文档内容
专题 01 数轴的五种考法全梳理（高频与压轴题型）
目录
【知识点归纳】.................................................................................................................................1
【考法一、求点的运动时间】.........................................................................................................2
【考法二、点的往返运动问题】.....................................................................................................7
【考法三、数轴弯折问题】...........................................................................................................14
【考法四、定值问题】...................................................................................................................19
【考法、数轴上的新定义问题】...................................................................................................24
【课后练习】...................................................................................................................................30
【知识点归纳】
1.数轴上两点间的距离
如图，A、B表示的数为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；
当a，b的大小已知时，“大减小（右减左）”，不知大小时，“绝对值”（两数差的绝对
值）.
2.数轴上两点间中点表示的数
如图，C是AB的中点，则C表示的数x= ；理由：AC=BC，则x－a=b－x，∴x=
.
3.数轴上点移动规律
数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；
当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后
到达点表示的数为a－b.
例：P从A出发，以2个单位/秒速度向右运动，t秒后达到的点表示的数为：a+2t.
数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系.
【考法一、求点的运动时间】
例．已知数轴上三点 对应的数分别为 ，3，点 为数轴上任意一点，其对应的数为
。
（1） 三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点（把一条线段分成相等
部分的点），那么 的值是_________．
（2）数轴上是否存在点 ，使点 到点 ，点 的距离之和是7？若存在，请直接写出
的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点 以每分钟3个单位长度的速度从原点向右运动时，点 和点 分别以每分
钟4个单位长度和每分钟1个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几分钟
后， 三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点
【答案】（1）1或-5或7；（2） 的值为 或 ；（3）经过2分钟或 分钟或 分钟后
【分析】（1）对点P的位置进行分类讨论，利用数轴上两点之间的距离列出方程即可解答；
（2）由题意得：|x-(-1)|+|x-3|=7，再对x的取值进行分类讨论即可解答；
（3）表达出t分钟后，点M，N，P表示的数，再对M，N，P三点的位置进行分类讨论，
利用数轴上两点之间的距离列出方程即可解答．
【详解】解：（1）①若点P是线段MN的中点，则MP=NP，
即x-(-1)=3-x，解得：x=1，
②若点M是线段PN的中点，则PM=MN，
即-1-x=3-(-1)，解得：x=-5，
③若点N是线段PM的中点，则PN=MN，
即x-3=3-(-1)，解得：x=7，
故答案为：1或-5或7；
（2）由题意得：|x-(-1)|+|x-3|=7，
①当点x＜-1时，|x-(-1)|+|x-3|=-(x+1)-(x-3)
即-(x+1)-(x-3)=7，解得：x= ，
②当-1≤x≤3时，|x-(-1)|+|x-3|=x+1-(x-3)，
即x+1-(x-3)=7，方程无解，
③当x＞3时，|x-(-1)|+|x-3|=x+1+x-3
即x+1+x-3=7，解得：x= ，综上所述， 的值为 或 ；
（3）设时间为t分钟，则t分钟后，点M，N，P表示的数分别为：-1+4t，3+t，3t，
①若点P是线段MN的中点，则MP=NP，
则3t-(-1+4t)=3+t-3t，解得：t=2，
②若点M是线段PN的中点，则PM=MN，
则-1+4t-3t=3+t-(-1+4t)，解得：t= ，
③若点N是线段PM的中点，则PN=MN，
则3+t-3t=-1+4t-(3+t)，解得：t= ，
综上所述，经过2分钟或 分钟或 分钟后， 三点中，其中一个点是另外两个点连
成的线段的中点．
【点睛】本题主要考查数轴和一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据数轴和路程问
题，列出一元一次方程求解，注意分情况讨论，不要漏解．
变式1．如图，已知数轴上依次有三点 A、B、C，点 B 对应的数是 ，且点 B 到点
A、C的距离均为600.
(1)写出点A所对应的数；
(2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向右运动，点 P、Q 的速度分别为 10 单位长度每
秒、5单位长度每秒，问多少秒时点P与点Q重合；
(3)若动点P、Q分别从A、C两点相向而行，点P运动20秒后，点Q开始运动，点P、Q
的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，问点 P 运动多少秒时P，Q两点的距离
为200.
【答案】（1） ；（2）120秒；（3）运动73.3或100秒时PQ距离为200.
【分析】(1)根据求数轴上两点之间的距离的方法计算.
(2)根据追及问题的计算公式，路程差=速度差 时间，直接计算或者列方程解答即可.
(3)首先要想到问题P，Q两点的距离为200有两种情况，即P，Q相遇之前和相遇之后，再
根据相遇问题的计算公式，路程和=甲运动路程+乙运动路程，路程=速度 时间，直接计算
或者列方程解答.
【详解】（1）由题意得， ，所以点A所对应的数 .
（2）点 P 与点 Q 运动的路程差为 600，速度差为 5，故 ，
则120秒后P、Q两点重合.
另解：假设运动 x 秒时 P、Q 重合，则有 .解得
(3)PQ 距离为 200 时有两种情况：
相遇前（Q 在 P 的右边）：
相遇后（P 在Q的右边）：
故运动73.3或100秒时PQ距离为 200.
【点睛】本题结合数轴考查了两点之间的距离，还有追及问题和相遇问题，点的运动问题
一定要思考清楚其整个运动过程，化动为静，找到其符合题意的时刻，再寻找数量关系解
答.
变式2．如图，点 和点 在数轴上对应的数分别为 和 ，且 ．
（1）线段 的长为 ；
（2）点 在数轴上所对应的数为 ，且 是方程 的解，在线段 上是否存在
点 使得 ?若存在，请求出点 在数轴上所对应的数，若不存在，请说明
理由；
（3）在(2)的条件下，线段 和 分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时
向右运动，运动时间为 秒，点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，若 ，
求 的值．
【答案】（1）10；（2）存在，点 对应的数为2，见解析；（3） 的值为6 或16
【分析】（1）根据题意求出 和 的值，进而即可求出线段 的长；
（2）由题意先解出x，再根据题意求出点 在数轴上所对应的数；
（3）根据题意先求出 、 初始位置对应数，再根据题意运动时间为 秒以及 ，
建立关系式，并求出t值即可.
【详解】解：（1）∵
∴ ，
∵点 和点 在数轴上对应的数分别为 和 ，
∴线段 的长为 .
故答案为：10.
