文档内容
专题 29 尺规作图与定义、命题、定理
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：尺规作图............................................................................................................................................2
考点二：定义、命题、定理............................................................................................................................4
模块二：题型分类....................................................................................................................................................5
考点一：尺规作图............................................................................................................................................5
题型一：尺规作图-作线段...........................................................5
题型二：尺规作图-作角度..........................................................10
题型三：尺规作图-作三角形（含特殊三角形）........................................34
题型四：尺规作图-作三角形的中线与高..............................................46
题型五：尺规作图-作垂直平分线....................................................54
题型六：尺规作图- 画圆...........................................................62
题型七：尺规作图-过圆外一点作圆的切线............................................71
题型八：尺规作图-作外接圆........................................................77
题型九：尺规作图-作内切圆........................................................81
题型十：尺规作图-作圆内接正多边形................................................85
题型十一：尺规作图-格点作图......................................................91
考点二：定义、命题、定理........................................................................................................................102
题型一：命题的判断..............................................................102
题型二：判断命题真假............................................................104
题型三：举反例说明命题为假命题..................................................108
题型四：写出命题的逆命题........................................................111
题型五：反证法证明中的假设......................................................112
题型六：反证法证明命题..........................................................114专题 29 尺规作图与定义、命题、定理
模块一：基础知识
考点一： 尺规作图
1.尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
2.五种基本作图：
类型 图示 作图依据
a
作一条线段等
于已知线段 圆上的点到圆心的距离等于半径.
A
P
O
B'
作一个角等于 N
已知角 Q 1)三边分别相等的两个三角形全等；
α 2)全等三角形的对应角相等；
O O' A'
G M
3)两点确定一条直线.
B
作一个角的平
分线 N P
A
O
M
M
作一条线段的
垂直平分线 1)到线段两个端点距离相等的点在这条
线段的垂直平分线上；
A B 2)两点确定一条直线.
N
M
过一点作已知 P
直线的垂线 1)等腰三角形“三线合一”；
2)两点确定一条直线.
A BA B
P
N
3.根据基本作图作三角形
类型 图示a
已知三角形的三边，求作三角形
b b a
c
c
a
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形
b
a
α
b
已知三角形的两角及其夹边，求作三角形 A
α β
m α β
B m C
a a
已知直角三角形一直角边和斜边，求作直
角三角形 c c
4.根据基本作图作圆
类型 图示
B
过不在同一直线上的三点作圆
（即三角形的外接圆） A
C
O
A
作三角形的内切圆
O
B C
D
5.尺规作图的关键:
（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；
（3）切记作图中一定要保留作图痕迹．
考点二 ： 定义、命题、定理类别 相关内容
定 义 与 1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．
命题 2．判断一件事情的语句叫做命题．
3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的
事项．
4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题
设，“那么”后接的部分是结论．
真 命 1．正确的命题叫做真命题．
题 、 假 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、
命题 证明）．
3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
逆命题 1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命
题的逆命题．
2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个
命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个
命题就叫做它的逆命题．
3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．
4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．
公 理 与 1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原
定理 始依据，这样的真命题叫做公理．
2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进
一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．
4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．
互 逆 命 1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定
题 理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定
理等都是互逆定理．
反证法 1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断
定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、
定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．模块二：题型分类
考点一 ： 尺规作图
题型一：尺规作图-作线段
1.如图，已知线段a，b．
（1）请用尺规作图法，在射线OA上作OB=a，OC=b；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，延长BC到点D，使BC=CD．如果线段a，b的长度分别是3cm和4cm，求线
段OD的长度．
【答案】（1）见详解；（2）5cm
【分析】(1)用圆规在射线OA上截取线段OB=a，OC=b即可;
(2)先求出BC的长，再由BC=CD即可求出线段OD的长．
【详解】解：（1）所作图形如图所示.
（2）如图所示，∵OB=a=3，OC=b=4，
∴BC=OC−OB=4−3=1
∴CD=BC=1
∴OD=OC+CD=4+1=5（cm）
【点睛】本题考查了复杂作图，求线段的长度，解决本题的关键是用尺规画线段．
2.尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）
如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为A．
求作：⊙O，使⊙O分别与AK、AR相切，圆心O与点A的距离等于a．
【答案】作图见详解
1
【分析】以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AR、AK于点B、C，再以BC为圆心，以大于 BC的
2
长度为半径作弧，交于点D，连接AD并延长，即为∠RAK的平分线；以点A为圆心，a的长度为半径作弧，交AD于点O，点O即为所求圆的圆心；以点O为圆心，任意长为半径作弧，交AR于点E、F，再分别
1
以E、F为圆心，以大于 EF的长度为半径作弧，交与点G，连接OG并延长，交AR于点H，最后以O为
2
圆心，OH长为半径作圆即为所要求的⊙O．
【详解】解：作图如下：
【点睛】本题主要考查了尺规作图-复杂作图，涉及的知识点包括利用尺规作图作角平分线、作垂线、作
线段等于已知线段等，解题关键是熟练掌握尺规作图基本方法．
3.如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列要求画图．
(1)画直线AB；
(2)作射线BC；
(3)画线段AD；
(4)连接CD，并延长CD至点E，使DE＝CD；（保留作图痕迹）
(5)在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离的和OA+OB+OC+OD最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
(5)见解析【分析】（ 1）根据直线的概念作图即可；
（2 ）根据射线的概念作图即可；
（3 ）根据线段的概念作图即可；
（4 ）以点D为圆心、DC为半径，画弧交CD延长线于点E；
（5 ）根据两点之间线段最短，连接AC、BD，交点即为所求点O．
【详解】（1）如图所示，直线AB即为所求；
（2）如图所示，射线BC即为所求；
（3）如图所示，线段AD即为所取；
（4）如图所示，线段DE即为所求；
（5）如图所示，点O即为所求．
【点睛】本题主要考查了直线，射线和线段的定义和作图．熟练地掌握直线，射线和线段的定义，并正
确的根据定义作图是解题的关键．
4.用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线
【答案】C
【分析】根据作一条线段等于已知线段即可解决问题．
【详解】解：根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．
故选：C．
【点睛】本题考查基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
5.如图，∠MON＝35°，点P在射线ON上，以P为圆心，PO为半径画圆弧，交OM于点Q，连接PQ，
则∠QPN＝ ．【答案】70°/70度
【分析】由作图可知，PO＝PQ，根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．
【详解】解：由作图可知，PO＝PQ，
∴∠PQO＝∠O＝35°，
∴∠QPN＝∠O+∠PQO＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了作图－基本作图，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理
解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6.如图，在同一平面上有A，B，C三个点，按要求作图：
(1)作直线AC，射线BC，连接AB；
(2)延长AB到点D，使得BD=AB；
(3)直接写出∠ABC+∠CBD=______°．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析；
(3)180°
【分析】（1）按照题意用直尺作出图形；
（2）按照题意作出图形即可；
（3）由题意可知，∠ABC+∠CBD=180°．
【详解】（1）解：如图所示，直线AC，射线BC，线段AB即为所求；
（2）解：如图所示线段 BD即为所求；
（3）解：∠ABC+∠CBD=180°，理由是：∵延长AB到点D，使得BD=AB
∴∠ABD是平角
∴∠ABC+∠CBD=180°
【点睛】本题考查了直线、线段、射线的作图，解决本题的关键是准确作图．
7.已知线段a、b、c．
(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括
痕迹）
(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)4.5
【分析】（1）作射线AM，在射线AM上顺次截取AE=a,EF=c，在线段FA上截取FB=b，则线段AB
即为所求；
（2）由（1）中结论及已知条件，求得AB的长，再利用线段中点的性质即可解得AC的长．
【详解】（1）解：如图，线段AB即为所求：
（2）如图，
∵ a=6，b=4，c=7，
∴AB=a+c−b=6+7−4=9∵点C是线段AB的中点，
1 1
∴AC= AB= ×9=4.5
2 2
即AC的长4.5．
【点睛】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
8.（1）如图，已知线段a，b，用直尺和圆规作图，分别作下列两条线段．
①AB=a+b；
②CD=2a−b．
（2）已知：如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=25°．求∠AOC的度数．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）155°
【分析】（1）①先作线段 AC=a，再以点C为一端点，往AC延长线方向作线段CB=b即可；
②先作线段 CE=2a，再以点E为一端点，往EC延长线方向作线段ED=b即可；
（2）先根据已知条件求出∠AOD的度数，再由∠AOC=∠COD+∠AOD计算即可．
【详解】（1）解：
①AB=a+b；
②CD=2a−b
（2）解：∵∠AOB=90°，∠BOD=25°
∴∠AOD=∠AOB−∠BOD=90°−25°=65°
∵∠COD=90°
∴∠AOC=∠COD+∠AOD=90°+65°=155°．
【点睛】本题考查了作图-线段的和差及计算角的和差，熟练掌握作图技巧及知识点是解题的关键．
题型二：尺规作图-作角度
题组一：作一个角等于已知角
1.如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
【答案】详见解析
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．
【详解】解： 作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，
（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，
（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，
（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．
如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法．
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC≠BC．用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点D，使
∠BCD=∠A，则符合要求的作图是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】过点D作AB的垂线，利用同角的余角相等证明即可．
【详解】根据题意，A作图是构造等腰三角形，
不符合题意；
B是作的角的平分线，
故不符合题意；
C是过点D作AB的垂线，
∴∠A=90°-∠B，∠BCD=90°-∠B，
∴∠BCD=∠A，
故C符合题意；
D作的是线段AC的垂直平分线，
故不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了垂线的基本作图，余角的性质，熟练掌握作图，灵活运用互余性质是解题的关键．
3.“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：
已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．
求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．
作法：如图（2），
（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；
（3）作射线CC．
所以∠CCA就是所求作的角
此作图的依据中不含有（ ）A．三边分别相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行同位角相等 D．两点确定一条直线
【答案】C
【分析】根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，
直接判断即可．
【详解】解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；
结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；
作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进
行判断．
4.如图，BD平分∠ABC，点E为AB上一点．
(1)尺规作图：以E为顶点，作∠AEF ＝∠ABC，交BD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)120°
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作∠AEF ＝∠ABC，交BD于点F．
（2）根据∠DFE＝150°，可得到∠EFB的度数，再根据平行线的判定及性质，角平分线的定义即可得到
∠BEF的度数．
【详解】（1）解：如图，∠AEF即为所求；（2）∵∠DFE＝150°，
∴∠EFB＝180°－150°＝30°，
∵∠AEF=∠ABC，
∴EF∥BC．
∴∠FBC＝∠EFB＝30°，∠EBC+∠BEF＝180°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBC＝2∠FBC＝60°，
∴∠BEF＝180°－60°＝120°．
【点睛】本题考查了基本作图，角平分线的定义，平行线的判定与性质，掌握作一个角等于已知角，熟
练运用平行线的判定和性质是解决本题的关键．
5.如图，已知∠AOB=70°，∠α=53°，在图中用尺规作∠AOC=∠α，并计算∠BOC的值.（保留
作图痕迹，不得使用量角器）
【答案】见解析
【分析】分两种情况：OC在∠AOB内和OC在∠AOB外进行作图解题即可．
【详解】解：如图，当OC在∠AOB内时，
∠BOC=∠AOB−∠AOC=70°−53°=17°，如图，当OC在∠AOB外时，
∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+53°=123°，
综上所述，∠BOC=17°或∠BOC=123°．
【点睛】本题考查限定工具作图—尺规作一个角等于已知角，角的和差，掌握分类讨论是解题的关键．
题组二：尺规作角的和、差
1.如图为一副三角尺，其中∠α=60°,∠β=45°，作∠ABC=120°,∠≝=15°．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】图见解析
【分析】本题考查尺规作角，根据尺规作角的方法，作图即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键．
