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专题 2-5 函数导数压轴小题归类
目录
题型01 整数解型..................................................................................................................................................................1
题型02 函数零点构造型....................................................................................................................................................2
题型03 同构: 方程零点型同构...........................................................................................................................................3
题型04 同构: 不等式型同构求参.......................................................................................................................................4
题型05 恒成立求参：移项讨论型......................................................................................................................................5
题型06 恒成立求参：虚设零点型......................................................................................................................................5
题型07 “倍缩”型函数求参数.............................................................................................................................................6
题型08 恒成立求参：“等式”型......................................................................................................................................7
题型09 双变量型不等式范围最值......................................................................................................................................8
题型10 双变量型：凸凹反转型..........................................................................................................................................9
题型11多参型：代换型.....................................................................................................................................................10
题型12 多参型：二次构造放缩型....................................................................................................................................10
题型13 多参型：韦达定理求参型....................................................................................................................................11
题型14 多参型：单峰函数绝对值型................................................................................................................................12
题型15 导数与三角函数....................................................................................................................................................12
高考练场..............................................................................................................................................................................13
题型 01 整数解型
【解题攻略】
整数解，属于导数研究函数的性质，根据题意求得整数型参数的取值范围，或者整数解求参
数范围等，涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过
导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、
方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合
的思想找到解题的思路.
【典例1-1】（2021·湖南怀化·二模（理））已知函数 ， ，若对任意的 ，
存在实数 满足 ，使得 ，则 的最大值是
A．3 B．2 C．4 D．5
【典例1-2】.（2020·黑龙江实验中学三模（理））已知函数 在区间 内存在极值点，
且 恰好有唯一整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】在关于 的不等式 （其中 为自然对数的底数）的
解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【变式1-2】（黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高三上学期第四次调研考试理科数学试题）已知
偶函数 满足 ，且当 时， ，若关于x的不等式 在
上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（四川省成都石室中学高三下学期考试数学（理）试题）已知函数 ，若关于 的
不等式 恰有两个整数解，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
题型 02 函数零点构造型
【解题攻略】
函数零点构造型，涉及到函数的性质应用：
与对称有关的常用结论：
①若点 ， 关于直线 对称，则 ；
②若 的图象关于直线 对称，则 ；
③若 ，则 的图象关于直线 对称；
④若 ，则 的图象关于点 对称．
数形结合法解决零点问题：
①零点个数：几个零点
②几个零点的和
③几个零点的积 .
【典例1-1】（2020·黑龙江实验中学高三阶段练习（理））已知函数 ，若实数
互不相等，且 ，则 的取值范围为______．
【典例1-2】.（2020·吉林吉林·三模）已知函数 ，若实数 满足 ，
，则 的取值范围为___________ .【变式1-1】（2022·云南省玉溪第一中学高三）已知函数 ， ，若 ，
其中 ，则 的取值范围是______.
【变式1-2】．（2022·浙江·高三专题练习）设函数 已知 ，且 ，若
的最小值为 ，则a的值为___________．
【变式1-3】.（2021·全国·模拟预测）已知函数 ， ，若方程 有4个
不同的实根 ， ， ， ，则 的取值范围是______．
题型 03 同构: 方程零点型同构
【解题攻略】
对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导式子越复杂的情况，此时可通
过
同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问题．
导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现 与 ，通常使用同构来进行求解，难点是寻找构造突破
口。
如 变形得到 ，从而构造 进行求解.
常见同构：
① ；
② ；
③
④ ；
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知m是方程 的一个根，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【典例1-2】（2023·全国·模拟预测）若方程 在 上有实根，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知 是方程 的一个根，则 （ ）A． B． C．2 D．3
【变式1-2】（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）已知 且
则一定有（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023上·山东日照·高三统考开学考试）已知正实数 ， 满足 ，则
的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型 04 同构: 不等式型同构求参
【解题攻略】
（1）乘积模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
【典例1-1】（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知关于x的不等式 在
上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
【典例1-2】（2020上·北京·高三统考阶段练习）已知不等式 对 恒成立，则实
数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022下·河南·高三校联考阶段练习）若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022上·浙江绍兴·高三统考期末）已知关于 的不等式 恒成立，其中 为
自然对数的底数， ，则（ ）
A． 既有最小值，也有最大值 B． 有最小值，没有最大值
C． 有最大值，没有最小值 D． 既没有最小值，也没有最大值
【变式1-3】（2022上·安徽亳州·高三统考期末）已知 ，若 时， 恒成立，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型 05 恒成立求参：移项讨论型
【解题攻略】
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 成立，故 ；
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 有唯一零点，则
（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】.（2022·全国·高三专题练习）若对任意 ，不等式 恒成立，则
实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2020·福建省福州第一中学高三阶段练习（理））已知 ，且 时，
恒成立，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若 有最
小值，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022上·江苏扬州·高三统考阶段练习）当 时，不等式 有解，则实数
m的范围为（ ）A． B． C． D．
题型 06 恒成立求参：虚设零点型
【解题攻略】
虚设零点法：
涉及到导函数有零点但是求解相对比较繁杂甚至无法求解的情形时，可以将这个零点只设出来而不必求出来，然后寻找一种
整体的转换和过度，再结合其他条件，进行代换变形，从而最重获得问题的解决
（1）、整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式
子，如比值代换等等。
（2）、反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数。如果要求解（或者要证明）的结论与参数无
关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变
量求导就可以解决相应的问题。
（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立
含参数的方程或者不等式。恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为
止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围
【典例1-1】（四川省内江市威远中学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学（理）试题）已知不等
式 对 恒成立，则 取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题）若关于 的
不等式 对一切正实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】设实数 ，若对任意 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知函数 有唯一零点，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】若对任意 ，不等式 恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型 07 “倍缩”型函数求参数
【解题攻略】
如果函数 在定义域的某个区间 （ ）上的值域恰为 （ ），则称函数 为
上的k倍域函数， 称为函数 的一个k倍域区间．把函数 存在区间 ，使得函数 为 上的 倍域函数，结合函数的单调性，转化为
是解答的关键.