（2）∵
解得，
即点 在数轴上对应的数为14．
∵点 在线段 上．∴
∵
∴
解得：
∴14-12=2
即点 对应的数为2.
（3）由题意知，
、 分别为 、 的中点，
∴ 、 初始位置对应数为0，11．
对应的数是 ， 对应的数是
又∵ 在 上， 在 上，
∴可知 的速度在 处向右，速度为6个单位/秒， 的速度在11处向右速度为5个单
位/秒，
运动 秒后，
对应的数为： ， 对应的数为： ，
∵
∴
解得， 或16，
的值为6 或16 .
【点睛】本题考查一元一次方程在数轴上动点问题中的应用及偶次方和绝对值的非负性，
掌握相关基础知识并数形结合进行分析是解题的关键．
变式3．我校开展丰富多彩的航天科技月活动，小航同学设计了一套电子设备，有两个电
子蚂蚁P、Q在直线 赛道上运动，电子蚂蚁P从A出发，以每秒1个单位长度的速度匀
速运动，电子蚂蚁Q从B出发以每秒2个单位长度的速度匀速运动，且两点同时出发．
小航同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合思想的方法建立数轴可以较快的解决
问题，小航同学设计在数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，满足 ，且k为最
大的负整数， ．(1)则 ________， ________．
(2)如果P、Q相向运动，经过几秒钟P、Q之间距离为4个单位．
(3)当点P、Q两点同时向右方向运动，同时又有一个电子蚂蚁C从原点出发，以每秒5个
单位长度的速度匀速向右运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得 ，若
存在求出t值，并求出点C所表示的数．
【答案】(1) ；12
(2)4或
(3)t的值为2或14，点C所表示的数为10或70
【分析】（1）根据题意可求出k的值，进而求出a、b的值；
（2）设经过x秒钟P、Q之间距离为4个单位，根据P、Q相遇之前以及相遇之后进行讨
论列出方程，解方程即可；
（3）根据题意分为当C还未追上Q和C追上Q后两种情况进行讨论，进而列出方程，解
方程即可．
【详解】（1）解：∵k为最大的负整数
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为： ；12．
（2）设经过x秒钟P、Q之间距离为4个单位．
当P、Q两点相遇时，
根据题意，得
解得，
P、Q相遇前
由题意，得
解得，
②P、Q相遇后
由题意，得
解得，
综上所述，当P、Q相向运动时，经过4或 秒钟P、Q之间距离为4个单位（3）由（1）可知A、B两点对应的数分别是 、12
根据题意，可得P、Q、C三点对应的数分别是 、 、
当C追上Q时，
根据题意，可得
解得，
①C还未追上Q
∵
∴
解得，
∴
即点C所表示的数为10．
②C追上Q后
∵
∴
解得，
∴
即点C所表示的数为70．
综上所述，t的值为2或14，点C所表示的数为10或70．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，两点间的距离，熟练掌握
数轴上两点间的距离以及分类讨论的思想是解题的关键．
【考法二、点的往返运动问题】
例．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
（1）已知点 ， ， 表示的数分别为1， ，-3．观察数轴，与点 的距离为3的点
表示的数是____， ， 两点之间的距离为_____．
（2）数轴上，点 关于点 的对称点表示的数是_____．
（3）若将数轴折叠，使得 点与 点重合，则与 点重合的点表示的数是_____；若此数
轴上 ， 两点之间的距离为2019( 在 的左侧)，且当 点与 点重合时， 点与
点也恰好重合，则点 表示的数是_____，点 表示的数是_____；
（4）若数轴上 ， 两点间的距离为 ( 在 左侧)，表示数 的点到 ， 两点的距离
相等，将数轴折叠，当 点与 点重合时，点 表示的数是_____，点 表示的数是
_____(用含 ， 的式子表示这两个数)．【答案】（1）-2或4； ；（2） ；（3） ； ； ；（3） ；
【分析】（1）根据数轴即可求出与点 的距离为3的点表示的数，然后根据数轴上两点之
间的距离公式计算即可；
（2）根据数轴上两点的中点公式计算即可；
（3）根据数轴上两点的中点公式即可求出对称中心所表示的数，从而求出结论；
（4）设点 表示的数是p，则点Q表示的数为p＋a，再根据中点公式列出等式即可求出结
论．
【详解】解：（1）由数轴可知：点 的距离为3的点表示的数是-2或4； ， 两点之间
的距离为1－ =
故答案为：-2或4； ；
（2）点 关于点 的对称点表示的数是2×1－ =
故答案为： ；
（3）若将数轴折叠，使得 点与 点重合，则此时对称中心所表示的数为
则与 点重合的点表示的数是2×（-1）－ = ；
∵此数轴上 ， 两点之间的距离为2019( 在 的左侧)，
∴设M点所表示的数为m，则N点所表示是数为m＋2019
∵当 点与 点重合时， 点与 点也恰好重合，
∴
解得：m=
∴M点所表示的数为 ，则N点所表示是数为m＋2019=
故答案为： ； ；
（4）∵数轴上 ， 两点间的距离为 ( 在 左侧)，
∴设点 表示的数是p，则点Q表示的数为p＋a
∵表示数 的点到 ， 两点的距离相等，
∴
解得：p= ，即点 表示的数是∴点Q表示的数为 ．
故答案为： ； ．
【点睛】此题考查的是数轴的相关运算，掌握数轴上两点之间的距离公式和中点公式是解
决此题的关键．
变式1．如图，数轴上有A，B两点，所表示的有理数分别为a、b，已知AB=12，原点O
是线段AB上的一点，且OA=2OB．
（1）a= ，b= ．
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，
点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停
止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点
M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速
度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中点M行
驶的总路程，并直接写出点M最后位置在数轴上所对应的有理数．
【答案】（1）﹣8；4；（2）①t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ=4；②点M行驶的总路程
为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．
【分析】（1）由AO=2OB可知，将12平均分为3份，其中AO占两份为8，BO占一份为
4，同时注意A点在原点左侧，B点在原点右侧；
（2）①先确定停止运动的时间，再分点P在原点左侧和右侧两种情况讨论；②点M运动
的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为t秒，列式2t-t=8求
解即可.
