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专题 2.13 对数与对数函数-重难点题型精讲
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，其中_a_叫做对
a
数的底数，_N_叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝log M＋log N．
a a a
②log ＝log M－log N．
a a a
③log Mn＝nlog M (n∈R)．
a a
(2)对数的性质
①负数和零没有对数；
②log 1＝0，log a＝1(a>0，且a≠1)．
a a
③ ＝N(a>0，a≠1，且N>0)．
④log aN＝N(a>0，且a≠1)．
a
(3)对数的换底公式
log b＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
a
3．对数函数的图象与性质
y＝log x a>1 01时， y <0 ；当01时， y >0 ；当00
(6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x
a
对称．
【题型1 对数的运算】
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对
数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、
商、幂的运算．
【例1】（2022•遵义开学）已知lg2＝a，lg3＝b，则log 75＝（ ）
4
a−b+2 b−a+2 b−2a+2 2a−b+2
A． B． C． D．
2a 2a 2a 2a
2 1
【变式1-1】（2022春•银川校级期末）已知3a＝5b且 + =1，则a的值为（ ）
a b
A．log 15 B．log 15 C．log 45 D．log 45
3 5 3 5
【变式1-2】（2022春•西青区校级期末）若ln2＝a，ln3＝b，则log 18＝（ ）
8
a+3b a+2b a+2b a+3b
A． B． C． D．
a3 3a a3 3a
【变式1-3】（2022春•渝中区校级期末）化简 的值为（ ）
(1og 2) 2+log 2⋅log 3+2log 3−6log 6 2
6 6 6 6
A．﹣log 2 B．﹣log 3 C．log 3 D．﹣1
6 6 6
【题型2 对数函数的图象及应用】
【方法点拨】
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最
低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【例2】（2022•潍坊二模）已知函数f（x）＝log （x﹣b）（a＞0且a≠1）的图像如图所示，则以下说法
a
正确的是（ ）
A．a+b＜0 B．ab＜﹣1 C．0＜ab＜1 D．log |b|＞0
a
【变式2-1】（2021秋•长宁区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a与对数函数y＝log x（a
a
＞0且a≠1）的图像关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2021秋•南山区校级月考）如图所示，曲线是对数函数f（x）＝log x的图象，已知a取√3，
a
4 3 1
， ， ，则对应于C ，C ，C ，C 的a值依次为（ ）
1 2 3 4
3 5 2
4 3 1 4 1 3 4 3 1 4 1 3
A．√3， ， ， B．√3， ， ， C． ，√3， ， D． ，√3， ，
3 5 2 3 2 5 3 5 2 3 2 5
【变式2-3】（2021秋•荔城区校级月考）如图，直线x＝m（m＞1）依次与曲线y＝log x、y＝log x及x轴
a b相交于点A、点B及点C，若B是线段AC的中点，则（ ）
A．1＜b≤2a﹣1 B．b＞2a﹣1 C．1＜b≤2a D．b＞2a
【题型3 比较大小】
对数值的比较大小有4种常见类型：
(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；
(2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论；
(3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；
(4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较.
【例 3】（2022•响水县校级开学）已知 a＝log 3 2，b=0.21og 5 1，c＝log 3 ，则 a，b，c的大小关系为
（ ） π
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【变式3-1】（2022•安徽开学）已知a＝log 3，b＝log 4， 1，则a，b，c的大小关系为（ ）
29 50 c=lne3
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【变式3-2】（2022•靖远县开学）已知a＝20.4，b＝log 3，c＝log 0.4，则（ ）
2 0.3
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【变式3-3】（2022春•咸宁期末）已知a＝ln2，b＝ln3，c＝log 2，则（ ）
3
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【题型4 解对数不等式】
对数不等式有两种类型：
(1) log x>log b，借助y＝log x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0b，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝log x的单调性求解.
a a
【例4】（2022春•楚雄州期末）已知函数f（x）的图象与g(x)=log x的图象关于x轴对称，则不等式f
1
4
（3x）＜f（2x+1）的解集为（ ）
1
A．（0，+∞） B．（0，1） C．(0， ) D．（﹣∞，1）
2【变式4-1】（2020秋•成都月考）已知函数f（x）＝|lgx|，若f（a）＝f（b）且a＜b，则不等式log x+log
a b
（2x﹣1）＞0的解集为（ ）
1 1
A．（1，+∞） B．（0，1） C．（ ，+∞） D．（ ，1）
2 2
【变式4-2】（2021秋•衢州期末）已知函数f（x）（x R，且x≠1）的图象关于点（1，0）对称，当x＞1
时f（x）＝log （x﹣1），且f（3）＝﹣1，则不等式∈f（x）＞1的解集是（ ）
a
3 3
A．(−3， ) B．(−∞，−3)∪( ，+∞)
2 2
3 3
C．(−∞，−1)∪( ，+∞) D．(−∞，−1)∪(1， )
2 2
【变式4-3】（2021•烟台一模）已知函数f（x）的定义域为{x|x R，且x≠0}，若对任意的x都有f（x）+f
（﹣x）＝0，当x＞0时，f（x）＝log x，则不等式f（x）＞1∈的解集为（ ）
2
A．（2，+∞） B．（1，+∞）
1
C．（− ，0）∪（2，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
2
【题型5 与对数函数有关的复合函数问题】
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：
一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是
由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
x
【例5】（2021秋•忻州校级期中）已知函数f（x）＝log ．
2
1−x
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）在定义域内是增函数．
【变式5-1】（2021秋•西固区校级期末）已知函数f（x）＝lg（x﹣1），g（x）＝lg（4﹣x）．
（1）求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的定义域．
（2）求不等式f（x）＞g（x）成立时，实数x的取值范围．【变式5-2】（2020春•丽江期末）已知函数f（x）＝log （ax2+2x+3）．
4
（1）若f（x）定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
1−x 4
【变式5-3】（2021秋•涡阳县期末）已知函数f（x）＝log （a＞0且a≠1）的图象经过点P（− ，
a
1+x 5
2）．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
1−x
（2）设g(x)= ，用函数单调性的定义证明：函数y＝g（x）在区间（﹣1，1）上单调递减；
1+x
（3）解不等式：f（t2﹣2t﹣2）＜0．
【题型6 指数函数、对数函数的综合问题】
【例6】（2020秋•上高县校级期末）已知函数f（x）＝log （ax﹣1）（a＞0，a≠1）．
a
（1）讨论函数f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；
（3）当a＝2时，不等式f（x）﹣log （1+2x）＞m对任意实数x [1，3]恒成立，求实数m的取值范围．
2
∈
【变式6-1】（2021秋•大理市校级期末）已知函数g（x）＝（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且
点A又在函数f（x）=log （x+a）的图象．
√3（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）＜log a．
√3
【变式6-2】（2021•信阳模拟）已知函数f（x）＝log （2x+1）．
2
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增；
（Ⅱ）若g（x）＝log （2x﹣1）（x＞0），且关于x的方程g（x）＝m+f（x）在[1，2]上有解，求m的
2
取值范围．
【变式6-3】（2021春•红谷滩新区校级期末）函数y＝f（x）图象与函数y＝ax﹣1（a＞1）图象关于直线y
＝x对称
（1）求f（x）解析式
p p
（2）若f（x）在区间[m，n]（m＞﹣1）上的值域为[log ，log ]，求实数p范围．
am a n