【详解】解：如图，∠ABC,∠≝¿即为所求；2.如图，已知∠ABC．
(1)请以射线DG为边作一个角，使它等于∠ABC的补角；（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）
(2)若∠ABC的补角是∠ABC的5倍，则∠ABC= ．
【答案】(1)详见解析
(2)30°
【分析】（1）作一个角等于已知角，反向延长所作角的一边，得其邻补角即为所求．
（2）根据补角的定义知互为补角的两个角和为180°，构建方程求解．
【详解】（1）解：作∠MDF=∠ABC，反向延长射线DM，得射线DG，∠GDF即为所求；
（2）解：由题意，得∠ABC+5∠ABC=180°，
解得：∠ABC=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作一个角等于已知角，补角的定义，解题的关键是掌握尺规作图的
方法和步骤，以及相加等于180°的两个角互补．
3.已知∠α、∠β，求作∠AOB，使∠AOB=∠α−∠β．【答案】见解析
【分析】如图，作∠AOC=α，在∠AOC的内部作∠BOC=β，∠AOB即为所求．
【详解】解：如图，∠AOB即为所求．
．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
4.如图，已知∠α，∠β，求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β．（要求：在指定作图区域用尺规
作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】根据做一个角等于已知角的方法∠AOC=∠β，∠BOC=∠α，再利用尺规作
∠AOB=∠α+∠β即可解答．
【详解】解：如图所示∠AOB=∠α+∠β，【点睛】本题考查了利用尺规作一个角等于已知角的方法以及利用尺规作角的和差，掌握尺规作图法是
解题的关键．
5.已知如图∠α、∠β，请你利用尺规作图作∠AOB，使∠AOB=∠β−∠α．（不写作法，保留作
图痕迹）
【答案】见解析
【分析】根据尺规作图的方法先作∠AOC=∠β，再以OC为角的一边作∠BOC=∠α，则∠AOB即
为所求．
【详解】解：如图，∠AOB即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图，角的计算，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题的关键．
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点E，请用尺规作图法，在射线BE上求作
1
一点D，使得∠ADE= ∠C．（保留作图痕迹，不写作法）
2【答案】见解析
【分析】如图所示，作∠CAD=∠C交射线BE于D，点D即为所求．
【详解】解：如图所示，作∠CAD=∠C交射线BE于D，点D即为所求；
∵∠CAD=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AC于点E，
1
∴∠CBE= ∠ABC，
2
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
1
∴∠ADE= ∠C．
2
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，平行线的性质与判定，角平分线的定义，等
边对等角等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
题组三：过直线外一点作这条线的平行
1.如图，在 ABC中，AC＝3，AB=5，请用尺规作图法，在BC上求作一点O，使得S AOC：S AOB＝
△ △
3：5．（不△写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】由题意作BM∥AC，在射线BM上截取BD，使得BD＝BA，连接AD交BC于点O，点O即为
所求作．
【详解】解：如图，点O即为所求作．【点睛】本题考查作图-复杂作图，相似三角形的性质与判定，三角形的面积等知识，解题的关键是理解
题意，灵活运用所学知识解决问题．
2.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC．
(1)尺规作图：过点D作DE∥AB，DE交BC于E；（不写作法，只保留作图痕迹）
(2)求证：四边形ABED是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作∠BDE=∠ABD，BE交BC于点E；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵AD∥BE，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠ABD
∴AB=AD，
∴四边形ABED是菱形．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，菱形的判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌
握菱形的判定定理．
3.如图，在△ABC中，P为AC边上任意一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，
分别交AP、AB于点M，N；②以点P为圆心，以AM长为半径作弧，交PC于点E；③以点E为圆心，
以MN长为半径作弧，在△ABC内部交前面的弧于点F；④作射线PF交BC于点Q．若
∠A=60°，∠C=40°，则∠PQC=（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
【答案】B
【分析】先由三角形内角和定理得到∠B=80°，再根据作图方法可知∠CPQ=∠A，则PQ∥AB，
由此即可得到∠PQC=∠B=80°．
【详解】解：∵∠A=60°，∠C=40°，
∴∠B=180°−∠A−∠C=80°，
由作图方法可知∠CPQ=∠A，
∴PQ∥AB，
∴∠PQC=∠B=80°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，
证明PQ∥AB是解题的关键．
4.如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A作OB 的平行线，步骤如下．
①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB 于点D；②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；
③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA 即为所求．
小亮作图的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．以上结论都不正确
【答案】B
【分析】由作法可知：∠O=∠OAE，结合平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】解：由作法可知：∠O=∠OAE，
根据内错角相等，两直线平行，可得AE∥OB
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，尺规作图，根据图形的作法得到∠O=∠OAE是关键．
5.下面四个图是小明用尺规过点C作AB边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定，结合尺规作图方法即可判断．
【详解】解：若要过点C作AB的平行线，
则应过点C作一个角等于已知角，
由作图可知，选项A符合题意，
故选A．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
6.如图，已知线段MN=a,AR⊥AK，垂足为a．
（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，
CD//AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB,CD的中点，求证：直线AD,BC,PQ相交于同一点．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）根据AB=a，点B在射线AK上，过点A作AB=a；根据等边三角形性质，得
AB=BC=AC，分别过点A、B，a为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可
得到答案；
（2）设直线BC与AD相交于点S、直线PQ与AD相交于点S'，根据平行线和相似三角形的性质，得
AD AD
= ，从而得S'D=SD，即可完成证明．
S'D SD
【详解】（1）作图如下：
四边形ABCD是所求作的四边形；
（2）设直线BC与AD相交于点S，∵DC//AB，
∴△SBA∽△SCD，
SA AB
∴ =
SD DC
设直线PQ与AD相交于点S'，
S' A PA
同理 = ．
S'D QD
∵P，Q分别为AB,CD的中点，
1 1
∴PA= AB，QD= DC
2 2
PA AB
∴ =
QD DC
S' A SA
∴ = ，
S'D SD
S'D+AD SD+AD
∴ = ，
S'D SD
AD AD
=
∴ ，
S'D SD
∴S'D=SD，
∴点S与S'重合，即三条直线AD,BC,PQ相交于同一点．
【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关
键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解．
7.已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC∥l．
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；③作直线PC．
直线PC即为所求作．
根据尺规作图，完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC=AP，
∴B´C=________，
∴∠ABP=∠BPC（________________________）（填推理依据），
∴直线PC∥直线l（________________________）（填推理依据）．
【答案】A´P，等弧所对的圆周角相等，内错角相等，两直线平行
【分析】连接BP，由圆中等弦对等弧，根据圆周角定理得到∠ABP=∠BPC，再根据平行线的判定定
理：内错角相等，两直线平行即可得到结论．
【详解】证明：连接BP，如图所示：
∵BC=AP，
∴B´C=A´P，
∴∠ABP=∠BPC（等弧所对的圆周角相等），
∴直线PC∥直线l（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查尺规作图与几何证明综合，涉及到尺规作图、圆的性质、圆周角定理和平行线的判定，
熟练掌握尺规作图及内错角相等，两直线平行是解决问题的关键．
8.下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l和直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B；
②以点P为圆心，AB长为半径画弧，以点B为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵PA=QB,AB=PQ，
∴四边形PABQ是平行四边形（___________）（填写推理的依据）．
∴PQ∥AB（______________）（填写推理的依据）．
即PQ∥l
【答案】(1)见解析
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．
【分析】（1）根据题目告诉的作图方法进行作图即可；
（2）利用平行四边形的性质与判定证明即可．
【详解】（1）解：如图所示，直线PQ就是所求作的直线．
（2）证明：∵ PA=QB，AB=PQ
∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴ PQ∥AB（平行四边形的两组对边分别平行）．即PQ//l．
【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
9.如图，在△ABC中，延长BC至点D，请用尺规作图法求作射线CE，使得CE∥AB，且点E在BD上
方．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了角的基本作图，利用同位角相等，两直线平行，画一个角等于∠B，且是一对同位
角即可．
【详解】根据题意，画图如下：
则CE即为所求．
10.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点
上，点D为AB的中点，在给定的网格中，按下列要求作图
(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结DE，使DE∥AC．
(2)在图②中△ABC的边AC上确定一点F，连结DF，使∠AFD=∠C．
(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点G，连结DG，使∠AGD=∠B．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查网格作图，中位线的性质，平行线的性质；（1）利用网格特征作出BC的中点E，连接DE即可；
（2）利用网格特征作出线段AC的中点F，连接DF即可；
（3）利用网格特征作出∠ADE=∠C，交AC于点G，即可．
解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，点E即为所求；
（2）如图2中，点F即为所求；
（3）如图3中，利用网格特征作出∠ADE=∠C，交AC于点G，
由三角形的内角和可知：∠AGD=∠B，
故点G即为所求．
题组四：作角平分线
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．
（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．
【详解】（1）解：如图所示，CE即为所求．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，
1 1
∴∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，
2 2
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD（ASA），
∴AD＝AE．
【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形
的判定与性质是解答本题的关键．
2.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于点D．(1)用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可；
（2）由角平分线的定义和平行线的性质求出∠CBE=∠BEC，可得BC=EC，求出AB=EC，可得四
边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠CBE=∠BEC，
∴BC=EC，
∵AB=BC，
∴AB=EC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCE为菱形．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定
以及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键．
3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于
1
点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD
2于点M，交BC于点E，连接DE，则S :S 的值是（ ）
△BDE △CDE
A．1:2 B．1:√3 C．2:5 D．3:8
【答案】A
【分析】根据尺规作图可得，AE是∠BAC的平分线，可得∠BAE=30°，由三角形内角和定理可得
1
∠C=30°，由等腰三角形性质可得AE=CE，根据直角三角形的性质可得BE= AE，可推出
2
EC=2BE，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：由尺规作图可得，AE是∠BAC的平分线，
1
∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC=30°，
2
∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠C=30°，
∴AE=CE，
1
在Rt△ABE中，BE= AE，
2
1
∴BE= EC，即EC=2BE，
2
∴S :S =1:2，
△BDE △CDE
故选：A．
【点睛】本题考查基本作图，含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，
30°角所对直角边长度是斜边的一半．
4.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,BC于点D和
1
E；②分别以点D,E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线BF交AC于点G；
2
④过点G作GH∥BC交AB于点H，若∠BHG=110°，则∠HGB=（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】C
【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握角平分线的基本作图思想是解决问题的关键．也考查了平
行线的性质以及三角形内角和．由题意可知BG是∠ABC的平分线，得到∠ABG=∠CBG，根据平行
线的性质得到∠HGB=∠CBG，等量代换得到∠HGB=∠ABG，根据三角形的内角和定理即可得到
结论．
【详解】解：由题意可知BG是∠ABC的平分线，
∴∠ABG=∠CBG，
∵HG∥BC，
∴∠HGB=∠CBG，
∴∠HGB=∠ABG，
∵∠BHG=110°，
1
∴∠AGB=∠HBG= ×(180°−110°)=35°，
2
故选：C．
5.如图，已知△ABC．
(1)尺规作图：作∠ACB的角平分线，与AB交于点D；（保留作图痕迹，不用写作法）
(2)若∠A=50°，∠B=70°，求∠CDA的大小．
【答案】(1)见解析
(2)∠CDA=100°
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）利用三角形内角和及角平分线定义∠ACD=∠BCD=30°，由三角形内角和定理求出∠CDA大小即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵∠A=50°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=60°，
∵CD平分∠ACB，
1
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=30°，
2
∴∠CDA=180°−∠ACD−∠A=180°−30°−50°=100°．
【点睛】此题考查了基本作图—角平分线，利用角平分线的定义求角度，三角形的内角和定理，熟练掌
握各知识点是解题的关键．
6.如图，已知△ABC， 过点A 的直线l∥BC．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠B的平分线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若（1）中所作的角平分线与直线l交于点D． 求证：△ABD是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）由平行线的性质和角平分线的定义，得出∠ABD=∠ADB，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，BE即为∠B的平分线；
（2）解：∵l∥BC，∴∠ADB=∠DBC
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形．
【点睛】本题考查了作图——角平分线，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌
握等腰三角形判定条件是解题关键．
题型三：尺规作图-作三角形（含特殊三角形）
1.（1）已知线段m,n，求作Rt△ABC，使得∠C=90°,CA=m,CB=n；（请用尺规作图，保留作图
痕迹，不写作法．）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，
写出已知、求证与证明．）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作射线AP，在AP上截取AC=m，过点C作AC的垂线MN，在CN上截取CB=n，连接
AB，则Rt△ABC，即为所求；
（2）先根据题意画出图形，再证明．延长CD至E使CD=DE，连接AE、BE，因为D是AB的中点，所
以AD=BD，因为CD=DE，所以四边形ACBE是平行四边形，因为∠ACB=90°，所以四边形ACBE
是矩形，根据矩形的性质可得出结论．
【详解】（1）如图所示，Rt△ABC即为所求；
（2）已知：如图，CD为Rt△ABC中斜边AB上的中线，∠ACB=90°，
1
求证：CD= AB.