【详解】（1）∵AB=12，AO=2OB，
∴AO=8，OB=4，
∴A点所表示的实数为﹣8，B点所表示的实数为4，
∴a=﹣8，b=4．
故答案是：﹣8；4；
（2）①当点P与点Q重合时，如图，
2t=12+t，t=12，
则，当0＜t＜4时，如图，
AP=2t，OP=8﹣2t，BQ=t，OQ=4+t，∵2OP﹣OQ=4，
∴2（8﹣2t）﹣（4+t）=4，
t= =1.6，
当4＜t＜12时，如图，
OP=2t﹣8，OQ=4+t，
则2（2t﹣8）﹣（4+t）=4，解得t=8，
综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，8÷2=4，此时，OQ=4+t=8，即点Q所表示的实数为8，如图，
设点M运动的时间为t秒，
由题意得：2t﹣t=8，解得t=8，
此时，点P表示的实数为8×2=16，所以点M表示的实数也是16，
∴点M行驶的总路程为：3×8=24，
答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，注意多种情况的分类讨论.
变式2．如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|
a+2|＋(3a＋b)2＝0．
（1）a＝________，b＝_________；
（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间
为t（秒）．
①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值；
②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究 的值是
否为定值？若是，求出该值；若不是，请用含t的代数式表示．
③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀
速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值．
【答案】（1）-2，6；（2）①6，②2，③5.
【详解】试题分析：（1）根据非负数的性质即可求出 的值；
（2）①先表示出运动t秒后P点对应的数为 ，再根据两点间的距离公式得出
， ，利用 建立方程，求解即可；②根据中点坐标公式分别表示出点E表示的数，点F表示的数，再计算
即可；
③分类讨论.
试题解析：
解得：
故答案为
①
解得：
②AP的中点F表示的数是
OB的中点E表示的数是
所以
所以
③
解得：
,解得：
解得：
变式3．在数轴上，点 表示的数为1，点 表示的数为3，对于数轴上的图形 ，给出如
下定义： 为图形 上任意一点， 为线段 上任意一点，如果线段 的长度有最小值，
那么称这个最小值为图形 关于线段 的极小距离，记作 ，线段 ；如果线段
的长度有最大值，那么称这个最大值为图形 关于线段 的极大距离，记作 ，
线段 ．例如：点 表示的数为4，则 点 ，线段 点 ，线段 ．
已知点 为数轴原点，点 为数轴上的动点．
(1) （点 ，线段 )=_________， （点 ，线段 ）_________；
(2)若点 表示的数 ，点 表示数 (线段 ，线段 ，求 的值；
(3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿 轴正方向匀速运动，点 从表示数 的点出
发，第1秒以每秒2个单位长度沿 轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿 轴
负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿 轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单
位长度沿 轴负方向匀速运动，……，按此规律运动， 两点同时出发，设运动的时间
为 秒，若 (线段 ，线段 )小于或等于6，直接写出 的取值范围（ 可以等于0）．
【答案】(1)1，3
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）根据目中所给定义进行计算即可；
（2）分为线段 在线段 左侧或线段 在线段 右侧两种情况进行讨论即可；
（3）分别分析出每一秒的情况，再进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵点O到线段AB的最小距离为： ，
∴ （点 ，线段 )=1，
∵点O到线段AB的最小距离为： ，
∴ （点 ，线段 )=3，
故答案为：1，3．
（2）当线段 在线段 左侧时：
（线段 ，线段 ） ，
解得： ，
当线段 在线段 右侧时：
（线段 ，线段 ） ，
解得： ，
综上： 或 ．
（3）当 时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则 ，
当 时，点C表示的数为2t,点D表示的数为 ,则 ，成立；
当 时，点C表示：2，点D表示： ，此时： （线段 ，线段 ） ，符合题意；
当 时，点C表示：4，点D表示： ，
此时： （线段 ，线段 ） ，不符合题意；
当 时，点C表示： ，点D表示： ，
∴此时： （线段 ，线段 ） ，
解得： ，
∴ ，
∵ 时，点C表示：6，点D表示： ，
∴ （线段 ，线段 ） ，符合题意；
当 时，点C表示： ，点D表示： ，
∴此时： （线段 ，线段 ） ，
解得： ，
∵当 时，点C表示：8，点D表示： ，
∴ （线段 ，线段 ） ，不符合题意；
当 时，点C表示： ，在6和8之间；点D表示： ，在2和6
之间，
∴此时： （线段 ，线段 ） ，
或 （线段 ，线段 ） ，解得： ，∴ ，
当 时，点C表示：10，点D表示： ，
此时： （线段 ，线段 ） ，不符合题意；
当 时，点C表示： ，在8和10之间；点D表示： ，在 和
4之间，∴此时 ， ，则当 时， （线段 ，线段 ） ，
综上： 或 ．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴
上两点间的距离的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键．
【考法三、数轴弯折问题】
例．将一条数轴在原点 和点 处各折一下，得到如图所示的一条“ 型数轴”．图中点表示 ，点 表示8，点 表示16，我们称点 和点 在数轴上相距26个单位长度．
动点 从点 出发，以2个单位长度每秒的速度沿着“ 型数轴”向点 方向运动，从点
运动到点 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点 从点 出发，
以1个单位长度每秒的速度沿着“ 型数轴”向点 方向运动，从点 到点 期间速度变
为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为 秒．
(1)动点 从点 运动到点 需要多少时间？
(2) 、 两点相遇时，求相遇时间是多少？
(3)求当 为何值时， 、 两点在数轴上相距的长度与 、 两点在数轴上相距的长度相
等．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ， ，11，14．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出
方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握．
（1）根据时间 ，分段求出每段折线上的时间再求和即可；
（2）先判断点P与点Q在线段OB上相遇，再根据等量关系建立一元一次方程求解即可；
（3）根据 、 两点在数轴上相距的长度与 、 两点在数轴上相距的长度相等可以判断
时间相等，分别讨论并建立一元一次方程，求解即可．
【详解】（1）动点 从点 运动到点 需要： ；
（2）由题意可得点Q运动到点B需要8秒，此时点行走的路为： ，即此时点P
在线段OB上，
所以点P与点Q在线段OB上相遇，
由题意可得方程： ，
解得： ，
所以 、 两点经过 秒相遇；
（3）① 在 上， 在 上，，
② 在 上， 在 上，
，
③ 在 上， 在 上，
，
④ 在 上， 在 上，
，无解
⑤ 在 上， 在 上，
，
综上， ， ，11，14
变式1．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D出各折一下，得到“折线数轴”．图
中点A表示 ，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点
E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“折线数轴”的正
方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，