【典例1-1】（陕西省汉中中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试卷）设函数的定义域为D，若
满足条件：存在 ，使 在 上的值域为 ，则称 为“倍缩函数”.若函数
为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是
A． B．
C． D．
【典例1-2】（浙江省杭州学军中学西溪校区2020-2021学年高三3月数学试题）设函数 的定义域为 ，
若函数 满足条件：存在 ，使 在 上的值域是 ，则 称为“倍缩函数”，若
函数 为“倍缩函数”，则实数 的取值范围是________.
【变式1-1】（2020年浙江省新高考考前原创冲刺卷（二））设函数 的定义域为D，若满足条件：存
在 ，使 在 上的值域为 ，则称 为“倍胀函数”.若函数 为“倍胀
函数”，则实数t的取值范围是________.
【变式1-2】（河北省邢台一中2021-2022学年高三下学期模拟数学（理)试题）.设函数 的定义域为
，若存在 ，使得 在区间 上的值域为 ，则称 为“ 倍函
数”.已知函数 为“3倍函数”，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022吉林吉林·高三阶段练习（理））设函数 的定义域为 ，若满足条件：存在
，使 在 上的值域为 （ 且 ），则称 为“ 倍函数”，若函数
为“3倍函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型 08 恒成立求参：“等式”型
【解题攻略】
一般地，已知函数 ，若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集．
【典例1-1】（2021·四川·绵阳中学模拟预测（文））已知函数 ， ，若
，使得 ，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【典例1-2】．（2022·福建·泉州市城东中学高三）已知 ， 是函数 的两个极值点，
且 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2022·四川成都·高三阶段练习（文））设函数 ， ，其中
．若对任意的正实数 ， ，不等式 恒成立，则a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．e
【变式1-2】（2022·河南安阳·高三阶段练习）已知函数 ， ，若
， 使得 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式 1-3】（江苏省南京航空航天大学附属高级中学 2020-2021 学年高三数学试题）已知函数
， ，对任意的 ，总存在 使得 成立，则
a的范围为_________．
题型 09 双变量型不等式范围最值
【解题攻略】
一般地，已知函数 ，
不等关系
(1)若 ， ，总有 成立，故 ；
(2)若 ， ，有 成立，故 ；(3)若 ， ，有 成立，故 ；
(4) 若 ， ，有 成立，故 ．
【典例1-1】（2023下·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考阶段练习）已知函数 有两
个零点 ，且 ，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D． 有极小值点
【典例1-2】（2023下·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）已知函数 ，若
，且 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2019下·河南鹤壁·高三鹤壁高中校考阶段练习）已知函数 ，
，曲线 上总存在两点 ， ，使曲线 在 两点处的切线互
相平行，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2019下·山西长治·高三统考阶段练习）若方程x﹣2lnx+a＝0存在两个不相等的实数根x 和
1
x，则（ ）
2
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2021上·高三单元测试）已知直线 分别与函数 和 的图象交于点
， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
题型 10 双变量型：凸凹反转型
【解题攻略】
凸凹翻转型常见思路，如下图
转化为两个函数的最值问题是关键。【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设大于1的两个实数a，b满足 ，则正整数n的最大
值为（ ）．
A．7 B．9 C．11 D．12
【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知正数 满足 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．
【变式1-1】.已知实数 ， 满足 ，则 的值为
A． B． C． D．
【变式1-2】（安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校 2021-2022学年高三上学期10月联考数
学试题）已知函数 有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型 11 多参型：代换型
【解题攻略】
不等式中，可以借助对数均值不等式解决，完整的对数均值不等式为： ，可用
两边同除 ，
令 整体换元的思想来构造函数，证明不等式成立求解参数
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，对于正实数a，若关于t的方程
恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2020·江苏·高三专题练习）若对任意正实数 恒成立，则实数
的取值范围是_________
【变式1-1】（2020·全国·高三专题练习（文））设三次函数 ，（a,b,c为实数且
）的导数为 ，记 ，若对任意 ，不等式 恒成立，则 的最大值
为____________【变式1-2】已知存在 ，若要使等式 成立（e=2.71828…），则
实数 的可能的取值是（ ）
A． B． C． D．0
【变式 1-3】（江苏省扬州中学 2022-2023 学年高三考试 数学）若正实数 满足 ，则函数
的零点的最大值为______.