2证明：延长CD并截取DE=CD.
∵CD为AB边中线，∴BD=AD，
∴四边形ACBE为平行四边形.
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACBE为矩形，
∴AB=CE=2CD，
1
∴CD= AB
2
【点睛】本题考查了作直角三角形，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，解答此题的关键是作出辅
助线，构造出矩形，利用矩形的性质解答．
2.知：A、B为直线l上两点，请用尺规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）；
(1)任作一个△ABP，使PA=PB；
(2)作△ABQ，使AQ=BQ，且∠AQB=120°．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，即可求解；
（2）先作等边三角形ABP，再作出∠APB和∠BAP的角平分线交于点Q，即可求解．
【详解】（1）解：如图，△ABP即为所求；；
（2）解：如图，△ABQ即为所求；
理由：根据作图得：PC平分∠APB，AP=AB，PB=AB，AQ平分∠BAP，
∴AP=AB=PB，
∴△ABP为等边三角形，∠BAQ=∠ABQ，
∴∠BAP=60°，PC垂直平分AB，
∴AQ=BQ，
∵AQ平分∠BAP，
∴∠BAQ=∠ABQ=30°，
∴∠AQB=120°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，作已知角的平分线，作三角形，熟练
掌握尺规作图的方法以及线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
3.如图，已知△ABC．
实践操作：
（1）作△ABD，使△ABD≌△ABC．（要求：尺规作图，点D在直线AB的下方，保留作图痕迹，
不写作法）．
推理与探究：
（2）点E是BC上一点，AE∥BD．探究：线段CE+AE与DB有怎样的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）CE+AE=DB，见解析
【分析】本题考查了作三角形以及全等三角形的性质、平行线的性质：
（1）以点A为圆心，AC为半径在AB下方画弧，同时以点B为圆心，BC为半径，在AB下方画弧，两弧
相交一点，即为点D，因为AC=AD，AB=AB，BC=BD，所以△ABD≌△ABC，即可作答．
（2）先由全等三角形的性质，得∠CBA=∠DBA，CB=DB，结合平行线的性质，得
∠CBA=∠EAB，以及等角对等边，即可作答．
【详解】解：（1）如图△ABD即为所求；
（2）CE+AE=DB．理由：
∵ △ABD≌△ABC
∴ ∠CBA=∠DBA，CB=DB
∵ AE∥BD
∴ ∠EAB=∠ABD
∴ ∠CBA=∠EAB
∴ EA=EB
∵ CB=CE+EB
∴ DB=CE+AE．
4.（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和
圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
（2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候
车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使OM+ON+MN最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
【答案】（1）B；（2）见解析
【分析】（1）本题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于
已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解．
（2）本题考查将军饮马模型，作M关于直线a的对称点M'，连接N M'与直线a交于点O,根据对称的性
质和两点之间线段最短，即可得到OM+ON+MN最短．
【详解】（1）解：根据做法可知：AC=BE，AD=BF，CD=EF，
∴△ACD≌△BEF(SSS)，
故选：B．
（2）解：点O的位置如图所示：
5.已知：∠MON，A为射线ON上一点．
1
求作：△AOB，使得点B在射线OM上，且∠BAO= ∠MON．
2
作法：①以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线OM于点F，交射线ON的反向延长线于点E；
②以E为圆心，AF长为半径画弧，交弧EF于点P；
③连接AP，交射线OM于点B．
所以△AOB就是所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接EP，AF，OP，∵点A，E，P在⊙O上，
1
∴∠PAE= ∠POE．（______）（填写推理的依据）
2
∵在⊙O中，PE=AF，
∴∠MON=______．（______）（填写推理的依据）
1
∴∠BAO= ∠MON．
2
【答案】(1)见解析
(2)同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半；∠POE；在同圆或等圆中，相等的弦所对
的圆心角相等
【分析】(1)根据题意即可作出图；
(2)根据圆周角定理及弦、弧、圆心角之间的关系即可解答．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：连接EP，AF，OP，
∵点A，E，P在⊙O上，
1
∴∠PAE= ∠POE．（同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半）
2
∵在⊙O中，PE=AF，
∴∠MON=∠POE．（在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等）
1
∴∠BAO= ∠MON．
2
故答案为：同弧(或等弧)所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半；∠POE；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等．
【点睛】本题考查了圆周角定理及弦、弧、圆心角之间的关系，准确作出图是解决本题的关键．
6.我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．
如图，△ABC中，AB=AC且∠A=36°，则△ABC为黄
金三角形．
(1)利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)说说（1）中的三角形是“黄金三角形”的理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的作图，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性
质及角平分线的作图是解答本题的关键．
（1）根据定义可知，黄金三角形需满足两个条件：①等腰三角形，②顶角为36°．因此满足条件的黄金
三角形不唯一，例如以∠C=72°为一个角构造黄金三角形，只需作∠B的平分线交AC于点D，则
△BDC是黄金三角形；
（2）由AB=AC及三角形内角和定理可知∠ABC=∠C=72°，由角平分线的定义可得
∠ABD=∠CBD=36°，则∠BDC=72°，所以∠BDC=∠C，故△BDC是黄金三角形．
【详解】（1）如图，△BDC就是所求作的黄金三角形；
（2）∵AB=AC，
180°−∠A
∴∠ABC=∠C= =72°，
2
由作图可知，BD平分∠ABC，
1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36°，
2∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
所以△BDC是黄金三角形．
7.如图是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，仅用无刻度直尺在图①和图②中按要求作图．
(1)在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3（画出一个即可）；
5
(2)在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为 （画出一个即可）．
2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定：
（1）取格点C，连接AC、BC，则△ABC即为所求；
（2）取格点D，连接AD、BD，则△ABD即为所求；
【详解】（1）解：如图所示，△ABC即为所求；
（2）解：如图所示，△ABD即为所求。
8.如图，已知线段AB，用两种不同的方法作一个含30°角的直角三角形ABC，使其斜边为AB（用直尺
和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析
【分析】方法一，作线段AB的垂直平分线，交AB于点D，再以点D为圆心，DB长为半径作弧，以点A
为圆心，AD长为半径作弧与前弧相交于点C，△ABC即为所作；
1
方法二，作线段AB的垂直平分线，交AB于点D，再作射线AC,在射线AC上截取AC= AB，过点C作
2
AC的垂线CB，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交CB于点B，△ABC即为所作．
【详解】解：方法一：含30°角的直角三角形ABC如图所示：
方法二：含30°角的直角三角形ABC如图所示：
【点睛】本题考查的是作图-复杂作出，熟知直角三角形的作法以及含30度角的直角三角形的性质是解题
的关键．
9.求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：(1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt△ABC的斜边AC，
使得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可．
【详解】（1）解：如图所示，线段AC为所求作的线段；
（2）已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠A=30°．
1
求证：BC= AC．
2
解法一：如图，在AC上截取一点D，使得CD=CB，连接DB．
∵∠ABC=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°．
∵CD=CB，∴△BCD是等边三角形．
∴BC=CD=BD，∠CBD=60°．∵∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=30°．
∴∠ABD=∠A．∴DA=DB．
1
∵BC=CD=DB，∴BC= AC．
2
解法二：如图，延长CB至点D，使CB=BD，连接AD．
∵∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABD=90°，∠ACB=60°，
∵AB=AB，BC=BD，∠ABC=∠ABD，
∴△ABC≌△ABD(SAS)．∴AC=AD．
∴△ACD是等边三角形．
∴AC=CD．
1 1
∵BC= CD，∴BC= AC．
2 2
【点睛】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解
题的关键．
10.如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要
的文字说明)．
(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
【答案】(1)作图及理由见解析；
(2)作图及理由见解析．
【分析】（1）首先作线段BC=a，再作出BC的垂直平分线，然后截取高为h，连接AB、CA即可．
（2）首先作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，再直线DE上取线段FC=h，然后AB=AC=a，连接AB、
CB即可．【详解】（1）解：
作法：1. 作线段BC=a，（如图1）
2.作线段BC的垂直平分线MN，最足为O，
3.在直线MN上取线段OA=h，
4.连接AB、AC，
△ABC为所求作的三角形；
理由：∵线段BC的垂直平分线是MN，OA=h，
∴ AB=AC，△ABC的高为h，
∴△ABC为等腰三角形，
∵ BC=a，
∴△ABC是底边长为a，底边上的高为h的等腰三角形；（2）解：
作法：1. 作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，（如图2）
2. 在直线DE上取线段FC=h，
3.以点C为圆心，a的长为半径画弧，交直线GH于点A，
4. 以点A为圆心，a的长为半径画弧，交射线AF于点B，
5.连接BC、AC，
△ABC为所求作的三角形；
理由：∵ AB=AC=a，
∴△ABC为等腰三角形，
∵直线GH垂直于直线DE，垂足为F，FC=h，
∴△ABC是腰长为a，腰上的高为h的等腰三角形；
【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是正确掌握线段垂直平分线的作法和等腰三角形的性质．
题型四：尺规作图-作三角形的中线与高
1.在平面直角坐标系中，画出点A(0,2)，点B(4,0)，点C与点A关于x轴对称．
（1）连结AB、AC、BC，并画出△ABC的BC边上的中线AE．
（2）求出△ABE的面积．【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）标出点A(0,2)，点B(4,0)，依据轴对称的性质，即可得到点C，依次连结，再利用中点坐
标公式得出E点坐标，画出AE即可；
（2）根据三角形面积计算公式，即可得到△ABE的面积S的值．
【详解】解：∵点C与点A关于x轴对称且A(0,2)，
∴C(0,−2)
如下图所示，依次在图中画出点A、点B与点C并连接即可，
又∵ AE是BC边上的中线，
∴E(2,−1)
如图所示，连接AE即可；
1 1 1
（2）S = S = × ×4×4=4
△ABE 2 △ABC 2 2
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系基础，解题的关键是学会利用轴对称性质求坐标及面积．
2.如图，在 △ABC中，∠BAC=120∘，AB=AC． 请用尺规作图法，在BC边上求作点 D，使1
AD= BD．（保留作图痕迹，不写作法）
2
【答案】见解析
【分析】本题考查了作垂线，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质等知识，掌握含30°的直角
三角形的性质是解题的关键．过点A作AD⊥AB交BC于点D，先利用等腰三角形的性质求出
1
∠B=30°，然后利用含30°的直角三角形的性质即可判断AD= BD．
2
【详解】解：如图，点D即为所求，
理由：由作图，知AD⊥AB，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
180°−∠BAC
∴∠B=∠C= =30°，
2
1
∴AD= BD．
2
3.尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
如图，已知∠a和线段a、b
求作：（1）△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．
（2）在（1）的条件下，作AB边上的中线CD．
【答案】（1）如图，△ABC为所作；见解析；（2）如图，CD为所作；见解析．
【分析】（1）先作∠BAC＝∠α，然后分别截取AB＝a，AC＝b，从而得到 ABC；
（2）作AB的中垂线得到AB的中点，从而得到中线CD． △
【详解】（1）如图， ABC为所作；
（2）如图，CD为所作△．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何
图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性
质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且CD=2BD，请用尺规作图法，在边AC上找一点P，使得
△PAD的面积等于△BAD的面积（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见解析
【分析】根据CD=2BD，可得S =2S ，，在边AC上找一点P，使△PAD的面积等于△BAD
△ADC △ABD
的面积，即找到AC的中点即可，即作AC的垂直平分线交AC于点P，点P即为所求．
【详解】如图，点P即为所求，
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，作垂直平分线，掌握垂直平分线的作法是解题的关键．
5.如图，在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）(1)分别画出△ABC的中线BG、高CH；
(2)画出先将△ABC向右平移6格，再向上平移3格后的△≝¿；
(3)画一个直角三角形MNP(要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2倍．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形的高和中线的定义结合网格作图即可；
（2）根据平移变换的定义和性质作图即可；
（3）由△ABC的面积为3知所作三角形的面积为6，据此结合网格作图即可得解；
【详解】（1）如图所示，中线BG、高CH即为所求；
（2）如图所示，△≝¿即为所求；
（3）如图所示，直角三角形MNP即为所求；
