余弦定理可得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，当且仅当 时，等号
成立，
所以 ，即 面积的最大值为 ．
4．（2022·江苏南通·高三阶段练习）在锐角三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别
为a，b，c， .
(1)求角B；
(2)若 的面积为 ，求b的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解： ，
∴ ，，
即 ，
∵ 为锐角三角形，
∴ ，
则 .
（2） ，
∴ ，
，当且仅当 时取“=”，
∴ .
5．（2022·北京·海淀实验中学高三阶段练习）已知在 中， ，
．
(1)求A的大小；
(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中
线的长度．
① 周长为 ；② ；③ 面积为 ；④
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由 可得， ，
即 ，所以 ，所以 或 .
当 ，即 时，又 ，所以 ；
当 时，
又 ，则由余弦定理知， ，
这与 矛盾，舍去.
所以， .
（2）
若选①，由（1）知， ， .
由正弦定理可得 ，
又 周长为 ，所以 ， ，则 存在且唯一确定.
设 中点为 ，则 ，
在 中，有 ， ， ，
由余弦定理可得， ，
所以， ；.
若选②，即 ，由（1）知， ， .则 ，根据正弦定理 ，可得 ，
则 存在且唯一确定.
设 中点为 ，则 ，
在 中，有 ， ， ，
由余弦定理可得， ，
所以， ；.
若选③，即 面积为 .由（1）知， ， ，则 .
，所以 ，则 ，所以 ，
根据正弦定理 ，可得 ，
则 存在且唯一确定.
设 中点为 ，则 ，
在 中，有 ， ， ，
由余弦定理可得，
，
所以， ；.若选④ .
由（1）知， ， .
根据正弦定理 ，可得 ，
与 矛盾，所以，不存在这样的 .
6．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知在 中，角 所对的边分别
为 ，且 .
(1)求 ；
(2)设点 是边 的中点，若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）在 中，依题意有 ，由正弦定理得：
，
而 ，即 ，则有 ，即 ，而 ，
所以 .
（2）在 中，由（1）知， ，又 ，点 是边 的中点，则
,
于是得，显然 ，当且仅当 时取等号，
因此 ， ，即 ，
所以 的取值范围是 .
7．（2022·湖南益阳·高二阶段练习）在锐角 中，内角 、 、 所对的边分别为
， ， ， ， ，向量 ， 的夹角为 ．
(1)求角 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）因 ， ，则 ，
而 ，且向量 ， 的夹角为 ，则 ，
因此 ，在锐角 中， ，则 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）知 ，又 ，由正弦定理得： ，
则 ， ，而 ，由锐角 得， ，即有，
显然有 ，于是得 ，有 ，
，
所以 周长的取值范围为 .
8．（2022·湖北·高三阶段练习）已知在 中，边 , , 所对的角分别为 ， ， ，
.
(1)证明： , , 成等比数列；
(2)求角 的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）通分化简可得 ，
，即 ，
即 ，
整理得 ，由正弦定理可得 ，所以a､b､c成等比数列；
（2）由（1）可得 ，又 ，所以
，当且仅当 即 为正三角形时等号成立，所以 的最大角为 .9．（2022·江苏·昆山震川高级中学高三阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别
a，b，c，若2ccosB＝2a＋b．
(1)求角C；
(2)若△ABC的面积为4 ，则3a2＋c2的最小值．
【答案】(1)
(2)80
【详解】（1）由 及正弦定理可得 ，
∴ ，即 ，又 ，
故 ，又 ，故 ．
（2）因为 的面积为 ，所以 ，即 ，故 ，
由余弦定理可得 ，
∴ ，当且仅当 时等号成
立，
故 的最小值为80．
10．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）在①
；②
，这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并
加以解答________
(1)求角 ；
(2)若 ， ， 在线段 上，且满足 ，求线段 的长度.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）选①， ，
整理得
利用正弦定理，可得， ，则
，根据余弦定理，得到 ，
，故
选②， ，整理得，
，则利用正弦定理，得
，
， ， ，两边同时除以 ，
，又 ，
（2） ，又 ，
，
又 ， ，故有
，
线段 的长度为 .