题型 12 多参型：二次构造放缩型
【解题攻略】
多参数型求参数范围，或者多参型最值，难点是能够两次构造函数，利用导数
求
出相应函数的最值
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 恒成立，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2021·高三单元测试）已知 为自然对数的底数， 为实数，且不等式
对任意的 恒成立.则当 取最大值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021·四川成都·统考模拟预测）设 ， ，若关于 的不等式 在
上恒成立，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·四川南充·高三四川省南充高级中学校考）已知函数 ，若 时，
恒有 ，则 的最大值为
A． B． C． D．【变式1-3】（2023·浙江·高三路桥中学校联考）已知 ， ，关于 的不等式 无实数解，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型 13 多参型：韦达定理求参型
【典例1-1】（2023上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考）若函数
既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2023上·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）若函数 既
有极大值也有极小值，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·山东烟台·统考二模）若函数 有两个极值点 ，且
，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021·浙江·模拟预测）已知 在 上恰有两个极值点 ， ，且
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·河南开封·高三统考）已知函数 的两个极值点分别是 ，则下
列结论正确的是（ ）
A． 或 B．
C．存在实数a，使得 D．
题型 14 多参型：单峰函数绝对值型
【典例1-1】（安徽省阜阳市太和第一中学2019-2020学年高三数学试题）若存在实数 ，对任意实数
，使不等式 恒成立，则实数 的取值范围为________.【典例1-2】（中学生标准学术能力诊断性测试2019-2020学年高三1月（一卷）数学（理）试题）设函数
，若对任意的实数 和 ，总存在 ，使得 ，则实数 的最大值
为__________．
【变式1-1】设函数 ，若对任意的实数 ，总存在 使得 成立，则实
数 的取值范围是________．
【变式1-2】若 ， ， ，对任意 ，总存在唯一的
，使得 成立，则实数a的取值范围____________．
【变式1-3】（浙江省温州市2021-2022学年高三适应性测试一模数学试题）设函数 .
若 在 上的最大值为2，则实数a所有可能的取值组成的集合是________.
题型 15 导数与三角函数
【典例1-1】函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知函数 ，若对于任意的 ，均有
成立，则实数a的最小值为
A． B．1 C． D．3
【变式1-1】函数 的图象与函数 图象的所有交点的横坐标之和
为___________.
【变式1-2】已知 ，且 ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的
是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】已知函数 ，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．高考练场
1.（黑龙江省实验校2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知函数 在区间
内存在极值点，且 恰好有唯一整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2021·江苏·高三开学考试）已知函数 ， ，若 ， ，
则 的最小值为___________.
3.（2023·广东梅州·统考三模）已知实数 ， 满足 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4.（2021·广东深圳·高三练习）设 ，若存在正实数 ，使得不等式 成立，则 的最
大值为（ ）
A． B． C． D．
5.（2021下·四川眉山··高三练习）若 ， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.（江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高三上学期10月学情调研测试数学试题）当 时，不等式
有解，则实数m的范围为（ ）
A． B． C． D．
7.（陕西省汉中中学2022高三上学期第二次月考数学试卷）设函数的定义域为D，若满足条件：存在
，使 在 上的值域为 ，则称 为“倍缩函数”.若函数 为“倍缩函
数”，则实数t的取值范围是
A． B．
C． D．
8. （ 湖 北 省 十 堰 市 东 风 高 级 中 学 2021-2022 学 年 高 三 数 学 试 题 ） 已 知 ，
，若存在 ， ，使得 成立，则实数 的取值范围
是______.9.（2021·新疆乌鲁木齐·统考三模）若 ，令 ，则 的最小值属于（ ）
A． B． C． D．
10.（2022·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数 ，若
有两个零点 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.（四川省泸县第五中学2021-2022学年高三模拟考试数学（文）试题）若存在两个正实数x，y使等式
成立，（其中 ）则实数m的取值范围是________.
12.（2023·江苏·统考模拟预测）已知 ， ，对于 ， 恒成立，
则 的最小值为（ ）
A． B．－1 C． D．－2
13.（2022下·福建泉州·高三泉州市城东中学校考）已知 ， 是函数 的两个极值点，
且 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
14.（2022·全国·高三专题练习）设函数 ， ， ，若对任意的实数 ， ，总存在实数
，使得不等式 成立，则 的最大值是_______．
15.已知函数 ．若关于x的不等式 的解集为 ，则实数a的取
值范围为___________．