【点睛】本题主要考查作图-基本作图及平移变换，解题的关键是掌握三角形的高，中线的定义和平移变
换的定义与性质．6.如图，图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，
点A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺，按下列要求作图：
(1)在图①中，作△ABC的BC边上的高；
(2)在图②中，过点B作直线l，使得直线l平分△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在CB的延长线上，找到格点D，使得△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，连接AD，
即可求解．
（2）根据网格的特点找到AC的中点，过AC的中点与点B作直线l，即可求解．
【详解】（1）解：线段AD即为所求；
∵AB=22+44=20,AD=32+33=18,BD=12+12 =2
∴AB2=AD2+BD2
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴AD即为所求；
（2）直线l即为所求．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格，作三角形的高，中线，熟练掌握以上知识是解题的关键．7.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，请用尺规作图法在AC边上作一点P，使得
S =4S .（保留作图痕迹，不写作法）
△ABC △ADP
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，与三角形中线有关的面积的计算，分别以点A、C为圆心，大于
1
AC的长度为半径画弧，交于M、N，作直线MN角AC于点P，点P即为所求，熟练掌握以上知识点并
2
灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，点P即为所求，
，
∵在△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴S =2S ，
△ABC △ACD
由作图可得：MN垂直平分AC，
∴AP=CP，
∴S =2S ，
△ACD △APD
∴S =4S ．
△ABC △APD
8.图①、那②，图③积是6×6的间格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC顶点A、B、C均在格点上，
在图①，图②，图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
(1)网格中∠B的度数是 ___________°；(2)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；
(3)在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；
(4)在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在
1
BC、AB边上，位似比为 ．
3
【答案】(1)45
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）直接根据网格的性质求解即可；
（2）找到BC的中点D，连接AD即可；
（3）根据网格的性质画出AC的垂线，与AC交于点E即可；
BM 1
（4）在BC上找到点M，使得 = ，再过点M画AC的平行线，与AB交于点N，即可得解．
BC 3
【详解】（1）解：由图可知：
∠B的度数是45°
（2）在图①中，中线AD即为所求；
（3）在图②中，点E即为所求；
（4）在图③中，△BMN即为所求．【点睛】本题考查了作图−位似变换，解决本题的关键是掌握位似变换．
题型五：尺规作图-作垂直平分线
1.用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC．
求作：点P，使PA=PC，且点P在△ABC边AB的高上．
【答案】见解析
【分析】作AC的垂直平分线和AB边上的高，它们的交点为P点．
【详解】解：如图，点P为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
2.如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）A．FH>HG B．FH=HG C．EF>FH D．EF=FH
【答案】A
【分析】由作图可得：PC是∠APB的角平分线，DE是线段PQ的垂直平分线，过H作HK⊥AP于K，
证明HG=HK，结合HK∠B．
(1)请用尺规作图法，在BC边上求作一点E，使得EA=EB（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接AE，若∠B=48°，求∠AEC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)96°
【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于点E即可；
（2）结合（1）利用三角形的外角定义即可解决问题．
【详解】（1）如图，点E即为所求；
（2）∵AE=BE，
∴∠B=∠BAE，
∵∠B=48°，
∴∠BAE=∠B=48°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=48°+48°=96°．
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
9.如图，在▱ABCD中，AC为对角线．
(1)求证：△ABC≌△CDA．
(2)尺规作图：作AC的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若△CDE的周长为10，求▱ABCD的周长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)20
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DAC=∠BCA，利用AAS即可证明△ABC≌△CDA；
1
（2）以A，C分别为圆心，大于 AC长为半径作弧交于两点，过两交点作直线，即为所作垂直平分线；
2
（3）利用垂直平分线的性质可以得到CE=AE，结合CE+ED+CD=10，得到AD+CD=10，根据平
行四边形的性质即可求得结论；
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠D，
∴∠DAC=∠BCA，
在△ABC和△CDA中，
¿，
∴△ABC≌△CDA（AAS）；
（2）如图，EF即为所作；
（3）∵EF垂直平分AC，∴CE=AE，
∵△CDE的周长为10，
∴CE+ED+CD=10，
∴AE+ED+CD=10，
∴AD+CD=10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∴▱ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=2(AD+CD)=20．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，作垂直平分线，垂直平分线的性质，准确作
图是解题的关键．
题型六：尺规作图- 画圆
1.已知：如图，A、B、C三个点．求作：⊙O，使⊙O经过A、B、C三点．
【答案】见解析
【分析】连接AB、AC，分别作线段AB、AC的垂直平分线，相交于点O，连接AO，以点O为圆心，
AO的长为半径画圆即可．
【详解】解：如图，⊙O即为所求，
【点睛】此题考查了三角形的外接圆，熟练掌握三角形外接圆的作法是解题的关键．2.如图，在△ABC中，∠ABC是钝角
(1)求作⊙O，使得圆心O在边AC上，且⊙O经过点B,C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕
迹）
(2)在（1）的条件下，设AC与⊙O的另一个交点为D，且AC=2AB=4AD求证：AB是⊙O的切线
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由⊙O经过点B,C可知圆心O到点B,C的距离相等，因此线段BC的垂直平分线与AC的
交点即为圆心O，由此可解；
（2）连接OB，设AC=8k(k>0)，则AB=4k，AD=2k，利用勾股定理的逆定理判断∠ABO=90°，
即可证明AB是⊙O的切线．
【详解】（1）解：如图1，⊙O是所求作的圆：
图1
（2）证明：如图2，连接OB，
图2
设AC=8k(k>0)，则AB=4k，AD=2k，
∴CD=AC−AD=8k−2k=6k，
1
∴ OC=OB=OD= ×6k=3k，
2
AO=AD+OD=2k+3k=5k．
在△ABO中，OB2+AB2=(3k) 2+(4k) 2=25k2，AO2=25k2，
∴ OB2+AB2=AO2，∴ ∠ABO=90°，即AB⊥BO．
∵点B在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法及性质，圆的基本性质，勾股定理的逆定理，切线的判定等，
难度不大，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用上述知识点．
3.已知：△ABC．．
求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上，
【答案】见详解．
【分析】要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即
O点为圆心．
【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，
再作线段BC的垂直平分线相交于O，
即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，
如下图所示：
【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用．
4.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，请用尺规作图求作⊙P，使点P在BC上且使⊙P与AC，AB
都相切．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】详见解析
【分析】作∠BAC的角平分线AP交BC于点P，以P为圆心，BP为半径作⊙P即可．
【详解】解：如图，⊙P即为所求作．【点睛】本题考查作图-应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5.已知：△ABC及AB边上一点E．
求作：⊙O，使它分别与AB、BC相切，且点E为其中一个切点．
（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
【答案】见解析
【分析】过点E作AB的垂线，作∠ABC的平分线，两线相交于点O，然后以O点为圆心，OE为半径作
⊙O即可．
【详解】解：如图，⊙O为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何
图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性
质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
6.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）求作⊙O，使点O在BC上，且⊙O与AC、AB都相切；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AC=8，BC=15，求⊙O半径．
24
【答案】（1）见解析；（2）⊙O半径为 ．
5
【分析】（1）如图作∠CAB的平分线交BC于点O，以OC为半径作 O即可；
1 1 ⊙
（2）设点E为切点，OE＝OC＝r，根据S AOB = •AB•OE = •OB•AC，构建方程即可；
△ 2 2
【详解】解：（1）如图作∠CAB的平分线交BC于点O，以OC为半径作 O， O即为所求；
⊙ ⊙
（2）设点E为切点，OE＝OC＝r，
在Rt△ACB中，AB=√AC2+BC2=√82+152=17，
1 1
∵S AOB = •AB•OE = •OB•AC，
△ 2 2
∴17r＝8（15﹣r），
24
∴r = ．
5
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本
知识，属于中考常考题型．
7.张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，
交弦AB于点D，测得AB=24cm，CD=8cm．
(1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求（1）中所作圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)13cm
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O
是弧ACB所在圆的圆心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理得出方程，解方程可求得半径OA的长．
【详解】（1）解：作弦AC的垂直平分线与弦BC的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆
O就是此残片所在的圆，
如图1所示．
（2）连接OA，如图2所示：
设OA=x，
∵CD=8cm，AD=12cm，
∴OD=(x−8)cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+(x−8) 2，
解得：x=13．
答：圆的半径为13cm．
【点睛】本题考查了作图，垂径定理，中垂线的性质，勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出
方程是解决问题（2）的关键．8.考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要
先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图1所示的圆盘边缘上任意找三个点A，B，C．
(1)请利用直尺（无刻度）和圆规，在图1中画出圆心O．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，数学兴趣小组的同学在（1）的基础上，补全⊙O，连接AC，BC，过点A作⊙O的切线交
CB的延长线于点E，过点C作CD∥AE，交⊙O于点D，连接AD．
①求证：AD=AC；
②连接DB，若DB为⊙O的直径，AC=√70,BC=4，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②7
【分析】（1）分别作出AB和BC的垂直平分线交于点O，即为所求作的圆心O；
（2）①连接AO并延长交CD于点F，根据切线的性质和平行线的性质得到OF⊥CD，然后利用垂径定
理得到DF=CF，最后利用垂直平分线的性质求解即可；
1
②连接BD，首先根据题意得到OF是△DCB的中位线，得到OF= BC=2，然后得到AD=AC=√70，
2
最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，分别作AB和BC的垂直平分线交于点O，
∴点O即为所求作的圆心O；
（2）如图所示，连接AO并延长交CD于点F，∵AE是⊙O的切线，
∴FA⊥AE，
∵CD∥AE，
∴∠AFC=90°，
∴OF⊥CD，
∴DF=CF，
∴AF所在直线是CD的垂直平分线，
∴AD=AC；
②如图所示，连接BD，
∵DB为⊙O的直径，
∴点O是DB的中点，OD=AO=BO，
∵点F是CD的中点，
∴OF是△DCB的中位线，
1
∴OF= BC=2，
2
∵AD=AC=√70，
∵AF⊥DC，
∴AD2−AF2=OD2−OF2，即(√70) 2 −(AO+2) 2=AO2−22，
∴解得AO=−5（舍去），AO=7，
∴⊙O的半径为7．
【点睛】此题考查了尺规作圆的圆心，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是
熟练掌握以上知识点．
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，
(1)在AB边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若AB=6，BD=2√3，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
(2)⊙O的半径为2．
【分析】（1）作AD的垂直平分线与AB的交点为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程求解．
【详解】（1）解：如图：⊙O即为所求；
；
（2）解：连接OD，设⊙O的半径为x，即OA=OD=x，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠ADO=∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD2+BD2=OB2，即：x2+(2√3) 2=(6−x) 2，解得：x=2，
∴⊙O的半径为2．
【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
题型七：尺规作图-过圆外一点作圆的切线