两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2
倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动到点E时P点P停止运动，当点Q运动到点A
时点Q停止运动，设：运动时间为t．问：
(1)动点P从点A运动到E点需要 秒，此时点Q对应的数是 ；
(2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？
(3)求当t为何值时，P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距
长度相等．
【答案】(1)10，4
(2)
(3)4， ，10
【分析】（1）根据点 在各段的运动速度结合公式：时间 路程 速度即可得到动点 从
点 运动至 点需要的时间，分析点 在每段上运动需要的时间即可解答；
（2）分析可知当 ， 两点在 处相遇时，点 在 段，再求出两点相遇所用时间，
最后计算出点 所对应的数即可；
（3）根据题意可分情况讨论：①当点 在 段时，点 在 段，此时 大于8，
小于4，不符合题意；②当点 在 段时，点 在 段，根据 列出方程并求解；③当点 在 段时，点 在 段，根据 列出方程并求解；④当点 在 段时，
点 在 段时， 小于8， 大于8，不符合题意；⑤当点 在 段，点 在 段，
根据 列出方程并求解；⑥当点 在 段，点 在 段，根据 列出方
程并求解．
【详解】（1）解：由题意可知，动点 在 、 、 段的速度均为4单位 秒，在
段的速度为2单位 秒，在 段的速度为8单位 秒，
， ，
动点 从点 运动至 点需要的时间为
（秒 ，
动点 从点 出发，以3单位 秒的速度沿着数轴的负方向运动，在 ， ， 段
的速度为3单位 秒， 段的速度为1.5单位 秒，在 段的速度为6单位 秒，
动点 从点 运动到点 需要 （秒 ，从点 运动到点 需要 （秒 ，
从点 运动到点 需要 （秒 ，
（秒 ，
，
．
此时点 对应的点是4；
故答案为：10，4；
（2）由（1）可知， ， 两点在 处相遇时，点 在 段，
动点 由点 经过点 到点 点用时为 （秒 ，
动点 从点 到点 用时为 （秒 ，
6秒到 秒动点 的路程 ，
相遇的时间 （秒 ，
点 的路程 ，
点 所对应的数 ；
（3）①当点 在 段时，点 在 段，此时 大于8， 小于4，不符合题意；
②当点 在 段时，点 在 段，
若 ，则 ， ，，
解得： ；
③当点 在 段时，点 在 段，
若 ，则 ， ，
，
解得： （舍去）；
④当点 在 段时，点 在 段时， 小于8， 大于8，不符合题意；
⑤当点 在 段，点 在 段，
若 ，则 ， ，
，
解得： ；
⑥当点 在 段，点 在 段，
若 ，则 ， ，
，
解得： ．
综上所述，当 为4或8.8或10时， ， 两点在数轴上相距的长度与 ， 两点在数轴
上相距的长度相等．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴，解题关键是读懂题意，找到等量关系，
列出方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握．
变式2．综合与实践：
如图，将一条数轴在原点 和点 处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点 表示
，点 表示10，点 表示18，我们称点 和点 在数轴上相距28个长度单位．动点
同时开始运动，点 从点 出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运
动，从点 运动到点 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点 处停止运
动；点 从点 出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点 运动到点 期间
速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点 处停止运动．设运动的时间为 秒．
问：
(1)当点 运动2秒时，点 在数轴上表示的数是______；当点 运动10秒时，点 在数轴
上表示的数是______；(2)动点 从点 运动至 点需要多少时间？
(3) 两点何时相遇？相遇时，求出相遇点 所对应的数是多少？
(4)在整个运动过程中，是否在线段 上存在 两点在数轴上相距的长度与 两点
在数轴上相距的长度相等？（若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由）
【答案】(1) ，6；
(2)动点 从点 运动至 点需要19秒；
(3) 两点 秒相遇，相遇点 所对应的数是 ；
(4)存在，11．
【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用 与 的时间相等得出方程是解
题关键，要分类讨论，以防遗漏．
（1）由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出当点 运
动2秒时，点 在数轴上表示的数是 ，当点 运动10秒时，点 在数轴上表示的数是
6；
（2）根据路程除以速度等于时间，可得答案；
（3）根据相遇时 ， 的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案；
（4）根据 与 的长度相等，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】（1）点 从点 出发，运动2秒时，点 在数轴上表示的数是 ，
点 从点 出发，运动10秒时，点 在数轴上表示的数是 ．
故答案为： ，6；
（2）点 运动至点 时，所需时间为 （秒 ．
故动点 从点 运动至 点需要19秒；
（3）由题可知， 、 两点相遇在线段 上于 处，设 ．
则 ，
解得 ，
则 ．
故 、 两点 秒相遇，相遇点 所对应的数是 ；
（4）存在，
由题意可得： ，
解得： ，
答： 的值为11【考法四、定值问题】
例．如图：已知，在数轴上 A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，且a、b、c满足
．
(1) ， ， ；
(2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点
B和点C分别以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟 过后，
点A与点B之间的距离表示为 ，点A与点C之间的距离表示为 ，点B与点C之间
的距离表示为 ．则 ， ， ；（用含t的代数式表示）
(3)在（2）的条件下，若 的值不随着t值的变化而变化，试确定t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）利用绝对值和平方的非负性求解；
（2）用含t的式子表示出t秒钟过后点A、B、C所在位置，再根据两点间距离公式求解；
（3）分 和 两种情况，通过整式的加减运算，判断 的值是否为
常数即可．
【详解】（1）解： ，
， ， ，
， ， ，
故答案为： ；
（2）解：由点A、B、C的起始位置、运动方向、运动速度可知，t秒钟 过后：
点A所在位置表示的数为： ，点B所在位置表示的数为： ，
点C所在位置表示的数为： ，
， ，
，
故答案为： ；
（3）解：当 时， ， ，，
此时， 的值不随着t值的变化而变化；
当 时， ， ，
，
此时， 的值随着t值的变化而变化；
因此t的取值范围为 ．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间距离公式，整式的加减运算，绝对值
等知识点，解题的关键是用含t的式子表示出t秒钟过后点A、B、C所在位置．
变式1．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结
合．
研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，
则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为 ．
【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C， ，点A对应的数是40．
【综合运用】
(1)点B表示的数是 ．
(2)若 ，则点C到原点的距离为 ．
(3)如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从
点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5
个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的
速度；