1.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，∠BAC=45°，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切．
【答案】见解析
【分析】先作AE的垂直平分线得到中点P，则以AE为直径可作⊙P，再过D点作AB的垂线交⊙P于Q
点，接着在AC上截取AF=AQ，然后过F点作AC的垂线交DE的垂直平分线于O点，则以O点为圆心，
OF为半径作圆即可．
【详解】如图，⊙O为所作．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．
2.如图，点P是⊙O外一点．请利用尺规过点P作⊙O的一条切线PE．（保留作图痕迹，不要求写作法
和证明）
【答案】见解析
【分析】本题考查切线的定义和尺规作图；作法为：①连接OP，以OP为直径作⊙O'；②⊙O'与⊙O
相交于点E，作直线PE．则直线PE即为所求．【详解】解：如图，直线PE即为所求，
证明：∵OP是直径，
∴∠OEP=90°，
∴OE⊥PE，
∴PE是⊙O的切线．
3.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，交CA的延长线于点D，连接BD．
(1)求作⊙O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
1
(2)在（1）的条件下，求证：PQ= BD，
2
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）连接OP，过P作OP的垂线即可；
（2）根据圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形的中位线的性质证明．
【详解】（1）解：如图：PQ即为所求；1
作射线OP，以点P为圆心，任意长为半径画弧交射线于M，N，以点M，N为圆心，大于 MN为半径
2
画弧，两弧交于点E，作直线PE，交AC于点Q，则直线PQ即为所求；
（2）证明：连接AP，如图，
∵AB为直径，
∴∠D=∠APB=90°，
∵AB=AC，
∴BP=CP，
∵OA=OB，
∴OP∥AC，
∵PQ为⊙O的切线，
∴OP⊥PQ，
∴PQ⊥AC，
∵BD⊥CD，
∴PQ∥BD，
∴CQ=DQ，
∴PQ是△BCD的中位线，
1
∴PQ= BD．
2
【点睛】本题考查了复杂作图，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形的中位线的性质是解题的
关键．
4.如图，点P是⊙O外一点，连接OP交⊙O于点I．
(1)过点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接AB，求证：点I是△ABP的内心．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）先作OP的垂直平分线，交OP于一点，再以这个点为圆心，以该点到O点的距离为半径画
弧线交⊙O于点A，B，连接PA，PB即可；
（2）先证明RtΔAOP≌RtΔBOP，得到PA=PB,∠API=∠BPI，从而证得PI平分∠APB，进一步
得到OP垂直平分AB，再证明∠OAD=∠API，最后根据∠OAI=∠OIA证得∠DAI=∠PAI，得
到AI平分∠BAP，即可证得点I是△ABP的内心．
【详解】（1）解：如图所示，PA，PB圆为所求作的⊙O的两条切线，
其中切点分别为A，B．
（2）证：连接AI,BI,OA,OB，记AB与OP的交点为D．
由（1）得PA,PB都是⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴OA⊥PA,OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
∴∠OAD+∠DAP=90°．
∵OA=OB,OP=OP，
∴RtΔAOP≌RtΔBOP，
∴PA=PB,∠API=∠BPI，
即PI平分∠APB，
∴点O，P在线段AB的垂直平分线上，
即OP垂直平分AB．
∴∠ADP=90°，
∴∠OAD+∠API=90°，
∴∠OAD=∠API．
∵OA=OI，
∴∠OAI=∠OIA，
即∠DAI+∠OAD=∠PAI+∠API，
∴∠DAI=∠PAI，
即AI平分∠BAP，
∴点I是△ABP的内心．【点睛】本题考查尺规作图、圆的切线的性质和三角形内心的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识．
5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点O在边AB上，以OB为半径作⊙O，
交BC于点D，连接OD．
(1)尺规作图：先作线段CD的垂直平分线l，交AC于点E，再作直线DE；（要求：不写作法，保留作图
痕迹）
(2)DE是⊙O的切线吗？请说明理由；
(3)当点O是AB中点时，请直接写出此时线段DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)DE是⊙O的切线，理由见解析
(3)3
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的尺规作图方法确定出点E的位置，再作直线DE即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到ED=EC，则∠EDC=∠C，再根据等边对等角得到
∠OBD=∠ODB，由∠OBD+∠C=90°，得到∠ODB+∠EDC=90°，则∠ODE=90°，即
OD⊥DE，由此即可证明DE是⊙O的切线；
（3）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠ADC=90°，由等边对等角得到∠OAD=∠ODA，再
1
证明∠EAD=∠EDA，得到EA=ED，则EA=ED=EC= AC=3．
2
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：DE是⊙O的切线，理由如下：
∵直线l是线段CD的垂直平分线，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠A=90°，
∴∠OBD+∠C=90°，
∴∠ODB+∠EDC=90°，
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：由题意得AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ODE=∠OAE=90°，
∴∠OAD+∠EAD=∠ODA+∠EDA，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，
1
∴EA=ED=EC= AC=3．
2【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质
和线段垂直平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
题型八：尺规作图-作外接圆
1.已知∠A=90°，作出△ABC的外接圆⊙M（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】作BC的垂直平分线与BC交于点M，以M为圆心，BC为直径画圆即可．
【详解】解：如图所示，⊙M即为所求；
．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—画圆，熟练掌握90°角所对的弦是直径是解题的关键．
2.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作△ABC的外接圆⊙O；
②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边三角形ACD；
③连接BD，交⊙O于点E，连接AE；
(2)在（1）中所作的图中，若AB=4，BC=2，则线段AE的长为______．
【答案】(1)作图见解析；
4
(2) √21．
7
【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，先做AB的垂直平分线，找出圆心O，
以O为圆心，OA为半径画圆即可，再分别以A，B为圆心，AB为半径画弧交于点D，连接AD，CD，即可做出等边三角形ACD；
（2）证明∠BAD=90°，利用勾股定理求出BD=√AB2+AD2=2√7，再利用等面积法即可求出线段AE
的长．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：∵AB=4，BC=2，△ACD是等边三角形，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+60°=90°，
√3
∴AD=AC=AB× =2√3，
2
∴BD=√AB2+AD2=2√7，
1
AB·AD
2 4
∴AE= = √21，
1 7
BD
2
4
故线段AE的长为 √21．
7
【点睛】本题考查三角形的外接圆，垂直平分线的作法，等边三角形的性质，勾股定理，（1）的关键是
掌握直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，（2）的关键是证明∠BAD=90°．
3.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，
(1)作Rt△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，过点C作⊙O的切线CD，求证：∠A＝∠DCB．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意知，Rt△ABC外接圆的圆心为线段AB的中点，作AB的垂直平分线MN，MN与AB的交点即为圆心O，然后以OA为半径画圆即可，如图1所示；
（2）如图2，由题意知∠OCD=90°，∠ACB=90°，可求∠ACO=∠DCB，由等边对等角得
∠A=∠ACO，进而结论得证．
【详解】（1）解：由题意知，Rt△ABC外接圆的圆心为线段AB的中点，作AB的垂直平分线MN，
MN与AB的交点即为圆心O，然后以OA为半径画圆即可，如图1所示，
（2）证明：如图2，
由题意知∠OCD=90°，∠ACB=90°
∵∠ACO+∠OCB=∠OCB+∠DCB=90°
∴∠ACO=∠DCB
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠A=∠DCB．【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，三角形的外接圆，切线的性质，直径所对的圆周角为90°，等
边对等角等知识．解题的关键在于画出直角三角形的外接圆．
4.如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，求作⊙O，使得⊙O经过△ABC的三个
顶点．
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BC，作AB的垂直平分线交AD于点O，则O点到点
A、B、C的距离相等，则以O点为圆心，OA为半径的圆满足条件．
【详解】解：如图，作AB的垂直平分线交AD于点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆，
则⊙O为所作，如图所示：
．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形
的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了等腰三角形的性质和三角形外接圆．
题型九：尺规作图-作内切圆
1.如图，已知△ABC，请用尺规作图法作出△ABC的内切圆⊙O. (只保留作图痕迹，不写作法和证
明)
【答案】见解析
【分析】作∠ABC和∠ACB的平分线，它们相交于点O，过O点作OH⊥BC于H点，再以O点为圆心，OH为半径作圆，则⊙O为△ABC的内切圆．
【详解】解：作∠ABC和∠ACB的平分线，它们相交于点O，过O点作OH⊥BC于H点，再以O点为
圆心，OH为半径作圆，如图，
则⊙O为所作．
【点睛】本题主要考查了复杂作图、三角形的内切圆与内心等知识点，熟悉基本几何图形的性质，结合
几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解答本题的关键．
2.已知：在△ABC及AB边上一点E．求作：⊙O，使它分别于AB，BC相切，且点E为其中一个切点．
【答案】见解析
【分析】过点E作AB的垂线，作∠ABC的平分线，两条线相交于点O，以点O为圆心，OE为半径作
⊙O即可．
【详解】解：如图，⊙O即为所求．
【点睛】此题考查了作图—复杂作图，切线的判定和性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线和角平分
线的作法．
3.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC．
（1）尺规作图：作△ABC的内切圆⊙O（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）若⊙O的半径为1，求BC的长．
【答案】（1）图见解析；（2）2√2+2．
【分析】（1）作∠BAC的平分线AD，再作∠ABC的平分线交AD于O，然后以O点为圆心，OD为半径画
圆即可；
（2）过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OC，如图，根据切线的性质得到OD＝OE＝OF＝1，利用
四边形AEOF为正方形得到OA＝√2OE＝√2，然后根据等腰直角三角形的性质得到BC＝2AD．
【详解】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OC，如图，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OD＝OE＝OF＝1，
易得四边形AEOF为正方形，
∴OA＝√2OE＝√2，
∴AD＝AO+OD＝√2+1，
∵AD为等腰直角三角形斜边上的角平分线，
∴AD为斜边上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴BC＝2AD＝2√2+2．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何
图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性
质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
4.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是BC边上的中线．请用尺规作图法，求作△ABC的内切圆．
（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析
【分析】根据三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，作出∠ACB平分线与AD交于O点，
即内切圆圆心，然后以点O为圆心，以OD长为半径画圆即可．
【详解】解：如图，∠ACB平分线CO交AD于O点，然后以点O为圆心，以OD长为半径画圆作⊙O，
⊙O即为所求．
【点睛】本题主要考查了复杂作图和三角形的内切圆，正确把握三角形内切圆的圆心是三角形三边角平
分线的交点是解题的关键．
5.如图，已知△ABC．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作△ABC的内切圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若AC=4，AB=5，BC=6，则tan∠OBC=__________．（如需画草图，请使用
图2）
【答案】(1)见解析
√7
(2)
7
【分析】（1）作∠ACB,∠ABC的角平分线，交于点O，过点O作BC的垂线，交BC于点D，以点O为圆心，OD为半径画圆，⊙O即为所求；
OD
（2）如图，切线长定理求出BD的长，等积法求出OD的长，再利用tan∠OBC= ，进行求解即可．
BD
【详解】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；
（2）设AB,AC分别切⊙O于点E,F，连接OE,OF，则：OE⊥AB,OF⊥AC，OD=OE=OF，
由题意，得：OD⊥BC，BD=BE,AE=AF,CD=CF，
设BD=BE=x，
∴AE=AF=AB−BE=5−x，CD=CF=BC−BD=6−x，
∴AC=AF+CF=5−x+6−x=4，
7
∴x= ，
2
过点A作AG⊥BC于点G，则：∠AGB=∠AGC=90°，
设BG=a，则：CG=6−a，
∵AG2=AB2−BG2=AC2−CG2
∴52−a2=42−(6−a) 2，
15
解得：a= ，
4
5
∴AG=√AB2−BG2= √7，
4
∵S =S +S +S ，
△ABC △AOB △BOC △AOC
1 1 5√7
∴ BC⋅AG= (AB+BC+AC)⋅OD，即：6× =(4+5+6)⋅OD，
2 2 4√7
∴OD= ；
2
OD √7
∴tan∠OBC= = ．
BD 7
√7
故答案为： ．
7
【点睛】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，解直角三角形．熟练掌握等积法求三角形的内切圆的
半径，是解题的关键．
题型十：尺规作图-作圆内接正多边形
1.如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图
的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】分别以B，C为圆心，以AB长画弧，两弧相交一点，即为D点.