(4)如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运
动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，m（
）个单位长度秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段 的中点，点
N为线段 的中点．若 的值为定值，请求出m的值．
【答案】(1) ；
(2)100；
(3)9个单位长度/秒；
(4)
【分析】（1）根据 ，点A对应的数是40，即可得出点B对应的数；（2）根据 ， ，得出 ，利用点A对应的数是40，即可得出点C
对应的数；
（3）设点R速度为x个单位长度/秒，则P的速度为 个单位长度/秒，Q的速度为
个单位长度/秒；根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出x，即
可得动点Q的速度；
（4）设运动时间为t秒，分别表示出 ， 及 的值；由 的值为定值
即可求出m的值．
【详解】（1）∵ ，点A对应的数是40，
∴点B对应的数为： ；
故答案为 ；
（2） ，
， ，
，
，
∵点A对应的数是40，
∴点C对应的数为 ；
∴C到原点的距离为100；
故答案为100；
（3）（3）如图2，设R的速度为每秒x个单位，则P的速度为 个单位长度/秒，Q的速
度为 个单位长度/秒；
则5秒后，R对应的数为 ，
P对应的数为 ，
Q对应的数为 ，
，
∴ 或 ，
，
，
或 ，
解得： （不合题意，故舍去）或 ，
∴动点Q的速度是 个单位长度/秒；
（4）（4）如图3，设运动时间为t秒P对应的数为 ，
T对应的数为 ，
R对应的数为 ，
，
M对应的数为 ，
N对应的数为 ，
，
，
的值是定值，
，
．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，能根据题意用代数式表示出每一个
动点的值是解题的关键．
变式2．如图，点A表示的数是a，点B表示的数是b，满足 ，动点P从
点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 （ ）秒，
(1)直接写 ____， ____，
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时
出发，
①问点P运动多少秒时追上点Q？
②问点P运动多少秒时使得 ？
(3)点P、Q以（2）中的速度同时分别从点A、B向右运动，同时点R从原点O以每秒7个
单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得 的值为定值，若存在请求
出m值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10，(2)①9②7或11
(3)存在常数 使得 的值为定值
【分析】本题考查了数轴上动点问题以及两点之间的距离、一元一次方程的应用、绝对值
的非负性：
（1）根据绝对值的非负性可得到结果；
（2）先分别用t表示出点P和点Q，①根据距离相等可列得等式；②根据距离为4也可求
得结果；
（3）先分别用t表示出点P和点Q以及点R，分别用t表示出 ，然后化简，根
据是定值可求得结果；
用t表示出点所代表的数是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：10， ；
（2）解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为 ，
点P表示的数为 ，
①由题意可得 ，
解得： ，
∴点P运动9秒时追上点Q；
②由题可得： ，
即 ，
解得： ，
∴点P运动7秒或者11秒时使得 ；
（3）解：当运动时间为t秒时，点Q表示的数为 ，
点P表示的数为 ，
点R表示的数为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的值为定值，∴ ，
解得： ，
∴存在常数 使得 的值为定值．【考法、数轴上的新定义问题】
例．数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满
足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”.
例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为
，所以称点B 是点A，C的“关联点”．
图1
(1)如图2所示，点A表示数 ，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C ，
1
C ，C 其中是点A，B 的“关联点”的是 ;
2 3
图2
(2)如图3所示，点A 表示数 ，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点：
①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B 的“关联点”，求此时点P 表示的数；
②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B 中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，
请求出此时点P 表示的数.
图3
【答案】(1)C
2
(2)①点P表示的数为 ， ；②点P表示的数为
【分析】（1）分别求出点C ，C ，C 到 两点间的距离，再进行验证即可；
1 2 3
（2）①分类讨论点 在 之间和点 在 点左侧时的情况即可；②分类讨论点 为点
的“关联点”、点 为点 的“关联点”、点 为点 的“关联点”即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴点C 不是点A，B的“关联点”
1
∵
∴
即：点 是点A，B的“关联点”
∵
∴点 不是点A，B的“关联点”故答案为：
（2）解：解：设点P在数轴上表示的数为
①（i）当点 在 之间时，
若 ，则
解得：
若 ，则
解得：
（ii）当点 在 点左侧时，
则 ，即：
解得：
故：点P表示的数为 ， ；
②（i）当点 为点 的“关联点”时，
则 ，即：
解得：
（ii）当点 为点 的“关联点”时，
则 ，即：
解得：
或 ,即：
解得：
（iii）当点 为点 的“关联点”时，
则 ，即：
解得：
故：点P表示的数为
【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进
行分类讨论是解题关键．
变式1．我们规定：对于数轴上不同的三个点 ， ， ，当点 在点 左侧时，若点
到点 的距离恰好为点 到点 的距离的 倍，且 为正整数，（即 ），则
称点 是“ 整 关联点”．如图，已知在数轴上，原点为 ，点 ，点 表示的数分别为 ， ．
(1)原点 ________（填“是”或“不是”）“ 整 关联点”；
(2)若点 是“ 整 关联点”，则点 所表示的数 _______；
(3)点 在 ， 之间运动，且不与 ， 两点重合，作“ 整 关联点”，记为 ，
作“ 整 关联点”，记为 ，且满足 ， 分别在线段 和 上．当点 运动时，
若存在整数 ， ，使得式子 为定值，直接写出 ， 满足的数量关系
________．
【答案】(1)不是
(2) 或者
(3)
【分析】（1）根据关联点的定义，即可；
（2）根据关联点的定义得到等式，再讨论点 的位置，求出满足 的值；
（3）设点 表示的数为 ，根据关联点的定义，得出用 ， ， 表示 的代
数式，再由点 运动时，式子 为定值，得关于 的代数式中 的系数为 ，即
可求出 ， 的数量关系．
【详解】（1）∵在数轴上，原点为 ，点 ，点 表示的数分别为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 不是整数，
∴原点不是“ 整 关联点”．
故答案为：不是．
（2）∵在数轴上，原点为 ，点 ，点 表示的数分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
若点 是“ 整 关联点”，
∴ ，
当点 在线段 之间， ，∴点 表示的数为： ；
当点 在线段 的延长线上， ，
∴ ，
∴点 表示的数为： ；
综上所述，点 表示的数为： 或者 ．
故答案为： 或者 ．
（3）设点 表示的数为 ，
∵点 在 ， 之间运动，且不与 ， 两点重合，作“ 整 关联点”，记为 ，
作“ 整 关联点”，记为 ，且满足 ， 分别在线段 和 上，
∴ ， ； ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当点 运动时，若存在整数 ， ，使得式子 为定值，
∴ ，
解得： ，
∴整数 ， 满足的数量关系为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查新定义、数轴的知识，解题的关键的掌握数轴上两点的距离，动点问题，