【详解】如图即为所求作的菱形
理由如下：
∵AB＝AC，BD＝AB，CD＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABDC是菱形．
【点睛】本题考查尺规作图和菱形的性质，解题的关键是掌握尺规作图和菱形的性质.
2.已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；
（2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，A´B=B´C=C´D=D´E=E´F=A´F，则
判断BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形．
【详解】解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：
连接BE，如图，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∴A´B=B´C=C´D=D´E=E´F=A´F，
∴B´C+C´D+D´E=E´F+A´F+A´B，
∴BA´E=BC´E，
∴BE为直径，
∴∠BFE=∠BCE=90°，
同理可得∠FBC=∠CEF=90°，
∴四边形BCEF为矩形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何
图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性
质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质．
3.如图，已知⊙O，请用尺规作图法，求作⊙O的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】见解析
【分析】先作直径AC，再作AC的垂直平分线交O于点B，D，则四边形ABCD为⊙O的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形ABCD即为所求．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应
几何图形的性质和基本作图的方法作出图，同时此题也考查了正多边形和圆．
4.如图，已知⊙O．
(1)用直尺和圆规作出圆的内接正六边形ABCDEF（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若⊙O半径为6，求A´B的长度（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)2π
【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆的内接正六边形的边长等于半径．
（1）连接AO，以A为圆心，AO为半径作弧交⊙O于B，F，再以B为圆心，AO为半径作弧交⊙O于
C，以C为圆心，AO为半径作弧交⊙O于D，以D为圆心，AO为半径作弧交⊙O于E，连接
AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形ABCDEF即为所求；
1
（2）由作图知A´B的长度是⊙O周长的 ，进而可求出A´B的长度．
6
【详解】（1）如图，六边形ABCDEF即为所求；（2）∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴A´B=B´C=C´D=D´E=E´F=F´A，
1
∴A´B的长度是⊙O周长的 ，
6
1
∴A´B的长度为 ×2π⋅6=2π．
6
5.如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作
图痕迹）
（1）作△ABC的外接圆圆心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上；
（3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
（2）取BF＝CH＝AD构成等边三角形；
（3）作新等边三角形边的垂直平分，确定外心，再作圆确定另外三点，六边形DEFGHI即为所求正六边
形．
【详解】（1）如图所示：点O即为所求．（2）如图所示，等边△DFH即为所求；
（3）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
6.图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作
图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这
个圆锥底面圆的半径等于 ．
15
【答案】（1）作图见解析；（2） ．
8
【分析】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，
F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形
ABCDEFGH即为所求；
（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD的度数，得到A´D的长，设这个圆锥底面圆的半径
为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．
【详解】解：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
360∘
∴∠AOD= ×3=135°，
8
∵OA=5，
135π×5 15
∴A´D的长= = π，
180 4
设这个圆锥底面圆的半径为R，
15
∴2πR= π，
4
15 15
∴R= ，即这个圆锥底面圆的半径为 ．
8 8
15
故答案为 ．
8
题型十一：尺规作图-格点作图
1.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点M,Q在格点上，点N为小正方形边的中点，连接MN．
(1)MN的长为_________
(2)点P为线段MN上一点，当∠MPQ=45°时，请用无刻度的直尺在网格中画出点P，并简要说明点P
的位置是如何找到的（不要求证明）
√89
【答案】(1)
2
(2)见解析【分析】（1）直接利用勾股定理计算可得；
（2）在网格图中作点C，使QC⊥MN，QC=MN，构造等腰直角△QCD，∠QCD=90°，
QC=CD，则∠QDC=45°，CD∥MN，DQ交MN于P点，则有∠MPQ=∠CDQ=45°，
√ 5 2 √89
【详解】（1）解：MN= 42+( ) = ，
2 2
√89
故答案为： ．
2
（2）如图，点P为所求，
5
将点Q向下平移4个单位，向左平移 个单位得点C，（即取小正方形边的中点C），再将点C向右平移4
2
5
个单位，向下左平移 个单位得点D，（小正方形的中心），连接QD，得等腰直角△QCD，
2
∠QCD=90°，QC=CD，QD交MN于P点，则∠MPQ=∠CDQ=45°，
【点睛】本题主要考查了勾股定理，网格作图．涉及了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是掌握在网格中构造垂直的线段和作中点、正方形的中心．
2.图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，
仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹．
1
(1)在图①中的AC边上找一点D，连结BD，使得△ABD的面积等于△ABC面积的 ．
21
(2)在图②中的△ABC的内部找一点E，连结AE、BE，使得△ABE的面积等于△ABC面积的 ．
2
(3)在图③中的△ABC的内部找一点F，连结AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面积相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用全等三角形的性质，寻找点D，使点D为线段AC的中点，连接BD即可；
（2）仿照（1）的方法，利用网格线与三角形各边的交点找到三边的中点，再连接一个中点与三角形的
顶点构成一条中线，连接另两个中点构成一条中位线，中线与中位线相交于点E，连接AE、BE；
（3）仿照（1）的方法，利用三角形的边与网格线的交点找到AB、AC的中点，然后构造两条三角形的
中线，两条中线的交点为F，连接AF、BF、CF．
【详解】（1）如图1中，点D即为所求．
图1
（2）如图2中，点E即为所求．
图2
（3）如图3，点F即为所求．图3
【点睛】本题考查了利用网络线与三角形各边的交点寻找线段中点的方法，涉及三角形全等的判定与性
质、中位线定理、三角形面积计算，解题的关键是能综合运用这些知识点．
3.如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺作图.
(1)在图①中，作∠A的角平分线；
(2)在图②中，在AC边上找一点D，使得AB2=AD⋅AC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长AB构造等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知∠A的角平分线过等腰三角形底边
的中点，找出底边中点P与点A连接即可；
（2）设网格边长为1，如图，取格点P、Q、M，连接PQ交网格于N，连接MN，交网格于E，连接BE
AD 16
交AC于D，可得△ABD~△ECD，根据AB2=AD⋅AC可得 = ，根据相似三角形的性质结合
CD 9
9
网格特征作出CE= 即可得答案．
4
【详解】（1）解：如图，点射线AP即为所求；（2）解：设网格边长为1，如图，取格点P、Q、M，连接PQ交网格于N，连接MN，交网格于E，连
接BE交AC于D，
AB 4
∵AB2=AD⋅AC， = ，
AC 5
AD 16
∴ = ，
CD 9
∵CE∥AB，
∴△ABD~△ECD，
AD AB 16
∴ = = ，
CD CE 9
9
∴CE=
4
∴如图，点D即为所求；
【点睛】本题考查了无刻度的直尺作图、等腰三角形的性质、角平分线的定义和相似三角形的性质，熟
练掌握相关知识是解题的关键．
4.如图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格
点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕
迹．(1)在图①中，作△ABC的中线CD．
(2)在图②中，在AB边上找一点E，连结CE，使CE=BE．
10
(3)在图③中，在AC边上找一点F，连结BF，使△BFC的面积为 ．
3
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）找出线段AB的中点D，连接CD即可；
（2）找到格点M，连接CM，与线段AB的交点为点E，连接CE即可；
（3）作线段AC的三等分点F，连接BF即可．
【详解】（1）解：如图，线段CD即所得；
（2）解：如图，
（3）解：如图；【点睛】本题考查基本作图，中线的定义、等腰三角形的性质、线段三等分点的作法，相似三角形的性
质，熟练掌握三等分点的作法是解题的关键．
5.用无刻度直尺作图：
(1)如图1，在AB上作点E，使∠ACE=45°；
(2)如图1，点F为AC与网格的交点，在AB上作点D，使∠ADF=∠ACB；
(3)如图2，在BC上作点N，使CN=5BN；
(4)如图2，在AB上作点M，使∠ACM=∠ABC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）作一个网格的对角线MN交AB于点E，连接CE，则点E即为所求；
（2）取（1）中CE交一格点P，过点P作PQ平行CF（1×2网格对角线），且PQ=CF=√5，连接FQ
交AB于点D，则点D即为所求；
（3）取格点G，连接AG，则AG与BC的交点即为点N；
（4）取格点P、Q，连接PQ（2×3网格的对角线）交点B所在的水平网格线于点E，连接CE交AB于点
M，则点M即为所求．
【详解】（1）解，如图，点E即为所求；证明：网格中，AB是4×4网格的对角线，
∴∠ABC=45°，
由勾股定理可得：AC=√22+52=2√5，
由作法可知：AE是一个网格对角线的2.5倍，即2.5√2，
AC 2√5 √10 AE 2.5√2
∴ = = = = ．
AB 4√2 4 AC 2√5
又∵∠CAE=∠BAC，
∴△ACE∽△ABC，
∴∠ACE=∠ABC=45°；
（2）解：如图，点D即为所求；
证明：由作法知PQ∥CF，PQ=CF=√12+22=√5，
∴四边形PCFQ是平行四边形，
∴FD∥CE，
∴∠AFD=∠ACE，
由（1）知：∠ACE=∠ABC=45°，
∴∠AFD=∠ABC．
又∵∠AFD+∠A+∠ADF=∠ABC+∠A+∠ACB=180°，∴∠ADF=∠ACB；
（3）解：如图，点N即为所求．
证明：由作法知BG∥AC，BG=1，AC=5，
∴△BNG∽△CNA，
BN BG 1
∴ = = ，即CN=5BN；
CN AC 5
（4）解：如图，点M即为所求．
证明：在点P的下方取格点D、F，PD=1，PF=3，QF=2，BD=3，连接CD，如上图，
∴∠ACD=∠ABD=45°，CD=√2．
∵DE∥FQ，
∴△PDE∽△PFQ，
DE PD 1
∴ = = ，
FQ PF 3
1 2
∴DE= FQ= ，
3 3
CD ED √2
∴ = = ，
BD CD 3
又∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DCE=∠DBC，∴∠ACD+∠DCE=∠ABD+∠DBC，即∠ACM=∠ABC．
【点睛】本题主要考查了网格作图、勾股定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题
的关键是学会利用数形结合思想解决问题．
6.如图，在正方形的网格中，点A，B，C均在格点上，点P为线段AB与网格线的交点，仅用无刻度的直
尺完成以下作图，画图过程用虚线表示.