线段的数量关系，理解新定义的概念．
变式2．点 在同一条直线上，点 在线段 的延长线上，如果 ，那么我
们把点 叫做点 关于点 的伴随点．
(1)如图，在数轴上，点 表示的数是 ，点 关于原点 的伴随点 表示的数是
_________；
(2)在（ ）的条件下，点 表示的数是 ，若点 关于点 的伴随点是点 ，求 的值；
(3)如图，数轴上的三个点 分别表示的数是 ．有一动点 从点 出发，以每
秒 个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点 运动至点 处时，两动点 同时停止运
动．设动点 的运动时间为 秒，在运动过程中，若 三个点中，恰有一个点
是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 或 ．
【分析】（ ）根据伴随点的定义，求出 ，进而得出 点的值；
（ ）根据伴随点的定义，列出关于点 的方程 ，代入 即可求的 得值；
（ ）随着两点运动的情况，分四种情况讨论，列出关于 的方程，求出 值即可；
本题考查了新定义下数轴上两点之间的距离，根据新定义列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得， ，
∴ ，
∴点 表示的数是
∴点 关于原点 的伴随点 表示的数是 ；
（2）解：根据题意得， ，
即 ，
根据数轴有 ，
∴ 可化为， ，
解得 ；
（3）解：根据题意得： 点 秒后的位置为 ， 点 秒后的位置为 ，点 表示的
数是 ，
当点 关于点 的伴随点是点 时有 ，
即 ，
即 ，
∵ ，
∴ ，解得 不合，舍去，
故点 关于点 的伴随点是点 不存在；
当点 关于点 的伴随点是点 时有 ，
即 ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
故点 关于点 的伴随点是点 ， ；
当点 关于点 的伴随点是点 时有 ，
即 ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故点 关于点 的伴随点是点 ， ；
当点 关于点 的伴随点是点 时有 ，
即 ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，故点 关于点 的伴随点是点 ， ；
综上： 或 或 ．
【课后练习】
1．数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两
点之间的距离表示为 ．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则
．
问题提出：
(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离
______，线段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q
从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自
到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么
再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的
数．
【答案】(1) ；
(2)① ； ；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7
(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1
【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表
示的数为 ；
（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t；
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
（3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t− ），即得：
13−3（t−5）＝−2＋2（t− ），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1．
【详解】（1）∵A表示的数为−2，点B表示的数为13，
∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为 ；
故答案为：15； ．
（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；
故答案为：−2＋3t；13−2t．
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，
解得t＝3，
相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．
（3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动 秒到A，
返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t− ），
根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t− ），
解得t＝9，
第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1，
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示
运动后的点所表示的数．
2．如图，在数轴上，点 表示的数是 ，点 在原点右侧，且
(1)求在数轴上点 表示的数．
(2)若动点 、 两点分别从 、 两点同时出发，点 从点 向右运动每秒 个单位长度；
点 从点 向左运动每秒 个单位长度，且 是线段 的中点， 是线段 的中点，
求经过多长时间 、 两点间距离是 ．
(3)在（2）的条件下，点 始终保持原速向右运动，当点 、 相遇时，点 立即改变方
向，向右运动，速度不变，点 到点 时停止运动，点 也随之停止，在整个运动过程中，
当 时，求在数轴上点 表示的数．【答案】(1)
(2) 或
(3) 点表示的数为： 或
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点的距离；
（1）根据点 表示的数是 ，得出 ，根据题意得出 ，结合数轴，
即可求解；
（2）根据题分别表示出点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，分两种情况讨
论，①当 点在 点的右侧时，②当 点在 点的左侧时，根据两点距离列出方程，解
方程即可求解；
（3）先求得相遇的时间为 秒，进而分相遇前和相遇后，两种情况讨论，根据
建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵点 表示的数是 ，点 在原点右侧，且
∴ ，
∴数轴上点 表示的数为 ．
（2）解：依题意，
∴点 表示的数为 ，
∵ ，
∴点 表示的数为 ，
①当 点在 点的右侧时，
解得：
②当 点在 点的左侧时，
解得：
综上所述， 或
（3）∵
，即 秒时， 相遇，
①当 时， ，
∴
解得： （舍去）或
∴ 点表示的数为：②当 时，相遇点为
相遇后，点 表示的数为 ，点 表示的数为
点 表示的数是 ，数轴上点 表示的数为 ．
∴ 表示的数为 ，点 表示的数为
∴
解得： （舍去）或 （舍去）
∴ 点表示的数为：
综上所述， 点表示的数为： 或
3．如图：在数轴上点 表示数 ，点 表示数 ，点 表示数 ，已知 是 ，数 是最
大的负整数， 是单项式 的次数．
(1) _____， _______．
(2)点 ， ， 开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单
位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动， 秒过后，若点A与点
B之间的距离表示为 ，点B与点C之间的距离表示为 ．
① _____， ________．（用含 的代数式表示）
②探究： 的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，
请求出这个值．
③若 点 ， ， 与三点同时开始在数轴上运动，点 从原点出发以每秒4个单位长
度的速度向左运动，请含 的式子表示 ．
【答案】(1) ，3
(2)① ； ；②不变，16；③ 或 ．
【分析】（1）根据最大的负整数是 ，单项式 的次数是3，得到 ， 得到
，3即可．
（2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点