(1)在图1中，将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE；连接PE交AC于F，则sin∠APF=______
(2)在图2中，在线段AC上画点Q，连接PQ，使得PQ∥BC
(3)在图3中，分别在线段AC，线段BC上画M，N连接PM，MN，使得PM+MN最小.
3√10
【答案】(1)
10
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）如图，利用格点可得Rt△AGB≌Rt△EKA，由此可得点E，再证
AP AH 1
Rt△HAP∽Rt△KEA，可得 = = ，即EA=3AP，再由勾股定理可得
EA EK 3
PE=√AP2+EA2=√10AP，进而可得sin∠APF；
（2）连接TX交AC于点Q，连接PQ，点Q即为所作；
（3）连接SL交AC于点M，取格点B'，连接AB'交网格线于点P'，连接P'M并延长交BC于点N，点
M，N即为所作．
【详解】（1）解：如图，线段AE即为线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段．由图可知，AG=EK=3，∠AGB=∠EKA=90°，GB=KA=4，
∴ Rt△AGB≌Rt△EKA(SAS)，
∴ ∠GAB=∠KEA，AB=AE，
∵ ∠KAE+∠KEA=90°，
∴ ∠GAB+∠KAE=90°，
∴ ∠BAE=90°，
∴线段AE即为所求；
∵ ∠HAP=∠KEA，∠AHP=∠EKA=90°，
∴ Rt△HAP∽Rt△KEA，
AP AH 1
∴ = = ，
EA EK 3
∴ EA=3AP，
∴ PE=√AP2+EA2=√10AP，
AE 3AP 3√10
∴ sin∠APE= = = ，
PE √10AP 10
3√10
∴ sin∠APF= ，
10
3√10
故答案为： ．
10
（2）解：如图，连接TX交AC于点Q，连接PQ，点Q即为所作；∵ AZ∥BY，BY =2AZ，
AP AZ 1
∴ = = ，
BP BY 2
∵ AX∥CT，CT=2AX，
AQ AX 1
∴ = = ，
QC CT 2
AP AQ
∴ = ，
BP QC
∴ PQ∥BC；
（3）解：如图，连接SL交AC于点M，取格点B'，连接AB'交网格线于点P'，连接P'M并延长交BC于
点N，
设小正方形的边长为1，
∵ AO=CO=4，∠AOC=90°，
∴ △AOC是等腰直角三角形，∠ACB=45°，
∴ ∠ACB'=90°−∠ACB=45°，
又∵ BC=B'C=7，
∴ △BAC和△B' AC关于AC对称，
∴点P和点P'关于AC对称，∴ PM=P'M，PM和P'M关于AC对称，
由（2）可知PM∥BC，
∴ ∠AMP=∠ACB=45°，
∴ ∠AM P'=45°，
∴ ∠PM P'=45°+45°=90°，
∴ M P' ⊥BC，
∴ PM+MN=P'M+MN=P'N，
即此时PM+MN最小，
∴点M，N即为所作．
【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定
理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，充分利用格点特征是解题的
关键．
考点二 ： 定义、命题、定理
题型一：命题的判断
1.以下不是命题的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．定理一定是真命题
C．画线段AB=5cm D．全等三角形对应角相等
【答案】C
【分析】利用命题的定义进行判断即可确定正确的选项．
【详解】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题，不符合题意；
B、定理一定是真命题，是命题，不符合题意；
C、画线段AB=5cm，没有对事情作出判断，不是命题，符合题意；
D、全等三角形对应角相等，是命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了命题的定义，解题的关键是了解“对一件事情作出判断的句子”是命题，难度不大．
2.下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果a=b，a=c，那么b=c
【答案】B
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．【详解】解：由题意可知，
A、对顶角相等，故选项是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；
D、如果a=b，a=c，那么b=c，故选项是命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称
为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．
3.如图，已知直线l和直线l外一点P，下列说法不正确的是（ ）
A．过点P有且只有一条直线与直线l平行
B．过点P有且只有一条直线与直线l垂直
C．在连接点P和直线l上各点的线段中，与直线l垂直的线段最短
D．过点P作直线l的垂直平分线，只能作一条
【答案】D
【分析】根据垂线的定义和垂线的性质及平行线的判定对各小题分析判断即可得解．
【详解】A、过点P有且只有一条直线与直线l平行，故正确，不符合题意；
B、过点P有且只有一条直线与直线l垂直，故正确，不符合题意；
C、在连接点P和直线l上各点的线段中，与直线l垂直的线段最短，故正确，不符合题意；
D、直线没有垂直平分线，故错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定义是解题关键．
4.下列句子中哪一个是命题（ ）
A．你的作业完成了吗？ B．美丽的天空．
C．猴子是动物． D．过直线l外一点作l的平行线．
【答案】C
【分析】需判定每个句子是否判断一件事情，若进行了判断，则为命题，反之，则不是命题；根据上述
方法判断．
【详解】解：A、你的作业做完了吗？它是疑问句，不是命题，本选项不符合题意；B、美丽的天空，它是描述性语言，不是命题，本选项不符合题意；
C、猴子是动物，是命题，本选项不符合题意；
D、过直线l外一点作l的平行线，它是描述性语言，不是命题，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查命题．正确记忆命题的定义是解题关键．
题型二：判断命题真假
1.已知二次函数y=x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的
图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称
轴为直线x=1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④
【答案】A
a
【分析】根据对称轴为直线x=− =1，确定a的值，根据图像经过点（3，0），判断方程的另一个根为
2
x=-1，位于y轴的两侧，从而作出判断即可．
【详解】假设抛物线的对称轴为直线x=1，
a
则x=− =1，
2
解得a= -2，
∵函数的图像经过点(3，0),
∴3a+b+9=0，
解得b=-3，
故抛物线的解析式为y=x2−2x−3，
令y=0，得x2−2x−3=0，
解得x =−1,x =3，
1 2
故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②，③，④都是正确，命题①错误，
故选A．
【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，抛物线与x轴的交点，对称轴，熟练掌握待定系数法，抛物
线与x轴的交点问题是解题的关键．
2.命题“如果x= y，那么x2= y2”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【分析】本题主要考查了命题与定理，先写出原命题的逆命题，再判定逆命题的真假即可．
【详解】解：命题“如果x= y，那么x2= y2”的逆命题是“如果x2= y2，那么x= y “，逆命题是假命题，故答案为：假．
3.下列命题中是假命题的是（ ）
A．同位角相等 B．单项式3a2b的次数是3
C．两点之间线段最短 D．菱形的对角线互相垂直
【答案】A
【分析】本题主要考查了真假命题的判断，根据平行线的性质，单项式的概念，线段的性质，菱形的性
质逐项判断即可．
【详解】因为同位角不一定相等，所以A是假命题，符合题意；
因为单项式3a2b的次数是2+1=3，所以B是真命题，不符合题意；
因为两点之间线段最短，所以C是真命题，不符合题意；
因为菱形的对角线互相垂直，所以D是真命题，不符合题意．
故选：A．
4.下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．若三条直线a⊥c，b⊥c，则a∥b
C．相等的弧所对的弦相等
D．若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0
【答案】D
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此选项说法错误，是假命题；
B、若在同一平面内，三条直线a⊥c，b⊥c，则a∥b，此选项说法错误，是假命题；
C、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，此选项说法错误，是假命题；
D、若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0，此选项说法正确，是真命题；
故选：D．
【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要
熟悉课本中的性质定理．
5.下列命题中的假命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是中心对称图形
B．有一个角是直角的平行四边形是轴对称图形
C．对角线互相垂直的平行四边形是中心对称图形
D．等边三角形既是轴对轴图形，又是中心对称图形
【答案】D
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定与性质，以及等边三角形的性质进行逐项判断即可．【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是中心对称图形，真命题，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是轴对称图形，真命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是中心对称图形，真命题，不符合题意；
D、等边三角形既是轴对轴图形，不是中心对称图形，假命题，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假
命题；经过推理论证的真命题称为定理．熟练掌握相关知识是解答的关键．
6.下列命题中，为真命题的是（ ）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
【答案】B
【分析】正确的命题叫真命题，根据定义解答．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（1）是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故（2）不是真命题；
对角线相等的平行四边形是矩形，故（3）不是真命题；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，故（4）是真命题；
故选：B．
【点睛】此题考查真命题的定义，熟记定义并正确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关
键．
7.下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】C
【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意．
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意．
C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合
题意．
D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判
定方法，属于中考常考题型．
8.下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】B
【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别
判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项
不符合题意；
B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；
C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是
真命题，故此选项不符合题意；
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
故选：B
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理
以及直角三角形斜边上的中线的性质．
9.下面a，b的取值，能够说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝﹣3，b＝﹣5 D．a＝﹣3，b＝5
【答案】C
【分析】命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命
题可以写成“如果…那么…”形式，作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选
项进行判断即可．
【详解】解：当a＝﹣3，b＝﹣5时，a＞b，而|a|＜|b|，
所以能够说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的是a＝﹣3，b＝﹣5，
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．有些命题的正确性是用推理证实的，
这样的真命题叫做定理．
题型三：举反例说明命题为假命题
1.能说明命题“若X2>16，则X>4”是假命题的一个反例可以是 ．【答案】X=−5
【分析】当X=−5时，满足X2=(−5) 2=25>16，但是不满足X>4，于是X=−5可以作为说明命题“若
X2>16，则X>4”是假命题的一个反例．
【详解】解：说明命题“若X2>16，则X>4”是假命题的一个反例可以是：X=−5，
故答案为：X=−5．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分
组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，有
些命题的正确性是用推理证实的，这样的命题叫做定理，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正
确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
2.能说明命题“两个无理数a、b的和一定是无理数”是假命题的一组a，b的值可以是 ．
【答案】a=√3，b=−√3（答案不唯一）
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一组a，b的值即可．
【详解】解：当a=√3，b=−√3时，
a+b=√3−√3=0，
∴a=√3，b=−√3时，a+b是有理数．
故答案为：a=√3，b=−√3（答案不唯一）．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的反例．
3.要说明命题“若a2>b2，则a>b是假命题”，下列a，b的值能作为反例的是（ ）
A．a=3，b=2 B．a=−2，b=−1 C．a=−1，b=−2 D．a=2，b=−1
【答案】B
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个条件逐项判定即可．
【详解】解：A、a＝3，b＝2，满足a2>b2，也满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例；
B、a＝﹣2，b＝﹣1，满足a2>b2，但不满足a＞b，故能作为证明原命题是假命题的反例；
C、a＝﹣1，b＝﹣2，不满足a2>b2，满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例；
D、a＝2，b＝﹣1，满足a2>b2，也满足a＞b，故不能作为证明原命题是假命题的反例；
故选：B．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，理解“要说明命题为假命题，只需举出一个反例”是解题的关
键．
4.“如果a2>b2，那么a>b”是假命题，请举出一个反例．在你举出的反例中，a= ，b=
．
【答案】 ﹣1（答案不唯一） 0（答案不唯一）【分析】找出一对使得命题不成立的数即可．
【详解】解：当a＝﹣1，b＝0时，满足a2＞b2，但a＜b，故原命题为假命题，
故答案为：﹣1，0．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，能根据题意举出合适的反例是解答此题的关键．
5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的中线．要说明
“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个三角形是（ ）
A．△ACE和△BCE B．△BCE和△ABC
C．△CDE和△BCD D．△ACD和△BCD
【答案】D
【分析】利用含有30°角的直角三角形的特征和直角三角形斜边中线的特点，求出△ACE和△BCE的
每个角，可以判断出两个三角形三角不对应相等，对A进行判断；△BCE是等边三角形，△ABC是直角
三角形，三角不对应相等，对B进行判断；利用AAS证明△CDE≌△CDB，并且两个三角形的三角对
应相等，对C进行判断；在△ACD和△BCD中可求三角对应相等，但是AC≠BC，可对D进行判断．
【详解】解：A、∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°
∵CD⊥AB
∴∠CAD=∠CDB=90°
∴∠BCD=30°，∠ACD=60°
∵ CE是△ABC的中线且∠ACB=90°，
∴AE=CE=BE
∴∠ACE=∠A=30°
∴∠ECD=30°，∠CEB=60°
在△ACE中，∠CAE=∠ACE=30°，∠AEC=120°
在△BCE中，∠CBE=∠CEB=∠BCE=60°，
两个三角形三角不对应相等，故本选项不符合题意；
1 1
B、∵BC= AB，CE=AE=BE= AB
2 2
∴△BCE是等边三角形，
∵△ABC是直角三角形，∴两个三角形三角不对应相等，也不全等，故本选项不符合题意；
C、在△CDE和△BCD中，
∵∠DCE=∠DCB=30°，∠DEC=∠DBC=60°
又∵∠CDE=∠CDB=90°，且CD=CD，
∴△CDE≌△CDB
故本选项不符合题意；
D、在△ACD和△BCD中，∠A=∠BCD=30°，∠ADC=∠BDC，∠ACD=∠B
两三角形三角对应相等，但AC≠BC，这两个三角形不全等
故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了真假命题的判断，及含有30°角的直角三角形的特征和直角三角形斜边中线的特点，
三角形全等的判定，对命题的正确理解是解答本题的关键．
题型四：写出命题的逆命题
1.命题“如果a，b互为相反数，那么a，b的绝对值相等”的逆命题是 ．
【答案】如果a，b的绝对值相等，那么a，b互为相反数
【分析】根据逆命题的定义，即可．
【详解】∵逆命题：把原命题的条件当成结论，把结论当成条件得到的命题就是该命题的逆命题，
∴命题“如果a，b互为相反数，那么a，b的绝对值相等”的逆命题为：如果a，b的绝对值相等，那么a，
b互为相反数，
故答案为：如果a，b的绝对值相等，那么a，b互为相反数．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是明确逆命题的定义．
2.请写出命题“如果|a|>|b|，那么a>b”的逆命题是 ．
3.下列命题的逆命题中，是假命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有一个角是直角的四边形是矩形
【答案】C
【分析】根据矩形的性质、逆命题及真假命题可进行排除选项．
【详解】解：A、原命题的逆命题是：矩形的对角线相等，是真命题，故不符合题意；
B、原命题的逆命题是：矩形的对角线互相平分，是真命题，故不符合题意；
C、原命题的逆命题是：矩形的对角线互相垂直，是假命题，故符合题意；
D、原命题的逆命题是矩形有一个角是直角，是真命题，故不符合题意；故选C．
【点睛】本题主语考查矩形的性质、逆命题及真假命题，熟练掌握矩形的性质、逆命题及真假命题是解
题的关键．
4.下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等
C．两直线平行，内错角相等 D．如果a=b，那么a2=b2
【答案】C
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
B．逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
C．逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，为真命题，符合题意；
D．逆命题为如果a2＝b2，那么a＝b，错误，为假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
5.命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 .
【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.
【详解】解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分
组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有
些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
6.下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等
【答案】D
【分析】根据逆命题定义得到各选项的逆命题，再判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项逆命题为：在同一个三角形中，等角对等边，是真命题，不符合题意，
B选项逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意，
C选项逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意，
D选项逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意，
故选D；【点睛】本题考查逆命题及命题真假判断，解题的关键是将原命题的结论与题设对调得到逆命题．
题型五：反证法证明中的假设
1.用反证法证明“若a⊥b，b⊥c，则a//b”时，应先假设（ ）
A．a与b不平行 B．a⊥b C．a，b都不垂直于c D．a不垂直于c
【答案】A
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明“若a⊥b，b⊥c，则a∥b”时，第一步应先假设a与b不平行，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考
虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一
否定．
2.用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（ ）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行
【答案】C
【详解】因为“用反证法证明命题的第一步：通常是假设所证结论不成立”，
所以当用反证法证明：“如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，这一命题时，第一步应该是：“假设CD
和EF不平行”.
故选C.
3.用反证法证明“若ab2”时，应假设（ ）
A．a≤b B．a≥b C．a2≤b2 D．a2≥b2
【答案】C
【分析】根据反证法的第一步是否定结论， 大于的否定说法是小于或等于，则可判断结论．
【详解】否定结论：a2>b2，则应假设：a2≤b2，
故选：C．
【点睛】本题考查反证法对结论的否定，要掌握一些常见结论的否定方法．如“大于”的否定是“不大
于或小于等于”，“小于”的否定是“不小于”等等．
4.命题：已知△ABC，AB=AC．求证：∠B<90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设
（ ）成立
A．AB≠AC B．∠B>90° C．∠B≥90° D．AB≠AC且∠B≥90°
【答案】C
【分析】根据反证法的步骤，第一步要从结论的反面出发假设结论，即可判断．
【详解】解：∵∠B<90°的反面为∠B≥90°，∴第一步应假设∠B≥90°成立，
故选C．
【点睛】此题考查的是反证法的步骤，掌握反证法的第一步为假设结论不成立，并找到结论的反面是解
决此题的关键．
5.若要运用反证法证明“若a>b>0，则√a<√b”，首先应该假设（ ）
A．√a≥√b B．√a>√b C．√a≤√b D．√a<√b
【答案】A
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答即可．
【详解】解：反证法证明“若a>b>0，则√a<√b”时，首先应假设√a≥√b，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如
果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
题型六：反证法证明命题
1.求证：两直线平行，内错角相等
如图1，若AB//CD，且AB、CD被EF所截，求证：∠AOF=∠EO'D
以下是打乱的用反证法证明的过程
①如图2，过点O作直线A'B'，使∠A'OF=∠EO'D，
②依据理论依据1，可得A'B'//CD，
③假设∠AOF≠∠EO'D，
④∴∠AOF=∠EO'D．
⑤与理论依据2矛盾，∴假设不成立．
证明步骤的正确顺序是（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④
【答案】D
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．【详解】解：假设∠AOF≠∠EO'D，
如图2，过点O作直线A'B'，使∠A'OF=∠EO'D，
∴A'B'//CD，
这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，
∴假设不成立，
∴∠AOF=∠EO'D．
故选：D
【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件
进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．
2.数学课上，学生提出如何证明以下问题：
如图，AB∥CD．求证：∠B+∠E+∠D=360°．
老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下：
证明：假设∠B+∠E+∠D≠360°，
如图，延长BE交CD的延长线于点F，G为DF延长线上一点．
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠EFG．
∵∠ABE+∠BED+∠CDE≠360°，
∴∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°，这与“________”相矛盾，
∴假设不成立，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．
以上证明过程中，横线上的内容应该为 ．
【答案】三角形的外角和等于360°
【分析】先假设∠B+∠E+∠D≠360°，通过证明假设不成立，从而得到正确的结论．
【详解】证明：假设∠B+∠E+∠D≠360°，
如图，延长BE交CD的延长线于点F，G为DF延长线上一点．
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠EFG．
∵∠ABE+∠BED+∠CDE≠360°，
∴∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°，
这与“三角形的外角和等于360°”相矛盾，
∴假设不成立，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°．
故答案为：三角形的外角和等于360°
【点睛】本题考查的是反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理
论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
3.阅读下列材料：“为什么√32不是有理数”，完成问题．
证明：假设√32是有理数，
n
那么存在两个互质的正整数n，m，使得√32=
，则___________．
m
∵n3是2的倍数，
∴____________________，
可设n=2t（t为正整数），则n3=8t3，
∴_____________，即4t3=m3，
∴__________________，
∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即√32不是有理数．将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①8t3=2m3； ②n3=2m3； ③m是2的倍数； ④n是2的倍数．
【答案】②④①③
【分析】根据反证法的证明步骤以及立方根的定义补全证明过程即可求解．
【详解】证明：假设√32是有理数，
n
那么存在两个互质的正整数n，m，使得√32= ，则n3=2m3．
m
∵n3是2的倍数，
∴ n是2的倍数，
可设n=2t（t为正整数），则n3=8t3，
∴ 8t3=2m3，即4t3=m3，
∴ m是2的倍数，
∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即√32不是有理数．
故答案为：．②④①③
【点睛】本题考查了立方根的定义，反证法，熟练掌握反证法证明方法是解题的关键．
4.在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一
性质．在九年级上册P94页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充
完整：
已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O，O'．
求证：∠1=∠2．
(1)完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设____________．
如图2，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠2
∴A'B' ∥CD（ ）又∵AB∥CD，且直线AB经过点O
∴过点O存在两条直线AB、A'B'与直线CD平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
∴∠1=∠2．
(2)上述证明过程中提到的基本事实是_________．（填序号）
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的
两条直线互相平行．
【答案】(1)∠1≠∠2；同位角相等，两直线平行
(2)②
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
【详解】（1）证明：假设∠1≠∠2．
如图2，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠2，
∴A'B' ∥CD（同位角相等，两直线平行）
又∵AB∥CD，且直线AB经过点O
∴过点O存在两条直线AB、A'B'与直线CD平行
这与基本事实矛盾，假设不成立
故答案为∶ ∠1≠∠2；同位角相等，两直线平行；
（2）解：上述证明过程中提到的基本事实是过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
故答案为：②
【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握假设原命题的结论不成立（即提出与原命题相反的结论），从这
个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，判定
假设不正确，肯定原命题的结论正确是解题的关键．
5.阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所
以a2+b2≠c2．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m-3=0 有两个实根x 和x ．
1 2
求证：x ≠x ．
1 2【答案】见解析
【分析】假设x =x ，则方程有两个相等的实数根，即判别式△=0，据此即可得到关于m的一元二次方程，
1 2
而此方程无实数根，从而证明△=0错误，得到所证的结论．
【详解】证明：假设x =x ，则〔﹣（m+1）〕2-4（2m﹣3）=0，整理得：m2﹣6m+13=0，
1 2
而m2﹣6m+13=（m﹣3）2+4＞0，与m2-6m+13=0矛盾，
故假设不成立，
所以x ≠x ．
1 2
【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立
时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，
则必须一一否定．