A以每秒2个单位长度的速度向左运动， 秒过后，点A运动的路程为 ，点B运动的路程
为 ，点C运动的路程为 ，结合A起始数为 ，B起始数为 ，C起始数为3，故运动
秒后点A表示的数 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ，根据公式计算解答即可．
②根据题意，得 ， ，代入
，化简计算说明即可．
③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以
每秒2个单位长度的速度向左运动，点 从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，
秒过后，点A运动的路程为 ，点B运动的路程为 ，点C运动的路程为 ，点M运动
路程为 ，结合A起始数为 ，B起始数为 ，C起始数为3，点M起始数为0，故运动
秒后点A表示的数 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ，点M表示的
数是 ，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可．
本题考查了最大的负整数，单项式的次数，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，
代数式的无关问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键．
【详解】（1）根据最大的负整数是 ，单项式 的次数是3，
得 ， ，
故答案为： ，3．
（2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点
A以每秒2个单位长度的速度向左运动， 秒过后，点A运动的路程为 ，点B运动的路程
为 ，点C运动的路程为 ，结合A起始数为 ，B起始数为 ，C起始数为3，故运动
秒后点A表示的数 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ，
∴ ， ，
故答案为： ； ．
②根据题意，得 ， ，
∴ ．
故 的值不变，这个常数是16．
③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以
每秒2个单位长度的速度向左运动，点 从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，
秒过后，点A运动的路程为 ，点B运动的路程为 ，点C运动的路程为 ，点M运动
路程为 ，结合A起始数为 ，B起始数为 ，C起始数为3，点M起始数为0，故运动
秒后点A表示的数 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ，点M表示的
数是 ，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可．
当 在 的右侧时，根据题意，得 ，
，
∴ ．当 在 的左侧时，根据题意，得 ， ，
∴ ．
4．A、B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上
的位置所对应的数记录如下表．
(1)根据题意，填写下列表格：
时间（秒） 0 5 7
A点在数轴上的位置 10 0 ___________
B点在数轴上的位置 ___________ 12 20
(2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________；
(3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小
于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）．
①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？
②数轴上有一动点C，在感应器开始发出第二次提示时，从原点出发，沿数轴以3个单位
长度/秒的速度运动，C点运动几秒，C点到A点的距离与C点到B点的距离比是 ？
【答案】(1)见解析
(2)3；4
(3)①A、B两点开始运动后，经过 秒感应器开始发出提示，第一次提示持续 秒；②
秒或 秒或 秒
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用：
（1）根据表格中的数据，得出点A、B运动速度和方向，求出点A在7秒时的位置和点B
在0秒时的位置即可；
（2）根据A、B两点间的距离和A、B运动速度求出A、B两点相遇时间；根据A、B两点
在0秒时的位置，结合运动速度和方向，求出相遇时，A、B点对应的数即可；
（3）①根据A、B两点间的距离和A、B运动速度，结合题意列出算式计算即可得出开始
运动到发出第一次提示的时间；算出第一次持续振动过程中通过的单位长度，然后根据两
个点的速度求出持续振动时间即可；②根据A、B运动速度，开始运动到第二次振动需要
运动的总路程，算出第二次开始发出提示的时间，进而求出此时点A和点B表示的数，设
点C出发的时间为t秒时，再分当点C向左运动时，当点C向右运动时，两种情况分别表
示出 ，进而根据C点到A点的距离与C点到B点的距离比是 建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵0秒时，点A在数轴上的位置为10，5秒时，点A在数轴上的位置为
0，
∴点A向左运动，且运动速度为 个单位/秒，∴7秒时，点A在数轴上的位置为 ；
∵5秒时，点B在数轴上的位置为12，7秒时，点B在数轴上的位置为20，
∴点B向右运动，且运动速度为 个单位/秒，
∴0秒时，点B在数轴上的位置为 ，
时间（秒） 0 5 7
A点在数轴上的位置 10 0
B点在数轴上的位置 12 20
（2）解：根据解析（1）可知，点A向左运动，每秒运动2个单位，点B向右运动，每秒
运动4个单位，则A、B两点相遇时间为：
（秒）；
相遇时A、B两点对应的数为 ；
故答案为：3；4．
（3）解：①当A、B两点相距8个单位时，发出提示，
∴感应器开始发出提示的时间为： （秒）；
∵当A、B两点相距3个单位时，停止发出提示，
∴持续 个单位，
∴第一次提示持续时间为 （秒），
即A、B两点开始运动后，经过 秒感应器开始发出提示，第一次提示持续 秒；
②∵当A、B两点相遇后，再相距3个单位开始第二次提示，
∴A、B两点开始运动后，到第二次发出提示的时间为： （秒），
∴第二次发出提示时，点A表示的书为 ，点B表示的数为 ，
设点C出发的时间为t秒时，
当点C向左运动时，
∴点C表示的数为 ，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，
∴ ， ，
∵C点到A点的距离与C点到B点的距离比是 ，
∴ ，
解得 ；当点C向右运动时，
∴点C表示的数为 ，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，
∴ ， ，
∵C点到A点的距离与C点到B点的距离比是 ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ；
综上所述，当点C出发 秒或 秒或 秒时，C点到A点的距离与C点到B点的距离比
是 ．
5．如图，A是数轴上表示 的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，
点A，B，C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B
和点C运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t秒．
(1)直接写出t秒后，A，B，C三点在数轴上所表示的数；
(2)当t为何值时，线段 （单位长度）？
(3)当 时，设线段 的中点为P，线段 的中点为M，线段 的中点为N，且
为常数，求k的值．
【答案】(1)A，B，C分别表示的数为： ， ， ；
(2) 或 ；
(3) 或
【分析】（1）分别用A、B、C对应的数加上三点运动的距离，即可求解；
（2）由（1）可得 ，即可求解；
（3）根据题意可得 秒后线段OA的中点为P所表示的数为 ，线段 的中点为M
所表示的数为 ， 线段 的中点为N所表示的数为 ，再由 为常数，
然后分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
秒后，A，B，C分别表示的数为： ， ， ；
（2）解：根据题意得： ，解得： 或 ；
（3）解：∵ 秒后，A，B，C分别表示的数为： ， ， ，
∴ 秒后线段 的中点为P所表示的数为 ，线段 的中点为M所表示的数为
， 线段 的中点为N所表示的数为 ，
∴ ，
∵ 为常数，
∴ 为常数，
① 当 时，即 时，
∴ ，解得 ；
②当 ， 时，即 时，
∴ ，解得 ；
③当 时，即 时，∴ ，解得 ，综上所述： 或 ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，绝对值方程，数轴上两点间的距离，动点
问题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
6．在数轴上有三个点 ， ， 它们表示的有理数分别为 ， ， ，已知 是最大的负
整数，且 ．
(1) ______， ______， ______；
(2) 如果数轴上点 到 、 两点的距离相等，则点 表示的数为______；
如果数轴上点 到点 的距离是 ，则点 表示的数为______；
(3)在数轴上是否存在一点 ，使点 到点 的距离是点 到点 的距离的 倍？若存在，
请直接写出点 表示的数；若不存在，请说明理由；
(4)甲、乙两点分别以每秒 个单位长度和每秒 个单位长度从点 、 同时出发向点 运动，
甲到达 点后以原来 倍的速度返回，求几秒后甲、乙两点相距 个单位长度？
【答案】(1)
(2)① ；②4或
(3) 或
(4) 秒或 秒
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及非负数的性质，数轴上两点间的距离的
表示．
（1）根据有理数的概念求出 的值，再根据非负数的性质列式求出 、 的值；
（2）①设点 表示的数为 ，然后表示出点 到点 、 的距离并列出方程求解即可；②
设点 表示的数为 ，然后列出绝对值方程求解即可；
（3）设点 表示的数为 ，然后列出绝对值方程，再求解即可；
（4）先求出甲到达点 的时间，再利用相距 个单位长度，列绝对值方程求解，最后加上
甲到达点 的时间即可．
【详解】（1）解： 是最大的负整数，
，，
， ，
， ；
故答案为： ， ， ；
（2）解：①设点 表示的数为 ，
，
解得： ，
即点 表示的数为 ；
②设点 表示的数为 ，
，
解得： 或 ，
即点 表示的数为 或 ；
故答案为： ； 或 ；
（3）解：设点 表示的数为 ，
，
解得： 或 ，
即点 表示的数为 或 ；
（4）解： 甲的速度比乙快，
当两者距离 个单位长度时，甲正从 返回，
设时间为 ，当甲到达点 时，时间为 秒 ，
此时乙表示的数为 ，
则 或 ，
解得： 或 ，
秒 ， 秒 ，
秒或 秒后甲、乙两点相距 个单位长度．
7．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以
记作 或 ．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与
点B之间的距离表示为 ．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为 ，0， ．(1)直接写出结果， ， ；
(2)设点P在数轴上对应的数为x．
①若点P为线段 的中点，则 ；
②若点P为线段 上的一个动点，则 的化简结果是 ；
(3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从
B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N
两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得 ？若存在，请直接写出t
值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)①1；②
(3)存在，t＝1， ，7或
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案；
（2）①根据想断中点的定义，得到 ，列方程并求解，即得答案；
②若点P为线段 上的一个动点，则 ，根据两点之间的距离的计算方法，
即得答案；
（3）先求出点M表示的数， 的长，然后分 和 两种情况，分别求出
的长，再列方程分别求解，即得答案．
【详解】（1）（1） ， ，
故答案为： ， ．
（2）① 点P为线段 的中点，
，
，
解得 ；
故答案为：1．
② 点P为线段 上的一个动点，
；
故答案为： ．
（3）点M表示的数为 ， ，
当 时，点N表示的数为 ， ，当 时，点N表示的数为 ， ，
当 时， |解得 或 ；
当 时， ，解得 或 ；．
存在t值， ， ，7或 ，使得 ．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元
一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
8．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为
，定义： 或 ，请回答问题：
(1)设点M在数轴上对应的数为x，点N在数轴上对应的数为y，若 ，
则 ．
(2)设数轴上点P对应的数为p，且 ，求p的值；
(3)如图，点A，B，C是数轴上的三点，点A表示的数为4，点C表示的数为 ，点B表
示的数是9． 现甲从点A出发，以每秒2个单位长度的速度一直向右运动，同时乙从点B
出发，以每秒4个单位长度的速度向点C运动，当乙到达点C时休息3秒后立即折回，再
以每秒3个单位长度的速度向右运动时，此时甲以每秒1个单位长度的速度继续向右运动．
问：当经过多少秒时，甲、乙相距2个单位长度？
【答案】(1)7；
(2) 或 ；
(3) 或 或 或 ；
【分析】（1）本题考查绝对值的非负性应用及数轴上两点间的距离，根据非负式子和为0
它们分别等于0，求出两点，结合数轴上两点的距离等于两数之差的绝对值求解即可得到
答案；
（2）本题考查数轴上两点间的距离，分点在 的左边或3的右边两类求解即可得到答案；
（3）本题考查数轴上的动点问题及一元一次方程应用问题，分相遇前相距和相遇后相距，
追及相距讨论即可得到答案；
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
解得： ， ，∵点M在数轴上对应的数为x，点N在数轴上对应的数为y，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ 在3， 的两边，
当点在 的左边时，
，
解得： ，
当点在3的右边时，
，
解得： ，
综上所述： 或 ；
（3）解：由题意可得，设经过 秒时，甲、乙相距2个单位长度，
①当相遇前相距2个单位长度时，由题意可得，
，
解得： ，
②当相遇后相距2个单位长度时，由题意可得，
，
解得： ，
乙运动到C点时，
，
甲运动时间为： ，
甲乙相距： ，
③当追到前相距2个单位长度时，
，
解得： ，
当追到后相距2个单位长度时，
，
解得： ，
综上所述： 或 或 或 时甲、乙相距2个单位长度．
9．已知 、 满足 ．且 ，有理数 、 、 在数轴上对应的点
分别为 、 、 ．(1)则 =______， =______， =______；
(2)若点 从点 出发以每秒 个单位长度的速度向右运动，点 从点 出发以每秒 个单
位长度的速度向右运动．点 、 同时出发，设运动时间为 秒．
①请用含 的代数式表示出点M、N表示的数：M：_____，N：_____；
② 为何值时， 、 相距 个单位长度？
(3)若点 从点 出发以每秒 个单位长度的速度向右运动， 为 中点，点 从点 出发
向右运动，到达点 时立即返回向左运动，速度为每秒 个单位长度，点 从点 出发向
右运动，速度为每秒 个单位长度．点 、 、 同时出发， 为何值时， ．
【答案】(1) ； ；
(2)① ； ；②当 或 时， 、 相距 个单位长度
(3)当 或 时，
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用，数轴上两点的中
点计算公式，非负数的性质等等：
（1）根据非负数的性质求出a、b的值，进而求出c的值即可得到答案；
（2）①根据数轴上两点距离计算公式求解即可；②根据（2）①所求结合数轴上两点距离
计算公式建立方程求解即可；
（3）先求出点P和点F表示的数，进而求出点E表示的数，再分当 和 两种情
况先表示出点Q表示的数，再根据两点距离计算公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
故答案为： ； ； ；
（2）解：①由题意得，点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，
故答案为： ； ；
②由题意得 ，∴ ，即 ，
∴ 或 ，解得 或 ，
∴当 或 时， 、 相距 个单位长度；
（3）解：由题意得，运动t秒后点P表示的数为 ，点F表示的数为 ，
当 时，点Q表示的数为 ，
∵ 为 中点，∴点E表示的数为 ，
∴ ， ，∵ ，∴ ，解得 ；
当 时，点Q表示的数为 ，
∵ 为 中点，∴点E表示的数为 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
解得 ；
综上所述，当 或 时， ．
